考研数学高数5定积分

第五讲：定积分
定积分的概念：设()[]b a x f ,在上有界
1） 任意分割：.,2,1n i x i
=∆
2） 作乘积：任取[]i i i x x ,1-∈ξ，作乘积i i x f ∆).(ξ 3） 作和式：
()i
n
i i
x f ∆∑=.1
ξ
4） 取极限：()i
n
i i
x f ∆∑=→.lim
1
ξλ
若不管[]b a ,如何分割，i ξ如何选取，当{}0max 1→∆=≤≤i n
v x λ时，上述极限如果存在，则称()x f 在[]b a ,上是可积的，并称此极限值为()[]b a x f ,在上的定积分，记为
()0
()lim .n
b
i i a
i f x dx f x λξ→=
=∆∑⎰
我们规定：
()()()b b b
a a a f x dx f u du f t dt ⎰=⎰=⎰
()0a a f x dx ⎰=
()()a b b a f x dx f x dx ⎰=-⎰
函数可积的条件：
充分条件：若()[]b a x f ,在满足下列条件之一，则()[]b a x f ,在上可积： 1、()[]b a x f ,在上连续； 2、只有有限个间断点的有界函数 3、单调函数
必要条件：若()[]b a x f ,在上可积，则在[]b a ,上一定有界。

定积分的几何意义：
设()[]b a x f ,在上可积
（1） 若()0≥x f ，则();A dx x f b
a =⎰
（2） 若()0≤x f ，则();A dx x f b a -=⎰
（3） 若()x f 有正有负，则();321A A A dx x f b a +-=⎰ 例：
1、用定义计算积分dx x 2
10⎰;
2、利用定积分表示下列和式的极限：
（1）∑=∞→+n i n n i n 1
11lim
（2）()021lim 1>++++∞→p n
n p p
p p n 3、利用几何意义求积分
,)2(;
)1()1(2220dx x a dx x a
b a -⎰-⎰
4、比较大小：2121
1
ln (ln )e
e
I xdx I x dx
==⎰
⎰
定积分的性质：
设()()x g x f ,在所讨论的区间上都是可积的，则有
性质1 （线性性）
()()[]()()(
)为常数αββαβαdx x g dx x f dx x g x f b
a b a b a ⎰+⎰=+⎰ 推论：
()()()()[]()()dx
x g dx x f dx x g x f dx
x f A dx x Af b a
b a
b a
b a b a ⎰±⎰=±⎰⎰=⎰
性质2 （区间可加性）
()()()都成立
或或注：不论b a c c b a b c a dx
x f dx x f dx x f b
c c a b a <<<<<<⎰+⎰=⎰
性质3 （保号性）
若()()0,0≥⎰<≥dx x f b a x f b
a 则有且
性质4 （保不等式性）
若()()
()()()dx x g dx x f b x a x g x f b
a b a ⎰≤⎰≤≤≤则有,
性质5 （绝对可积性及绝对值不等式）
()()()b a dx
x f dx x f b
a b a <⎰≤⎰
性质6 （估值不等式）
()()()[]则有
上的最小值和最大值，在分别为和即b a x f M m b x a M x f m ,,
≤≤≤≤
()()()a b M dx x f a b m b a -≤⎰≤-
积分中值定理：
若ƒ (x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b ]，使()()()a b f dx x f b a -=⎰ξ
微积分基本定理：
变上限积分函数：
设ƒ (x)在[a ，b]上可积，则对于每一个∈x [a ，b]， 定积分()dt t f x
a ⎰都有唯一确定的
值与之对应，由此可以定义函数：
()()dt t f x F x
a ⎰=
这是一个定义在[a ，b]上的函数，称为积分变上限函数。

注:()dt t f x
a ⎰中x 是积分上限变量,在[a ，b]上变化;t 是积分变量,在[a ，x]上变化。

变上限积分函数求导定理：
若ƒ (x)在[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上一定可导，且有
()()()x f dt t f dx
d dx x dF x
a =⎰= 注 1. F(x)也一定连续.
2. F(x)是ƒ (x)在上的一个原函数.
3. 此定理也证明了连续的原函数一定存在. 例：求220
22
sin lim
ln (1)x x
x t dt
t t dt
→⎰+⎰
牛顿-莱布尼兹公式：
若ƒ (x)在[a,b]上连续，Ф（x ）是ƒ (x)的任意一个原函数，则有
()()()b
a Def
b a
x a b dx x f )(Φ=Φ-Φ=⎰
说明：()dx x f b a ⎰ 等于ƒ (x)的任一个原函数在[a ，b]上的增量
例：dx x x x 1
13322
40
1
+++⎰- dx x 2cos 120
-⎰π
()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=⎰,1,2
1,1,1,22
x x x x x f dx x f
定积分的换元积分法与分部积分法
第一类换元积分法（凑微分法）：
（不定积分）⎰⎰⎰+=⋅=c x d x f dx x x f dx x g )]([)([)(')]([)(ϕϕϕϕ
（定积分）
⎰
⎰⎰=⋅=⋅=b
a
b
a
b a
b a x F x d x f dx x x f dx x g |)]([)]([)]([)(')]([)(ϕϕϕϕϕ
例： ()()
12
1121214202
202
222
-==⎰=⎰e e x d e dx xe x x x
第二类还原积分：
（不定积分）()()()()[]()()C t F dt t t f dt
t dx t x dx
x f +'⎰==⎰易积出令ϕϕϕϕ'
其中：()x t ϕ=具有连续的导数()t ϕ'
（定积分）()()()()[]()()β
αβαϕϕϕϕ1..''
t F dt t t f dt
t dx t x dx
x f b
a =⎰==⎰令 其中：（1）()a ϕα=，()
b ϕβ=，
（2）()x t ϕ=具有连续的导数()t ϕ'，且()()a t b t ϕαβ≤≤≤≤
与不定积分类似，常用：
n
n
t b ax b ax t
a x a x t a x a x t a x x a =++=+=-=-令令令令,tan ,sec ,sin ,2
2
2222
例：计算下列定积分：
()02
2
>-⎰
a dx x a a dx x x 3
221
1
+⎰
- dx e x 12
ln 0-⎰ x d x x a r c t a
n 10⎰
换元积分法：
（不定积分）()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ⎰-=⎰.
（定积分）()()()()()()⎰
-=⎰b
a
b a
b a
x du x v x v x u x dv x u |
条件：(),()u u x v v x ==在[a ，b]上具有连续导数
例：计算： x d x x a r c t a n 10⎰
()2
0c o s x x
x d x π⎰-
其他结论：
一、设()f x 在[,]a a -上可积，则有：
()()()()20a
a a a
f x f x dx f x dx f x --⎧⎰⎰
=⎨
⎩
是偶函数是奇函数 二、设()f x 是一个以Ｔ为周期的可积函数，则有()()dx x f dx x f T T
a a 0⎰=⎰+
例： ()dx x x x 2
2
2
1
2
11arcsin -+⎰- ()tdt t 220cos sin 1-⎰π
函数()f x 在[0,1]上有定义，且单调不增，证明：对于任何(0,1)a ∈有
1
()()a
f x dx a f x dx ≥⎰
⎰.
设0,a >函数()f x 在[0,]a 上连续可微，证明：
01(0)()().a
a f f x dx f x dx a '≤+⎰⎰
设()f x 在区间[,]a b 上连续且单增，求证： ()().2b
b
a
a
a b xf x dx f x dx +≥⎰
⎰。