初中数学专题复习整式的乘法错题解析
最新七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题复习题(及答案)
最新七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题复习题(及答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）计算并观察下列各式：________；________；________；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.________；（3）利用该规律计算： .2．某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________.（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.3．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形.并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形.（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：________；方法2：________；（2）观察图2，请你写出代数式：之间的等量关系________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，求的值；②已知，求的值；③已知(a-2019)2+(a-2021)2=8，则求(a-2020)2的值.4．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 .例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.5．如图，有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b)，按如图1、2所示的方式摆放，设图1中阴影部分的面积之和为S1，图2中阴影部分的面积为S2。
整式的乘法教案设计中的错题剖析与解决
整式的乘法教案设计中的错题剖析与解决整式的乘法是初中数学中的一个重点内容，在中考中属于必考范围。
教师在教学中需要特别重视整式的乘法，并合理设计教案，为学生提供更好的教学服务。
但是在教学中，教师会遇到一些错题，如何解决这些错题是教学中需要重视的问题。
本文将结合这些错题，探讨整式的乘法教案设计中的错误剖析与解决。
一、错题剖析1.错题1已知$$f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x}$$，求$(2f(x))^2$解析：$$(2f(x))^2=(2[\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x}])^2=\frac{16}{x^6}-\frac{16}{x^4}+4$$2.错题2已知$$f(x)=\frac{2}{x}+\frac{x}{2}$$，求$f(x)^2$解析：$$f(x)^2=(\frac{2}{x}+\frac{x}{2})^2=\frac{4}{x^2}+\frac{ x^2}{4}+2$$3.错题3已知$$f(x)=\frac{x+1}{x-1}$$，求$[f(x)]^2$解析：$$[f(x)]^2=(\frac{x+1}{x-1})^2=\frac{x^2+2x+1}{x^2-2x+1}$$二、解决方案1.解决方案1错题1的解法有误，应该是：$$(2f(x))^2=(2[\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x}])^2=4[\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x}]^2=4[\frac{1}{x^6}-\frac{2}{x^4}+\frac{1}{x^2}]$$因此，教师在讲解乘法时，应该比较注重运算规律的讲解，帮助学生掌握乘法的要点，避免因为运算规律不清晰造成的错误计算。
2.解决方案2错题2的解法有误，正确解法为：$$f(x)^2=(\frac{2}{x}+\frac{x}{2})^2=\frac{4}{x^2}+x^2+1$ $在教学过程中，教师应该教给学生一些常用的平方公式，帮助学生熟记公式，避免因为公式不清晰而犯错。
浙教版七年级数学下第三章《整式的乘除》易错题(解析版)
浙江七年级数学下第三章《整式的乘除》易错题一、单选题(共30分)1．(本题3分)计算a 6•a 2的结果是（ ） A ．a 12 B ．a 8 C ．a 4 D ．a 3【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则：a m •a n ="a"m+n （m,n 是正整数）求解即可求得答案. 【详解】 a 6•a 2=a 8． 故选B ．2．(本题3分)计算3(2)4(2)x y x y --+-的结果是（ ） A ．2x y - B ．2x y + C ．2x y -- D ．2x y -+【答案】A 【解析】 【详解】原式去括号合并即可得到结果． 解：原式=﹣3x+6y+4x ﹣8y=x ﹣2y, 故选A ．3．(本题3分)一个三角形的面积为（x 3y ）2,它的一条边长为（2xy ）2,那么这条边上的高为（ ） A ．12x 4 B ．14x 4C ．12x 4yD ．12x 2【答案】A 【解析】 【分析】由三角形面积的求法,根据整式的运算法则计算即可． 【详解】解：设这条边上的高为h由三角形的面积公式可知：2621(2)2h xy x y ⨯⨯=,6226222412(2)22==4h x y xy x y x y x ÷=÷∴,本题考查了整式的运算,解题的关键是运用整式的除法运算法则,本题属于基础题型． 4．(本题3分)若ax ＝6,ay ＝4,则a 2x ﹣y 的值为( ) A ．8 B ．9C ．32D ．40【答案】B 【解析】 【详解】因为a 2x-y =a 2x ÷a y =(a x )2÷a y =62÷4=9,故答案为B.5．(本题3分)如图,正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张,如果要拼一个长为()3a b +,宽为()2a b +的大长方形,则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为（ ）A ．2,5,3B ．3,7,2C ．2,3,7D ．2,5,7【答案】C 【解析】 【分析】根据长方形的面积=长×宽,求出长为a+3b,宽为2a+b 的大长方形的面积是多少,判断出需要A 类、B 类、C 类卡片各多少张即可． 【详解】解：长为a+3b,宽为2a+b 的长方形的面积为： （a+3b ）（2a+b ）=2a 2+7ab+3b 2,∵A 类卡片的面积为a 2,B 类卡片的面积为b 2,C 类卡片的面积为ab, ∵需要A 类卡片2张,B 类卡片3张,C 类卡片7张． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法,熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．(本题3分)若30m n +-=,则222426m mn n ++-的值为（ ） A ．12 B ．2C ．3D ．0【分析】先根据30m n +-=得出3m n +=,然后利用提公因式法和完全平方公式2()a ab b a b ++=+对222426m mn n ++-进行变形,然后整体代入即可求值．【详解】 ∵30m n +-=, ∵3m n +=,∵222224262()623612m mn n m n ++-=+-=⨯-=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查整体代入法求代数式的值,掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．7．(本题3分)图（1）是一个长为2m,宽为2n （m ＞n ）的长方形,用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图（2）那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是（ ）A ．2mnB ．（m+n ）2C ．（m-n ）2D ．m 2-n 2【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可得,正方形的边长为（m+n ）,故正方形的面积为（m+n ）2． 又∵原矩形的面积为4mn,∵中间空的部分的面积=（m+n ）2-4mn=（m-n ）2． 故选C ．8．(本题3分)小明总结了以下结论：∵a(b+c)＝ab+ac ；∵a(b ﹣c)＝ab ﹣ac ；∵(b ﹣c)÷a ＝b÷a ﹣c÷a(a≠0)；∵a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据乘法分配律,除法分配律和去括号解题即可. 【详解】解：∵a(b+c)＝ab+ac,正确； ∵a(b ﹣c)＝ab ﹣ac,正确； ∵(b ﹣c)÷a ＝b÷a ﹣c÷a(a≠0),正确；∵a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0),错误,无法分解计算． 故选C ． 【点睛】本题考查的是去括号,熟练掌握乘法分配律,除法分配律是解题的关键. 9．(本题3分)若25a 2+（k ﹣3）a +9是一个完全平方式,则k 的值是（ ） A ．±30 B ．31或﹣29 C ．32或﹣28 D ．33或﹣27【答案】D 【解析】 【详解】∵25a 2＋(k ﹣3)a ＋9是一个完全平方式,∵k ﹣3＝±30,解得：k ＝33或﹣27,故选D ． 10．(本题3分)已知在216()()x mx x a x b +-=++中,a 、b 为整数,能使这个因式分解过程成立的m 的值共有（ ）个 A ．4 B ．5 C ．8 D ．10【答案】B 【解析】 【分析】先根据整式的乘法可得,16m a b ab =+=-,再根据“,a b 为整数”进行分析即可得． 【详解】2()()()x a x b x a b x ab ++=+++, 2216()x mx x a b x ab ∴+-=+++, ,16m a b ab ∴=+=-,根据,a b 为整数,有以下10种情况：（1）当1,16a b ==-时,()11615m =+-=-； （2）当2,8a b ==-时,()286m =+-=-；（4）当8,2a b ==-时,()826m =+-=； （5）当16,1a b ==-时,()16115m =+-=； （6）当1,16a b =-=时,11615m =-+=； （7）当2,8a b =-=时,286m =-+=； （8）当4,4a b =-=时,440m =-+=； （9）当8,2a b =-=时,826m =-+=-； （10）当16,1a b =-=时,16115m =-+=-； 综上,符合条件的m 的值为15,6,0,6,15--,共有5个, 故选：B ． 【点睛】本题考查了整式的乘法,依据题意,正确分情况讨论是解题关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题(共21分)11．(本题3分)计算：（﹣2ab 2）3÷4a 2b 2＝_____． 【答案】﹣2ab 4 【解析】 【分析】原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算,再利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式=-8 a 3b 6÷4a 2b 2=﹣2ab 4, 故答案为﹣2ab 4． 【点睛】本题考查此题考查了整式的除法,以及幂的乘方与积的乘方,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,属于基础题型．12．(本题3分)计算：2220202019-=__________． 【答案】4039 【解析】 【分析】【详解】解：2220202019(20202019)(20202019)403914039-=+⨯-=⨯=. 故答案为：4039 【点睛】本题考查了平方差公式,熟练利用平方差简化计算是解题的关键.13．(本题3分)若关于x 、y 的代数式32323(2)mx nxy x xy xy ---+中不含三次项,则m-6n 的值为_______. 【答案】0 【解析】 【分析】先将代数式降次排序,再得出式子解出即可. 【详解】32323(2)mx nxy x xy xy ---+=()()32213m x n xy xy -+-+∵代数式关于x 、y 不含三次项 ∵m -2=0,1-3n =0 ∵m =2,n =13∵162603m n -=-⨯=故答案为：0 【点睛】本题考查代数式次数概念及代入求值,关键在于对代数式概念的掌握. 14．(本题3分)已知m ﹣n=2,mn=﹣1,则（1+2m ）（1﹣2n ）的值为__． 【答案】9 【解析】 【详解】 ∵m −n =2,mn =−1,∵(1+2m )(1−2n )=1−2n +2m −4mn =1+2(m −n )−4mn =1+4+4=9. 故答案为9.点睛: 本题考查了多项式乘多项式法则,合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相15．(本题3分)定义a b c d为二阶行列式,规定它的运算法则为a b c d=ad －bc.则二阶行列式3423x x x x ----的值为___.【答案】1 【解析】 【详解】 由题意可得：34 23x x x x ---- =(3)(3)(4)(2)x x x x ----- =2269(68)x x x x -+--+ =1. 故答案为1.16．(本题3分)已知120182019a =+,120192019b =+,120202019c =+,则代数式222a b c ab bc ac ++---的值为______．【答案】3 【解析】 【分析】把已知的式子化成2221[()()()]2a b a c b c -+-+-的形式,然后代入求解． 【详解】 解：120182019a =+,120192019b =+,120202019c =+, 1a b ∴-=-,2a c -=-,1b c -=-,则原式2221(222222)2a b c ab ac bc =++---2222221[(2)(2)(2)]2a ab b a ac c b bc c =-++-++-+ 2221[()()()]2a b a c b c =-+-+- 1[141]2=⨯++ 3=,【点睛】本题考查了代数式的求值,正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键． 17．(本题3分)如图所示,长方形ABCD 中放置两个边长都为4cm 的正方形AEFG 与正方形CHIJ ,若如图阴影部分的面积之和记为S 1,长方形ABCD 的面积记为S 2,已知：3S 2－S 1=96,则长方形ABCD 的周长为__________．【答案】24 【解析】 【分析】设KF=a,FL=b,利用a,b 表示出图中的阴影部分面积S 1与长方形面积S 2,然后根据3S 2－S 1=96可得a,b 的关系式,然后可求周长． 【详解】 设KF=a,FL=b,由图可得,EK=BH=LJ=GD=4-a,KH=EB=GL=DJ==4-b, ∵S 1=()()24432883--+=--+a b ab a b ab S 2=()()44446488+-+-=--+b a a b ab ∵3S 2－S 1=96∵()()364883288396--+---+=a b ab a b ab 整理得：4a b +=∵长方形ABCD 的周长=()()()224444216424+=+-++-=⨯-=AB BC b a 故答案为：24． 【点睛】本题考查列代数式表示图形面积以及代数式求值,利用长方形KFLI 的长和宽表示出图形面积是解题的关键． 三、解答题(共49分)18．(本题6分)计算:(1) 2(1)(1)x x x +-- (2) 32532(2)3x x x x --÷【答案】（1）3x+1；（2）6x . 【解析】 【分析】（1）先算括号里面的,再去括号,最后合并同类项即可得出答案； （2）先算括号和除法,再合并同类项即可得出答案. 【详解】解：（1）原式=()22x 2x 1x x ++--=22x 2x 1x x ++-+ =3x+1（2）原式=6664x 3x x -= 【点睛】本题考查的是代数式的化简,属于基础知识点.19．(本题8分)先化简,再求值：3（ab 2﹣2a 2b ）﹣2（ab 2﹣a 2b ）,其中a=﹣1,b=2． 【答案】-12 【解析】 【分析】根据整式的运算法则先化简,再将a=﹣1,b=2代入计算即可． 【详解】3（ab 2﹣2a 2b ）﹣2（ab 2﹣a 2b ） =3ab 2﹣6a 2b ﹣2ab 2+2a 2b=ab 2﹣4a 2b 当a=﹣1,b=2时,原式=﹣1×22﹣4×（﹣1）2×2 =﹣12． 【点睛】考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用整式的运算法则. 20．(本题8分)先化简,再求值．222222124224233xy y xy y x y y ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中32x =,13y =-．【答案】1312- 【解析】先把222222124224233xy y xy y x y y ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简,然后把32x =,13y =-代入计算即可.【详解】解：原式222222222444333xy y xy y x y y y x y =---+-=-+． 当32x =,13y =-时, 原式221313()()323⎛⎫=-⨯-+⨯- ⎪⎝⎭1334=--1312=-． 【点睛】本题考查了整式的化简求值,整式加减的运算法则：一般地,几个整式相加减,如果有括号先去括号,然后再合并同类项．21．(本题8分)阅读材料：若2222440m mn n n -+-+=,求m ,n 的值．解：∵2222440m mn n n -+-+=,∵()()2222440m mn n n n -++-+=,∵()()2220m n n -+-=,∵()20m n -=,()220n -=,∵2n =,2m =． 根据你的观察,探究下面的问题：（1）2262100a b a b ++-+=,则=a __________,b =__________． （2）已知22228160x y xy y +-++=,求xy 的值．（3）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足22248180a b a b +--+=,求ABC 的周长．【答案】（1）a=－3,b=1;(2)16（3）9 【解析】 【详解】（1）∵2262100a b a b ++-+=,∵()()2269210a a b b ++-+=+,∵()()22310a b ++-=, ∵()230a +≥,()210b -≥, ∵30a +=,3a =-,10b -=,1b =； （2）∵22228160x y xy y +-++=,∵()()22228160x xy y y y -++++=,∵()()2240x y y -++=,∵()20x y -≥,()240y +≥,∵0x y -=,x y =,40y +=,4y =-,∵4x =-,∵16xy =；（3）∵22248180a b a b +--+=,∵222428160a a b b -++-+=,∵()()222140a b -+-=,∵()210a -≥,()240b -≥,∵10a -=,1a =,40b -=,4b =,∵a b c +>,∵5c <,∵b a c -<,∵3c >,∵a 、b 、c 为正整数,∵4c =,∵ABC 周长＝1449++=．22．(本题9分)如图,某中学校园内有一块长为（3a +b ）米,宽为（2a +b ）米的长方形地块,学校计划在中间留一块边长为（a +b ）米的正方形地块修建一座雕像,然后将阴影部分进行绿化．（1）求绿化的面积．（用含a 、b 的代数式表示）（2）当a ＝2,b ＝4时,求绿化的面积．【答案】（1）（5a2+3ab）平方米；（2）绿化面积是44平方米．【解析】【分析】（1）先找到绿化面积=矩形面积-正方形面积的等量关系,然后再利用多项式乘多项式法则以及完全平方公式化简即可解答；（2）将a与b的值代入（1）计算求值即可.【详解】解：（1）依题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝（5a2+3ab）平方米．答：绿化面积是（5a2+3ab）平方米；（2）当a＝2,b＝4时,原式＝20+24＝44（平方米）．答：绿化面积是44平方米．【点睛】本题考查了多项式乘多项式以及整式的混合运算、化简求值,弄清题意列出代数式并进行化简是解答本题的关键.23．(本题10分)学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积,可以得到一个等式,进而可以利用得到的等式解决问题.图1图2(1)如图1是由边长分别为a,b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形,由图1,可得等式：(a＋2b)(a＋b)＝；(2)∵如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a＋b＋c的大正方形,用不同的方法表示这个大正方形的面积,得到的等式为；∵已知a＋b＋c＝11,ab＋bc＋ac＝38,利用∵中所得到的等式,求代数式a2＋b2＋c2的值.【答案】(1)a2＋3ab＋2b2；(2)∵ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac；∵45【解析】【详解】试题分析：(1)图1是由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和三个长为a,宽为b的长方形组成,所以面积为a2＋3ab＋2b2；(2)∵试题解析：图2是由三个边长分别为a、b、c的正方形、两个边长分别为a、b的长方形,两个边长分别为a、c的长方形,两个边长分别为b、c的长方形组成,所以等式为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac；∵将∵的等式变形为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac),代入数值即可.(1)a2＋3ab＋2b2；(2)∵ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac；∵解：由∵,得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac).因为a＋b＋c＝11,ab＋bc＋ac＝38.所以112＝a2＋b2＋c2＋2×38.所以a2＋b2＋c2＝45.故答案为(1)a2＋3ab＋2b2；(2)∵ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac；∵45.。
