[应用]高级统计学复习题

[应用]高级统计学复习题4(某加油站经理希望了解驾车人士在该加油站的加油习惯。

在一周内，他随机地抽取100名驾车人士调查，得到如下结果:平均加油量等于13.5加仑，样本标准差是3.2加仑，有19人购买无铅汽油。

试问:(1)以0.05的显著性水平，是否有证据说明平均加油量并非12加仑,(2)计算(1)的p-值。

以0.05的显著性水平来说，是否有证据说明少于20%的驾车者购买无铅汽油,(3)(4)计算(3)的p-值。

(5)在加油量服从正态分布假设下，若样本容量为25，计算(1)和(2)。

解:(1)(2)假设检验为。

采用正态分布的检验统计量H:,,12,H:,,120010,x,0。

查出,0.05水平下的临界值为1.96。

计算统计量值z,,,/n13.5,12。

因为z=4.6875>1.96，所以拒绝原假设。

对应p值,2(1-F(z)) ，z,,4.68753.2/100查表得到F(z)在0.999 994和0.999 999之间，所以p值在0.000 006和0.000 001之间(因为-F(|z|)，直接查表即得表中给出了双侧检验的接受域概率，因此本题中双侧检验的p值,1F(|z|))。

p值<0.05，拒绝原假设。

都说明平均加油量并非12加仑。

(3)(4)假设检验为。

采用成数检验统计量H:p,20%,H:p,20%01P,pz,。

查出,0.05水平下的临界值为1.64和1.65之间。

计算统计量值,，，p1,p/n0.19,0.20z,,,2.5，因此z,,2.5<-1.65(<-1.64)，所以拒绝原假设。

p值为，，0.21,0.2/1000.00062(因为本题为单侧检验，p值,(1-F(|z|))/2 )。

显然p值<0.05，所以拒绝原假设。

,x,0H:,,12,H:,,12z(5) 假设检验为。

采用正态分布的检验统计量。

,0010/n,13.5,12查出,,0.05水平下的临界值为1.96。

计算统计量值z,,2.344。

因为3.2/25z=2.344>1.96，所以拒绝原假设。

对应p值,2(1-F(z)) ，查表得到F(z)在0.9807和0.9817之间，所以p值在0.0193和0.0183之间(因为表中给出了双侧检验的接受域概率，因此本题中双侧检验的p值,1-F(|z|)，直接查表即得F(|z|))。

显然p值<0.05，拒绝原假设。

1(某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表5-3所示。

问不同季节氯化物含量有无差别,若有差别，进行32个水平的两两比较。

表5-3 某湖水不同季节氯化物含量(mg/L)春夏秋冬22.6 19.1 18.9 19.022.8 22.8 13.6 16.921.0 24.5 17.2 17.616.9 18.0 15.1 14.820.0 15.2 16.6 13.121.9 18.4 14.2 16.921.5 20.1 16.7 16.221.2 21.2 19.6 14.8167.9 159.3 131.9 129.3 588.40 X,ij8 8 8 8 32 ni20.99 19.91 16.49 16.16 18.39 Xi3548.51 3231.95 2206.27 2114.11 11100.84 2X ij,3.53 8.564.51 3.47 2 si1(完全随机设计单因素芳差分析解:H:4个季节湖水中氯化物含量相等，即μ=μ=μ=μ01234H:4个季节湖水中氯化物含量不等或不全相等。

1α=0.0522 C,(X)/n,588.4/32,10819.205,,ij2SS,X,C,11100.84,10819.205,281.635 ij,,总2,[()/],SSXnC,,iji组间2222 ,(167.9，159.3，131.9，129.3)/8,10819.205,141.170SS,SS,SS,281.635,141170,140.465总组内组间表5-8 方差分析表变异来源 F ,SS MS 总变异 281.635 31 47.057 9.380 组间变异 141.170 3 5.017组内变异 140.465 28查F界值表，。

因F,所以P<0.05。

按α=0.05水准，拒绝H，F,2.95F00.05,3,280.05,3,28接受H，认为不同季节湖水中氯化物含量不同或不全相同。

1用SNK-q检验进行各组均数间两两比较。

H:任意两对比组的总体均数相等，μ=μ0AB H:μ?μ1ABα=0.05表5-9 四个样本均数顺序排序组别春夏秋冬20.99 19. 91 16.49 16.16 Xi位次 1 2 3 4表5-10 四组均数两两比较q检验组对比组两均数之差 q值 P值数1 , 4 4. 83 4 6. 099 <0.011 , 3 4. 50 3 5. 682 <0.011 ,2 1. 08 2 1.364 >0.052 , 4 3. 303 4. 735 <0.012 ,3 3. 42 2 4. 319 <0.013 ,4 0. 33 2 0. 417 >0.05 春与夏、秋与冬湖水中氯化物含量P>0.05，按α=0.05水准，不拒绝H，即不能认为0春与夏、秋与冬季湖水中氯化物含量有差别。

