八年级上-二元一次方程组
北师大版八年级数学上册《二元一次方程组——应用二元一次方程组—增收节支》教学PPT课件(3篇)
答:今年的总收入为2400万元，总支出为1620万元.
比较可知:间接设未知数（设去年的总收入为x万元，总支
出为y万元），计算会更简便些.
探究活动
例2:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原
料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和
0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每
855元(没有利息税),问两种储蓄他各存了多少钱?
解：设年利率为11%的存x元,年利率10%存 y元.
x + y=8000，
则
11%x+10%y=855.
解得
x =5500,
y=2500.
5.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如甲比乙
先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比
甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两
5x ＋2y= 200
x=28
解得
y=30
答:每餐需甲原料28克，乙原料30克.
学法小结:
1.图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚.
2.借助方程组解决实际问题.
思路总结
解决问题
小明想开一家时尚G点专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了
一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50%的
元.今年的总收入、总支出各是多少万元?
分析:设今年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有
根据上表,可列方程组:
1+20%
1−10%
−
x -y=780
= 200
变式训练
解:设今年的总收入为x万元，总支出为y万元，由题意，得
八年级数学二元一次方程组知识点
八年级数学二元一次方程组知识点
以下是八年级数学二元一次方程组的主要知识点：
1. 二元一次方程组的定义：由两个未知数的一次方程组成的方程组。
2. 解二元一次方程组的方法：
a. 消元法：通过变换方程组中的某一方程使得两个方程的系数相同，从而使得方程组中某个未知数的系数为零，然后解得另一个未知数，再回代求解另一个未知数。
b. 代入法：将一个方程的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程，得到包含一个未知数的一次方程，从而解出这个未知数，再代入另一个方程解出另一个未知数。
3. 方程组的解的情况：
a. 有唯一解：方程组有一个解，即两个方程表示的直线在某一点相交。
b. 无解：方程组的两个方程表示的直线平行，不相交。
c. 无穷多解：方程组的两个方程表示的直线重合，有无穷多个解。
4. 方程组解的判断：
a. 可以通过将解代入方程组中验证方程组是否成立，以确定解是否正确。
b. 可以通过画出方程组所表示的直线来观察直线的相交情况，以判断方程组是否有解及解的情况。
5. 方程组应用题：将实际问题转化为方程组，通过解方程组求解实际问题，如两个人同时出发，相遇时互相报告行进的时间等问题。
这些是八年级数学二元一次方程组的主要知识点，希望对你有帮助。
最新北师大版数学八年级上册《认识二元一次方程组》精品教学课件
(1)1元贺卡张数+2元贺卡张数=8张；(2)1元贺卡钱数+2元贺卡钱数=10元．
解：设购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张.
根据题意可列方程组
+ = ，
+ = .
实际应用
根据题意列方程组：
小明购买单价分别是1元和2元的贺卡共8张，花了10元．小明
（“相同”或“不相同”）
因此x，y必须同时满足方程x-y=2，x+1=2(y-1)，联立两者，得
− = ，
+ = ( − ).
像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所
组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
典例训练
③
【例2】下列方程组中是二元一次方程组的是_____.
= + ，
第五章 二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
学习目标
1.理解二元一次方程（组）及其解的概念，能判别一组数
是否是二元一次方程（组）的解.
2.会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组.
情境引入
设老牛驮了x个包裹，
小马驮了y个包裹.
根据题意列方程，得
x-y=2
__________________，
− = ，
= ，
【例4】已知
是二元一次方程组
= −
+ =
的解，求a，b的值.
解：将x=1，y=-2代入方程组中，得
5-（-2）a=7，b-2=3，
解得a=1，b=5.
