理论力学第二章(力系的等效与简化)

的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
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在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
F1
F2
z
F3
=
M1
x
F1
力偶矩矢的 大小、作用面方位、转向 M
M
Z
F1
F
c
F2
F2
o
b
a
y
x
F
d
M
F
右手螺旋
具体问题中两种表现形式：
F
2019年4月16日星期二
F
F
F
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《理论力学》
力偶的三要素及其性质：
空间问题中的力偶矩是矢量，其对物体的作用决定于力偶三
要素： ●力偶矩的大小
：m Fd
●力偶作用面在空间的方位
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
③只要保持力偶矩矢的大小和方向不变，力偶可以在其作用 面内任意移动，也可以移动到与其作用面相互平行的平面中 去；或同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变力偶对 刚体的效应。 由此可知，力偶矩矢是自由矢量。在研究力偶问题时可以不
考虑力偶的作用位置及力偶中力的大小和力偶臂的长度，而
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《理论力学》
力偶(F,F’)两个力所在平面称力偶作用面。
两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂。
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《理论力学》
平面问题：力偶对刚体的转动效应（大小和
方向）用力偶矩来度量。
力偶矩定义：
M Fd 2ABC M F , F M Fd
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空间任意力系向一点的简化
F1
F2
z
F3 F1
o
=
M1
M2
F2
x
o
M3
F3
y
M
R
=
o
主矢 ( O ) 汇交力系
力偶系 主矩 (O ) M 2 M3 M1 M
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(已知力及其与三个轴的夹角)
z
Fx F i F cos
Fz
F
β
Fy F j F cos
Fy
y
5
x
Fx
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o

Fz F k F cos
力在直角坐标系上的投影（二次投影法）
(已知力及两个夹角)
z Fz
Fxy F sin
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一.力线平移定理
o

F
M Mo F
F
A o F



M
M F
o
F


A
A
F ' F F
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M Mo F
平移定理:

M
F
o


A
作用于刚体上的力向其它点平移时，必须 增加一个附加力偶，其力偶矩等于原力对 平移点之矩。 其逆过程也成立,即当一个力与力偶矩矢垂直 时,该力和力偶也可以用一个力来等效替换。
(1)在平面问题中，力对点的矩为代数量（因为所有力矩的作用 面都在同一平面内，只要确定了力矩的大小和转向，就可完全 表明力使物体绕矩心转动的效应）。大小等于力与力臂的乘积
mO (F ) Fh 2OAB 面积
①O—矩心，h —力臂
②当F=0或h=0时， mo ( F ) 0 ③单位N.m或kN.m ④正负号:逆时针转动为正，反之为负
●力偶在作用面内的转向：力偶 矩矢与力偶的转向符合右手螺旋 法则 。 力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。
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《理论力学》
力偶的基本性质
①力偶只能使物体转动。因此，力偶不能与一个力等效，它既 不能合成一个力，也不能与一个力平衡。力偶只能用力偶来平衡。 ②力偶对任一点之矩恒等于力偶矩而与矩心位置无关，因此 力偶对物体的转动效应完全决定于力偶矩。
注意：力在轴上的投影为标量。
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e
Fe F e
《理论力学》
Fx F cosθ
Fy F cosβ
规定：投影的指向与轴的正向相同时为正值，反 之为负。 , 为力F与轴的正向的夹角。
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《理论力学》
力在直角坐标系上的投影（一次投影法）
Z
F
1.定义：力对轴之矩
Fz
A
F1
M Z ( F ) M o ( Fxy )
2ABO
如果力与轴共面：
Fxy B
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O则
M Z ( F1 ) 0
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《理论力学》
2、力对轴之矩的计算 z 在A（x，y，z）点作用力F
Fz
F o x y Fx x
求力的分力后
M Z ( F ) M Z ( FX ) M Z ( FY ) M Z ( FZ ) xFy yFx
o
M2 M3
F2
F3 =
y
M
R
o
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结论：简化得到一个力和一个力偶 主矢 R Fi
Fy Fx ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
M Y (F ) zFx xFz M Z (F ) xFy yFx
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x
力对通过该点的轴之矩：M X (F ) yFz zFy
《理论力学》
y
Fx Fx i Fy Fy j Fz Fz k
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F Fx i Fy j Fz k
《理论力学》
思考： 力的投影与分力之间的关系？
（直角坐标系和非直角坐标系)
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《理论力学》
ห้องสมุดไป่ตู้
§2-1 力对点之矩和力对轴之矩
力的运动效应： 平动效应和转动效应
一、力对点之矩：度量力使刚体绕某点转动效应的物理量。
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《理论力学》
第二章
力系的等效与简化
力系：是指作用在物体上的一群力。
平面力系：力的作用线在同一平面内。 空间力系：力的作用线位于不同的平面内。 力的作用效应（运动效应）：平动效应和转动效应。
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
力的投影：
F
e
力在轴上的投影: 力与该投影轴单位矢量的标量积. 设任一投影轴的单位矢量为 ， 则力 F 在此轴上的投影为：
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
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Fz F cos
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力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
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《理论力学》
2.力系等效定理
如果两个力系使刚体产生相同的运动状态变化， 这两个力系互为等效力系。
一个力系用其等效力系来代替，称为力系的 等效替换。 等效力系定理：不同力系对刚体运动效应相同的 条件是不同力系的主矢以及对于同一点的主矩对 应相等。
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y
Fy
M Y (F ) zFx xFz
M X (F ) yFz zFy
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A
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《理论力学》
例：直角曲杆OABC受水平力 F作用；求力对坐标轴的矩。 解： 因为力与x轴共面，
z o
x B
a
A
b
y
M X (F ) 0
C y
b
c F
计算对y轴的矩
计算对z轴的矩
力矩的符号
M O F
2019年4月16日星期二
力偶矩的符号
M
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《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
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《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
R Fi
R F F F 1 2 3
M M o Fi
M1 Mo F1
M 2 M o F2
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M3 M o F3