初中数学《整式的乘法》解题技巧
《整式的乘法》解题技巧整式的乘法包括三个方面的计算：单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式．由于对运算法则理解不透彻,在解题时易出现一些错误，现就可能出现的错误归纳如下：一、单×单漏字母【例1】 计算2x 2y ·（-4xy 3z ）．错解：2x 2y ·（-4xy 3z ）=2×（-4）（x 2·x ）（y ·y 3）=-8x 3y 4．【分析】本题错解最后的结果中漏掉了z ．错误的原因可能是对单项式的乘法法则理解不透,也可能是做题时马虎．对于单项式的乘法,应注意的一点是：只在一个单项式里的因式,应连同它的指数作为积的一个因式．所以z 不能漏掉．【正解】2x 2y ·（-4xy 3z ）=2×（-4）（x 2·x ）（y ·y 3）·z =-8x 3y 4z ．二、单×多漏乘项【例2】计算3xy （5x 2y -7xy -1）．错解： 3xy （5x 2y -7xy -1）=3xy ·5x 2y +3xy ×（-7xy ）=15x 3y 2-21x 2y 2．【分析】单项式与多项式相乘的结果是多项式,其项数与多项式的项数相同,用来检验防止漏项,本题错解在漏乘了最后一项-1．【正解】3xy （5x 2y -7xy -1）=3xy ·5x 2y +3xy ×（-7xy ）+3xy ×（-1）=15x 3y 2-21x 2y 2-3xy ．三、多×多错创法则【例3】计算（2a -3b ）（3a +7b ）．错解：（2a -3b ）（3a +7b ）=2a ·3a +（-3b ）·7b =6a 2-21b 2．【分析】两个多项式相乘，应根据多项式乘法法则进行．用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式的项数相乘．错解在将两个多项式的前项乘以前项，后项乘以后项了．【正解】（2a -3b ）（3a +7b ）＝2a ·3a +2a ·7b -3b ·3a -3b ·7b =6a 2+14ab -9ab -21b 2= 6a 2+5ab -21b 2．四、混合运输时漏“-”【例4】计算-2x （-21xy +y 3）-3x ·（x 2y -xy 2）．错解： -2x （-21xy +y 3）-3x ·（x 2y -xy 2）=x 2y -2xy 3-3x 3y -3x 2y 2． 【分析】本题是两个单项式与多项式相乘的和，本题错在计算后一个单项式与多项式相乘时，写成3x ·（-xy 2）=-3x 2y 2．【正解】-2x （-21xy +y 3）-3x ·（x 2y -xy 2）=x 2y -2xy 3-3x 3y +3x 2y 2． 五、混合运算时错减对象【例5】计算（-2x ）（x -1）-（x -2）（x +3）错解：原式=-2x 2+2x -x 2+3x -2x -6=-3x 2+3x -6【分析】减去的应是（x -2）（x -1），即应为-2x 2+2x -（x 2+3x -2x -6），而错解减去的是x 2．【正解】原式=-2x 2+2x -（x 2+3x -2x -6）=-3x 2+x +6。
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】【北师大版】【题型1 利用整式乘法求值】 (1)【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】 (2)【题型3 利用整式乘法解决错看问题】 (5)【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】 (7)【题型5 整式乘法的计算】 (8)【题型6 整式乘法的应用】 (9)【题型7 整式除法的运算与求值】 (12)【题型8 整式除法的应用】 (16)【题型9 整式乘法中的新定义问题】 (18)【题型10 整式乘法中的规律探究】 (22)【题型11 整式乘法与面积的综合探究】 (26)【知识点 整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．()xy xy x y 22312æö2×=ç÷33èø单项式×多项式：乘法分配律．()m a b c ma mb mc ++=++多项式×多项式：乘法分配律．()()m n a b ma mb na nb++=+++【题型1 利用整式乘法求值】【例1】（2023春·江苏无锡·七年级期中）若(x−1)(x +b)=x 2+ax−2，则a +b 的值为 ．【答案】3【分析】由多项式乘多项式计算得x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．【详解】解：∵（x ﹣1）（x ＋b ）＝x 2＋bx ﹣x ﹣b ＝x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ，∴x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，∴b ﹣1＝a ，﹣b ＝﹣2，解得：b ＝2，a ＝1，∴a ＋b ＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．【变式1-1】（2023·七年级单元测试）已知x2+x+1=0，则x3−x2−x+7=【答案】9.【分析】观察发现，对x3−x2−x+7的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.【详解】解：∵x2+x+1=0，∴x3−x2−x+7=x3+x2+x−2x2−2x−2+9=x(x2+x+1)−2(x2+x+1)+9=9【点睛】本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.【变式1-2】（2023春·上海松江·七年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10，则代数式(x−2)2+x(x+10)−5=．【答案】19【分析】先把代数式(x−2)2+x(x+10)−5化简得2(x2+3x)−1，再把已知整式x2+3x=10整体代入其中即可求解.【详解】原式=x2−4x+4+x2+10x−5=2x2+6x−1=2(x2+3x)−1把x2+3x=10整体代入上式：2(x2+3x)−1=2×10−1=19故答案为19.【点睛】本题主要考查整体代入的数学思想.【变式1-3】（2023·七年级单元测试）如果a、b、m均为整数，且(x+a)⋅(x+b)=x2+mx+15，则所有的m的和为.【答案】0【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出m的值.【详解】∵(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+15∴a+b=m,ab=15，∴{a=1b=15或{a=−1b=−15或{a=15b=1或{a=−15b=−1或{a=3b=5或{a=−3b=−5或{a=5b=3或{a=−5b=−3，∴m取值有16，-16，8，-8.则所有的m的和为0.故答案为0.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.【题型2利用整式乘法解决不含某项问题】【例2】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值．【答案】m=-4，n=-12.【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n．【详解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．∵不含x3和x2项，∴4+m=0，-3m+n=0，解得m=-4，n=-12.【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答．【变式2-1】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为（）A．-5B．5C．0D．3【答案】A【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含y的一次项，确定出m的值即可．【详解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，由结果不含y的一次项，得到m+5=0，解得：m=-5，故选：A．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（）．D．1A．－1B．0C．−23【答案】A【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．【详解】解：∵MN=(x2+3ax+6)(x+3)=x3+3ax2+6x+3x2+9ax+18=x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴A =MN =x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴3a +3=0∴a =-1故选A ．【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）若x 2+x 2−3x +n )的积中不含有x 与x 3项．(1)直接写出m 、n 的值，即m =___________，n = ___________；(2)求代数式(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016的值．【答案】(1)1，−13(2)9427【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x 与x 3项可以求解m 、n 的值．（2）将m 、n 的值代入代数式求值即可．【详解】（1）解：x 2+x 2−3x +n ) =x 4−3x 3+n x 2+3m x 3−9m x 2+3mnx−13x 2+x−13n=x 4+(3m−3)x 3+(n−9m−13)x 2+(3mn +1)x−13n ，∵积中不含有x 与x 3项，∴3m−3=0，3mn +1=0，解得m =1，n =−13．故答案为：1，−13．（2）解：当m =1，n =−13时，(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016=−12×−+9×1×−+32014×−=+(−3)2+3×−×−=127+9+19=9427．【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则．【题型3利用整式乘法解决错看问题】【例3】（2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：(2y+a) (3y+b)．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“−a”，得到的结果为6y2+5y−10；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2−7y+10．（1）求正确的a，b的值；（2）计算这道乘法题的正确结果．【答案】（1）a=−3b=−2；（2）6y2−13y+6【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可．【详解】（1）根据王建的解法得：(2y−a)(3y+b)=6y2+2by−3ay−ab=6y2+(2b−3a)y−ab=6y2+5y−10，∴2b−3a=5①根据李楠的解法的：(2y+a)(y+b)=2y2+2by+ay+ab=2y2+(2b+a)y+ab=2y2−7y+10，∴2b+a=−7②联立①②得方程组解得：a=−3b=−2；（2）这道题的正确解法是：(2y−3)(3y−2)=6y2−4y−9y+6=6y2−13y+6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2＝3x2﹣7xy+2y2，则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．故选：C．【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，∴6+a＝8，∴a＝2；∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，∴b﹣a＝1，∴b＝3，∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴−2a+b=−7 a+b=2，解得：a=3b=−1，∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．【题型4利用整式乘法解决遮挡问题】【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3D．﹣10xy【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．故选：A．【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）A．9x2B．﹣9x2C．9x D．﹣9x【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，故选：B．【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m ＝﹣5，∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x 2y （2xy 2﹣xy ﹣1）＝6x 3y 3 ﹣3x 3y 2 ﹣3x 2y ，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x 3y 3 ．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵3x2y （2xy2﹣xy ﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y ，∴横线上应填写﹣3x3y2，故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．【题型5 整式乘法的计算】【例5】（2023春·重庆渝中·七年级校考期中）（1）计算：x ⋅2x +x(x−2)；（2）(m +1)(m−5)−m(m−6)【答案】（1）3x 2−2x ；（2）2m-5【分析】（1）利用整式的混合运算法则求解即可．（2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可．【详解】（1）x ⋅2x+x(x−2)=2x 2+x 2−2x=3x 2−2x.（2）（m+1）（m-5）-m （m-6）=m 2-5m+m-5-m 2+6m=2m-5；【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.【变式5-1】（2023春·上海·七年级期中）−12x 2y 2⋅2−8xy +【答案】15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可．【详解】解：原式=14x 4y 2⋅(45x 2−8xy +13)=15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2．【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键．【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值：x (x +2)+(1+x )(1−x )，其中x ＝－2．【答案】2x ＋1，-3【分析】原式根据单项式乘以多项式运算法则以及平方差公式去括号，合并同类项；再代入求值即可．【详解】解：x(x+2)+(1+x)(1−x)=x2+2x+1−x2＝2x＋1，当x＝－2时，原式=2×(−2)+1=−3．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．【变式5-3】（2023春·七年级课时练习）计算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).【答案】(1) a3－1；(2) 3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.【分析】（1）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（3）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果.【详解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.【题型6整式乘法的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米,如果长方形的长和宽各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含的代数式表示）？【答案】3a+3b-9【详解】分析：根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；详解：根据题意得，原长方形的面积为：ab平方厘米，新长方形的面积为：(a−2)(b−2)平方厘米，则新长方形的面积比原长方形的面积减少了：ab−(a−3)(b−3)=ab−ab+3a+3b−9=3a+3b−9(平方厘米).点睛：本题考查了长方形的面积和整式的混合运算，长方形的面积=长×宽，整式的混合运算是先算乘方，再算乘除，后算加减.【变式6-1】（2023春·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米．（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．【答案】（1）−2x2+12x；（2）18m2．【分析】（1）根据题意“目”字形的窗框，长有4段，总长为4AD＝4x米，则AB＝24−4x米，再根据长方形2面积计算公式即可得出答案；（2）把x＝3代入（1）中关于面积的代数式中即可得出答案．=12−2x，【详解】（1）根据题意得AB=24−4x2∴S长方形ABCD=(12−2x)⋅x=−2x2+12x．（2）当x=3时，−2x2+12x=−2×9+12×3=−18+36=18m2．答：长方形ABCD面积为18m2．【点睛】本题主要考查了列代数及代数式的求值，根据题意列出合理的代数式是解决本题的关键．【变式6-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.【详解】（1）∵左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm，∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.【变式6-3】（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．【答案】(1)A区显示的结果为-2a+25；B区显示的结果为6a-16(2)−12a 2+182a−400；代数式乘积的值为−230【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后将a ＝1代入求值即可．【详解】（1）第二次按键后，A 区显示的结果为25−2a ，B 区显示的结果为6a−16 故答案为：25−2a ，6a−16（2）（-2a+25）（6a -16）=−12a 2+182a−400 当a ＝1时原式=﹣12+182﹣400=−230【点睛】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式，准确理解题意，并熟练掌握运算法则是解题的关键．【知识点2 整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．xy xy y21æö2¸=6ç÷3èø（）多项式÷单项式：除法性质．()a b c m a m b m c m++¸=¸+¸+¸多项式÷多项式：大除法．()()x x x x23+3¸+1=3【题型7 整式除法的运算与求值】【例7】（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列计算27a 2÷13a 3÷9a 2的顺序不正确的是（ ）A ．27a 2÷(13a 3÷9a 2)B ．(27a 2÷13a 3)÷9a 2C ．(27÷13÷9)a 2−3−2D ．(27a 2÷9a 2)÷13a【答案】A【分析】本题是单项式的连除运算，根据运算顺序、除法的性质及单项式除以单项式的法则即可求解．