理论力学第二章(力系的等效与简化)

z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
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2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
2019年4月16日星期二
Fz F cos
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力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
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力矩的符号
M O F
2019年4月16日星期二
力偶矩的符号
M
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《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
2019年4月16日星期二 28
《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
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在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
F1
F2
z
F3
=
M1
x
F1
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
力偶(F,F’)两个力所在平面称力偶作用面。
两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂。
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
平面问题：力偶对刚体的转动效应（大小和
方向）用力偶矩来度量。
力偶矩定义：
M Fd 2ABC M F , F M Fd

2019年4月16日星期二

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《理论力学》
空间问题:力偶对刚体的转动效应（大小和转
向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
M
F
力偶矩矢定义：
r

F’
M rF
r F Fr sin
力偶矩矢等于力偶中一个力对另一个力 作用线上任意点之矩.
2019年4月16日星期二 22
《理论力学》
其中： R F
i
对于力对轴之矩，合力矩定理则为：合力对一轴
之矩，等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。
M x ( R) M x ( Fi ) M z ( R) M z ( Fi )
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M y ( R) M y ( Fi )
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《理论力学》
§2-2 力偶与力偶系 力偶：作用于同一物体上的大小相等,方向相反且不共线 的两个力组成的特殊力系。
y
Fx Fx i Fy Fy j Fz Fz k
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F Fx i Fy j Fz k
《理论力学》
思考： 力的投影与分力之间的关系？
（直角坐标系和非直角坐标系)
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
§2-1 力对点之矩和力对轴之矩
力的运动效应： 平动效应和转动效应
一、力对点之矩：度量力使刚体绕某点转动效应的物理量。
是定位矢量。 ②力矩的大小：
m O ( F ) F h 2OAB 面积
2019年4月16日星期二 10
《理论力学》
③矢量
mo ( F ) 的指
向按右手法则确定。 ④力对点之矩的解析式 以O点为原点建立直角坐标系，则力
作用点的矢径及力可表示为解析式：
r xi y j z k
(已知力及其与三个轴的夹角)
z
Fx F i F cos
Fz
F
β
Fy F j F cos
Fy
y
5
x
Fx
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o

Fz F k F cos
力在直角坐标系上的投影（二次投影法）
(已知力及两个夹角)
z Fz
Fxy F sin
y
Fy
M Y (F ) zFx xFz
M X (F ) yFz zFy
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A
2019年4月16日星期二
《理论力学》
例：直角曲杆OABC受水平力 F作用；求力对坐标轴的矩。 解： 因为力与x轴共面，
z o
x B
a
A
b
y
M X (F ) 0
C y
b
c F
计算对y轴的矩
计算对z轴的矩
2019年4月16日星期二
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一.力线平移定理
o

F
M Mo F
F
A o F



M
M F
o
F


A
A
F ' F F
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2019年4月16日星期二
M Mo F
平移定理:

M
F
o


A
作用于刚体上的力向其它点平移时，必须 增加一个附加力偶，其力偶矩等于原力对 平移点之矩。 其逆过程也成立,即当一个力与力偶矩矢垂直 时,该力和力偶也可以用一个力来等效替换。
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《理论力学》
（2）在空间问题中，力对点的矩为矢量(为了表示力使物体绕
矩心的转动效应，须表示出三个要素：力矩的大小、力矩作用 面的方位及力矩在其作用面内的转向，这三个要素必须用一个 矢量表示：
mO ( F ) r F
①力对点之矩依赖于矩心的 位置，所以空间力对点的矩
R'
=
将力系合成：
R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi
原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（
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它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
2019年4月16日星期二
《理论力学》
力系中所有力对于同一点之矩的矢量和，称为力系 对这一点的主矩，即: MO mO ( F 1 ) mO ( F 2 ) ... mO ( F n ) mO ( F i )
于是：
F Xi Y j Zk
i
mO ( F ) r F x
X
j y Y
k z Z
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注意：力作用点的坐标及力的投影有正负。
2019年4月16日星期二
《理论力学》
二、力对轴之矩
（度量力对绕定轴转动刚体的作用效果）
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
力对轴之矩是一个代数量,其值等于该力在垂直与该轴的 平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩.
力偶矩矢的 大小、作用面方位、转向 M
M
Z
F1
F
c
F2
F2
o
b
a
y
x
F
d
M
F
右手螺旋
具体问题中两种表现形式：
F
2019年4月16日星期二
F
F
F
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《理论力学》
力偶的三要素及其性质：
空间问题中的力偶矩是矢量，其对物体的作用决定于力偶三
要素： ●力偶矩的大小
：m Fd
●力偶作用面在空间的方位
Z
F
1.定义：力对轴之矩
Fz
A
F1
M Z ( F ) M o ( Fxy )
2ABO
如果力与轴共面：
Fxy B
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O则
M Z ( F1 ) 0
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《理论力学》
2、力对轴之矩的计算 z 在A（x，y，z）点作用力F
Fz
F o x y Fx x
求力的分力后
M Z ( F ) M Z ( FX ) M Z ( FY ) M Z ( FZ ) xFy yFx
●力偶在作用面内的转向：力偶 矩矢与力偶的转向符合右手螺旋 法则 。 力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
力偶的基本性质
①力偶只能使物体转动。因此，力偶不能与一个力等效，它既 不能合成一个力，也不能与一个力平衡。力偶只能用力偶来平衡。 ②力偶对任一点之矩恒等于力偶矩而与矩心位置无关，因此 力偶对物体的转动效应完全决定于力偶矩。
Fy Fx ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
M Y (F ) zFx xFz M Z (F ) xFy yFx
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x
力对通过该点的轴之矩：M X (F ) yFz zFy
《理论力学》
o
M2 M3
F2
F3 =
y
M
R
o
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2019年4月16日星期二