相似三角形的判定相似模型

相似三角形的判定、性质及应用（习题）

➢例题示范

例1：如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？

F

E D

C

B

A

解：△ABE与△DEF相似．理由如下：

在正方形ABCD中，

∠A=∠D=90°，AB=AD=CD

设AB=AD=CD=4a

∵E为边AD的中点，CF=3FD

∴AE=DE=2a，DF=a

∴

4

2

2

AB a

DE a

==，

2

2

AE a

DF a

==

∴AB AE DE DF

=

又∵∠A=∠D

∴△ABE∽△DEF

例2：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．

F

E D C

B

A

解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED ∴∠BEA=∠DEC

∵∠BAE=∠DCE=90°

∴△BAE ∽△DCE

∴

AB AE

DC EC =

∴201.6 2.5AB = ∴AB =12.8 ∴大楼AB 的高为12.8米．

➢ 巩固练习

1. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP =∠B ；

②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =⋅；

④AB CP AP CB ⋅=⋅．其中能判定△ABC ∽△ACP 相似的是__________．

B

P

C

A

E

A

D

第1题图 第2题图

2.

A .△AED ∽△BED

B .△AED ∽△CBD

C .△AE

D ∽△ABD

D .△BAD ∽△BCD

3. 在如图4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1

点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ A B C D

4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，

1

2

OD OC =，若OA =1，92OB =

，则OD =_____，AD

BC

=______．

O

D

C

B

A 2

1

N M B A P

第4题图 第5题图

5. 如图，∠APB =120°，点M ，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．若

1

9

AM NB ，AB =26，则NB 长为_______．

6.

7. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．

E

D C

8. 将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分记为

△GEC ．已知BC =14，BA =15，S △ABC =87，则当EG =BE 时，求△GEC 的面积．

G

F

E D

C B A

9. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，求证：△

ABD ∽△A′B′D′.

B

C D A

D'C'

B'A'

10. 小刚身高1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ，紧接着他把手臂

竖直举起，测得影子长为1.1 m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A ．0.5 m

B ．0.55 m

C ．0.6 m

D ．2.2 m

11. 如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．

点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙

CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB =1.2 m ，BP =1.8 m ，PD =12 m ，那么该古城墙的高度是（ ） A ．8 m B ．10 m C ．15 m

D ．18 m

12. 如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，

已知OA =10 cm ，OA'=20 cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是_________．

O

E'D'

C'B'

A'

E C D

B

A

13. 如图，△ABC 与△DEF ，且直线AD ，CF ，BE 相交于点O ，2

3

OA OB OC OD OE OF ===，

已知AB =4，则DE 的长为_________．

O

F E D C

B A

第13题图 第14题图 14. 如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以

点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是_________．

➢ 思考小结

1. 如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (4，2)，B (8，6)，C (6，10)，D (-2，

6)．