【详解】解：A 、∵27a 2÷(13a 3÷9a 2)=27a 2÷127a =729a ，27a 2÷13a 3÷9a 2=81a −1÷9a 2=9a −3，∴27a 2÷(13a 3÷9a 2)≠27a 2÷13a 3÷9a 2，故A 项错误；B 、根据运算顺序连续除以两个数即从左往右依次计算，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷13a 3)÷9a 2，故B 项正确；C 、根据单项式除以单项式的法则，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27÷13÷9)a 2−3−2，故C 项正确；D 、根据运算顺序及除法的性质，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷9a 2)÷13a ，故D 项正确．故选∶A ．【点睛】本题主要考查了连除的运算顺序及单项式除以单项式的法则．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）已知4m 2−7m +6=0，求代数式(3m 2−2m )÷m−(2m−1)2的值．【答案】3【分析】首先求出4m 2−7m =−6，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式−4m 2+7m−3，代入即可得出答案．【详解】解：∵ 4m 2−7m +6=0∴ 4m 2−7m =−6∴ (3m 2−2m )÷m−(2m−1)2=3m−2−(4m 2−4m +1)=3m−2−4m 2+4m−1=−4m 2+7m−3=−(4m 2−7m )−3=6−3=3．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出4m 2−7m =−6，正确化简代数式是解题的关键．【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x 2﹣4x ﹣1除以一个多项式A ，得商式为2x ，余式为x ﹣1，则这个多项式A ＝_____．【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．【解答】解：由题意可得：A =[(2x 2−4x −1)−(x −1)]÷2x =(2x 2−5x)÷2x =x −52故答案为：x−52【变式7-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．如图1：∴278÷12=232，∴(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3．即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．②用竖式进行运算．③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．例如：(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3余式为0，∴x3+2x−3能被x−1整除．根据阅读材料，请回答下列问题：(1)多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为______ ；(2)已知x3+2x2−ax−10能被x−2整除，则a=______ ；(3)如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为(a+8b)的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．【答案】(1)x+3(2)3(3)能，另一边长为(2a+5b)【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；（3）根据题意，得到63张卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式计算，根据2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案．【详解】（1）解：列竖式如下：x+2x+3x2+2x3x+63x+6∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为x+3，故答案为：x+3；（2）列竖式如下：x−2x2+4x+(8−a)x3−2x24x2−ax−104x2−8x(8−a)x−10(8−a)x−2(8−a)2(8−a)−10∵x3+2x2−ax−10能被x−2整除，∴2（8−a）−10=0，解得：a=3，故答案为：3；（3）解：能，理由如下：根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2，∴2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式如下：a+8b2a+5b2a2+16ab5ab+40b25ab+40b2∵余式为0，∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式为2a+5b，∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形，另一边长为（2a+5b）．【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式=除式×商式+余式．【题型8 整式除法的应用】【例8】（2023春·七年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【答案】5:8:12【分析】设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，据此求出水果黄瓜的产量是8xy ，进而得到水果黄瓜的亩产量为2x ，再根据种植面积的比值即可得到答案．【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，∴青黄瓜的产量为3xy ，白黄瓜的产量为xy ，∴水果黄瓜的产量是2(3xy +xy )=8xy ，∴水果黄瓜的亩产量为8xy4y =2x ，∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为5×12x:4x:3×2x =5:8:12，故答案为：5:8:12．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为2x 是解题的关键．【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a 的正方体体积，即可得出配件②的体积；（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a •2a •32a+2a •a •a2=172a3；生产配件②需要的原材料的体积是：a •a •a ＝a3；（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A 作被除式，娜娜报的整式B 作除式，要求商式必须为﹣3xy （即A ÷B ＝﹣3xy ）（1）若丽丽报的是x 3y ﹣6xy 2，则娜娜应报什么整式？（2）若娜娜也报x 3y ﹣6xy 2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【分析】根据A ÷B ＝﹣3xy ，可知：（1）B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3；【解答】解：（1）A ＝x 3y ﹣6xy 2，∴B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3【变式8-3】（2023·七年级单元测试）甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A 地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进行，两人恰好同时到达B 地.那么，甲走全程的平均速度是多少？【答案】457千米/小时．【分析】根据题意甲、乙从A 地到B 地，即甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程；甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．再根据路程=速度×时间，且甲、乙两人行走过程中经过的时间相同，那么可列出方程x3+y15=x 15+y5，解方程可得y用x表示表达式．再根据平均速度=总路程总时间，在求解过程中约去x，即可甲走完全程的平均速度．【详解】解：设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．则根据题意，得x3+y15=x15+y5，解得y=2x．故甲的平均速度为(x+y)÷+=457（千米/时）；答：甲走完全程的平均速度457（千米/时）．【点睛】考查了一元一次方程的应用．本题解决的关键是根据题意画出路线草图，明白甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程，甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解过程中能够约去未知数．【题型9整式乘法中的新定义问题】【例9】（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：S=S1S2S32；S′1=S−S1；S′2=S−S2；S′3=S−S3；Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，经研究发现，F s=4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1=169，S2=196，S3=225，S=295，S′1=126；S′2=99；S′3=70；Fs=28224，所以S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S=84．(1)若S 1=3，S 2=4，S 3=5，则S =_______．F s =_______．(2)当S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x 时．①求F s 的表达式；②若S 1+S 2+S 3=20，求三角形的面积．【答案】(1)6，11(2)①−x 2+10x−9；②三角形的面积S =2．【分析】（1）根据定义计算即可求解；（2）①根据F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1，利用整式乘法运算法则计算即可求解；②先求得S 的值，再根据定义分别求得S 1、S 2、S 3的值，根据S 1+S 2+S 3=20，求得x =5，代入①中即可求解.【详解】（1）解：∵S 1=3，S 2=4，S 3=5，∴S =S 1S 2S 32=3452=6，S ′1=S−S 1=6−3=3；S ′2=S−S 2=6−4=2；S ′3=S−S 3=6−5=1；∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=3×2+2×1+1×3=11；故答案为：6，11；（2）解：①∵S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x ，∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=(x−3)(x +3)+(x +3)(5−x)+(5−x)(x−3)=x 2−9+5x−x 2+15−3x +5x−15−x 2+3x =−x 2+10x−9；②∵S 1+S 2+S 3=20，∴S =S 1S 2S 32=10，∴S1′=S−S1=10−S1=x−3，故S1=10−(x−3)=13−x；S2′=S−S2=10−S2=x+3，故S2=10−(x+3)=7−x；S3′=S−S3=10−S3=5−x，故S3=10−(5−x)=5+x；∴S1+S2+S3=13−x+7−x+5+x=25−x=20，∴x=5，∴F S=−x2+10x−9=−52+10×5−9=16，∴S2=F s÷4=16÷4=4，故三角形的面积S=2．【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键.【变式9-1】（2023春·浙江衢州·七年级统考期中）定义新运算|a b c d|=ad+3b−2c，如|1537|=1×7+3×5−2×3=7+15−6=16．（1）计算|23−14|的值；（2）化简：|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|．【答案】（1）19；（2）−y2+13xy−2．【分析】（1）根据定义的新运算，把相关数值代入计算即可；（2）把相关式子代入，进行整式运算即可．【详解】（1）|23−14|=2×4+3×3−2×(−1)=19．（2）|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|=(x+y)(−3x−y)+3(7xy−x2)−2(2xy−3x2+1)=−3x2−4xy−y2+21xy−3x2−4xy+6x2−2=−y2+13xy−2．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、整式的混合运算，正确理解定义的新运算的含义，根据数（式）位置确定a、b、c、d的值是解题关键．【变式9-2】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式a x2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式a x2+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为__________；(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,−2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；【答案】(1)（3，2，-1）；(2)x4−8x2+16；(3)-6【分析】（1）根据定义得到a，b，c的值即可得到答案；（2）根据特征多项式的定义得到两个多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则计算可得答案；（3）根据定义得到特征多项式，计算乘积，根据特征多项式的乘积不含x2项得到x2项的系数等于0，由此求出a．【详解】（1）解：由定义得a=3，b=2，c=-1，∴二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为（3，2，-1），故答案为：（3，2，-1）；（2）有序实数对(1,4,4)的特征多项式为x2+4x+4，有序实数对(1,−4,4)的特征多项式为x2−4x+4，∴（x2+4x+4）（x2−4x+4）=(x+2)2(x−2)2=[(x+2)(x−2)]2=(x2−4)2=x4−8x2+16；（3）有序实数对(2,1,1)的特征多项式为2x2+x+1，有序实数对(a,−2,4)的特征多项式为a x2−2x+4，∴（2x2+x+1）（a x2−2x+4）=2a x4+(a−4)x3+(6+a)x2+2x+4，∵乘积不含x2项，∴6+a=0，解得a=-6．【点睛】此题考查了新定义，多项式乘以多项式的计算法则，以及多项式不含项的应用，正确理解新定义得到多项式是解题的关键．【变式9-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝________，i4＝________；（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；（3）计算：i＋i2＋i3＋ (i2019)【答案】(1) -i，1；(2) 18+i；(3)-1.【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．【详解】解：（1）由题意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，故答案为-i，1；（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9 i -12i2=6+i-12×（-1）=18+i；（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4•i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五项第于第一项，第六项等于第二项…∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+ i2019 =i-1- i=-1．【点睛】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键．【题型10整式乘法中的规律探究】【例10】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．例如：24×26=624（积中的6=2×(2+1)，24=4×6）52×58=3016（积中的30=5×(5+1)，16=2×8）(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；。
八年级数学整式的乘法与因式分解易错题精选附答案
整式的乘法与因式分解易错题精选第1节 整式的乘法一、同底数幂的乘法 易错点：同底数幂的乘法公式理解不准确 1、请分析以下解答是否正确，若不正确，请写出正确的解答．（1）计算：63232x x x x ==⋅⨯（2）计算：5055x x x x ==⋅+2、【变式1】下列计算结果等于a 6的是（ ） A ．a 4+a 2 B ．a 2+a 2+a 2C ．32a a ⋅D ．222a a a ⋅⋅ 参考答案1、（1）错，a 5；（2）错，a 62、D易错点：不会倒着用同底数幂的乘法公式 1、若3=m a ，7=n a ，则1073=+=+=+n m n m a a a ． 上述计算是否有误，若有错，请改正． 2、【变式1】若32+m a 不能写成（ ） A ．32a a m ⋅ B ．3+⋅m m a a C ．32a a m +D ．21++⋅m m a a3、【变式2】若a x =10，b y =10，则210++y x 等于（ ） A ．2ab B ．a+b C ．a+b+2 D ．100ab 参考答案1、错；正确的结果是212、C3、D易错点：不会转换底数为相反数的幂 1、计算：=-⋅-4)()(m n n m 2、计算：=--3))(x y y x （ 3、计算：=-⋅-32)()(p q q p4、若k 为正整数，则122)2()2(2+-+-⋅k k 等于（ ） A ．0 B ．122-k C ．122+-k D ．222-k参考答案 1、(m -n)5 2、-(x -y)4 3、(q -p)5 4、A二、幂的乘方易错点：对幂的乘方计算方法理解出错1、判断下面计算的对错，并把错误的改正过来． 3332b b b =⋅（1）1644x x x =⋅（2）725)(a a =（3）9423)(a a a =⋅（4） 623a a a =⋅（5）224)2(a a -=-（6） 2、【变式1】判断下面计算的对错，并把错误的改正过来． 1313)(++=x x a a （1）623322)()(a a a =⋅（2） 623322)()(a a a =+（3） 53210)10(=（4）632)(a a =-（5） 623])[(a a =-（6） 参考答案1、（16b ）错，；（28x ）错，；（310a ）错，；（4）10a 错，；（55a ）错，；（724a ）错，2、（133+x a ）错，；（212a ）错，；（3）对；（4）610错，；（56a -）错，；（6）对易错点：混淆乘法和乘方1、若k 为正整数，则（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案 1、A三、积的乘方易错点：对积的乘方法则理解出错1、将下列计算中错误的找出来，并改正 （1）(ab 2)3=ab 6 （2）(3cd)3=9c 3d 3 （3）(-3a 3)2=-9a 6 （4）(-x 3y)3=-x 6y 3参考答案1、（1）错，a 2b 6；（2）27c 3d 3；（3）9a 6；（4）-x 9y 3易错点：分不清负数的乘方和幂的相反数 1、计算：0.12530×(-829)= 2、计算：=-⋅815)16()41(3、【变式1】计算：=-⋅)16()41(8154、【变式2】计算：=-⋅2120)1314()1413(参考答案 1、-0.125 2、4 3、-44、1314-四、单项式乘以单项式易错点：漏乘只在一个单项式中出现的字母 1、计算：=⋅z xy y x 2223)(2、【变式1】计算：=⋅-4233)2(2n m p mn 参考答案 1、3x 5y 4z 2、-32m 13n 11p易错点：弄错运算顺序 1、计算：=-⋅-2224)3(2y x y x 2、【变式1】=-⋅-223)3()2(a a 3、【变式2】=-+⋅-)2(4)2(23ab ab b a 参考答案 1、-18x 8y 4 2、-72a 73、16a 7b 3-2ab五、单项式乘以多项式 易错点：漏掉常数项1、计算：=+-)13(222xy x xy2、【变式1】计算：=---)22(3322n m n m 参考答案1、2x 3y -6x 2y 3+2xy2、-3m 4n+6m 2n 4+6m 2n易错点：忘记负号 1、计算：=--)(32xy x xy2、【变式1】=--+)3(2222y x y x y x y x 参考答案 1、-x 3y+x 2y 42、3x 2y -3x 3y+x 2y 2六、多项式乘以多项式 易错点：弄错符号和漏乘 1、计算：=--)2)(2(y x y x 2、计算：=-+-))(32(22y x xy x 参考答案1、22252y xy x +-2、2336644xy y x xy x -++- 七、同底数幂的除法易错点：弄错运算顺序1、计算：=÷÷3310a a a2、【变式1】计算：=÷÷-2242)(xy xy y x 参考答案 1、a 4 2、x 6易错点：不会转换相反数的幂 1、计算：=-÷-45)()(x y y x2、【变式1】计算：=-÷-34)()(m n n m3、【变式2】计算：=-÷-35)()(m n n m 参考答案 1、y x - 2、m n - 3、2)(m n --第2节 乘法公式一、平方差公式易错点：对平方差公式的特征理解偏差 1、下列计算正确的是（ ） A ．