相似三角形经典解答题难题含答案(个人精心整理)

一、相似三角形中的动点问题

１.如图,在Rt△ABC中，∠ＡCB=90°,AC=３,BC=4,过点B 作射线ＢＢ１∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线ＡＣ方向以每秒３个单位的速度运动．过点D作DH⊥ＡB于Ｈ,过点Ｅ作EF⊥ＡC交射线BＢ1于F,Ｇ是EＦ中点,连接DG.设点Ｄ运动的时间为ｔ秒.

（1)当t为何值时,AD=ＡB，并求出此时DE的长度；（2)当△DＥG与△ACＢ相似时,求t的值.

ﻭ

2.如图，在△ABC中,ABC＝9

０°，AB=6m，BC=８m，动点P以

2ｍ/s的速度从A点出发，沿ＡC

向点Ｃ移动.同时,动点Ｑ以1ｍ/s

的速度从C点出发,沿ＣＢ向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动．设移动的时间为t秒.ﻭ(１)①当ｔ=2.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CＰQ的面积Ｓ(平方

米）关于时间t（秒）的函数

解析式;

(2)在P,Q移动的过程中，当

△CPＱ为等腰三角形时,求

出t的值．ﻭ

3.如图１，在Rt△AＢＣ中,ＡCB＝9０°,ＡＣ＝6,BC=８，点D在边AB上运动，DE 平分

CDB交边BＣ于点E，EM⊥BＤ，

垂足为M,ＥN⊥CＤ，垂足为N.

(1)当ＡD＝ＣD时，求证：DE∥ＡC；

(２)探究:AD为何值时,△BME与△

ＣNE相似？ﻭ

４.如图所示,在△ABC中,BA

＝BＣ=２０cm，ＡC=３0cm，

点P从A点出发,沿着AB以每

秒４cm的速度向B点运动;

同时点Q从Ｃ点出发,沿CA

以每秒3cm的速度向A点运

动，当P点到达B点时,Q点随之停止运动．设运动的时间为x.ﻭ(1)当x为何值时,PQ∥BC？

(2）△ＡPQ与△CQＢ能否相似?若能，求出AP的长；若不能说明理由.

5．如图,在矩形AＢＣD中，

AB＝１2ｃm，BC=6cm,点P

沿ＡB边从A开始向点Ｂ以

2cm/s的速度移动；点Ｑ沿

DA边从点D开始向点A以1

ｃm/s的速度移动.如果P、Ｑ同时出发,用ｔ(s）表示移动的时间（0<ｔ<6）。(1）当t为何值时，△QＡP为等腰直角三角形？ﻭ（2)当t为何值时,以点Q、A、Ｐ为顶点的三角形与△ABC 相似？

二、构造相似辅

助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系ｘOy

中，点Ａ的坐标为(２，１)，

正比例函数y=ｋx 的图象

与线段ＯA 的夹角是45°,

求这个正比例函数的表达

式.ﻭ

7.在△AＢC中，AB=,AC＝4，BC=２，以AB为边在C点的异侧作△AＢD，使△ABＤ为等腰直角三角形，求线段CＤ的长.ﻭ

8．在△ABC中,ＡC=BC,∠A

ＣB＝90°，点M是AＣ上

的一点,点N是ＢＣ上的

一点，沿着直线ＭN折叠,

使得点C恰好落在边ＡＢ

上的P点．求证：MC:NＣ=ＡP：PＢ.

9．如图,在直角坐标系中，矩

形ABＣO的边OA在x轴上,

边OC在y轴上,点B的坐标

为(1，３）,将矩形沿对角线

AC翻折B点落在Ｄ点的位置,且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为(）ﻭ

A.B．

C. D.

1０.．已知，如图,直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、Ｂ两点．以AB为短边在第一象

限做一个矩形ABCD，使得矩形

的两边之比为１﹕2。

求C、D两点的坐标。ﻭ

三、构造相似辅助线

——A、X字型

11.如图:△ABC中，D是ＡB上

一点，ＡD=AＣ,BC边上的中线AＥ交CD于F。ﻭ求证:

１2.四边形ＡBCＤ中,ＡC为ＡB、AD的比例中项,且Ａ

C平分∠ＤAB。

求证:ﻭ

1３.在梯形ABCD中,AＢ

∥CD，AB＝b,CＤ＝a，E

为ＡD边上的任意一点,

ＥF∥AB,且EＦ交BC于点

F，某同学在研究这一问

题时,发现如下事实:ﻭ（１)当时,EF=;(2)当时,EF=；ﻭ(３)当时，ＥF=．当

时,参照上述研究结论,请你猜想用a、b和k表示EF 的一般结论,并给出证明．

14.已知:如图，在△ＡBC中，M是AC的中点,E、F是B Ｃ上的两点，且ＢE＝EF=FC。ﻭ求BN:ＮQ:ＱM．

15.证明：(1）重心定理:三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的

交点)ﻪ(2）角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

四、相似类定值问题

16．如图,在等边△ＡBC 中，M 、Ｎ分别是边ＡB,AC的中点,D为MN上任意一点，ＢＤ、CＤ的延长线分别交AC、

AB于点E、F.ﻭ求证:.

17.已知:如图,梯形ABCD中，AＢ/／DC,对角线AC、BD交于O，过O作EF/／ＡB分别交AD、ＢＣ于E、Ｆ。

求证：．

1８.如图,在△ABC中,已知CD为边

AＢ上的高，正方形EFGH的四个

顶点分别在△ABＣ上。ﻭ求证：

.

19．已知,在△ABＣ中作内接菱形CDＥＦ,设菱形的边长

为ａ.求证：．

五、相似之共线线段的比例问题

２0.(1）如图1，点在平行四边形AＢＣD的对角线

ＢD上，一直线过点Ｐ分别

交BA,BＣ的延长线于点Ｑ,

Ｓ，交于点．求

证：ﻭ(2)如图

2,图3,当点在平行四边形

ＡBCD的对角线或的

延长线上时,是否仍然成立?若成立,

试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图２为例进行证明或说明)；

2１.已知:如图,△AＢC中,AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CＦ∥AＢ，延长BP交AC于Ｅ,交CF于F．求证：BP2＝ＰE·ＰF .

22．如图，已知ΔABC中,AD，BF分别为BC，AC 边上的高，过D作

AB的垂线交AＢ于

E，交BF于G,交ＡC

延长线于H。求证：

DE2=EG•EH

23.已知如图，P为平

行四边形ABＣD的对角线

ＡC上一点,过Ｐ的直线与AD、BＣ、ＣD的延长线、ＡB的延长线分别相交于点E、F、G、H．

求证：

24．已知，如图，锐角△ＡBC中,AD⊥BC于D，H为