一、横截面上的切应力
杆件横截面上的应力
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
梁横截面上的切应力
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力
在横力弯曲时，梁的横截面上有剪力FS，相应地在横截面上存
在切应力。本节以矩形截面梁为例，对切应力计算公式进行推导，
并对其他几种常用截面梁的切应力计算作简要介绍。
1.1 矩形截面梁横截面上的切应力
1. 横截面上切应力的计算公式
图a所示的简 支梁是一个矩形
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力 工字形截面上的最大切应力可按下式计算：
max
FS Af
式中：FS—横截面上的剪力； Af —腹板的面积。
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
2．圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁 圆形截面和薄壁圆环形截面分别如图a、b所示。可以证明，梁 横截面上的最大切应力均发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀 分布，其值分别为
1.2 其他形状截面梁横截面上的切应力
1. 工字形截面梁
工字形截面由上下翼缘和中 间腹板组成 （图a）。腹板是狭 长矩形，所以腹板上的切应力可 按矩形截面的切应力计算公式进 行计算，最大切应力仍然发生在 中性轴上各点处，并沿中性轴均 匀分布。在腹板与翼缘交接处， 由于翼缘面积对中性轴的静矩仍 然有一定值，所以切应力较大。 腹板上的切应力接近于均匀分布， 如图 b所示。翼缘上的切应力的 数值比腹板上切应力的数值小许 多，一般忽略不计。
A*
Iz
Iz
A*
ydA
M
FSdx Iz
S
* z
F3 bdx bdx
将F1、 F2和F3代入平衡方程，得
M
FSdx Iz
S
* z
M Iz
S
* z
bdx
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
梁的切应力及其强度条件
100
240
q 6.1kN/m
100
3）抗剪强度
20 S z ,max 180 20 (100 ) 2 100 45 100 2 2 846103 mm3
y
45 45
t max
FS, maxS z ,max bIz
2q 103 846103 [t ] 1.1MPa 4 901473610
D D
0.4m 0.6m
140
B
FB
C
10
FA
y
10
解 1）求内力 FA 66kN D截面的剪力
FB 44kN FS 66kN
t max
FS S z ,max dIz
103 47
A
F=110 kN
10
220
10
220 a
10
C y 10
2）求最大切应力 103 * 2 S z ,max 10310 2 1061 102 mm3
t1max tmax O
tmax
2 h FS 2 t max b h d y 2I z d 2
FS t1 h 2I z
tmin
切应力流
y
最大剪应力一般发生在中性轴上
10 320 10 50kN 50kN 50kN
100
9.5
F1
F2
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
解 1）求内力
FA 75kN
FB 75kN
10 320 10
50kN 50kN 50kN
材料力学切应力
材料力学切应力材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，其中切应力是材料力学中的重要概念之一。
切应力是指材料内部受到的切削力，是材料在受到外力作用时发生形变的一种力学性质。
在材料力学中，切应力的研究对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的意义。
首先，我们来了解一下切应力的概念。
切应力是指材料内部受到的切削力，它是由于外力作用而引起的材料内部相对位移所产生的应力。
在材料受到外力作用时，内部各层之间会产生相对位移，从而产生切应力。
切应力的大小与外力的大小、材料的形状和材料的性质有关。
其次，我们来探讨一下切应力的计算方法。
在材料力学中，切应力的计算通常采用横截面上的切应力公式，τ=F/A，其中τ表示切应力，F表示作用力，A表示横截面积。
通过这个公式，我们可以计算出材料在外力作用下所受到的切应力大小。
除了切应力的计算方法，我们还需要了解切应力的影响因素。
切应力的大小受到多种因素的影响，包括外力的大小、作用角度、材料的性质、形状等。
在实际工程中，我们需要综合考虑这些因素，合理地选择材料和设计结构，以减小切应力对材料的影响，保证材料的强度和稳定性。
另外，切应力还与材料的塑性变形和破坏有着密切的关系。
在材料受到外力作用时，如果切应力超过了材料的极限强度，就会导致材料的塑性变形和最终的破坏。
因此，对于切应力的研究对于材料的强度和稳定性具有重要的意义。
在工程实践中，我们需要根据不同材料的特性和外力的作用情况，合理地计算和分析切应力，以保证材料的安全可靠性。
同时，我们还需要通过实验和模拟等手段，深入研究切应力对材料性能的影响规律，为材料的设计和应用提供科学依据。
总之，切应力是材料力学中的重要概念，它对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的影响。
通过对切应力的研究和分析，我们可以更好地理解材料的力学性能，为工程实践提供科学依据。
因此，我们需要深入研究切应力的计算方法、影响因素和对材料性能的影响规律，以提高材料的使用效率和安全可靠性。
梁横截面上的应力
• 二、梁的正应力强度条件（课本第三节）
设σmax是发生在梁最大处的工作应力，则:
m a x 工 作
最大工作 应力
材料的 许用应力
上式即为梁弯曲时的正应力强度条件。
对于等截面直梁，若材料的拉、压强 度相等( 塑性材料)，则最大弯矩的所在面 称为危险面，危险面上距中性轴最远的点 称为危险点。此时强度条件可表达为:
m'
b
m n
h z
y
τ
τo
FQ
τ
x
m'
dx
y
m
n
一、矩形截面梁的剪应力
FQ S bI z
z
IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩；
b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以外部 分的面积 A*对中性轴的静矩。
max
τmax
FQ
FS
Q z,max
例5：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，
许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试
校核此梁的强度。
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
CL8TU12
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
25 . kN M (k Nm ) 25 .