(a+3b)(a -3b) = a 2-3b 2 B ．(-a+3b)(a -3b) = -a 2-9b 2 C ．(-a -3b)(a -3b) = -a 2+9b 2 D ．(-a -3b)(a+3b) = a 2-9b 2参考答案 1、C二、完全平方公式易错点：混淆积的乘方与完全平方1、已知5)1(2=+x x ，求221xx +的值．2、【变式1】已知7)(2=-y x ，1=xy ，求22y x +的值．3、【变式2】已知5)1(2=-a a ，求221aa +的值．参考答案 1、3 2、9 3、7易错点：开方漏解1、已知25)(2=+b a ，6=ab ，则______=-b a ．2、【变式1】已知25)(2=-b a ，6=ab ，求b a +的值．3、【变式2】已知722=+b a ，1=ab ，则___=+b a ． 参考答案 1、1± 2、7± 3、3±三、添括号和去括号易错点：添括号或去括号时符号出错1、在括号内添上适当的项：（1）a+b-c = a+(______________）（2）a+b-c = a-(______________）（3）a-b-c = a-(______________）（4）a+b+c = a-(______________）（5）a-b-c+d = a-(______________）（6）a-b+c+d = a-(______________）（7）(a+b-c)(a-b+c) =[a+(______________）][a-(______________）]（8）2x+3y-4z+5t = -(______________）= 2x-(______________）= 2x+3y-(___________）2、在下列去括号或添括号中错误的是（）A．a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+cB．3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)]C．-(a+1)-(-b+c)=+(-1+b-a-c)D．a-b+c-d=a-b+(d+c)参考答案1、解：（1）b-c（2）-b+c（3）b+c（4）-b-c（5）b+c-d（6）b-c-d（7）b-c；b-c（8）-2x-3y+4z-5t；-3y+4z-5t；4z-5t2、D第3节因式分解一、提取公因式易错点：第一项有负号1、因式分解：-2a2b-4ab+8a=2、【变式1】因式分解：-2a2b+12ab-8b参考答案1、-2a(ab+2b-4)2、-2b(a2-6a+4)易错点：整体法时不会处理互为相反数的项1、因式分解：2x(a-b)-y(b-a)=2、【变式1】因式分解：2x(a-b)-y(b-a)2=3、【变式2】因式分解：-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)=参考答案1、(a-b)(2x+y)2、(a-b)(2x-ay+by)3、(y-x)(a-b-c)二、平方差公式易错点：因式分解不彻底1、因式分解：a4-16=2、【变式1】因式分解：81-x4=3、【变式2】因式分解：4m2-36=4、【变式3】因式分解：16-36n2=5、【变式4】因式分解：16x4-1=参考答案1、(a2+4)(a+2)(a-2)2、(9+x2)(3+x)(3-x)3、4(m+3)(m-3)4、4(2+3n)(2-3n)5、(4x2+1)(2x+1)(2x-1)三、完全平方公式易错点：没考虑完全平方有两种情况1、若x2+mx+16是一个完全平方式，则常数m=____．2、【变式1】在括号里填________时，能使式子a2-( )+36成为完全平方式．3、【变式2】多项式x2-mx+25可以因式分解成(x+n)2，则m+n=_______．参考答案1、-8或82、a123、5或15易错点：因式分解不彻底1、因式分解：a4-2a2+1=(a2-1)2是否正确？若错误，请改正．2、【变式1】因式分解：16x4-8x2y2+y43、【变式2】因式分解：a4-8a2+16参考答案1、错误，(a+1)2(a-1)22、(2x+y)2(2x-y)23、(a+2)2(a-2)2。
【中考数学】整式乘法与因式分解易错压轴解答题训练经典题目(含答案)
【中考数学】整式乘法与因式分解易错压轴解答题训练经典题目(含答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）计算并观察下列各式：________；________；________；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.________；（3）利用该规律计算： .2．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 .例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.3．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1， a2， c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1， c1位于图的上一行，a2， c2位于下一行.像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).（1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________.（2）【理解与应用】请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：Ⅰ.2x2+5x-7=________；Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ .（3）【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ .Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.________Ⅲ.己知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的值.________4．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值?同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1∵(x+2)2≥0∴当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x=________时，代数式x2-6x+12的最小值是________；（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x=________时，y有最________值（填“大”或“小”）（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值5．观察下列一组等式，然后解答后面的问题，，，（1）观察以上规律，请写出第个等式：________ 为正整数）．（2）利用上面的规律，计算：（3）请利用上面的规律，比较与的大小．6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02， 12=42﹣22， 20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？7．如图所示,在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：________ 方法②：________请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：________（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：，求的值；②己知：，求的值.8．问题发现：小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1，可得到等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.（1）类比探究：如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来.（2）结论应用：已知a+b+c=14，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值.（3）拓展延伸：如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=8，ab=14，请求出阴影部分的面积. 9．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．（1）S甲=________，S乙=________（用含a、b的代数式分别表示）；（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；（3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．10．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．11．阅读理解.因为，①因为②所以由①得：，由②得：所以试根据上面公式的变形解答下列问题：（1）已知，则下列等式成立的是（）① ；② ；③ ；④ ；A.①B.①②C.①②③D.①②③④；（2）已知，求下列代数式的值：① ；② ；③ .12．如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、宽为a长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．尝试解决：（1）取图①中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+b），在下面虚线框中画出图形，并根据图形回答（a+b）（a+b）=________．（2）图②是由图①中的三种材料拼出的一个长方形，根据②可以得到并解释等式：________（3）若取其中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+4ab+b2．你画的图中需要B类卡片________张；（4）分解因式：3a2+4ab+b2．拓展研究：如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有________．（填写正确选项的序号）（1）ab=（2）a+b=m（3）a2+b2=（4）a2+b2=m2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）；；（2）（3）解：＝＝ .【解析】【解答】（1）（x-1）（x+1）=x2+x-x-1=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1；解析：（1）；；（2）（3）解：＝＝.【解析】【解答】（1）（x-1）（x+1）=x2+x-x-1=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x-x3--x2-x-1=x4-1；故答案为：x2-1，x3-1，x4-1.【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，可得结果。
中考数学复习指导：整式乘除运算中的常见错误
整式乘除运算中的常见错误《整式的乘除》是初中数学教学的重点和难点之一，不少学生在运算时会出现这样或那样的错误，现将整式乘除运算中常见的错误归纳分析如下．一、性质、法则混淆的错误例1 计算：（－x）3·（－x）5．错解（－x）3·（－x）5．＝．剖析本题应根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质进行计算，而错解犯了变指数相加为指数相乘的错误．例2 计算：(1)y10＋y10；(2)b10·b10．错解 (1) y10＋y10＝y20；(2)b10·b10＝2b10．剖析本题中的(1)是加法运算，应按合并同类项的法则进行，只把系数相加，字母和字母的指数不变；(2)是同底数幂的乘法，应是底数不变，指数相加．错解在把合并同类项与同底数幂相乘混淆了．正解 (1) y10＋y10＝（1＋1）y10＝2 y10．(2) b10b10＝b10＋10＝b20．例3 计算：．剖析幂的乘方性质为“幂的乘方，底数不变，指数相乘”．而错解中把指数相加了．例4 计算：．剖析本题错在把指数进行乘方运算了，正确的解法应按幂的运算性质“底数不变，指数相乘”进行计算．例5 下列运算中，正确的是( )(A)x3·x5＝x15(B)(y5)6＝y30(C)a5＋a4＝a9(D)a7÷a8＝错解选A或C或D．剖析出现上述错误的原因是对整式乘法运算及整式加减运算的运算法则把握不准，事实上，A中属于同底数幂的乘法，应是底数不变，指数相加而不是相乘；C中两个单项式不是同类项，不能再进行合并计算；D中应用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减来得到结果，避免上述错误只有准确把握整式的运算法才行．正解选B．二、公式运用的错误例6 下列计算中正确的有( )①(a＋b)2＝a2＋b2；②（x－4）2＝x2－4x＋16；③（5a－1)（－5a－1)＝25a2－1；④（－a－b)2＝a2＋2ab＋b2(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个错解B或C或D．剖析本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的灵活应用．①(a＋b)2应等于a2＋2ab＋b2，而不是a2＋b2．中间一项是两数乘积的2倍，不能漏掉．②（x－4)2应等于x2－8x＋16，而不是x2－4x＋16．中间一项是两数乘积的2倍，不是乘积的一倍．③（5a－1)（－5a－1)应等于1－25a2，而不是25a2－1．－1在两括号中符号没变，相当于公式中的第一个数，5a在两括号中符号改变了，相当于公式中的第二个数，先改写成（－1＋5a)（－1－5a)，就不容易做错了．正解A．例7 计算：(2x＋y)(2x－y)．错解(2x＋y)（2x－y)＝2x2－y2．剖析式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数．应是2x与y这两项的平方差．正解（2x＋y)（2x－y)＝(2x)2－y2＝4x2－y2．三、忽视符号的错误例8 计算：（－2a2b2)2．错解（－2a2b2)2＝－22a4b4＝－4a4b4．剖析错解中忽略了积中数字因数的符号，这类错误比较常见．（－2)2，结果应是正数．正解（－2a2b2)2＝(－2)2(a2)2(b2)2＝4a4b4．例9 计算：(－2xy)2·（－x2)3．错解(－2xy)2·（－x2)3＝4x2y2·x6＝4x8y2．剖析本题错在符号上．（－x2)3－（－x2)·（－x2)·（－x2)＝－x6，（－x2)3所表示的意义是有三个（－x2)相乘，而积的符号又有负因数的个数来决定，负因数的个数有奇数个时积为负．（－x2)3与[（－x)2]3＝x6不同，解题时应注意符号．正解(－2xy)2．（－x2)3＝4x2y2．（－x6)＝－4x8y2．例10 计算：(2x－3y)(－3x－y)．错解(2x－3y)（－3x－y)＝－6x2－2xy－9xy－3y2＝－6x2－11xy－3y2．剖析本题错在解题时符号出现错误．进行多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都包括它前面的符号，计算过程中如(－3y)乘以（－y)应该是3y2，错解中把项前面的符号弄错了，因此在计算类似题时一定要注意确定乘积中各项的符号．正解(2x－3y)（－3x－y)＝－6x2－2xy＋9xy＋3y2＝－6x2＋7xy＋3y2．四、漏乘的问题例11 计算：3a（2a2－y＋1)．错解3a（2a2－a＋1)＝3a·2a2－3ay＝6a3－3ay．剖析错在3a与1没有相乘，即漏乘了最后的常数项．正解3a(2a2－y＋1)＝6a3－3ay＋3a．例12 计算(2x－3y)(3x－4y)．错解(2x－3y)(3x－4y)＝6x2＋12y2．剖析错解的原因在于没有掌握多项式的乘法法则，实际上两项的多项式乘以两项的多项式时，应得四项，然后再合并同类项．正解(2x－3y)(3x－4y)＝6x2－8xy－9xy＋12y2＝6x2－17xy＋12y2．例13 计算：3x2y·．错解3x2y·＝－x5y2．剖析根据单项式乘以单项式的运算法则，只在一个单项式里的因式，应连同他的指数作为积的一个因式．而错解在积中漏掉了第二个单项式中的因式z．正解 3x2y·＝－xyy2x．例14 计算：(3x－2y) (4x＋7y)．剖析两个多项式相乘，应根据多项式的乘法法则进行．在合并同类项之前，积的项数等于两个相乘多项式的项数的积，利用这一点可以检查积中是否有漏乘的项，错解中漏掉两项．。
整式的乘除(5个常考点 7种重难点题型 4个易错 )七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
中 x ＝1， y ＝－2.
【解】原式＝( x2－2 xy ＋ y2－3 x2＋2 xy ＋ x2－ y2)÷2 x
＝(－ x2)÷2 x ＝－ x .
当 x ＝1时，原式＝－ .
考点5 乘法公式
例5. 下列各式中，与(1－ a )(－ a －1)相等的是( A
A. a2－1
B. a2－2 a ＋1
C. a2－2 a －1
D. a2＋1
)
【变式5-1】已知 m ＋ n ＝5， mn ＝3，则 m2－ mn ＋ n2的值为( A
A. 16
B. 22
C. 28
D. 36
)
【变式5-2】先化简，再求值：(2 x ＋ y )2－(2 x ＋ y )(2 x － y )－2 y ( x ＋ y )，其中
A. 幂的乘方，同底数幂相乘
B. 积的乘方，同底数幂相乘
C. 幂的乘方，乘法结合律
D. 乘法交换律，合并同类项
)
D
【变式1-2】 下列计算正确的是(
)
A. ( a2 b )2＝ a2 b2
B. a6÷ a2＝ a3
C. (3 xy2)2＝6 x2 y4
D. (－ m )7÷(－ m )2＝－ m5
∴( a －2)2＋( b －3)2＝0.∴ a －2＝0， b －3＝0.
∴ a ＝2， b ＝3.∴1＜ c ＜5.∵ c 为正整数，∴ c ＝2或3或4.
2. 数学课上，老师用如图①中的1张边长为 a 的正方形纸片 A ，1张边长为 b 的
正方形纸片 B 和2张宽与长分别为 a 与 b 的长方形纸片 C ，拼成了如图②所
示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
整式的乘法运算中易出错分析2
整式的乘法运算中易出错分析一、漏字母的错误例1 计算错解：=分析：本题错解最后的结果中中漏掉了z，错误的原因可能是对单项式的乘法法则理解不透，也可能是做题是马虎。
对于单项式的乘法，应注意的一点是：只在一个单项式里出现的因式，应连同它的指数作为积的一个因式。
所以z 不能漏掉。
正确解法：=二、符号错误例2 计算错解：原式==分析：单项式乘以多项式，容易出现符号错误。
本例题解答有两处把符号弄错了。
单项式与多项式相乘，就是要用去乘每一项，而在乘后两项时漏掉了“－”号。
正确解法：原式==三、漏项的错误例3 计算错解：原式==分析：两个多项式相乘，应根据多项式的乘法法则进行。
用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，在合并同类项之前，积的项数等于两个相乘多项式的项数的积，利用这一点可以检查积中是否有漏乘的项，错解中漏掉一项。
正确解法：原式==四、混淆法则例4 计算错解：=分析：错解的原因是将两数和的平方与两数的积的乘方相混淆。
本题实际上是两个相等的多项式相乘，应该按照多项式的法则计算。
正确解法：原式=五、最后结果忘记合并同类项例5 计算错解：原式=分析：本题运用单项式乘以多项式法则进行去括号运算很正确，只是去括号后没有合并同类项而造成错误。
正确解法：原式=整式乘法的常见错误山东石少玉一、符号错误例1 计算：错解：分析：此题的解答中，在与之间出现了乘号连接，结果把相乘变成了相加关系处理，这样，整个计算结果就错了.正解：二、漏乘错误例2 计算：错解：分析：多项式与多项式相乘时，一定要按照顺序进行，以免发生漏乘某些项的错误，尤其要正确确定每两项相乘时积的符号.上题的解答，相乘时无一定顺序，因而发生漏乘错误.正解：.说明：检查多项式相乘时是否有漏乘的方法是，在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式项数的积，符合上述规律的就没有漏乘.三、运算结果不是最简形式例3 计算：.错解：.分析：运算结果中有同类项时，要先合并同类项，化成最简形式.正解：.四、顺序混乱例4 计算：.错解：.分析：此题错解中，一是有一符号错误，误将写成；二是方法不当，是指这里计算顺序混乱，这样容易出错.应根据多项式的乘法法则计算.正解：.。