实际应用
根据题意列方程组：
小明购买单价分别是1元和2元的贺卡共8张，花了10元．小明
购买了两种贺卡各多少张？
八年级上认识二元一次方程组
北师大版数学八年级上册5.1 认识二元一次方程组教学设计讲授新课累死我了！你还累？这么大的个，才比我多驮了2个.哼,我从你背上拿来1个,我的包裹数就是你的2倍!真的?它们各驮了多少包裹呢?题目中等量关系有几个?你是如何得到的?依据老牛的包裹数比小马多2个得到:老牛驮的包裹数-小马驮的包裹数=2个.依据老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛驮的包裹数是小马驮的2倍得到:老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数-1)×2.你能设出适当的未知数列出相应的方程吗?老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程：x-y=2若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：x+1=2(y-1).设他们中有x个成人、y个儿童，由此你能得到什么？我们设他们中有x个成年人，有y个儿童，在题目每个学习小组讨论，引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程。
引导学生分析其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？通过现实情景再现，让学以动漫的形式引出方程问题,调动学生的积极性,让学生再次经历建模的同时,以相对轻松的状态进入后面的学习.通过自主探究来认识体会二元一次方程建模思想的过程,也是学生完成从一元到多元的认识转化过程.通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程x+y=8 , 5x+3y=34.想一想：上面两个问题中，我们分别得到方程x－y＝2，x ＋1＝2(y－1) 和x+y=8,5x+3y=34.．这些方程各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．(1)二元一次方程的条件：①整式方程；②只含两个未知数；③两个未知数系数都不为0；④含有未知数的项的次数都是1.(2)二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b ≠0)．判断下列方程是不是二元一次方程？(1)x+y=11(2)m+1=2(3)x2+y=5(4)3x－π=11(5) －5x=4y+2(6)7+a=2b+11c(7)4xy+5=0【总结归纳】判断一个方程是否为二元一次方程的方法：一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0且含未知数的项的次数都是1.议一议：生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.生：1、只含有两个未知数2、未知数的最高次数是1次学生独立思考后小组讨论交流,小组代表发言.教师适时点拨,逐步总结出二元一次方程的定义学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.。
八年级上册第五章二元一次方程组知识点整理
八年级上册---第五章---二元一次方程组-知识点整理（数学教研组）八年级上册 第五章 二元一次方程组 知识点整理一、本章知识点梳理：知识点1：二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3：二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组） 知识点5：实际问题与二元一次方程组 二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.(2)含有未知数的项的次数都是1.(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。
即若ax m +by n=c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by |a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22=-y x，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（ ）A ．3x-y 2=0B ．2x +1y =1C ．3x -52y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组 注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A 、228423119 (23754624)x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、 已知下列方程组：（1）32x y y =⎧⎨=-⎩，（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（4）3x y x y +=⎧⎨-=⎩， 其中属于二元一次方程组的个数为（ ）A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 2、 若753313=+--m n m y x 是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。
八年级上册第五章二元一次方程组知识点整理
（数学教研组）八年级上册 第五章 二元一次方程组 知识点整理一、本章知识点梳理：知识点1：二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3：二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组） 知识点5：实际问题与二元一次方程组二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1.(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。
即若ax m+by n=c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1例1：已知（a －2）x －by|a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22=-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2=0 B ．2x +1y =1 C ．3x -52y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A 、228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、 已知下列方程组：（1）32x y y =⎧⎨=-⎩，（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩，其中属于二元一次方程组的个数为（ ）A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 2、 若753313=+--m n m y x是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。
北师版八年级数学上册第五章 二元一次方程组2 求解二元一次方程组
2x－3y＝1，
(2)ቐy＋1 4
＝
x＋2 3
.
解题秘方：紧扣用代入消元法解二元一次方程组
的步骤解方程组.
知1－练
(1)൝2xx＋＋53y＝y＝1－；1②9，① 解：由②，得x＝1－5y. ③ 把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19. 解这个方程，得y＝3. 把y＝3 代入③，得x＝－14.
所以这个方程组的解是ቊxy＝＝3－. 14，
个方程
消去一个未知数， 将二元一次方程 组转化为一元一
次方程
变形后的方程只
能代入另一个方 程(或另一个方 程变形后的方程)
续表
知1－讲
步骤
具体做法
目的
注意事项
(3) 求解
解消元后的一元一 次方程
求出一个未知数 的值
去括号时不能漏乘， 移项时所移的项要
变号
(4) 回代
把求得的未知数的 值代入步骤(1)中变
转化 一元一次方程
数的值
求出另一个 未知数的值
表示为 ቊxy＝＝……， 的形式
知2－讲
注意事项
回代时选择系 数较简单的方
程
用“｛”将未 知数的值联立
起来
特别提醒
知2－讲
1. 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，
解方程组应考虑用加减消元法.