而其它4组均有P<0.01，按α=0.05水准，拒绝H，接受H，即认为春夏两季湖水中氯化物含量高于秋冬两季。

01例1、10对夫妇的一个随机样本给出了如下的结婚年龄数据24 22 26 20 23 21 24 25 22 结婚时丈夫的年龄y2324 18 25 22 20 23 19 24 23 结婚时妻子的年龄x221) 计算样本相关系数r;,2) 求总体相关系数的95,置信区间;3) 以5,的水平，检验“夫妻的结婚年龄之间没有什么线性联系”这一原假设。

解:(1) =由于=22，=23;=?0.3426(2)由于se()=,n=10，df=8=2.306，所以:se()=0.332-2.036<=<=2.306得1.062072(3):夫妻的结婚年龄之间没有线性相关，夫妻的结婚年龄之间不完全没有线性相关，?0根据第(2)题的计算结果，1.062072由于的原假设落入了该置信区间，所以接受原假设，认为夫妻的结婚年龄之间没有线性相关关系。

1(设销售收入,为自变量，销售成本,为因变量。

现根据某百货公司1,个月的有关资料计算出以下数据:(单位:万元)22 = 425053.73 ; = 647.88; = 262855.25 ; = 549.8; Y(X,X)(Y,Y)Xtt,,= 334229.09 (Y,Y)(X,X)tt,(1) 拟合简单线性回归方程，并对方程中回归系数的经济意义做出解释。

(2) 计算决定系数和回归估计的标准误差。

(3) 对β2进行显著水平为,,的显著性检验。

(4)假定明年,月销售收入为800万元，利用拟合的回归方程预测相应的销售成本，并给出置信度为,,,的预测区间。

解:(Y,Y)(X,X)334229.09,ttˆ(1) ,,,,0.786322425053.73(X,X),tˆˆ ,,Y,,X,549.8,0.7863*647.88,40.3720122[(Y,Y)(X,X)]tt,2(2)r, 22(X,X)(Y,Y)tt,,2334229.09,,0.999834 425053.73*262855.25222e,(1,r)(Y,Y),43.6340 ,,t2e,t,,2.0889S en,2H:,,0,H:,,0(3) 0212S2.0889eS,,,0.003204 ˆ,22425053.73XX(,),tˆ,0.78632t,,,245.4120 ˆ,2S0.003204ˆ,2t(n,2),t(10),2.228 ,/20.05,t值远大于临界值2.228，故拒绝零假设，说明在5,的显著性水平下通过了显著性2检验。

(4)(万元) Y,40.3720，0.7863*800,669.41f22XX(,)11(800,647.88)f 所以，Y的置信度为fSS,1，，,2.00891，，,2.1429ef2n12425053.73XX(,)t,95,的预测区间为:Y,t(n,2)S,669.41,2.228*1.0667,669.41,2.3767f,/2ef所以，区间预测为:664.64,Y,674.18 f1.直接月季平均法第一步，计算历年相同月(季)的简单算术平均数。

yy？y？y，，11121i1L,,yy？y？y21222i2L,,,,？？？？？？k,,yy？y？y31323i3LY,,,ji,1,,j？？？？？？Y,(i,1,2,？12或i,1,2,3,4)i,,Kyy？y？y,,k1k2kikL，， L第二步计算历年所有月(季)的总平均数 Y,ii,1,Y L)平均数，即为各月(季)的季节指数。

第三步，用各月(季)的平均数除以总的月(季在预测中，假定预测年份各对应月(季)的季节指数与之相同.按月(季)平均法计算季节比率，简便易行，但这种方法没有考虑长期趋势的影响，因为计算过程中是将各年同月(季)的数值所起的作用同等看待了。

实际上，在存在长期趋势的序列中，后期各月(季)的数值所起的作用要比前期同月(季)的作用大。

因此，如果时间序列中存在明显的长期趋势影响，则按月(季)平均法计算的季节比率是不准确的，应先剔除长期趋势的影响后，再计算季节比率。

同期平均法来测定其季节变动。

步骤如下:第一，计算各年同季(月)的平均数，目的是要消除非季节因素的影响。

道理很简单，因为同样是旺季或者淡季，有些年份的旺季更旺或更淡，这就是非季节因素的影响。

因为我们假设没有长期趋势，因此，这些因素通过平均的方法就可以相互抵消。

第二，计算各年同季(或同月)平均数的平均数，也即时间数列的序时平均数，目的是计算季节比率。

因为就从测定季节变动的目的讲，只计算“异年同季的平均数”已经可以反映现象的季节变动趋势了:平均数大，表明是旺季，越大越旺;平均数小，表明是淡季，越小越淡。

但是，这种大与小、淡与旺的程度只能和其它季节相比才能有个准确的认识，因此，就需要将“各年同季的平均数”进行相对化变换，即计算季节比率，对比的标准就应该是时间数列的序时平均数。

第三，计算季节比率。

方法是将各年同季的平均数分别和时间数列的序时平均数进行对比。

一般用百分数表示，用公式表示为:季节指数(S)=同月(或季)平均数/总月(或季)平均数×100%• 画法:上升趋势,两个低点相连;下降趋势:两个高点相连由两条平行的上升轨道线组成，反映上升趋势。