专题1.2 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘法-重难点题型【北师大版】【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）A．37B．13C．20D．36【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，则p+q＝13，36＝1×36，则p+q＝37，36＝2×18，则p+q＝20，36＝3×12，则p+q＝15，36＝6×6，则p+q＝12，∴p+q不可能为36，即m不可能为36．故选：D．【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故选：A．【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，当x+y＝2，xy＝﹣1时原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案为：﹣7．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙错把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）当a＝﹣4，b＝5时，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【分析】（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论．（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由题意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=―12，n＝2．（2）原式＝m2020•n2020•n，＝（m•n）2020•n，由（1）得m=―12，n＝2，原式＝（―12×2）2020×2，＝2．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得．【解答】解：由题意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘积中不含x2和x3的项，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n 的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0 n―3m=0，解得：m=―4n=―12．即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m=3 2，答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y=2 5；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．【解答】解：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)=―12x2y⋅13x3y2+12x2y⋅34x2y―12x2y⋅16（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x―12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【分析】（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；（2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面积为：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y2+4xy（平方米）．∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．【解答】解：（1）由题意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜，（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周长与甲的周长相等，∴正方形的边长为4m164=m+4，②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（ ）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故选：B．【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（ ）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【分析】先将被除式2x2﹣3补0，再列竖式计算即可．【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺项，∴补0后变为2x2+0x﹣3，长除法计算为：故选：D．【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 ．【分析】直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案．【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1，故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．故答案为：10a﹣4b+2．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A ＝ ．【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：∵多项式A除以2x2﹣3，得到的商为3x﹣4，余式为5x+2，∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．故答案为：6x3﹣8x2﹣4x+14．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝ ；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可；（2）利用得出的规律计算即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝x n﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案为：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1＝m4﹣1；（3）（m﹣1）（m n﹣1+m n﹣2+…m2+m+1）＝m n+1﹣1；故答案为：m n+1﹣1；（4）根据（3）得出的规律可得：1+3+32+33+…+3100=31011 31，=310112．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；故答案为：a2﹣ab+b2；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3；（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+y3﹣（x3﹣y3）＝2y3．【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；B．最后一项应该是4n2，不符合题意；C．符合题意；D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．故选：C．（4）A＝109﹣1＝（103）3﹣1＝（103﹣1）（106+103+12）＝999×1001001＝3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．。
整式的乘法与因式分解易错题(Word版 含答案)
整式的乘法与因式分解易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定 【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，k 6∴-=±，解得：k 6=±，故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2．【答案】A【解析】【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】 ()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.3．如图，从边长为(4a )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15．故选D．4．已知4y2+my+9是完全平方式，则m为()A．6 B．±6 C．±12 D．12【答案】C【解析】【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m的值即可．【详解】∵4y2+my+9是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12．故选：C．【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．(a＋1)(a－1)＝a2－1 B．a2－6a＋9＝(a－3)2C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1 D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、是因式分解，正确．C、右边不是积的形式，错误；D、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．x2+4x+4=（x+2）2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A选项,从左到右变形错误,不符合题意,B选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.7．下列等式由左边向右边的变形中，属于因式分解的是 ( )A．x2+5x－1=x(x+5)－1 B．x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3xC．(x+2)(x－2)=x2－4 D．x2－9=(x+3)(x－3)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【详解】解：A、右边不是积的形式，故A错误；B、右边不是积的形式，故B错误；C、是整式的乘法，故C错误；D、x2－9=(x+3)(x－3)，属于因式分解．故选D．【点睛】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．8．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．9．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2﹣10x+8y+45的值均为（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数【答案】A【解析】【详解】因为x 2+y 2－10x +8y +45=()()225440x y -+++>, 所以x 2+y 2－10x +8y +45的值为正数,故选A.10．小淇用大小不同的 9 个长方形拼成一个大的长方形 ABCD ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．(a + 1)(b + 3)B ．(a + 3)(b + 1)C ．(a + 1)(b + 4)D ．(a + 4)(b + 1)【答案】B【解析】【分析】通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.【详解】平移后，如图，易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).故选B.【点睛】本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.12．222---x xy y =__________【答案】()2x y -+【解析】根据因式分解的方法，先提公因式“﹣”，再根据完全平方公式分解因式为：()()2222222x xy y x xy y x y ---=-++=-+. 故答案为()2x y -+.点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），注意符号的变化.13．－3x 2＋2x －1＝____________＝－3x 2＋_________.【答案】 －(3x 2－2x ＋1) (2x －1)【解析】根据提公因式的要求，先提取负号，可得－(3x 2－2x ＋1)，再把2x-1看做一个整体去括号即可得（2x-1）.故答案为：－(3x 2－2x ＋1) ，(2x －1).14．计算：532862a a a -÷=（）___________．【答案】343a a -【解析】根据整式的除法—多项式除以单项式，可知：532862a a a -÷=（）8a 5÷2a 2-6a 3÷2a 2=343a a -.故答案为：343a a -.15．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______． 【答案】6根据完全平方公式，可知（x ﹣1x ）2= x 2-2+21x =4，移项整理可得x 2+21x=6. 故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.16．分解因式2242xy xy x ++=___________【答案】22(1)x y +【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2，故答案为2x （y ＋1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．【答案】xy （x ﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy （x 2-2x+1）=xy （x-1）2．故答案为：xy （x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．分解因式：32363a a a -+=_____．【答案】()231a a -【解析】【分析】先提取公因式3a ，再根据完全平方公式进行二次分解即可．【详解】 ()()232236332131a a a a a a a a -+=-+=-． 故答案为：()231a a -本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．19．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.【答案】31-．【解析】首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．20．已知8a b +=，224a b =，则222a b ab +-=_____________． 【答案】28或36．【解析】【分析】【详解】解：∵224a b =，∴ab=±2．①当a+b=8，ab=2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×2=28； ②当a+b=8，ab=﹣2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×（﹣2）=36； 故答案为28或36．【点睛】本题考查完全平方公式；分类讨论．。
初三数学错题分析与纠正
初三数学错题分析与纠正在初三数学学习过程中，我们难免会遇到一些错题。
错题的分析和纠正对于我们提高数学能力和应对考试非常重要。
本文将对初三数学中的常见错题进行分析，并提供相应的纠正方法，帮助同学们更好地掌握数学知识。
一、整式的乘法错误整式的乘法是初中数学的基础知识。
很多同学在应用这个知识点时容易出错。
例如下面这个题目：题目：(3x + 4)(2x - 5) = ?错误分析：有些同学容易出现以下错误：1. 直接将两个括号里的项相乘，而未使用分配律。
2. 乘法运算时，未正确应用正负号。
纠正方法：正确的解题方法是使用分配律：(3x + 4)(2x - 5) = 3x × 2x + 3x × (-5) + 4 × 2x + 4 × (-5)= 6x² - 15x + 8x - 20= 6x² - 7x - 20因此，正确答案是 6x² - 7x - 20。
二、平面图形的性质理解错误平面图形的性质是初中数学的另一个重要知识点。
在几何题目中，经常需要根据平面图形的性质进行计算和推理。
以下是一个典型的错题：题目：直角三角形中两直角边的比为3:4，求斜边的长。
错误分析：有些同学误将两直角边的比值直接作为斜边和直角边的比值。
纠正方法：正确解法是应用勾股定理：设直角边为3x和4x，斜边为5x，则根据勾股定理得到：(3x)² + (4x)² = (5x)²9x² + 16x² = 25x²25x² = 25x²因此，两直角边的比值不影响斜边的长，斜边的长仍然为5x。
三、函数的图像绘制错误函数的图像绘制是初中数学中的难点之一。
下面是一个典型的错题：题目：绘制函数 y = |x - 2| 的图像。
错误分析：有些同学只画出了函数的一部分，忽略了x < 2 和 x > 2时的情况。
(完整版)七年级下数学第3章整式的乘除经典易错题带答案可直接打印2013浙教版新教材
第3章整式的乘除1．计算：(1)(－2)×(－2)2×(－2)3；(2)(－x)9·x5·(－x)5·(－x)3；(3)a n＋4·a2n－1·a；(4)4m－3·45－m·4.解：(1)26(2)－x22(3)a3n＋4(4)432．如果x m－3·x n＝x2，则n等于(D) A．m－1B．m＋5C．4－m D．5－m【解析】x m－3·x n＝x m＋n－3＝x2，∴m＋n－3＝2，∴n＝5－m.选D.3．(1)已知x3·x a·x2a＋1＝x31，求a的值；(2)已知x3＝m，x5＝n，试用含m，n的代数式表示x11.解：(1)x3a＋4＝x31，3a＋4＝31，a＝9.(2)x11＝x6·x5＝x3·x3·x5＝m·m·n＝m2n.4．计算－(－3a)2的结果是(B) A．－6a2B．－9a2C．6a2D．9a25．计算：(1)－p2·(－p)4·[(－p)3]5；(2)(m－n)2·[(n－m)3]5；(3)25×84×162.解：(1)原式＝－p2·p4·(－p)15＝p21；(2)原式＝(m－n)2·(n－m)15＝－(m－n)17；(3)原式＝25×(23)4×(24)2＝25×212×28＝225.6．已知10m＝2，10n＝3，求103m＋2n的值．解：103m＋2n＝(10m)3·(10n)2＝23×32＝8×9＝72. 7．计算：(1)(－ab2)2(－a4b3)3(－3a2b)；(2)(－x n)2(－y n)3－(x2y3)n；(3)[(a＋b)3]4·[(a＋b)2]3；(4)(a4)5－(－a2·a3)4＋(－a2)10－a·(－a2)5·(－a3)3. 解：(1)原式＝a2b4(－a12b9)(－3a2b)＝3a16b14；(2)原式＝－x2n y3n－x2n y3n＝－2x2n y3n；(3)原式＝(a＋b)12·(a＋b)6＝(a＋b)18；(4)原式＝a20－a20＋a20－a20＝0.8．求值：(1)已知2×8n×16n＝222，求n的值；(2)若q m＝4，q n＝16，求q2m＋2n的值；(3)已知x3n＝2，求x6n＋x4n·x5n的值．解：(1)21×23n×24n＝222，27n＋1＝222，∴7n＝21，n＝3.(2)q2m＋2n＝(q m)2×(q n)2＝42×162＝16×256＝4096.(3)x6n＋x4n·x5n＝x6n＋x9n＝22＋23＝4＋8＝12. 9．计算：(1)4y·(－2xy2)；(2)(3x2y)3·(－4x)；(3)(－2a)3·(－3a)2；(4)(－3×106)×(4×104)(结果用科学记数法表示)．解：(1)原式＝－8xy3；(2)原式＝27x6y3·(－4x)＝－108x7y3；(3)原式＝－8a 3·9a 2＝－72a 5；(4)原式＝－12×1010＝－1.2×1011.10．计算：(1)(－4x 2)·(3x ＋1)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫23ab 2－2ab ·12ab ； (3)a (3＋a )－3(a ＋2)．解：(1)原式＝(－4x 2)·(3x )＋(－4x 2)·1＝－12x 3－4x 2；(2)原式＝23ab 2·12ab ＋(－2ab )·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2； (3)原式＝3a ＋a 2－3a －6＝a 2－6.11．[2012·杭州]化简：2[(m －1)m ＋m (m ＋1)]·[(m －1)m －m (m ＋1)]．若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解：2[(m －1)m ＋m (m ＋1)][(m －1)m －m (m ＋1)]＝2(m 2－m ＋m 2＋m )(m 2－m －m 2－m )＝2·2m 2·(－2m )＝－8m 3，即原式＝(－2m )3，表示任意一个偶数的立方．12．计算：(1)[2012·安徽](a ＋3)(a －1)＋a (a －2)；(2)(a 2＋3)(a －2)－a (a 2－2a －2)．解：(1)(a ＋3)(a －1)＋a (a －2)＝a 2＋2a －3＋a 2－2a ＝2a 2－3；(2)原式＝a 3－2a 2＋3a －6－a 3＋2a 2＋2a＝5a －6.13．已知a ＋b ＝m ，ab ＝－4，则计算(a －1)(b －1)的结果是( D ) A ．3B．mC．3－mD．－3－m【解析】(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝－4－m＋1＝－3－m.选D.14．若M＝(a＋3)(a－4)，N＝(a＋2)(2a－5)，其中a为有理数，则M，N的大小关系是(B) A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．