2. 如果两个未知数中，同一未知数的系数的绝对值既不相等
又不成倍数关系，我们应设法将其中一个未知数的系数的
知1－练
知识点 2 加减消元法解二元一次方程组
知2－讲
1. 加减消元法的定义 通过将两个方程相加(减)消去其 中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 简称加减法.
八年级数学二元一次方程组知识点总结
八年级数学二元一次方程组知识点总结二元一次方程是指含有两个未知数(例如x和y)，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组。
下面是整理的八年级数学二元一次方程组知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
八年级数学二元一次方程组知识点1、认识二元一次方程组①含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程②共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组③二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解2、求解二元一次方程组①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法②通过两式子加减，消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法3、应用二元一次方程组①鸡兔同笼4、应用二元一次方程组①增减收支5、应用二元一次方程组①里程碑上的数6、二元一次方程组与一次函数①一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线②一般地，从图形的角度看，确定两条直线相交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解，解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标7、用二元一次方程组确定一次函数表达式①先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。
8、三元一次方程组①在一个方程组中，各个式子都含有三个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程②像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组③三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.初中生数学学习方法分享1数学学习技巧在学习过程中，要准确地掌握抽象概念的本质含义，了解从实际模型中抽象为理论的演变过程。
八年级上册数学 5.2 求解二元一次方程组
2 求解二元一次方程组第1课时 解二元一次方程组(1)教学目标【知识与技能】1.了解二元一次方程组的“消元”思想,体会学习数学中的“化未知为已知”、“化复杂为简单”的化归思想.2.了解代入法的概念,掌握代入法的基本步骤.3.会用代入法求二元一次方程组的解.【过程与方法】通过探索代入法的过程,培养学生观察、思考、归纳的能力,积累数学探究活动的经验.【情感、态度与价值观】通过探索代入法,并进一步探究二元一次方程组一般解法的过程,感受数学活动充满创造性,激发学生的学习兴趣.教学重难点【重点】了解代入法的一般步骤,会用代入法解二元一次方程组.【难点】理解代入消元法解方程组的过程.教学过程一、创设情境,引入新课师:今天这节课,我们首先来看一下第一节中节首的问题:牛比马多驮了2个包裹,若马拿出1个包裹给牛、那么牛的包裹数量是马的包裹数量的2倍,它们各驮了多少包裹呢?生:根据题意,我们可以设牛驮了x个包裹,马驮了y个包裹,则可得方程:师:那么怎么解这个方程组呢?生:由①,得y=x-2.将y=x-2代入②中,得x+1=2(x-2-1),解这个一元一次方程得x=7,把x=7代入y=x-2中,得y=5.∴二元一次方程组的解得∴牛驮了7个包裹,马驮了5个包裹.师:很好!但是你们所求出的方程组的解正确吗?让学生将求出的未知数的值代入原方程组,验证结果是否正确.二、讲授新课1.让学生谈谈如何求二元一次方程组的解.归纳:①解二元一次方程组的基本思路是“消元”即二元→一元;②将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程组.这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.2.例题讲解.【例1】解方程组先让学生讨论:如何用代入法解方程组?教师归纳:关键是把“二元”→“一元”,用y-1代替x代入①式中的x(可以动画演示y-1代替x的过程).【答案】把②代入①,得2y-3(y-1)=1,即2y-3y+3=1,解得y=2.(求得y后,让学生讨论:如何求x,代入②还是代入①简便?)