考研数学高数5定积分

第五讲：定积分

定积分的概念：设()[]b a x f ,在上有界

1） 任意分割：.,2,1n i x i

=∆

2） 作乘积：任取[]i i i x x ,1-∈ξ，作乘积i i x f ∆).(ξ 3） 作和式：

()i

n

i i

x f ∆∑=.1

ξ

4） 取极限：()i

n

i i

x f ∆∑=→.lim

1

ξλ

若不管[]b a ,如何分割，i ξ如何选取，当{}0max 1→∆=≤≤i n

v x λ时，上述极限如果存在，则称()x f 在[]b a ,上是可积的，并称此极限值为()[]b a x f ,在上的定积分，记为

()0

()lim .n

b

i i a

i f x dx f x λξ→=

=∆∑⎰

我们规定：

()()()b b b

a a a f x dx f u du f t dt ⎰=⎰=⎰

()0a a f x dx ⎰=

()()a b b a f x dx f x dx ⎰=-⎰

函数可积的条件：

充分条件：若()[]b a x f ,在满足下列条件之一，则()[]b a x f ,在上可积： 1、()[]b a x f ,在上连续； 2、只有有限个间断点的有界函数 3、单调函数

必要条件：若()[]b a x f ,在上可积，则在[]b a ,上一定有界。 定积分的几何意义：

设()[]b a x f ,在上可积

（1） 若()0≥x f ，则();A dx x f b

a =⎰

（2） 若()0≤x f ，则();A dx x f b a -=⎰

（3） 若()x f 有正有负，则();321A A A dx x f b a +-=⎰ 例：

1、用定义计算积分dx x 2

10⎰;

2、利用定积分表示下列和式的极限：

（1）∑=∞→+n i n n i n 1

11lim

（2）()021lim 1>++++∞→p n

n p p

p p n 3、利用几何意义求积分

,)2(;

)1()1(2220dx x a dx x a

b a -⎰-⎰

4、比较大小：2121

1

ln (ln )e

e

I xdx I x dx

==⎰

⎰

定积分的性质：

设()()x g x f ,在所讨论的区间上都是可积的，则有

性质1 （线性性）

()()[]()()(

)为常数αββαβαdx x g dx x f dx x g x f b

a b a b a ⎰+⎰=+⎰ 推论：

()()()()[]()()dx

x g dx x f dx x g x f dx

x f A dx x Af b a

b a

b a

b a b a ⎰±⎰=±⎰⎰=⎰

性质2 （区间可加性）

()()()都成立

或或注：不论b a c c b a b c a dx

x f dx x f dx x f b

c c a b a <<<<<<⎰+⎰=⎰

性质3 （保号性）

若()()0,0≥⎰<≥dx x f b a x f b

a 则有且

性质4 （保不等式性）

若()()

()()()dx x g dx x f b x a x g x f b

a b a ⎰≤⎰≤≤≤则有,

性质5 （绝对可积性及绝对值不等式）

()()()b a dx

x f dx x f b

a b a <⎰≤⎰

性质6 （估值不等式）

()()()[]则有

上的最小值和最大值，在分别为和即b a x f M m b x a M x f m ,,

≤≤≤≤

()()()a b M dx x f a b m b a -≤⎰≤-

积分中值定理：

若ƒ (x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b ]，使()()()a b f dx x f b a -=⎰ξ

微积分基本定理：

变上限积分函数：

设ƒ (x)在[a ，b]上可积，则对于每一个∈x [a ，b]， 定积分()dt t f x

a ⎰都有唯一确定的

值与之对应，由此可以定义函数：

()()dt t f x F x

a ⎰=

这是一个定义在[a ，b]上的函数，称为积分变上限函数。

注:()dt t f x

a ⎰中x 是积分上限变量,在[a ，b]上变化;t 是积分变量,在[a ，x]上变化。

变上限积分函数求导定理：

若ƒ (x)在[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上一定可导，且有

()()()x f dt t f dx

d dx x dF x

a =⎰= 注 1. F(x)也一定连续.

2. F(x)是ƒ (x)在上的一个原函数.

3. 此定理也证明了连续的原函数一定存在. 例：求220

22

sin lim

ln (1)x x

x t dt

t t dt

→⎰+⎰

牛顿-莱布尼兹公式：

若ƒ (x)在[a,b]上连续，Ф（x ）是ƒ (x)的任意一个原函数，则有

()()()b

a Def

b a

x a b dx x f )(Φ=Φ-Φ=⎰

说明：()dx x f b a ⎰ 等于ƒ (x)的任一个原函数在[a ，b]上的增量