无法确定【解析】M－N＝(a＋3)(a－4)－(a＋2)(2a－5)＝(a2－a－12)－(2a2－a－10)＝a2－a－12－2a2＋a＋10＝－a2－2＜0，∴M＜N.选B.15．[2012·吉林改编]先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中a＝1，b＝2. 解：原式＝a2－b2＋2a2＝3a2－b2.当a＝1，b＝2时，3a2－b2＝3×1－22＝－1.16．已知x2－2x＝1，求(x－1)(3x＋1)－(x＋1)2的值．解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－2x－1＝2x2－4x－2.当x2－2x＝1时，原式＝2(x2－2x)－2＝2×1－2＝0.16．解方程：(x－2)2－(x＋3)(x－3)＝4x－1.解：(x－2)2－(x＋3)(x－3)＝4x－1，去括号，得x2－4x＋4－x2＋9＝4x－1，合并同类项，得8x＝14，系数化为1，得x＝74.17．李老师刚买了一套2室2厅的新房，其结构如图3－3－5所示(单位：米)．施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室1铺上地毯，其余铺地板砖．问：(1)他至少需要多少平方米的地板砖？(2)如果这种地砖板每平方米m元，那么李老师至少要花多少钱？图3－3－5解：(1)用总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积．列式为：5b·5a－(5b－3b)·(5a－3a)－(5a－3a)·2b，化简得17ab，即他至少需要17ab平方米的地板砖．(2)所花钱数：17ab×m＝17abm(元)．18．运用平方差公式计算：(1)31×29；(2)498×502.解：(1)31×29＝(30＋1)×(30－1)＝900－1＝899；(2)498×502＝(500－2)×(500＋2)＝5002－22＝249996.19．[2012·无锡]计算：3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)．解：原式＝3x2＋6－3(x2—1) ＝3x2＋6－3x2＋3＝9.20．(1)[2012·遵义]已知x ＋ y ＝－5 ，xy ＝6，则x 2 ＋y 2＝__13__.(2)若x ＋y ＝3，xy ＝1，则x 2＋y 2＝__7__，x 2－xy ＋y 2＝__6__．(3)[2012·江西]已知(m －n )2＝8，(m ＋n )2＝2，则m 2＋n 2＝__5__．(4)已知ab ＝－1，a ＋b ＝2，则代数式b a ＋a b 的值为__－6__.(5)已知x ＋1x ＝3，则代数式x 2＋1x 2的值为__7__.(6)已知a －b ＝1，ab ＝6，则a 2＋b 2＝__13__．21．有两个正方形的边长的和为20 cm ，面积的差为40 cm 2.求这两个正方形的面积分别是多少？解：设这两个正方形的边长分别为x cm ，y cm(x >y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20， ①x 2－y 2＝40， ②由②得(x ＋y )(x －y )＝40，∴x －y ＝2. ③由①③得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝9，故这两个正方形的面积分别为121 cm 2，81 cm 2.22．[2012·泉州]先化简，再求值：(x ＋3)2＋(2＋x )(2－x )，其中x ＝－2. 解：原式＝x 2＋6x ＋9＋4－x 2 ＝ 6x ＋13.当x ＝－2时，原式＝6×(－2)＋13＝1.23．[2011·衡阳]先化简，再求值：(x ＋1)2＋x (x －2)，其中x ＝－12.解：原式＝x 2＋2x ＋1＋x 2－2x ＝2x 2＋1，当x ＝－12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝12＋1＝32.24．[2011·绍兴]先化简，再求值：a (a －2b )＋2(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2，其中a ＝－12，b ＝1.解：a (a －2b )＋2(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2＝4a 2－b 2，当a ＝－12，b ＝1时，原式＝0.25．如果a －b ＝5，ab ＝32，求a 2＋b 2和(a ＋b )2的值．解：a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ＝52＋2×32＝25＋3＝28；(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab＝52＋4×32＝25＋6＝31. 26．如果a (a －1)＋(b －a 2)＝－7，求a 2＋b 22－ab 的值．解：∵a (a －1)＋(b －a 2)＝－7，∴a 2－a ＋b －a 2＝－7，∴b －a ＝－7，∴a －b ＝7，∴a 2＋b 22－ab ＝（a －b ）22＝722＝492. 27．计算：(1)(x 2y )5÷(x 2y )2；(2)(a 10÷a 2)÷a 3；(3)a 2·a 5÷a 5.解：(1)原式＝(x 2y )3＝x 6y 3；(2)原式＝a 8÷a 3＝a 5；(3)原式＝a 7÷a 5＝a 2.28．求值：(1)已知5m ＝6，5n ＝3，求5m －n 的值；(2)若2x ＝3，4y ＝5，求2x －2y 的值；(3)若10m ＝20，10n ＝15，求9m ÷32n 的值．解：(1)5m －n ＝5m ÷5n ＝6÷3＝2；(2)2x －2y ＝2x ÷22y ＝2x ÷4y＝35；(3)∵10m ÷10n ＝10m －n ＝20÷15＝100， ∴m －n ＝2.∴9m ÷32n ＝32(m －n )＝34＝81.29．[2012·威海]计算：(2－3)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝__－56__. 30．用科学记数法表示下列各数：0．00001；0.00002；0.000000567；0.000000301.解：0.00001＝10－5；0．00002＝2×10－5；0．000000567＝5.67×10－7；0．000000301＝3.01×10－7.31．计算：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋2－1－20130； (2)[2012·义乌]|－2|＋(－1)2012－(π－4)0；(3)||－2＋(－1)2012×(π－3)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(－2)－2. 解：(1)原式＝12＋12－1＝0.(2)原式＝2＋1－1＝2.(3)原式＝2＋1×1－2＋14 ＝54.32．已知x 2－7x ＋1＝0，求x 2＋x －2的值．解：因为x 2－7x ＋1＝0，所以x ≠0，则等式两边都除以x ，得x －7＋x －1＝0，即x ＋x －1＝7，所以(x ＋x －1)2＝x 2＋2＋x －2＝49，所以x 2＋x －2＝47.33．计算：(1)(－24x 2y 3)÷(－8y 3)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2y －xy 2＋12xy ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－12xy . 解：(1)原式＝3x 2；(2)原式＝－6x ＋2y －1.34．计算：(1)16x 3y 3÷12x 2y 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12xy 3； (2)(－ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25a 2b －12a 3b 2－16a 4b 3÷(－0.5a 2b )； (3)[(x 2＋y 2)－(x －y )2＋2y (x －y )]÷4y .解：(1)原式＝32x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12xy 3 ＝－16x 2y 3.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－0.25a 3b 2＋12a 4b 3＋16a 5b 4 ÷(－0.5a 2b )＝12ab －a 2b 2－13a 3b 3.(3)原式＝(x 2＋y 2－x 2＋2xy －y 2＋2xy －2y 2)÷4y＝(4xy －2y 2)÷4y＝x －12y .35．先化简，再求值：[(x ＋3y )(x －3y )－(x ＋3y )2]÷4y ，其中x ＝6，y ＝2.解：[(x ＋3y )(x －3y )－(x ＋3y )2]÷4y＝(x 2－9y 2－x 2－6xy －9y 2)÷4y＝(－6xy －18y 2)÷4y＝－32x －92y .当x ＝6，y ＝2时，原式＝－32×6－92×2＝－9－9＝－18.36．先化简，再求值：(a 2b 2－2ab 3－b 4)÷b 2－(a ＋b )(a －b )，其中a ＝12，b ＝－1.解：原式＝a 2－2ab －b 2－(a 2－b 2)＝a 2－2ab －b 2－a 2＋b 2＝－2ab ，当a ＝12，b ＝－1时，原式＝－2×12×(－1)＝1.37．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－2－2－()π－20130＋||－1.解：原式＝2－14－1＋1＝74.38．[2012·南宁]芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约重0.00000201千克，用科学记数法表示为( A ) A ．2.01×10－6千克B ．0.201×10－5千克C ．20.1×10－7千克D ．2.01×10－7千克39．已知x ＋1x ＝4，求：(1)x 2＋1x 2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2.解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝16， 即x 2＋1x 2＋2·x ·1x ＝16， ∴x 2＋1x 2＝14. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＝x 2＋1x 2－2＝12.。
专题01 整式的乘除【易错题型专项训练】解析版
专题01 整式的乘除【易错题型专项训练】易错点一：同底数幂的乘法1.若2x ＝3，2y ＝4，2z ＝12，求x ，y ，z 之间的关系.【解析】解：∵ 3×4＝12，即2x ·2y ＝2z ，∴ 2x+y ＝2z ，∴ x＋y ＝z.故答案为：x ＋y ＝z2.已知a m ＝2，a n ＝3，求下列各式的值：(1) a m+1；(2)a 3+n ；(3)am+n+2. 【解析】解：∵a m =2,a n =3 ，∴（1）a m+1=a m ×a=2a(2)a 3+n =a 3×a n =3a 3(3)a m+n+2=a m ×a n ×a 2=2×3×a 2=6a2故答案为：（1）2a;（2）3a 3; (3)6a 2易错点二：幂的乘方与积的乘方1.计算：[(a －b)3]2－[－(b －a)2]3.【解析】[(a －b)3]2－[－(b －a)2]3=(a －b)6-[－(b －a)6]= (a －b)6+(b －a)6 =(a-b)6+(a-b)6 =2(a-b)62.若m 为正整数，且（a 2）m+1=a 12，则m 的值为______．【答案】5．【解析】解：∵（a 2）m+1=a 12，∴a 2m+2=a 12， ∴2m+2=12，∴m=5．故答案为5．3.若(a m b ⋅ab n )5＝a 10b 15，则3m(n 2+1)的值是( ).A.8B.10C.12D.15【答案】D.【解答】解：(a m b ⋅ab n )5＝(a m b)5(ab n )5=a 5m b 5a 5b 5n = a 5m a 5 b 5b 5n = a 5m+5 b 5+5n ＝a 10b 15 ∴5m+5=10,5+5n=15，∴m=1，n=2，∴3m(n 2+1)=3×5=15故选D. 4.计算：[(x-y)n ]m .(y-x)2=_______.【答案】(x-y)mn+2 【解答】解：原式=(x-y)mn .(x-y)2=(x-y)mn+2.故答案为：(x-y)mn+2易错点三：同底数幂的除法1.已知：5a =4，5b =6，5c =9，（1）求52a+c-b 的值；（2）试说明：2b=a+c ．【解析】解：（1）52a+b =52a ×5c ÷5b =（5a ）2×5c ÷5b =42×9÷6=24； （2）∵5a+c =5a ×5c =4×9=3652b =62=36，∴5a+c =52b ，∴a+c=2b ．易错点四：整式的乘法1.若(8×106)(5×102)(2×10)＝M ×10a ，则M 、a 的值可为( )A.M ＝8，a ＝8B.M ＝2，a ＝9C.M ＝8，a ＝10D.M ＝5，a ＝10【答案】C.【解析】解：(8×106)(5×102)(2×10)= (8×5×2)×(106×102×10)=80×109=8×1010=M ×10a ∴M ＝8，a ＝10故选C.2.若(－5a m+1b 2n −1)(2a n b m )＝－10a b ，则m －n 等于( )A.－3B.－1C.1D.3【答案】B.【解析】(－5a m+1b 2n −1)(2a n b m )=(-5×2)( a m+1a n )( b 2n −1b m )=-10 a m+n+1 b 2n+m −1∴-10 a m+n+1 b 2n+m −1=－10a 4b 4 ∴∴m=1，n=2∴m －n=-1.故选B.3.已知M 和N 表示单项式，且满足2x （M+3x ）=6x 2y 2+N ，则M=_____，N=______．【答案】3xy 2，6x 2．【解析】解：∵2x （M+3x ）=6x 2y 2+N ，∴2xM+6x 2=6x 2y 2+N ，则N=6x 2，M=6x 2y 2÷2x=3xy 2，故答案为：3xy 2，6x 2．4.要使−5x 3×(x 2＋ax ＋5)的结果中不含x 4项，则a 等于______. 【答案】0．【解析】解：-5x3×x2+(-5x3)×ax+(-5x3)×5=-5x5-5ax4-25x3，∵展开式中不含x4项，则-5a=0，∴a=0.故答案为：a=0.5.若多项式(x 2＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展开式不含x3项和x2项，试求m、n的值.【解析】解：原式=x4-3x3+4x2+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n，=x4+（m-3）x3+（4-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由题意得m-3=0，4-3m+n=0，解得m=3，n=5故答案为：m=3，n=56.若（3x3+M）（2x2-1）是一个五次多项式，则下列说法中正确的是（）A.M是一个三次单项式B.M是一个三次多项式C.M的次数不高于三D.M不可能是一个常数【答案】C.【解析】解：（3x3+M）（2x2-1）=6x5-3x3+2Mx2-M因为结果是一个五次多项式，所以M的次数不高于三故选C．易错点五：平方差公式1.计算：(a-2b+3c)(a-2b-3c)【解析】解：(a-2b+3c)(a-2b-3c)= [(a-2b)+3c][(a-2b)-3c]=(a-2b)2-(3c)2=a2-4ab+4b2-9c2.故答案为：a2-4ab+4b2-9c2.2.计算：(2a－b)(4a2＋b2)(2a＋b)＝________.【答案】16a4-b4.【解析】解：(2a－b)(4a2+b2)(2a+b)＝(2a－b)(2a+b)(4a2+b2)＝(4a2-b2)(4a2+b2)=16a4-b4故答案为：16a4-b4易错点六：完全平方公式1.下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】A．，故本选项错误；B．，故本选项错误；C．，故本选项正确；D．，故本选项错误．故选D．2.计算：(2a+3b−c)2【解析】解：原式=[(2a+3b)−c]2=(2a+3b)2-2c(2a+3b)+c2=4a2+12ab+9b2-4ac-6bc+c23.若多项式x2-（k-1）x+16是完全平方公式，则k=______．【答案】9或-7．【解析】解：∵多项式x2-（k-1）x+16是完全平方公式，∴（k-1）x是x和4的2倍，∴k-1=±8，解得k=9或-7，故答案为：9或-7．4.如果二次三项式x2-2（m-1）x+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A.3B.-5C.3或-5D.5或-3【答案】D.【解析】解：∵多项式x2-2（m-1）x+16是完全平方公式，∴2（m-1）是x和4的2倍，∴m-1=±4，解得m=-3或5，故选D ．5.若x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝0，求x ＋y 的值.【解析】解：将x 2+y 2-4x+2y+5=0变形得：x 2-4x+4+y 2+2y+1=0，即(x-2)2+(y+1)2=0， ∴x-2=0且y+1=0，解得：x=2，y=-1，则x+y=2+(-1)=1．6.已知a 、b 满足等式a 2+b 2-4（2b-a ）+20=0，求a+b 值．【解析】解：∵a 2+b 2-4（2b-a ）+20=0，∴a 2+b 2-8b+4a+20=0a 2+4a+4+b 2-8b+16=0，∴（a+2）2+（b-4）2=0， ∴， ∴， ∴a+b=-2+4=2．易错点七：整式除法1.计算（5m 2+15m 3n-20m 4）÷（-5m 2）结果正确的是( )A1-3mn+4m 2 B-1-3m+4m 2 C4m 2-3mn-1 D4m 2-3mn 【答案】C ．【解析】解：原式=5m 2（1+3mn-4m 2）÷（-5m 2）=4m 2-3mn-1．故选：C ．2.若一个三角形的面积为6x 2+13x+5，底边长为2x+1，则底边上的高为______.【答案】6x+10．【解析】解：底边上的高是：2（6x 2+13x+5）÷（2x+1）=2（2x+1）（3x+5）÷（2x+1）=2（3x+5）=6x+10．故答案是：6x+10．易错点八：化简求值1.先化简，再求值：22232[()()]2a a b ab b a a b a b ---÷，其中12a =-，13b =． 【解析】22232[()()]2a a b ab b a a b a b ---÷ 3222322()2a b a b a b a b a b =--+÷3222(22)2a b a b a b =-÷1ab =-，当12a =-，13b =时，原式116=-． 2.先化简，再求值：（2a+b ）2-（2a-b ）（a+b ）-2（a-2b ）（a+2b ），其中a=12，b=-2． 【解析】（2a+b ）2-（2a-b ）（a+b ）-2（a-2b ）（a+2b ）=（4a 2+4ab+b 2）–（2a 2+2ab –ab –b 2）–2（a 2–4b 2）=4a 2+4ab+b 2-2a 2-ab+b 2-2a 2+8b 2=3ab+10b 2，当a=，b=-2时，原式=3××（-2）+10×（-2）2=-3+40=37．3.已知a+b=5，ab=6，则a 2+b 2=_____，a-b=____．【答案】13，±1．【解析】解：∵a+b=5，∴（a+b ）2=25，即a 2+2ab+b 2=25，∵ab=6，∴a 2+b 2=25-2×6=25-12=13；∵（a-b ）2=a 2-2ab+b 2=13-2×6=13-12=1，∴a-b=±1．故答案为：13，±1． 4.通过对代数式进行适当变形，求出代数式的值：若m 2＋m －1＝0，求m 3+2m 2＋200的值.【解析】解：m 2+m-1=0即得到：m 2+m=1m 3+2m 2+2008=m 3+m 2+m 2+2008=m(m 2+m)+m 2+2008=m+m 2+2008=1+2008=2009。
专题3.1 整式的乘除【易错题型专项训练】解析版