z
M1
x
F1
o
M2 M3
F2
F3 = y
M
R
o
在空间任意力系， M 与 R
其中： R F
i
对于力对轴之矩，合力矩定理则为：合力对一轴
之矩，等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。
M x ( R) M x ( Fi ) M z ( R) M z ( Fi )
2019年4月16日星期二
M y ( R) M y ( Fi )
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《理论力学》
§2-2 力偶与力偶系 力偶：作用于同一物体上的大小相等,方向相反且不共线 的两个力组成的特殊力系。
于是：
F Xi Y j Zk
i
mO ( F ) r F x
X
j y Y
k z Z
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注意：力作用点的坐标及力的投影有正负。
2019年4月16日星期二
《理论力学》
二、力对轴之矩
（度量力对绕定轴转动刚体的作用效果）
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
力对轴之矩是一个代数量,其值等于该力在垂直与该轴的 平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩.

2019年4月16日星期二

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《理论力学》
空间问题:力偶对刚体的转动效应（大小和转
向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
M
F
力偶矩矢定义：
r

F’
M rF
r F Fr sin
力偶矩矢等于力偶中一个力对另一个力 作用线上任意点之矩.
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《理论力学》
z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
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2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
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《理论力学》
（2）在空间问题中，力对点的矩为矢量(为了表示力使物体绕
矩心的转动效应，须表示出三个要素：力矩的大小、力矩作用 面的方位及力矩在其作用面内的转向，这三个要素必须用一个 矢量表示：
mO ( F ) r F
①力对点之矩依赖于矩心的 位置，所以空间力对点的矩
R'
=
将力系合成：
R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi
原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（
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它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
2019年4月16日星期二
《理论力学》
力系中所有力对于同一点之矩的矢量和，称为力系 对这一点的主矩，即: MO mO ( F 1 ) mO ( F 2 ) ... mO ( F n ) mO ( F i )
是定位矢量。 ②力矩的大小：
m O ( F ) F h 2OAB 面积
2019年4月16日星期二 10
《理论力学》
③矢量
mo ( F ) 的指
向按右手法则确定。 ④力对点之矩的解析式 以O点为原点建立直角坐标系，则力
作用点的矢径及力可表示为解析式：
r xi y j z k
只需考虑力偶的力偶矩，故常在力偶作用面内将力偶用带箭 头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，旁边的数字表示力偶
矩的大小。
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
力矩和力偶矩的联系 1 都度量的是对刚体的转动效应; 2 如果作用在刚体某点的力矩矢与作用在此 刚体上的力偶矩矢相等，则它俩对刚体的 转动效应相同； 3 力矩矢与矩心有关，力偶矩矢与矩心无关。
经比较有：力对点之矩在通过该点的x轴 上的投影等于力对x轴之矩。
[ M o ( F )] X M X ( F )
对y，z轴有同样结论！
2019年4月16日星期二
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《理论力学》
三、合力矩定理
若力系存在合力，则合力对一点之矩，等于力系 中各力对同一点之矩的矢量和。
M o (R) M o (Fi )
《理论力学》
§2-4 力系的简化
力系的简化：将由若干个力和力偶所组成的一般力系 （空间力系），等效简化为一个力，或一个力偶，或 者一个力和一个力偶。
力系简化的基础——力向一点平移定理。
1. 力向一点平移定理 作用在刚体上的力如果沿着作用线移动，并 不会改变力对刚体的作用效应。但如果将力从其 作用点平行移动到另一点，对刚体的运动效应将 会发生改变。