105 . kN
20
3 2 0 1 0 M 15 max t 2 W 0 . 1 0 . 2 z 1 12 .5 6 3 0 M P a <[]
各轴横截面上的最大切应力
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
（9）确定载荷
Tmax Wt
§9.4 圆的汽车传动
轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，
材料为20号钢，使用时的最大扭矩
§9.4 圆轴扭转时的应力
§9.4 圆轴扭转时的应力
一、横截面上的应力
几
何
关 系
Me
Me
物 理
关
几何关系
系
静
从三方面考虑 物理关系
力 关
静力关系
系
观察变形 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
§9.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于： 1）圆杆
2） max p
横截面上某点的切应力的方向 与扭矩方向相同，并垂直于半径。 切应力的大小与其和圆心的距离 成正比。
16T
d13
7640N m
4580N m
3
d1
16T
π[ ]
3
16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
不同截面上的应力状态
圆轴扭转的控制方程
几何关系
物理关系
d
dx
G
G
d
dx
圆轴扭转的应力和变形
max
T Wt
静力学关系
T
GI p
d
dx
第九章 扭 转(II)
材料力学-切应力计算
1第四章 弹性杆横截面上的切应力分析§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 σ，又有切应力 τ。
但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。
1．矩形截面梁对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F Q 。
现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。
根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力F Q 的方向一致。
由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。
根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。
又因截面高度h 大于宽度b ，切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。
基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。
2）切应力沿截面宽度均匀分布。
基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。
从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图4-16b 所示。
梁的横截面尺寸如图4-16c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ。
过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图4-16d ）。
根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。
微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中 图4-16图4-152*1I 1**z z A z A S I M dA I My dA N ===⎰⎰σ （4-29） *1II 2)()(**z z Az A S I dM M dA I y dM M dA N +=+==⎰⎰σ (4-30) 式中，*A 为微块的侧面面积，)(II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力，⎰=*1*A z dA y S 。
切应力公式推导
图6－4
3、静力学方面
由图6−4可以看出，梁横截面 上各微面积上的微内力dFN=σdA
图6－4
构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量
FN
σdA ， My
A
zσdA ，
A
Mz
yσdA
A
由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩 M，所以有
由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层。中性层与梁横截 面的交线称为中性轴。
mp
nq
(a)
F
F
C
mp
D
nq (b)
图6－2
4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：
（1）平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕
垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面 与梁弯曲后的轴线保持垂直。
在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为
σ tm , aM I x z B y 1 1 .8 0 .5 13 7 1 0 0 . 0 5 3 0 7 2.5 2 2 16 P 0 2 a.5 M 2 [σ P t] a
②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分
将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有
σ K M Iz Cy 0 . 5 3 8 1 1 3 3 4 0 0 ( 0 .0) 6 3 .0 1 96 P 0 a 3 .0M 9 P
K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。
§6－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件
对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最
梁的切应力及强度条件
在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强
度解.：加强后的梁是阶梯状
变截面梁. 所以要校核
（1）F位于跨中时跨中截面
2.2m
z
上的弯曲正应力；
（2）F靠近支座时支座截面上的切应力；
h/2 y
y1bdA1
b (h2 24
y2)
FS Sz
FS
h2 (
y2)
Izb 2Iz 4
z
y1 y
O A1 B1
dy 1 m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.