专题3.1 整式的乘除【易错题型专项训练】易错点一：同底数幂的乘法一、单选题1．（2021·江苏泰州市·七年级期末）已知a+2b-2=0，则2a ×4b （ ） A ．4B ．8C ．24D ．32 【答案】A【分析】把a+2b-2=0变形为a+2b=2，再将2a ×4b 变形为22a b +，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵a+2b-2=0，∴a+2b=2，∴2a ×4b =222=2=4a b +故选：A ．【点睛】此题主要考查了同底数幂的逆运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．2．（2020·四川成都市·七年级期末）如果x m ＝2，x n ＝14，那么x m +n 的值为（ ） A ．2B ．8C ．12D ．214 【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法进行运算即可．【详解】解：如果x m ＝2，x n ＝14， 那么x m+n ＝x m ×x n ＝2×14＝12． 故选：C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法公式．3．（2020·浙江杭州市·七年级期末）我们知道：若a m =a n (a ＞0且a ≠1)，则m =n ．设5m =3，5n =15，5p =75．现给出m ，n ，p 三者之间的三个关系式：①m +p =2n ；②m +n =2p ﹣1；③n 2﹣mp =1．其中正确的是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出m 、n 、p 的关系．【详解】解：∵5m =3，∴5n =15=5×3=5×5m =51+m ，∴n =1+m ，∵5p =75=52×3=52+m ，∴p =2+m ，∴p =n +1，①m +p =n ﹣1+n +1=2n ，故此结论正确；②m +n =p ﹣2+p ﹣1=2p ﹣3，故此结论错误；③n 2﹣mp =(1+m )2﹣m (2+m )=1+m 2+2m ﹣2m ﹣m 2=1，故此结论正确；故正确的是：①③．故选：B ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式．二、填空题4．（2020·湖南益阳市·七年级期末）若9×32m ×33m ＝322，则m 的值为_____． 【答案】4【分析】先变形9=32，再利用同底数幂的乘法运算法则运算，然后指数相等列等式求解即可．【详解】∵9×32m ×33m =32×32m ×33m ＝32+2m+3m =322 ∴2+2m+3m=22，即5m=20，解得：m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、等式的性质，灵活运用同底数幂的乘法运算法则是解答的关键． 5．（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）若102·10n-1=106，则n 的值为______ 【答案】5【详解】因为102·10n-1=102+n-1=106，所以2+n-1=6， 解得n=5故答案为：56．（2020·广西来宾市·七年级期末）若33482x ⨯=，则x =_________ ．【答案】15【分析】直接运用同底数幂的乘法法则进行求解即可．【详解】解：∵33482x ⨯=∴69222x ⨯=∴6+92=2x∴x=15，故答案为：15．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．7．（2020·甘肃酒泉市·七年级期末）a 2,3,x y a ==则a x y +=_______________________【答案】6【分析】根据同底数幂的乘法法则计算，先把a x y +写成a x •y a 的形式，再求解就容易了．【详解】a x y +=a x •y aa 2,3,x y a ==∴a x y +=a x •y a =23=6⨯故答案为:6.【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则是解题关键.8．（2018·四川成都市·七年级期末）如果12,4a b x x ==那么a b x +=____． 【答案】12【分析】根据同底数幂的运算法则：x a+b =x a •x b ，再将已知条件代入即可； 【详解】x a+b =x a •x b =2×1142=； 故答案为12； 【点睛】此题考查同底数幂的乘法；熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．三、解答题9．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a ，a+b 的形式，又可以表示0，b a，b 的形式，试求a 2n-1a 2n （n≥1）的值． 【答案】-1． 【分析】由于b a 有意义，则a≠0，则应有a+b=0，则b a =-1，故只能b=1，a=-1了，再代入代数式求解． 【详解】解：由题可得：a≠0，a+b=0，∴b a=-1，b=1， ∴a=-1，又∵2n-1为奇数，-1的奇数次方得-1；2n 为偶数，-1的偶数次方得1，∴a 2n-1•a 2n =（-1）2n-1×（-1）2n =-1×1=-1． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知条件求出未知数a ，b 的值． 10．（2019·安徽安庆市·金拱初中七年级期末）如果c a b =，那么规定(),a b c =． 例如：如果328=，那么()2,83=()1根据规定，()5,1= ______， 14,16⎛⎫= ⎪⎝⎭()2记()3,6a =，() 3,7b =， () 3,x c =，若a b c +=，求x 值．【答案】（1）0，-2；（2）42【分析】（1）根据已知幂的定义得出即可；（2）根据已知得出3a =6，3b =7，3c =x ，同底数幂的乘法法则即可得出答案．【详解】（1）根据规定，（5，1）=0，（4，116）=-2， 故答案为：0；-2；（2）∵（3，6）=a ，（3，7）=b ，（3，x ）=c ，∴3a =6，3b =7，3c =x ，又∵a+b=c ，∴3a ×3b =3c ，即x=6×7=42． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键．易错点二：幂的乘方与积的乘方1.计算：[(a －b)3]2－[－(b －a)2]3.【解析】[(a －b)3]2－[－(b －a)2]3=(a －b)6-[－(b －a)6]= (a －b)6+(b －a)6=(a-b)6+(a-b)6 =2(a-b)62.若m 为正整数，且（a 2）m+1=a 12，则m 的值为______．【答案】5．【解析】解：∵（a 2）m+1=a 12，∴a 2m+2=a 12，∴2m+2=12，∴m=5．故答案为5．3.若(a m b ⋅ab n )5＝a 10b 15，则3m(n 2+1)的值是( ).A.8B.10C.12D.15【答案】D.【解答】解：(a m b ⋅ab n )5＝(a m b)5(ab n )5=a 5m b 5a 5b 5n = a 5m a 5 b 5b 5n = a 5m+5 b 5+5n ＝a 10b 15 ∴5m+5=10,5+5n=15，∴m=1，n=2，∴3m(n 2+1)=3×5=15故选D. 4.计算：[(x-y)n ]m .(y-x)2=_______.【答案】(x-y)mn+2 【解答】解：原式=(x-y)mn .(x-y)2=(x-y)mn+2.故答案为：(x-y)mn+2易错点三：同底数幂的除法1.已知：5a =4，5b =6，5c =9，（1）求52a+c-b 的值；（2）试说明：2b=a+c ．【解析】解：（1）52a+b =52a ×5c ÷5b =（5a ）2×5c ÷5b =42×9÷6=24； （2）∵5a+c =5a ×5c =4×9=3652b =62=36，∴5a+c =52b ，∴a+c=2b ．易错点四：整式的乘法1.若(8×106)(5×102)(2×10)＝M ×10a ，则M 、a 的值可为( )A.M ＝8，a ＝8B.M ＝2，a ＝9C.M ＝8，a ＝10D.M ＝5，a ＝10【答案】C.【解析】解：(8×106)(5×102)(2×10)= (8×5×2)×(106×102×10)=80×109=8×1010=M ×10a ∴M ＝8，a ＝10 故选C.2.若(－5a m+1b 2n −1)(2a n b m )＝－10a b ，则m －n 等于( )A.－3B.－1C.1D.3【答案】B.【解析】(－5a m+1b 2n −1)(2a n b m )=(-5×2)( a m+1a n )( b 2n −1b m )=-10 a m+n+1 b 2n+m −1∴-10 a m+n+1 b 2n+m −1=－10a 4b4 ∴∴m=1，n=2∴m －n=-1.故选B.3.已知M 和N 表示单项式，且满足2x （M+3x ）=6x 2y 2+N ，则M=_____，N=______．【答案】3xy 2，6x 2．【解析】解：∵2x（M+3x）=6x2y2+N，∴2xM+6x2=6x2y2+N，则N=6x2，M=6x2y2÷2x=3xy2，故答案为：3xy2，6x2．4.要使−5x3×(x2＋ax＋5)的结果中不含x4项，则a等于______. 【答案】0．【解析】解：-5x3×x2+(-5x3)×ax+(-5x3)×5=-5x5-5ax4-25x3，∵展开式中不含x4项，则-5a=0，∴a=0.故答案为：a=0.5.若多项式(x 2＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展开式不含x3项和x2项，试求m、n的值.【解析】解：原式=x4-3x3+4x2+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n，=x4+（m-3）x3+（4-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由题意得m-3=0，4-3m+n=0，解得m=3，n=5故答案为：m=3，n=56.若（3x3+M）（2x2-1）是一个五次多项式，则下列说法中正确的是（）A.M是一个三次单项式B.M是一个三次多项式C.M的次数不高于三D.M不可能是一个常数【答案】C.【解析】解：（3x3+M）（2x2-1）=6x5-3x3+2Mx2-M因为结果是一个五次多项式，所以M的次数不高于三故选C．易错点五：平方差公式1.计算：(a-2b+3c)(a-2b-3c)【解析】解：(a-2b+3c)(a-2b-3c)= [(a-2b)+3c][(a-2b)-3c]=(a-2b)2-(3c)2=a2-4ab+4b2-9c2.故答案为：a2-4ab+4b2-9c2.2.计算：(2a－b)(4a2＋b2)(2a＋b)＝________.【答案】16a4-b4.【解析】解：(2a－b)(4a2+b2)(2a+b)＝(2a－b)(2a+b)(4a2+b2) ＝(4a2-b2)(4a2+b2)=16a4-b4故答案为：16a4-b4易错点六：完全平方公式1.下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】A．，故本选项错误； B．，故本选项错误；C．，故本选项正确；D．，故本选项错误．故选D．2.计算：(2a+3b−c)2【解析】解：原式=[(2a+3b)−c]2=(2a+3b)2-2c(2a+3b)+c2=4a2+12ab+9b2-4ac-6bc+c23.若多项式x2-（k-1）x+16是完全平方公式，则k=______．【答案】9或-7．【解析】解：∵多项式x2-（k-1）x+16是完全平方公式，∴（k-1）x是x和4的2倍，∴k-1=±8，解得k=9或-7，故答案为：9或-7．4.如果二次三项式x 2-2（m-1）x+16是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A.3B.-5C.3或-5D.5或-3【答案】D.【解析】解：∵多项式x 2-2（m-1）x+16是完全平方公式，∴2（m-1）是x 和4的2倍，∴m-1=±4，解得m=-3或5，故选D ．5.若x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝0，求x ＋y 的值.【解析】解：将x 2+y 2-4x+2y+5=0变形得：x 2-4x+4+y 2+2y+1=0，即(x-2)2+(y+1)2=0， ∴x-2=0且y+1=0，解得：x=2，y=-1，则x+y=2+(-1)=1．6.已知a 、b 满足等式a 2+b 2-4（2b-a ）+20=0，求a+b 值．【解析】解：∵a 2+b 2-4（2b-a ）+20=0，∴a 2+b 2-8b+4a+20=0a 2+4a+4+b 2-8b+16=0，∴（a+2）2+（b-4）2=0， ∴， ∴， ∴a+b=-2+4=2．易错点七：整式除法1.计算（5m 2+15m 3n-20m 4）÷（-5m 2）结果正确的是( )A1-3mn+4m 2 B-1-3m+4m 2 C4m 2-3mn-1 D4m 2-3mn 【答案】C ．【解析】解：原式=5m 2（1+3mn-4m 2）÷（-5m 2）=4m 2-3mn-1．故选：C ．2.若一个三角形的面积为6x 2+13x+5，底边长为2x+1，则底边上的高为______.【答案】6x+10．【解析】解：底边上的高是：2（6x 2+13x+5）÷（2x+1）=2（2x+1）（3x+5）÷（2x+1）=2（3x+5）=6x+10．故答案是：6x+10．易错点八：化简求值1.先化简，再求值：22232[()()]2a a b ab b a a b a b ---÷，其中12a =-，13b =． 【解析】22232[()()]2a a b ab b a a b a b ---÷ 3222322()2a b a b a b a b a b =--+÷3222(22)2a b a b a b =-÷1ab =-，当12a =-，13b =时，原式116=-． 2.先化简，再求值：（2a+b ）2-（2a-b ）（a+b ）-2（a-2b ）（a+2b ），其中a=12，b=-2． 【解析】（2a+b ）2-（2a-b ）（a+b ）-2（a-2b ）（a+2b ）=（4a 2+4ab+b 2）–（2a 2+2ab –ab –b 2）–2（a 2–4b 2）=4a 2+4ab+b 2-2a 2-ab+b 2-2a 2+8b 2=3ab+10b 2，当a=，b=-2时，原式=3××（-2）+10×（-2）2=-3+40=37．3.已知a+b=5，ab=6，则a 2+b 2=_____，a-b=____．【答案】13，±1．【解析】解：∵a+b=5，∴（a+b ）2=25，即a 2+2ab+b 2=25，∵ab=6，∴a 2+b 2=25-2×6=25-12=13；∵（a-b）2=a2-2ab+b2=13-2×6=13-12=1，∴a-b=±1．故答案为：13，±1．4.通过对代数式进行适当变形，求出代数式的值：若m2＋m－1＝0，求m3+2m2＋200的值. 【解析】解：m2+m-1=0即得到：m2+m=1m3+2m2+2008=m3+m2+m2+2008=m(m2+m)+m2+2008=m+m2+2008=1+2008=2009。
初一数学整式的乘法试题答案及解析
初一数学整式的乘法试题答案及解析1.计算（ab）2的结果是（）A．2ab B．a2b C．a2b2D．ab2【答案】C【解析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进行计算即可．解：原式=a2b2．故选C．2.计算（﹣2a3）2的结果是（）A．2a5B．4a5C．﹣2a6D．4a6【答案】D【解析】根据积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案；注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．解：（﹣2a3）2=（﹣2）2•（a3）2=4a6．故选D．3.计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b6【答案】D【解析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．4.计算（﹣x2y）2的结果是（）A．﹣x4y B．x2y2C．x4y2D．2x4y2【答案】C【解析】根据积的乘方法则，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，求出即可．解：（﹣x2y）2=x4y2，故选C．5.若（a m b n）3=a9b15，则m、n的值分别为（）A．9；5B．3；5C．5；3D．6；12【答案】B【解析】根据积的乘方法则展开得出a3m b3n=a9b15，推出3m=9，3n=15，求出m、n即可．解：∵（a m b n）3=a9b15，∴a3m b3n=a9b15，∴3m=9，3n=15，∴m=3，n=5，故选B．6.（﹣a2b3c）3=（）A．a6b9c3B．﹣a5b6c3C．﹣a6b9c3D．﹣a2b3c3【答案】C【解析】根据积的乘方的运算性质求解．解：（﹣a2b3c）3=﹣a6b9c3．故选C．7.地震中里氏震级增加1级，释放的能量增大到原来的32倍，那么里氏级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍．【答案】7【解析】设里氏n级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍，根据题意得出方程32n﹣1=323﹣1×324，求出方程的解即可．解：设里氏n级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍，则32n﹣1=323﹣1×324，32n﹣1=326，n﹣1=6，n=7．故答案为：7．8.运算结果为a6b12的一个算式是（答案不唯一）．【答案】（a3b6）2=a6b12【解析】只要是根据积的乘方和幂的乘方运算方法列的算式均可．解：如（a3b6）2=a6b12等，答案不唯一．9.计算：（﹣ab2）2=．【答案】4【解析】根据积的乘方的性质把（﹣ab2）2展开，然后根据它们的倍数关系即可求解．解：∵（﹣ab2）2=×（﹣ab2）2，∴4×（﹣ab2）2=（﹣ab2）2．故应填4．10.计算（﹣a2b）2的结果是．【答案】a4b2【解析】根据幂的乘方的性质，积的乘方的性质即可求得答案．解：（﹣a2b）2=a4b2．故答案为：a4b2．11.计算=．【答案】﹣a6b9【解析】根据积的乘方公式，积的乘方等于把每个因式分别平方，再把所得的幂相乘．然后利用幂的乘方法则即可求解．解：原式=﹣（）3（a2）3（b3）3=﹣a6b9．故答案是：﹣a6b9．12.计算：﹣（﹣3a2b3）4的结果是．【答案】﹣81a8b12【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算．解：﹣（﹣3a2b3）4=﹣（﹣3）4a8b12=﹣81a8b12．13.计算（2x3y）2的结果是（）A．4x6y2B．8x6y2C．4x5y2D．8x5y2【答案】A【解析】根据积的乘方的知识求解即可求得答案．解：（2x3y）2=4x6y2．故选：A．14.下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（a4）3=a12C．（﹣2a）3=﹣6a3D．a4+a5=a9【答案】B【解析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、a2•a3=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；B、（a4）3=a4×3=a12，故本选项正确；C、（﹣2a）3=（﹣2）3a3=﹣8a3，故本选项错误；D、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选B．15.计算（2a）3的结果是（）A．6a B．8a C．2a3D．8a3【答案】D【解析】利用积的乘方以及幂的乘方法则进行计算即可求出答案．解：（2a）3=8a3；故选D．16.已知a=75，b=57，则下列式子中正确的是（）A．ab=1212B．ab=3535C．a7b5=1212D．a7b5=3535【答案】D【解析】根据幂的乘方和积的乘方求出ab和a7b5的值，再进行判断即可．解：∵a=75，b=57，∴ab=75×57≠1212，ab≠3535，a7b5=（75）7×（57）5=735×535=（7×5）35=3535，而a7b5≠1212，∴选项A、B、C都不正确；只有选项D正确；故选D．17. a14不等于下列各式中的（）A．a7•a7B．a3•a5•a6C．（a7）7D．2a14﹣a14【答案】C【解析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分别进行分析即可．解：A、a7•a7=a14，故本选项正确；B、a3•a5•a6=a14，故本选项正确；C、（a7）7=a49，故本选项错误；D、2a14﹣a14=a14，故本选项正确；故选C．18.已知32+m=27•3n，当m=4时，n等于（）A．0B．3C．4D．﹣4【答案】B【解析】根据同底数幂的乘法运算法则得出27•3n=33+n，进而求出即可．解：∵32+m=27•3n，m=4，∴36=33+n，则3+n=6，解得：n=3．故选：B．19.下列各式正确的是（）A．（m2）3=m8B．（m2）3=m6C．[（m2）2]2=m6D．﹣（﹣m2）2=m4【答案】B【解析】根据幂的乘方法则对各选项进行判断．解：A、（m2）3=m6，所以A选项错误；B、（m2）3=m6，所以B选项正确；C、[（m2）2]2=m8，所以C选项错误；D、﹣（﹣m2）2=﹣m4，所以D选项错误．故选B．20. a12不能写成（）A．（a3）4B．（a6）2C．（a2）10D．a2•a10【答案】C【解析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法法则判断即可．解：a12=（a3）4=（a6）2=a2•a10，a12≠（a2）10，即选项A、B、D正确，只有选项C错误；故选C．21.化简（）1999•32000等于（）A．3B．C．1D．9【答案】A【解析】把（）1999化为3﹣1999，然后根据同底数幂的乘法法则求解即可．解：原式=3﹣1999•32000=3．故选A．22.计算：（x n+1）2•（x2）n﹣1所得结果是（）A．x4n+2B．x4n﹣1C．x4n D．x4n+1【答案】C【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．解：（x n+1）2•（x2）n﹣1=x2n+2•x2n﹣2=x4n．故选：C．23.如果（a3）6=86，则a等于（）A．2B．﹣2C．±2D．以上都不对【答案】A【解析】由于指数相同，令底数相同即可进行计算．解：∵（a3）6=86，∴a3=8，∴a=2．故选A．24.计算2m•4n的结果是（）A．（2×4）m+n B．2•2m+n C．2n•2mn D．2m+2n【答案】D【解析】先用幂的乘方法则转化为同底数幂的乘法运算，再运用同底数幂的乘法法则进行运算．解：2m•4n=2m•22n=2m+2n．故选D．25.计算：（2a2）2=．【答案】4a4【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．解：（2a2）2=22a4=4a4．26.计算：（﹣m2）5=．【答案】﹣m10【解析】根据幂的乘方的法则求解．解：（﹣m2）5=﹣m10．故答案为：﹣m10．27.计算：（a2b）2=．【答案】a4b2【解析】根据幂的乘方法则及积的乘方法则，进行运算即可．解：原式=a4b2．故答案为：a4b2．28.已知a是整数，且，则a的值是．【答案】﹣4【解析】首先把化为2a=，再根据2﹣4=可得a=﹣4．解：∵，∴2a=，∵2﹣4=，∴a=﹣4，故答案为：﹣4．29.化简（2x3）2=．【答案】4x6【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可．解：（2x3）2=22（x2）3=4x6．故答案为：4x6．30.比较大小：（23）4（34）2．【答案】<【解析】根据幂的乘方把两个数写成指数相同的数，再比较．解：∵（23）4=642，（34）2=812，而642＜812∴（23）4＜（34）2．。