把y=2代入②,得x=2-1=1∴方程组的解是注意:把2y-3(y-1)=1中的(y-1),x=2-1=1中的2用彩色粉笔处理.问:是不是原方程组的解,应如何体验?生:把解代入方程组.师:解方程组与解方程一样,要养成口头检验的良好习惯.【例2】解方程组:【答案】由②,得x=13-4y.将③代入①,得2(13-4y)+3y=16,26-8y+3y=16,-5y=-10,y=2.x=5.将y=2代入③,得所以原方程组的解是【例3】解方程组问:方程组的两个方程中未知数的系数都不是1(或-1).如何实现用一个未知数表示另一个未知数.生:x=(或y=).教师指出:一般选择系数相对较小的未知数,用另一个未知数的代数式表示,这样代入后能使计算简便.【答案】由①得2x=8+7y,即x=,③把③代入②得3×()-8y-10=0,∴12+y-8y-10=0,∴y=-.(讨论:求x的值时,把y=-代入方程①②③中都可以,代入哪个方程比较简便)把y=-代入③,得x==,∴原方程组的解是3.合作学习:观察刚才用代入法解方程组的过程,用代入法解二元一次方程组的一般步骤怎样?归纳:用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是:(投影显示,教师用彩色粉笔在例2的解题过程中标上序号)(1)将方程组中的一个方程变形,使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示;(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值;(3)把这个未知数的值代入代数式,求得另一个未知数的值;(4)写出方程组的解.三、课堂小结教师引导学生总结:师:这节课同学们有什么收获?可以围绕以下几个问题讨论:1.解二元一次方程组的基本思想是“消元”,即消去一个未知数.2.代入法的一般步骤.3.养成口头检验的良好习惯.4.在解题过程中,经常会出现什么错误?第2课时 解二元一次方程组(2)教学目标【知识与技能】1.体会加减消元法形成的思路.2.了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.3.掌握用加减法解二元一次方程组.【过程与方法】经历二元一次方程组一般解法的探究过程,理解加减消元法在解方程组中的作用,学会通过观察,结合方程特点选择合理的思考方向进行新知识探索.【情感、态度与价值观】通过寻求解决问题的方法,体会加减消元法形成的思路,初步形成用便捷的消元法来解题,体验“化归”的思想.教学重难点【重点】了解加减消元法的一般步骤,会用加减消元法解二元一次方程组.【难点】辨别使用哪种方法解二元一次方程组更方便.教学过程一、复习导入1.师:你是如何用代入法解二元一次方程组的?学生回答,教师予以点评.2.解方程组教师巡视学生的解题过程,对把(100-2x)作为3y整体代入的同学要予以表扬.二、讲授新课1.(1)用多媒体显示天平的一边拿掉2个小立方体和3个小球,右边拿掉100克的砝码,天平仍显示平衡.(2)合作学习:如何使方程组达到消元的目的.(3)让学生说说在解本题时的体会(①方法的不同;②比较两种解法哪种更便捷).(4)归纳:通过将方程组中的两个方程相加或相减,消去其中的一个未知数,转化为一元一次方程,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(简称加减法).2.例题讲解.【例1】解方程组:【答案】②-①,得8y=-8,y=-1.将y=-1代入①,得2x+5=7,x=1.所以原方程的解是【例2】解方程组先让学生观察,然后问:本题与上面刚刚所做的两道题有什么区别?应用什么方法解?(如何有学生回答用代入法来解,可以让学生先动手用代入法来解一解,再问:是否可以用加减法求解?如何使x或y的系数变为相等或相反?)【答案】①×3,得9x-6y=33 ③②×2,得4x+6y=32 ④③+④,得13x=65,∴x=5,把x=5代入①,得3×5-2y=11,解得y=2.∴原方程组的解为归纳:①方程变形时,要乘以相同字母的最小公倍数;②方程左边乘以某一个数时,不能忘了右边的常数也要乘.变式:本题如果消去x,那么如何将方程变形?3.学生合作讨论:归纳解二元一次方程组的一般步骤.(1)将其中一个未知数的系数化成相同的(或互为相反数).(2)通过相减(或相加)消去这个未知数,得一个一元一次方程.(3)解这个一元一次方程,得到这个未知数的值.(4)将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程,求得另一个未知数的值.(5)写出方程组的解.三、课堂小结教师引导学生总结.问:这节课大家有什么收获?可以围绕以下几个问题展开讨论:1.解二元一次方程组有两种消元途径——代入法、加减法.2.加减法的一般步骤.3.用加减法解题常会出现什么错误?4.解二元一次方程组用加减法简便还是用代入法简便,应如何选择?。
八年级数学上册 二元一次方程组 人教版
所以乙旅行团的人数不少于50人，不超过100人.
（2）设甲、乙两旅行团分别有x人，y人.
则
13x11y 1 392,
9x y 1 080.
解得
x y
3 6， 84.