y
y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
max
FS h2 8I z
FS h2 8 bh3 12
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
y
FS
S
z
Izd
d — 腹板的厚度
z
O
y
S
* z
—
距中性轴为y的横线以外部分的横截
面面积A对中性轴的静矩.
max
FS BH 2 Izb 8
(B
b)
h2 8
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二
次抛物线规律变化；
A*
y
max
τmax
（b）最大切应力也在中性轴上.这也是
τmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进
行试算
查表得
Iz
S
* z max
18.9cm,
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力圆轴扭转时横截面上任一点的切应力是一个重要的力学概念，它描述了在轴的截面上某一点处的剪切应力大小和方向。
下面我将按照列表的方式详细解释圆轴扭转中横截面上任一点的切应力。
一、圆轴扭转的概念和基本假设1. 圆轴扭转是指在沿轴线的方向施加一个扭矩，导致轴发生扭转变形。
2. 圆轴在扭转过程中假设为均匀材料，并且截面形状保持不变。
二、圆轴扭转中的切应力分布1. 圆轴扭转中，横截面上任一点的切应力由以下公式给出：τ = T * r / I其中，τ表示切应力，T表示扭矩，r表示距离轴心的径向距离，I为截面的惯性矩。
2. 切应力与径向距离的关系：a) 当径向距离r为0时，切应力最大，即τmax = T / Imax，此时切应力方向与径向垂直。
b) 当径向距离r为轴心到截面的最大半径时，切应力为0，即τ = 0，此时切应力方向与径向平行。
三、圆轴扭转中切应力分布的特点1. 切应力大小与施加的扭矩成正比，扭矩越大，则切应力也越大。
2. 切应力大小与距离轴心的径向距离成反比，距离轴心越远，切应力越小。
3. 切应力的分布呈线性分布，即切应力随着径向距离线性增大或减小。
四、圆轴扭转中切应力的应用1. 切应力是圆轴扭转时的关键参数，可用于设计和分析扭转轴的强度和刚度。
2. 切应力的大小决定了轴在扭转时是否能够承受外部载荷。
3. 切应力的方向决定了轴的截面上是否存在剪切面。
在圆轴扭转中，横截面上任一点的切应力是一个重要的力学概念。
了解圆轴扭转中切应力的分布特点可以帮助工程师设计和分析扭转轴的性能和稳定性。
通过合理的选择材料和几何形状，可以使扭转轴具有更好的强度和刚度，以满足实际工程应用的需求。
材料力学 杆件横截面上的应力1
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
应力集中
应力集中 应力集中系数
s max K sm
孔边部分的σmax，与未开孔横截面上的平均 应力σm
截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
所谓应力集中系数，就是应力集中处的最大应力σmax与杆横截 面上的平均应力σ之比。 应力集中系数的物理意义：反映杆在静载荷作用下应力集中的 程度。 应力集中系数k只是一个应力比值，与材料无关，而与切槽深度、 孔径大小有关，变截面的过渡圆弧坦、陡有关。
x 是横截面的位置。 若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？ 为什么？
3-2-1横截面上正应力公式的推导
3-2-1横截面上正应力公式的推导 圣维南(Saint-Venant)原理: 将原力系用静力等 效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略 远处，该影响就非常小。
C
D 2F A
3、计算应力
FN
3F 2F
+ +
O
－
1F
最大应力位于CD段
s max
FNOB 3F s OB (拉) 2A 2A FNBC F s BC (压) 2A 2A FNCD 2 F x s CD (拉) A A 2F s CD (拉) A
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值在工程力学中，横力弯曲是指梁在受到横向力作用时所发生的弯曲变形。
这时梁的截面上会受到横向剪切力，导致横截面内部产生切应力。
而矩形截面横力弯曲梁的横截面切应力最大值是指在受到横力作用时，矩形截面梁的截面上切应力的最大值。
在分析矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值时，我们首先要了解梁的受力情况。
一般来说，当梁受到横向力作用时，梁的上部受拉，下部受压，这会引起梁的横截面产生一定的切应力。