八年级数学上册 12.2 整式的乘法常见错误例析素材 (新版)华东师大版
整式的乘法常见错误例析
病因一：进行单项式乘法时出错。
例1 计算(2a3b)2·(-3a2b3c)
错解一：原式=4a6b2·(-3a2b3c)=12a8b5c
错解二：原式=4a6b2·(-3a2b3c)=-12a8b5
会诊：进行单项式乘法运算时，经常出现的病症(即错误)是：⑴计算积的系数时，忽略符号(像错解一)；⑵容易漏掉只在一个单项式里出现的字母(像错解二)。
病因二：单项式与多项式相乘时出错。
例2 计算x(x2-xy+y2)-y(x2+xy+y2)
错解一：原式 =x3-x2y+xy2-x2y+xy2+y3
=x3-2x2y+2xy2+y3
错解二：原式 =x3-x2y+y2-x2-xy2-y3
=x3-x2y-x2-xy2+y2-y3
会诊：进行单项式与多项式相乘运算时，常用病症有如下四种：⑴去括号时忽略符号；
⑵漏乘不相同的字母；⑶漏项；⑷不合并同类项。
病因三：多项式相乘运算时出错。
例3 计算3a2b(2ab3-a2b3-1)+2(ab)4
错解：原式=6a2b4-3a4b4+2a4b4
=6a3b4-a4b4
会诊：进行多项式相乘运算时，常见病症有：⑴去括号时漏乘某项；⑵去括号时忽略符号。
以上3例的正解烦请同学们完成！。
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解易错题(Word版 含答案)
人教版数学八年级上册整式的乘法与因式分解易错题（Word版含答案）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．2．已知n16++是一个有理数的平方，则n不能取以下各数中的哪一个() 221-D．9A．30 B．32 C．18【答案】B【解析】【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．【详解】2n是乘积二倍项时，2n+216+1=216+2×28+1=（28+1）2，此时n=8+1=9，216是乘积二倍项时，2n+216+1=2n+2×215+1=（215+1）2，此时n=2×15=30，1是乘积二倍项时，2n+216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，此时n=-18，综上所述，n可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．故选B ． 【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．3．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ） A ．-1 B ．1C ．-4D ．4【答案】B 【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=9①，（x ﹣y ）2= x 2-2xy+y 2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1. 故选B点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..4．()()()()242212121 (2)1n++++=（ ）A ．421n -B ．421n +C ．441n -D ．441n +【答案】A 【解析】 【分析】先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可. 【详解】()()()()242n 212121......21++++=（2-1）()()()()242n212121 (2)1++++=24n -1. 故选A. 【点睛】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.5．若（x 2-x +m ）（x -8）中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A ．8 B ．-8 C ．0 D ．8或-8【答案】B 【解析】（x 2-x +m ）（x -8）=322328889(8)8x x mx x x m x x m x m -+-+-=-++- 由于不含一次项，m+8=0,得m=-8.6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．2a 2﹣2a+1=2a （a ﹣1）+1 B ．（x+y ）（x ﹣y ）=x 2﹣y 2 C ．x 2﹣6x+5=（x ﹣5）（x ﹣1） D ．x 2+y 2=（x ﹣y ）2+2x【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可． 【详解】A 、2a 2-2a+1=2a （a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B 、（x+y ）（x-y ）=x 2-y 2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C 、x 2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D 、x 2+y 2=（x-y ）2+2xy ，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选C ． 【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．7．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为()2a b +，则宽为（ ）A ．12B ．1C ．()12a b + D ．+a b【答案】C 【解析】 【分析】用长方形的面积除以长可得. 【详解】宽为:()()()()22222a ab ab b a b a b a b +++÷+=+÷+=()12a b + 故选：C 【点睛】考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.8．已知三个实数a,b,c 满足a-2b+c=0，a+2b+c ＜0，则（ ） A ．b>0，b 2-ac ≤0 B ．b ＜0，b 2-ac ≤0 C ．b>0，b 2-ac ≥0D ．b ＜0，b 2-ac ≥0【解析】【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为()24a c-，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b，∴a+2b+c=4b＜0，∴b＜0，∴a2+2ac+c2=4b2，即22 224a ac c b++=∴b2-ac=()22222220 444a ca ac c a ac cac-++-+-==≥，故选：D.【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 9．观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（）A．3-，4-B．3-，4 C．3，4-D．3，4【答案】A【解析】【分析】根据题意可得规律为712a bab+=-⎧⎨=⎩，再逐一判断即可.【详解】根据题意得，a，b的值只要满足712a bab+=-⎧⎨=⎩即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.10．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy (4y -2x -1)=-12xy 2+6x 2y +□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( ) A ．3xy B ．-3xyC ．-1D ．1【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：∵左边=-3xy （4y-2x-1）=-12xy 2+6x 2y+3xy 右边=-12xy 2+6x 2y+□， ∴□内上应填写3xy 故选：A ．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____． 【答案】27 【解析】 【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值． 【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-， 得：2269a a k ++=- 移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=- 2(3)0a +，20k - 30a ∴+=，即3a =-，0k = x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27 【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．12．将4个数a ，b ，c ，d 排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d，定义a b ad bc c d=-，上述记号就叫做2阶行列式.若11611x x x x --=-+，则x=_________.【答案】4 【解析】 【分析】根据题目中所给的新定义运算方法可得方程 (x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解方程求得x 即可. 【详解】 由题意可得，(x-1)（x+1）- (x-1）2=6， 解得x=4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了新定义运算，根据新定义运算的运算方法列出方程是解本题的关键．13．如果实数a ，b 满足a +b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____． 【答案】20 【解析】 【分析】 【详解】 ∵6,a b +=∴222()236,a b a ab b +=++= ∵ab=8，∴22a b +=36-2ab=36-2×8=20. 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.14．分解因式212x 123y xy y -+-=___________ 【答案】()232x 1y -- 【解析】根据因式分解的方法，先提公因式-3y ，再根据完全平方公式分解因式为：()()22212x 12334x 41321y xy y y x y x -+-=--+=--.故答案为()232x 1y --.15．因式分解:214y y ++=______ 【答案】212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：2222111124222y y y y y ⎛⎫⎛⎫++=+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.16．若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =_______________ 【答案】9 【解析】因为若26x k k -+是一个完全平方式，那么()222262333x k k x k x -+=-⨯+=-，那么答案是k=9. 故答案为：9.17．已知3a b +=，2ab =-， （1）则22a b +=____；（2）则a b -=___．【答案】13； 【解析】试题解析：将a+b=-3两边平方得：（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=9， 把ab=-2代入得：a 2+b 2-4=9，即a 2+b 2=13； （a-b ）2=a 2+b 2-2ab=13+4=17，即．18．若m+1m =3，则m 2+21m=_____． 【答案】7 【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案． 详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m+2=9， 则m 2+21m =7， 故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．19．已知x ，y 满足方程组x 2y 5x 2y 3-=⎧+=-⎨⎩，则22x 4y -的值为______．【解析】【分析】观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得.【详解】∵x 2y 5x 2y 3-=⎧+=-⎨⎩，∴22x 4y -=（x+2y ）（x-2y ）=-3×5=-15，故答案为：-15.【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结构特征选用恰当的方法进行解题是关键.20．因式分解：223ax 12ay -=______． 【答案】()()3a x 2y x 2y +- 【解析】 【分析】先提公因式3a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得. 【详解】 原式()223a x 4y=-()()3a x 2y x 2y =+-，故答案为：()()3a x 2y x 2y +-． 【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。
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整式的乘法·错题解析
例1 计算：
(1)a3·a3； (2)a3·a4； (3)x5·x5；
(4)x5＋x5； (5)y· y13； (6)m2· m＋m3· m．
错解(1)a3·a3=2a3； (2)a3·a4=a12；
(3)x5·x5=x25； (4)x5＋x5=2x10；
(5)y·y13=y13；
(6)m2·m＋m3·m=m3＋m4=m7．
诊断 (1)，(4)两小题的解答错把同底数幂的乘法运算与同底同指数幂的加法运算相混淆；
(2)，(3)两小题错把幂之间的运算符号用到指数运算中，即把同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的运算法则误认为“底数不变，指数相乘”；
(5)小题错把第一个幂中y的指数1误认为是零；
(6)小题错把同底数幂相加误认为是同底数幂相乘．
正确解答 (1)a3·a3=a6； (2)a3·a4=a7；
(3)x5·x5=x10； (4)x5＋x5=2x5；
(5)y· y13=y14；
(6)m2· m＋m3· m=m3＋m4．
说明在学习同底数幂的乘法时，应注意不要把幂的乘法运算与整式加法运算相混淆．幂的乘法只要求同底就可以用性质计算，这就是“底数不变，指数相加”；幂的加法则不仅要求底数相同，而且指数也必须相同，这就是说，它们是同类项时才能进行加法计算，这时是幂不变，系数相加．
例2 下列各等式：
(1)(－a)2·(－a)3＝(－a)(－a)(－a)(－a)(－a)＝－a5；
(2)(－a2)·(－a)3＝(－a· a)·(－a)(－a)(－a)=－a5；
(3)(－a)2·(－a3)=(－a)(－a)·(－a·a·a)=－a5；
(4)(－a2)·(－a3)=(－a·a)·(－a·a·a)=－a5．
其中错误的有[ ]
A．0个 B．1个；C．2个 D．3个
错解根据乘方的意义选D．
诊断 (1)式与乘方的意义相符，所以是正确的．
(2)式第一步与乘方的意义相符，但因有偶数个负数相乘，积为正号(a本身的正负不予考虑)，故结果是错误的．
(3)式的第一步与乘方的意义相符，因有奇数个负数相乘，积为负，故结果是对的．
(4)式相当于两个负数相乘，其积的符号为正，故结果是错误的．
正确解答根据乘方的意义应选C．
例3 下列各等式中，仅有一个括号内填入t3才能使等式成立，这个等式是 [ ]
A．t3·( )＝2t3
B．t2·( )＝t6
C．t2·( )＋t5＝2t5
D．t2·( )＋t6＝2t6
错解因为 t2·t3=t6，所以t2·t3＋t6=2t6．
故选D．
诊断将“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”误认为“指数相乘”，因而产生t2·t3=t6的错误．
正确解法因为t2·t3=t5，
所以 t2·(t3)＋t5=t5＋t5=2t5．
故应选C．
例4 计算：(1)(a5)3；(2) a5·a3．
错解(1)(a5)3=a8；
(2)a5·a3=a15．
诊断 (1)误将幂的乘方运算法则与幂的乘法运算法则相混淆．
(2)误将“同底数幂相乘”按“幂的乘方”进行计算．
正确解法(1)(a5)3=a15；
(2)a5·a3＝a8．
例5 计算：(1)－x2·(x3)4；(2)x2·(－x3)4．
错解(1)－x2(x3)4=－(x2+3)4=－x20；
(2)x2(－x3)4=x2(－x12)=－x14．
诊断 (1)－x2(x3)4里包括两级运算：即乘法运算和乘方运算，上面解答错在把运算顺序颠倒了．其实按照运算顺序，应先做乘方运算，后做乘法运算，即－x2(x3)4=－x2·x12=－x14．
(2)上面解答或是没有真正理解乘方的意义，或是未把(－x3)4看作积的乘方，即[(－1)·(x3)]4=(－1)4·(x3)4=x12．
说明学习幂的乘方时，注意防止将幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质相混淆．防止的办法是要注意每一性质得来的根据．
例6 计算：(1)(a3)2；(2)(x n-1)2．
错解(1)(a3)2=a9；(2)(x n-1)2＝x2n-1．
诊断 (1)由于没有掌握幂的乘方性质，把指数相乘误认为将指数乘方．
(2)错在2没有与n－1中的每一项相乘，事实上，当幂指数是一个多项式时，乘方的次数必须同幂的指数中每一项相乘．
正确解法(1)(a3)2=a6；(2)(x n-1)2=x2n-2．
诊断 (1)积的乘方要把积的每一个因式分别乘方，这里错在只把最后一个因式乘方，而没有把因式a乘方．
(2)系数是积的一个因式，按照积的乘方的性质，应该把系数也乘方，而这里把对系数的乘方误认为将系数乘以乘方的次数．
例8 计算：(1)[(－ab2)2]3；(2)[－(ab2)2]3．
错解(1)[(－ab2)2]3=(ab4)3=ab12；
(2)[－(ab2)2]3=(a2b4)3=a6b12．
诊断 (1)的解答错在将－ab2平方时，误认为a的指数为零，或错用了积的乘方法则，没有将积中“每个因式分别乘方”．
(2)积的乘方，有负号的系数的符号极易弄错，这里把－(ab2)2与(－ab2)2误认为相等了．
正确解法(1)[(－ab2)2]3=(a2b4)3=a6b12；
(2)[－(ab2)2]3=(－a2b4)3=－a6b12．
诊断对照单项式乘以单项式运算法则，可以看出，上面解答把最后一个单项式中含有的字母c丢掉了，没有把它作为积的一个因式．
正确解法由读者完成．
说明进行单项式乘法运算时，应注意以下两点：
(1)只在一个单项式中含有的字母，特别当指数是1时，容易被丢掉．
(2)在解决含有加减法的混合运算中，要注意运算顺序，在每一步运算过程中，要正确确定符号．
例10 计算：－3x2y3·(x2－1)－(x2＋1)· 5x2y3．
错解－3x2y3·(x2－1)－(x2＋1)·5x2y3
=－3x4y3－3x2y3－5x4y3＋5x2y3
=－8x4y3＋2x2y3．
诊断单项式乘以多项式，容易出现符号错误．本例解答有两处把符号弄错了．一是把－3x2y3·(－1)=－3x2y3；二是多项式前面是负号，把负号与括号去掉，括号内有一项未变号，即－(x2·5x2y3＋5x2y3)错误写成－5x4y3＋5x2y3．
正确解法
－3x2y3(x2－1)－(x2＋1)·5x2y3
=－3x4y3＋3x2y3－5x4y3－5x2y3
=－8x4y3－2x2y3．
说明学习单项式乘以多项式时，应注意以下几点：
(1)关于积的符号．符号问题是极易出错的问题，前面虽然多次指出过，但在单项式与多项式相乘中，这个问题依然存在，主要是：
第一，要注意多项式的每一项都包括它前面的符号．
(2)例10是混合运算，要注意运算顺序，同时要注意最后的结果有同类项时要合并，得出最简结果．
例11 计算：
(1)(2a＋3b)(2a－4b)；
错解(1)(2a＋3b)(2a－4b)
＝4a2－12b2；
诊断 (1)由于没有掌握多项式乘以多项式的法则，所以在两个一次二项式相乘时，仅将第一个多项式的第一项、第二项分别与第二个多项式的第一项、第二项相乘，这样就漏掉了一些项．
(2)含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，如果因式中一次项的系数都是1，则积的一次项系数等于两因式中常数项的代数和．上述解答就错在没有掌握这一点．
正确解法
(1)(2a＋3b)(2a－4b)
=4a2＋6ab－8ab－12b2
＝4a2－2ab－12b2；
说明学习多项式乘法时，应注意以下几点：
(1)要防止两个多项式相乘，直接写出结果时“漏项”．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积．如(a＋b)(m＋n)，积的项数应是2×2=4，即四项am＋an＋bm＋bn．当然，如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果．
(2)多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．
(3)要弄清楚例11这种特殊形式的两个多项式相乘的规律，以便在计算这种类型的题目时，能够迅速地求出结果．。