所以甲、乙两旅行团分别有36人，84人.
角度b 利用三元一次方程组解决实际问题
例4 某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑.
所以这位乘客乘车的路程是15 km.
重难专题探究 方法一 整体思想
专题解读： 所谓整体思想，就是在解决某些数学问题时，不要
“一叶障目”，而是有意识地放大考虑问题的“视角”， 从大处着眼，从整体入手，通过细心的观察和深入的分析， 找出整体和局部之间的联系，从而在宏观上寻求解决问题 的途径.
例6 解方程组：5xxy3x3， ① y1.②
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
2024八年级数学上册第五章二元一次方程组5应用二元一次方程组__里程碑上的数课件新版北师大版
感悟新知
知3－练
例3 [中考·宿迁] [教材P122习题T3] 学校组织学生乘汽车 去自然保护区野营，先以 60 km/h 的速度走平路，后 又以 30 km/h 的速度爬坡，共用了 6.5 h；回来时汽车 以 40 km/h 的速度下坡，又以 50 km/h 的速度走平路， 共用了 6 h，问平路和坡路各有多远？
=6.5， =6，
解得ቊxy==115200，.
答： 平路和坡路分别有 150 km 和 120 km.
感悟新知
知3－练
3-1.从 A 地 到 B 地，先下坡然后走平路，某人骑自行车 以 12 km/h的速度下坡，然后以9 km/h 的速 度通 过 平路，到 达 B 地共用 55min. 回来时以 8 km/h的 速 度通 过平路，以 4km/h 的速度上坡，回到A 地 共 用 1.5 h，从 A地到 B 地有多少千米？
知1－练
1-1. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5， 若这个两位数加上9，所得的两位数的数字顺序与原 来两位数的数字顺序恰好颠倒，求原两位数.
知1－练
解：设原两位数十位上的数字为 x，个位上的数字为 y. 则x1＋0xy＋＝y5＋，9＝10y＋x，解得xy＝＝32.， 则 2×10＋3＝23. 答：原两位数是 23.
知1－讲
特别提醒 ◆在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百
位就是百位上的数字乘100，千位就是千位上的数字 乘1 000. ◆若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序 和前面的数扩大的倍数与后面的数的位数的关系.
知1－练
例1 [母题 教材P121例题]有一个三位数，现将最左边的数 字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字 的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原 三位数.
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一、理论知识
1. 二元一次方程
定义：含有两个未知数，并且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程。
2. 二元一次方程组
定义：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。
解法：
①代入消元法：代入是一元由另一元表示，然后消除降元，回代求另一未知数解。
②加减法：乘系数，两方程直接相加或相减消元，求一个未知数解，回代求另一未知数解。
关键都在于消元
3.三元一次方程
定义：含有三个未知数，并且所含未知数的此数都是1的方程叫二元一次方程。
4. 三元一次方程组
定义：含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程叫三元一次方程组。
解法：①.代入消元法 ②.加减法
5.方程组应用补充知识
二、典型题型
1．概念判断
例题1－1：下列方程组中是二元一次方程组的是（ D ）
A. 1423x y xy x y ++=⎧⎨-=⎩
B.31547x y x z =+⎧⎨-=⎩
C. 25153y x x y
⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ D.21426(x 2)x y y x y -=⎧⎨-=+⎩ 解：A 是2次；B 是3个未知数；C 次数不是1，而是-1
例题1－2：已知方程3123215m n x y +--=是一个二元一次方程，求m 和n 的值
说明：二元一次方程，则两未知数的指数均为1
例题1－3：方程组3x y n x +=⎧⎨=⎩和382x y x y m +=⎧⎨+=⎩
有相同的解，则m ，n 的值为 m=1,n=2 解：有相同的解，即x ，y 的值满足4个式子，由x=3代入 38x y +=可求出y ，则可求出m ，n
2．解方程
例题2－1：解方程组237351x y x y +=⎧⎨-=⎩①②
说明：利用代入法和加减法都可解题。
例题2－2：解方程171163111721x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
解：系数较大，直接代入法解题不方便。
所以①＋②得x+y=3；①－②＝x-y=7，然后则可解出x,y 的 值
3．方程组应用
(1)几何题
例题3-(1)-1: 图1是边长为30cm 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折迭成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是1000 3cm
解：设高为x cm ，宽为y cm ， 由题意得
22230y x x y =⎧⎨+=⎩ 解方程得510x y =⎧⎨=⎩