而在矩形截面横力弯曲梁中，切应力的最大值通常出现在截面的中性轴上，也就是位于梁的截面中点处。
为了求解矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值，我们需要利用弯矩和剪力的关系来进行分析。
在横力弯曲梁中，弯矩和剪力之间的关系可以用以下公式表示：$$\tau = \frac{VQ}{It}$$在这个公式中，τ代表切应力，V代表剪力，Q代表截面的矩形抵抗矩，I代表截面的惯性矩，t代表截面的厚度。
根据这个公式可以看出，在给定梁的截面形状和受力条件下，切应力的最大值取决于剪力的大小和截面的形状。
在实际工程中，为了求解矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值，我们可以采用截面分析的方法。
我们可以根据梁的几何形状计算出截面的惯性矩和矩形抵抗矩。
根据外部载荷和支座反力的大小，可以确定梁在不同位置的剪力大小。
将这些数据代入上面的公式中，就可以求解出矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值。
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值是在横力作用下，梁截面上切应力的最大值。
通过对梁的受力情况和截面形状进行分析，我们可以求解出切应力的最大值，这对于工程设计和结构分析具有重要的意义。
在实际工程中，我们可以通过截面分析的方法来求解切应力的最大值，以保证结构的安全可靠。
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值是横力作用下梁截面切应力的最大值。
因为横向力作用引起了梁的弯曲变形，导致梁截面内部产生了切应力。
通过分析梁的受力情况和截面形状，可以求解出切应力的最大值。
横截面为三角形的直杆自由扭转时,横截面上三个角点处的切应力
横截面为三角形的直杆自由扭转时,横截面上三个角点处的切应力
横截面为三角形的直杆在自由扭转时，各角点处的切应力可以用几何外拉法计算，求得。
三角形杆的横截面，可以看作由三个成正三角形的横截面组成。
每一条横截面上，都有三个角点，每个角点都对应着扭转时形成的切应力。
因此，我们可以利用几何外拉法，求出切应力大小的知识。
首先，我们可以确定三边所对应的角点的平面外拉，也就是三个被破坏的力，以及每条边的查找出被破坏的力的大小。
利用矢量和三个力之间的合力关系，就能求出每角点对应的切应力大小。
接下来，我们求出每条横截面上三角形的每个切应力大小，最后只需要把每个角点得到的结果叠加，就可以得出最终的每个角点处的切应力大小。
以上就是使用几何外拉法求三角形横截面直杆自由扭转时各角点的切应力的方法介绍。
利用几何外拉法，仅凭视觉就能求出三角形横截面直杆自由扭转时各角点的切应力大小，而不需要进行实验。
这既能够减少大量的实验，给工程设计提供了更多的参考，还能够更加准确地求出各角点处的切应力大小，以及能够指导工程设计者在设计过程中，如何去解决因切应力不均，对三角形横截面直杆造成的影响。
一、横截面上的切应力
⼀、横截⾯上的切应⼒⼀、横截⾯上的切应⼒实⼼圆截⾯杆和⾮薄壁的空⼼圆截⾯杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截⾯上的切应⼒象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截⾯上切应⼒计算公式，关键就在于确定切应⼒在横截⾯上的变化规律。
即横截⾯上距圆⼼τp任意⼀点处的切应⼒p与p的关系为了解决这个问题，⾸先观察圆截⾯杆受扭时表⾯的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表⾯上的切应变γp，即γp与p的⼏何关系利⽤切应⼒与切应变之间的物理关系，再利⽤静⼒学关系求出横截⾯上任⼀点处切应⼒τp 的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表⾯上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其⼤⼩和形状均不变，⽽且在⼩变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平⾯假设：等直圆杆受扭时它的横截⾯如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截⾯上任⼀根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆⼼旋转了⼀个⾓度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的⼀个微段，从⼏何、物理、静⼒学三个⽅⾯来具体分析圆杆受扭时的横截⾯上的应⼒图8-581.