一、横截面上的切应力

一、横截面上的切应力
实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布
导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。

即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系
为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式
实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变
图8-56
扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ
图8-57
现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力
图8-58
1.几何方面
小变形条件下
dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变
图8-59
或
因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)
由平面假设：对同一截面上各点
θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数
所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比
p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径
图8-60
上式为切应力的变化规律
2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律
由于G和为常数，所以
上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化
同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。

这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应
3.静力学方面
前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。

所以一般情况下还不能计算τp的大小
现利用静力学关系求T
图8-61
τp dA为作用在横截面上微面积dA范围内的切应力所构成的切向力，距圆心距离为p
将
代入
为横截面的极惯性矩，是截面的几何性质，它与截面的几何形状、尺寸有关单位：mm4或m4
将
代入
得
这样就把扭转角与横截面上的扭矩联系起来了，从而可以求出等直圆杆受扭时横线面上任一点的切应力
切应力计算公式
将
代入
得
为了计算简便常用来表示
可表示为
为抗扭截面系数，也是横截面的几何性质，单位为mm3或m3
二、极惯性矩和抗扭截面系数
1.极惯性矩I p
计算实心圆截面和空心圆截面杆的I p时，注意到横截面内同一圆周上各点到圆心距离p相同，故可取厚度dp为薄圆环作为微面积。

这样公式中的dA就是薄圆环
a.实心圆截面
图8-62
b.空心圆截面
图8-63
式中
2.截面抗扭截面系数
a.实心圆截面
图8-64
b.空心圆截面
图8-65
式中
三、扭转角
单位长度上的扭转角以θ表示
图8-66
dφ为代表相距dx的两个横截面的相对扭转角，若相距l的两横截面的相对扭转角
图8-67
若T为常量，GI p也为常量时，则
扭转角φ单位为弧度，φ与Tl成正比，与GI p成反比。

即GI p越大则扭转角越小，所以又称GI p为扭转刚度
四、斜截面上的应力
对于拉压杆我们用斜截面将杆件假想切开研究斜截面上的应力。

对于受扭杆件，由于横截面上的应力非均匀分布，因此上法不能采用
必须围绕杆件中需要研究的斜截面上应力的点切出一个单元体加以分析
图8-68
从受扭杆件A点取出这单元体的左右两侧属于杆的横截面，顶面和底面属于杆的径向截面，而单元体的前后侧面为杆的切向平面
由切应力互等原理知：单元体左、右、上、下四个侧面作用着相等的切应力τ，单元体前后面没有应力
单元体为纯剪切状态。

现用平面图来表示
图8-69
现在来研究ef截面上的应力
ec和cf面上作用已知的切应力τ，而ef面上作用有未知正应力σα和切应力τα，假设为正
图8-70
设ef面的面积为dA，则ec面和cf面的面积分别为dAcosα和dAsinα
根据各个面上的力在斜截面法线n上的投影为零
则
利用三角关系
可得
同理：各面上的力向斜截面切线ζ上的投影也为零
由两式看出：通过A点的斜截面上的应力σα和τα随所取截面的方位角α而改变。

在α=0与α=90°时
有极大值
即在a、b、c、d四个侧面上作用着绝对值最大的切应力
图8-71
在α=±45°时，即在斜截面上的切应力τα=0，而正应力σα有极值。

这两个面上一个为拉应力，一个为压应力
图8-72
如下图单元体1234四个侧面就作用有绝对值最大的正应力
图8-73
铸铁柱试件扭转时沿45°螺旋面断裂，就是因为螺旋面上最大拉应力作用的结果
图8-74
由此可见，铸铁圆杆扭转破坏实质上是沿45°方向拉伸引起的断裂
图8-75
注意：在纯剪切状态下直接引起断裂的最大拉应力σmax总是等于横截面上相应的切应力τ。

所以在铸铁圆杆抗扭强度计算中以横截面上的τ作为依据
塑性材料
剪切强度低于拉伸强度
[τ]< [σ]
图8-76
脆性材料
拉伸强度低于剪切强度[σ]< [τ]
图8-77
五、例题
例8-5
已知：d=60mm，M B=3.8kN·m M C=1.27kN·m G=8×104MPa
图8-78
解：先由截面法求出AB与BC段扭矩
图8-79
图8-80
扭矩图：
图8-81 分别计算扭转角
图8-82
φC为C截面的绝对转角，因为A截面固定，所以C截面相对A截面的相对转角即为绝对转角，即φC=φCA=0.0049rad
例8-6
已知：P=7350kW，d=650mm l=6000mm，G=0.8×105MPa n=57.7r/min（匀）
求：轴内的最大切应力及轴的两个端面间相对转角
图8-83
解：求轴扭矩，必须先求外力矩，因为轴传递功与外力矩做功相等，即得外力偶矩M
用截面法求得横截面上的扭矩T为
T=M=1217kN·m =1.217×106N·m
计算此轴的抗扭截面系数为
求最大切应力
此轴的极惯性矩
求相对扭转角
例8-7
应力与应变问题
图a）、b）、c）、d）分别表示扭矩剪应力沿直径的变化规律。

试找出各图中的错误，并给出正确的应力变化规律
图8-84
图8-85
图8-86
扭转时各点处的剪应力应垂直于所在点处的半径
图8-87
扭转时剪应力的方向应顺着扭矩的转向
图8-88
空心圆截面在处的剪应力应为而不应该等于零
图8-89
某点处的应力表示此处材料所承受内力的大小。

在空心部位没有材料，故不可能承受内力，应力等于零。