八年级上-二元一次方程组

一、理论知识

1. 二元一次方程

定义：含有两个未知数，并且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程。

2. 二元一次方程组

定义：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。

解法：

①代入消元法：代入是一元由另一元表示，然后消除降元，回代求另一未知数解。

②加减法：乘系数，两方程直接相加或相减消元，求一个未知数解，回代求另一未知数解。 关键都在于消元

3.三元一次方程

定义：含有三个未知数，并且所含未知数的此数都是1的方程叫二元一次方程。

4. 三元一次方程组

定义：含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程叫三元一次方程组。

解法：①.代入消元法 ②.加减法

5.方程组应用补充知识

二、典型题型

1．概念判断

例题1－1：下列方程组中是二元一次方程组的是（ D ）

A. 1423x y xy x y ++=⎧⎨-=⎩

B.31547x y x z =+⎧⎨-=⎩

C. 25153y x x y

⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ D.21426(x 2)x y y x y -=⎧⎨-=+⎩ 解：A 是2次；B 是3个未知数；C 次数不是1，而是-1

例题1－2：已知方程3123215m n x y +--=是一个二元一次方程，求m 和n 的值

说明：二元一次方程，则两未知数的指数均为1

例题1－3：方程组3x y n x +=⎧⎨=⎩和382x y x y m +=⎧⎨+=⎩

有相同的解，则m ，n 的值为 m=1,n=2 解：有相同的解，即x ，y 的值满足4个式子，由x=3代入 38x y +=可求出y ，则可求出m ，n

2．解方程

例题2－1：解方程组237351x y x y +=⎧⎨-=⎩①②

说明：利用代入法和加减法都可解题。

例题2－2：解方程171163111721x y x y +=⎧⎨+=⎩①②

解：系数较大，直接代入法解题不方便。所以①＋②得x+y=3；①－②＝x-y=7，然后则可解出x,y 的 值

3．方程组应用

(1)几何题

例题3-(1)-1: 图1是边长为30cm 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折迭成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是1000 3cm

解：设高为x cm ，宽为y cm ， 由题意得

22230y x x y =⎧⎨+=⎩ 解方程得510x y =⎧⎨=⎩

所以长方体的长为30－2x=20 长，宽，高都已知，则可求出体积。

关键：在于找出未知数与几何图形的已知长度之间的数量关系

也就是找等量关系。已知长度用未知数表示。

例题3-(1)-2:某药厂生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示，

长方体的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积。

解：设宽为x cm ，高为y cm ，则长为(x+4) cm ，由题意，列方程

得22144213

x y x y +=⎧⎨++=⎩，解方程得510x y =⎧⎨=⎩

例题3-(1)-3: 如图（1），在边长为a 的大正方形中剪去一个边

长为b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，

如图（2）．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图（2）

中Ⅱ部分的面积是

解：由题意，列方程

得3020

a b a b +=⎧⎨-=⎩，解方程得255a b =⎧⎨=⎩ 则所求面积为20×5＝100

例题3-(1)-4:如图，将8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块

长方形地砖的长和宽分别是

解：设长方形地砖的长和宽分别为x cm 和y cm 由题意，列方程

得3260x y x x y +=⎧⎨+=⎩

，解方程得4515x y =⎧⎨=⎩ ∴长为45cm ，宽为15cm

说明：此题与前面题不同在于未知数也参与到等式右边。

(2)数字题

例题3-(2)-1:有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把两个数字的位置对调，那么所得 的新数与原数的和为143，求这个两位数。

解：设这个两位数的十位上的数字为x，个位数字为y，则由题意，列方程

得

5

(10)(10)143

y x

x y y x

-=

⎧

⎨

+++=

⎩

，解方程得

4

9

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

所以这个两位数为49

说明：关键在与知道如何用0－9和10n来表示10位以上的数字。

A. 24

B.42

C. 51

D.15

解：设这个两位数的个位上的数字为x，十位数字为y，则由题意，列方程

得

6

(10)(10y x)(100y x)(10x y)

1 1.5

x y

x y

+=

⎧

⎪

+-++-+

⎨

=

⎪⎩

，解方程得

5

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

∴12:00时看到的两位数是15

关键：要注意到题干中匀速行驶的条件，这意味着速度是相等的。

(3)路程题(相遇及追及问题)

例题3-(3)-1:某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒钟，求火车的长度和速度。

解：设火车的长度为x米，速度为y米/秒，由题意，列方程

得

601000

401000

y x

y x

=+

⎧

⎨

=-

⎩

，解方程得

200

20

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

答：火车的长度为200米，速度为20米/秒

例题3-(3)-2:某人沿公路匀速前进，每隔4分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6分钟就有一辆公共汽车从背后超过他。假定汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离，从背后开来相邻两车的距离都是1200米。求(1)此人前进的速度和公共汽车的速度，(2)汽车每隔几分钟开出一辆？

解：(1)设此人前进速度为x米/分钟，公共汽车速度为y米/分钟，由题意，列方程

得

4(x y)1200

6(y x)1200

+=

⎧

⎨

-=

⎩

，解方程得

50

250

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

∴此人前进速度为50米/分钟，公共汽车速度为250米/分钟

(2)1200÷250＝4.8（分钟）∴汽车每隔4.8分钟开出一辆

答：此人前进速度为50米/分钟，公共汽车速度为250米/分钟，汽车每隔4.8分钟开出一辆。

关键：面对面行驶，较快走完路程，相对速度为速度之和；同一方向行驶，相对速度为速度之差。(4)其它

例题3-(4)-1:学校组织各班开展“阳光体育”活动，某班体育委员第一次到商店购买了5个毽子和8根跳绳，花费34元，第二次又去购买了3个毽子和4根跳绳，花费18元，求每个毽子和每个跳绳各多少元？