⼏何⽅⾯⼩变形条件下dφ为dx长度内半径的转⾓，γ为单元体的⾓应变图8-59或因为dφ和dx是⼀定的，故越靠近截⾯中⼼即半径R越⼩，⾓应变γ也越⼩且γ与R成正⽐例(或线性关系)由平⾯假设：对同⼀截⾯上各点θ表⽰扭转⾓沿轴长的变化率，称为单位扭转⾓，在同⼀截⾯上其为常数所以截⾯上任⼀点的切应⼒与该点到轴⼼的距离p成正⽐p为圆截⾯上任⼀点到轴⼼距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应⼒的变化规律2.物理⽅⾯(材料在线性弹性范围内⼯作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内⼯作时，横截⾯上的切应⼒在同⼀半径p 的圆周上各点处⼤⼩相同，但它们随p做线性变化同⼀横截⾯上的最⼤切应⼒在横截⾯的边缘处。
这些切应⼒的⽅向均垂直于各⾃所对应的半径，指向与扭矩对应3.静⼒学⽅⾯前⾯已找出了受扭等直圆杆横截⾯上的切应⼒τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。
横截面和斜截面上的应力
k
n
k' k
F
k'
FN p
FN F p A A
所以截面上的正应力和
切应力为：
＝ cos2 ＝ sin 2 2
F k
k'
p
讨论： ①当 =0 时，有σmax=σ=σ ，τ =0 。
②当 =45时，有τmax =τ =σ/2 。
③当 =90 时，有σ =0，τ =0 。
第四节 拉压杆的变形及虎克定律
一、纵向线应变和横向线应变 l1 a1
F
l
F
a
F
l1
1. 纵向变形为 l=l1- l
F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a 1 a 横向线应变： a a
FN l l EA
EA称为杆的抗拉（压）刚度 。
例 图示阶梯杆，已知横截面面积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。 解 ①作轴力图。 ②分段计算变形量。 △lAB = 0.02mm △lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD =0.0067mm
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0； 3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即
' =-
二、虎克定律
实验表明，当拉、压杆的正应力 不超过某 一限度时，其应力与应变 成正比。即 ＝E 上式称胡克定律。其中，比例常数 E 称为材料 的弹性模量。 虎克定律的另一种表达形式
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一、横截面上的切应力
实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布
导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。
即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系
为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式
实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变
图8-56
扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ
图8-57
现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力
图8-58
1.几何方面
小变形条件下
dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变
图8-59
或
因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)
由平面假设：对同一截面上各点
θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数
所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比
p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径
图8-60
上式为切应力的变化规律
2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律
由于G和为常数，所以
上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化
