高三理科数学复习资料-命题及其关系、充要条件和简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

高三理科数学复习资料

命题及其关系、充要条件和简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一.基础知识

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

命题表述形式

原命题若p，则ｑ

逆命题若ｑ,则ｐ

否命题若綈p，则綈ｑ

逆否命题若綈q,则綈p

（2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系．

3.充分条件、必要条件与充要条件

（１)如果ｐ⇒q，则p是q的充分条件，ｑ是ｐ的必要条件;

(2)如果ｐ⇒q，q⇒p,则p是q的充要条件.

4. 简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.

(2)简单复合命题的真值表：

5.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． （２）常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.

(3)全称量词用符号“∀”表示;存在量词用符号“∃”表示． 6.全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 7.命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. （2)p 或q 的否定为:非p 且非ｑ;ｐ且ｑ的否定为:非p 或非q . 二.题型分析

题型１. 命题正误的判断 题1.（1）给出如下三个命题:

①四个非零实数a ,b ,c ,ｄ依次成等比数列的充要条件是ad =ｂｃ; ②设a ，b ∈R ,且a ｂ≠０，若＼ｆ(a,b )＜1，则错误!＞1； ③若f (ｘ）=ｌｏｇ2x ，则ｆ(|ｘ｜)是偶函数. 其中不正确命题的序号是（ ）. A ．①②③ Ｂ.①②

C.②③ ﻩD ．①③

解析 对于①,可举反例:如a ，ｂ，c ,ｄ依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a 、b 异号,虽然错误!＜1，但错误!<0，故②错;对于③，y =f （|x |)＝ｌog 2|x |，显然为偶函数，故选B 答案 B

(2）下列命题中,假命题为( ）

A ．存在四边相等的四边形不．

是正方形 B.1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数 C.若,x y ∈Ｒ，且2,x y +>则,x y 至少有一个大于1

D.对于任意01

,n n n n n N C C C ∈++

+都是偶数

【解析】只要12,z z 的虚部相反，则12z z +，就为实数，比如121,2z i z i =+=-，则有

12123z z i i +=++-=为实数，所以B 错误，选B.

题型2.四种命题的真假判断

题2.（１)已知命题“若函数f (x ）=ｅx -m ｘ在(０，+∞)上是增函数，则m ≤1”,则下列结论正确的是( )．

A.否命题是“若函数f (x )＝e x -mx 在（0，+∞）上是减函数，则m >1”，是真命题 Ｂ．逆命题是“若ｍ≤1,则函数ｆ（x )=e x -mx 在(０,+∞)上是增函数”,是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞１，则函数f (x )＝ｅｘ

-mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若m ＞1,则函数ｆ(x )=e x -mx 在(０，＋∞）上不是增函数”，是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论,理解四种命题间的关系是解题关键.

解析 f ′(x )=e x -ｍ≥0在（0,＋∞)上恒成立，即ｍ≤ｅx 在(０,+∞）上恒成立,故m ≤１,这说明原命题正确,反之若ｍ≤1，则f ′(ｘ)>0在(０,＋∞)上恒成立,故逆命题正确,但对增函数的否定不是减函数,而是“不是增函数”,故选Ｄ． 答案 Ｄ

(２)给出下列四个命题： ①命题“若4

π

α=

，则1tan =α”的逆否命题为假命题；

②命题1sin ,:≤∈∀x R x p .则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ；

③“()2

k k Z π

ϕπ=

+∈”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件;

④命题:p “R x ∈∃0，使2

3

cos sin 00=

+x x ”;命题:q “若sin sin αβ>,则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题． 其中正确的个数是( ） A ．1 B ．2 C .3 D ．4

【答案】Ｂ

【解析】①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误．②根据全称命题的否定式特称命题知,②为真．③当函数为偶函数时，有2

k π

ϕπ=+，所以为充要条件,所以③正确.

④因为sin cos )4x x x π+=

+3

2

<,所以命题p 为假命题，p ⌝为真，

三角函数在定义域上不单调，所以q 为假命题，所以q p ∧⌝)(为假命题,所以④错误.所以正确的个数为2个,选B. 题型３． 充要条件的判断

题３．(1)已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数.那么“0b =”是“()f x 为奇函数”

的（ )

（Ａ)充分而不必要条件（B)必要而不充分条件 （C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】若0b =，则()cos f x x b x x =+=为奇函数。若()f x 为奇函数，则有(0)0f =,

即0b =,所以0b =是()f x 为奇函数的充分必要条件，选C.

(2）已知条件ｐ:函数()log (1)m g x x =-为减函数,条件q ：关于x 的二次方程

220x x m -+=有解，则p 是q 的

ﻩA.充分而不必要条件ﻩ B ．必要而不充分条件 ﻩC ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】函数()log (1)m g x x =-为减函数，则有01m <<,即:01p m <<。关于x 的二

次方程220x x m -+=有解，则判别式440m ∆=-≥，解得1m ≤，即:1q m ≤。所以ｐ是ｑ的充分而不必要条件,选Ａ.

（3)“22a b >”是22log log a b >”的

ﻩ

A.充分不必要条件

B ．必要不充分条件

ﻩC ．充要条件 ﻩﻩＤ.既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】若22a

b

>，则有a b >。若22log log a b >，则有0a b >>。所以“22a

b

>”是

22log log a b >”的必要不充分条件，选B.

题型４. 含有逻辑联结词命题真假的判断

题4.(1)(2０1０·新课标全国)已知命题ｐ１:函数ｙ＝2x -２－x 在R 上为增函数,p 2：函数ｙ＝２ｘ＋2－x 在Ｒ上为减函数，则在命题q 1：ｐ1∨p 2,ｑ2:p 1∧p 2,q 3：(¬ｐ1)∨ｐ2和q ４：p 1∧(¬p ２)中,真命题是( )． A.q 1,q ３ ﻩB.q ２,ｑ3 C ．q 1，ｑ4

D.q 2，q 4