所以长方体的长为30－2x=20 长，宽，高都已知，则可求出体积。
关键：在于找出未知数与几何图形的已知长度之间的数量关系
也就是找等量关系。
已知长度用未知数表示。
例题3-(1)-2:某药厂生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示，
长方体的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积。
解：设宽为x cm ，高为y cm ，则长为(x+4) cm ，由题意，列方程
得22144213
x y x y +=⎧⎨++=⎩，解方程得510x y =⎧⎨=⎩
例题3-(1)-3: 如图（1），在边长为a 的大正方形中剪去一个边
长为b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，
如图（2）．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图（2）
中Ⅱ部分的面积是
解：由题意，列方程
得3020
a b a b +=⎧⎨-=⎩，解方程得255a b =⎧⎨=⎩ 则所求面积为20×5＝100
例题3-(1)-4:如图，将8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块
长方形地砖的长和宽分别是
解：设长方形地砖的长和宽分别为x cm 和y cm 由题意，列方程
得3260x y x x y +=⎧⎨+=⎩
，解方程得4515x y =⎧⎨=⎩ ∴长为45cm ，宽为15cm
说明：此题与前面题不同在于未知数也参与到等式右边。
(2)数字题
例题3-(2)-1:有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把两个数字的位置对调，那么所得 的新数与原数的和为143，求这个两位数。
解：设这个两位数的十位上的数字为x，个位数字为y，则由题意，列方程
得
5
(10)(10)143
y x
x y y x
-=
⎧
⎨
+++=
⎩
，解方程得
4
9
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
所以这个两位数为49
说明：关键在与知道如何用0－9和10n来表示10位以上的数字。
A. 24
B.42
C. 51
D.15
解：设这个两位数的个位上的数字为x，十位数字为y，则由题意，列方程
得
6
(10)(10y x)(100y x)(10x y)
1 1.5
x y
x y
+=
⎧
⎪
+-++-+
⎨
=
⎪⎩
，解方程得
5
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴12:00时看到的两位数是15
关键：要注意到题干中匀速行驶的条件，这意味着速度是相等的。
(3)路程题(相遇及追及问题)
例题3-(3)-1:某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒钟，求火车的长度和速度。
解：设火车的长度为x米，速度为y米/秒，由题意，列方程
得
601000
401000
y x
y x
=+
⎧
⎨
=-
⎩
，解方程得
200
20
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：火车的长度为200米，速度为20米/秒
例题3-(3)-2:某人沿公路匀速前进，每隔4分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6分钟就有一辆公共汽车从背后超过他。
假定汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离，从背后开来相邻两车的距离都是1200米。
求(1)此人前进的速度和公共汽车的速度，(2)汽车每隔几分钟开出一辆？
解：(1)设此人前进速度为x米/分钟，公共汽车速度为y米/分钟，由题意，列方程
得
4(x y)1200
6(y x)1200
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，解方程得
50
250
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴此人前进速度为50米/分钟，公共汽车速度为250米/分钟
(2)1200÷250＝4.8（分钟）∴汽车每隔4.8分钟开出一辆
答：此人前进速度为50米/分钟，公共汽车速度为250米/分钟，汽车每隔4.8分钟开出一辆。
关键：面对面行驶，较快走完路程，相对速度为速度之和；同一方向行驶，相对速度为速度之差。
(4)其它
例题3-(4)-1:学校组织各班开展“阳光体育”活动，某班体育委员第一次到商店购买了5个毽子和8根跳绳，花费34元，第二次又去购买了3个毽子和4根跳绳，花费18元，求每个毽子和每个跳绳各多少元？
例题3-(4)-2:某工厂去年的总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元，已知今年计划的总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值和总支出各位多少？
解：设今年计划的总产值为x万元，总支出为y万元。
则由题意，列方程
得
950
500
115%110%
x y
x y
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪++
⎩
，解方程得
2300
1350
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：今年计划的总产值为2300万元，总支出为1350万元。
例题3-(4)-3:小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．。