同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。
这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应
3.静力学方面
前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。
所以一般情况下还不能计算τp的大小
现利用静力学关系求T
图8-61
τp dA为作用在横截面上微面积dA范围内的切应力所构成的切向力，距圆心距离为p
将
代入
为横截面的极惯性矩，是截面的几何性质，它与截面的几何形状、尺寸有关单位：mm4或m4
将
代入
得
这样就把扭转角与横截面上的扭矩联系起来了，从而可以求出等直圆杆受扭时横线面上任一点的切应力
切应力计算公式
将
代入
得
为了计算简便常用来表示
可表示为
为抗扭截面系数，也是横截面的几何性质，单位为mm3或m3
二、极惯性矩和抗扭截面系数
1.极惯性矩I p
计算实心圆截面和空心圆截面杆的I p时，注意到横截面内同一圆周上各点到圆心距离p相同，故可取厚度dp为薄圆环作为微面积。
这样公式中的dA就是薄圆环
a.实心圆截面
图8-62
b.空心圆截面
图8-63
式中
2.截面抗扭截面系数
a.实心圆截面
图8-64
b.空心圆截面
图8-65
式中
三、扭转角
单位长度上的扭转角以θ表示
图8-66
dφ为代表相距dx的两个横截面的相对扭转角，若相距l的两横截面的相对扭转角
图8-67
若T为常量，GI p也为常量时，则
扭转角φ单位为弧度，φ与Tl成正比，与GI p成反比。
即GI p越大则扭转角越小，所以又称GI p为扭转刚度
四、斜截面上的应力
对于拉压杆我们用斜截面将杆件假想切开研究斜截面上的应力。
对于受扭杆件，由于横截面上的应力非均匀分布，因此上法不能采用
必须围绕杆件中需要研究的斜截面上应力的点切出一个单元体加以分析
图8-68
从受扭杆件A点取出这单元体的左右两侧属于杆的横截面，顶面和底面属于杆的径向截面，而单元体的前后侧面为杆的切向平面
由切应力互等原理知：单元体左、右、上、下四个侧面作用着相等的切应力τ，单元体前后面没有应力
单元体为纯剪切状态。
现用平面图来表示
图8-69
现在来研究ef截面上的应力
ec和cf面上作用已知的切应力τ，而ef面上作用有未知正应力σα和切应力τα，假设为正
图8-70
设ef面的面积为dA，则ec面和cf面的面积分别为dAcosα和dAsinα
根据各个面上的力在斜截面法线n上的投影为零
则
利用三角关系
可得
同理：各面上的力向斜截面切线ζ上的投影也为零
由两式看出：通过A点的斜截面上的应力σα和τα随所取截面的方位角α而改变。
在α=0与α=90°时
有极大值
即在a、b、c、d四个侧面上作用着绝对值最大的切应力
图8-71
在α=±45°时，即在斜截面上的切应力τα=0，而正应力σα有极值。
这两个面上一个为拉应力，一个为压应力
图8-72
如下图单元体1234四个侧面就作用有绝对值最大的正应力
图8-73
铸铁柱试件扭转时沿45°螺旋面断裂，就是因为螺旋面上最大拉应力作用的结果
图8-74
由此可见，铸铁圆杆扭转破坏实质上是沿45°方向拉伸引起的断裂
图8-75
注意：在纯剪切状态下直接引起断裂的最大拉应力σmax总是等于横截面上相应的切应力τ。
所以在铸铁圆杆抗扭强度计算中以横截面上的τ作为依据
塑性材料
剪切强度低于拉伸强度
[τ]< [σ]
图8-76
脆性材料
拉伸强度低于剪切强度[σ]< [τ]
图8-77
五、例题
例8-5
已知：d=60mm，M B=3.8kN·m M C=1.27kN·m G=8×104MPa
图8-78
解：先由截面法求出AB与BC段扭矩
图8-79
图8-80
扭矩图：
图8-81 分别计算扭转角
图8-82
φC为C截面的绝对转角，因为A截面固定，所以C截面相对A截面的相对转角即为绝对转角，即φC=φCA=0.0049rad
例8-6
已知：P=7350kW，d=650mm l=6000mm，G=0.8×105MPa n=57.7r/min（匀）
求：轴内的最大切应力及轴的两个端面间相对转角
图8-83
解：求轴扭矩，必须先求外力矩，因为轴传递功与外力矩做功相等，即得外力偶矩M
用截面法求得横截面上的扭矩T为
T=M=1217kN·m =1.217×106N·m
计算此轴的抗扭截面系数为
求最大切应力
此轴的极惯性矩
求相对扭转角
例8-7
应力与应变问题
图a）、b）、c）、d）分别表示扭矩剪应力沿直径的变化规律。
试找出各图中的错误，并给出正确的应力变化规律
图8-84
图8-85
图8-86
扭转时各点处的剪应力应垂直于所在点处的半径
图8-87
扭转时剪应力的方向应顺着扭矩的转向
图8-88
空心圆截面在处的剪应力应为而不应该等于零
图8-89
某点处的应力表示此处材料所承受内力的大小。
在空心部位没有材料，故不可能承受内力，应力等于零。