球的体积和表面积 优秀教案
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球的体积和表面积
第一课时
教学目标：
1．理解球的概念，掌握球的性质．
2．理解地球经度、纬度、经线、纬线等概念．
3．理解球的大圆、两点间的球面距离的定义．
教具准备：圆规、三角板
教学过程：
[设置情境]
1．列举一些球形物体，如足球、篮球、乒乓球、地球仪等，老师强调它是一个面，即整个球面．
2．回忆圆的定义：在一个平面内到一个定点的距离为定长的点的集会是一个圆．引导学生结合三维空间的情况对上述结论加以推广，自然得出：在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合是一个球面．
3．设问：球面还有其他定义吗？什么叫球体呢？球体又会有哪些性质呢？
[探索研究]
1．球的概念
（教师展示教具，得出球面的旋转定义）
半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体．（简称球）
（接着教师画出上图，并介绍球的有关概念：球心、球半径、直径、球的表示，特别要强调球面与球二者的区别．）
（教师画示意图）
性质1球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质2球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 有下面关系：
（演示模型给学生看，不作证明）
在圆中，弦心距的变化与弦长有什么关系？
当 时弦最长，随着弦心距的增大，弦在减小，当 时弦长为0，这时直线与圆相切．
在球中，球wenku.baidu.com到截面的距离 与截面圆的大小有什么关系？
当 时，截面过球心，这时 ，截面圆最大，这个圆叫大圆；当 增大时截面圆越来越小，当 时，截面是小圆，当 时，截面圆缩为一个点，这时截面与球相切．
3．地球仪中的经纬度（边演示模型，边讲解）
如图1，纬度—— 点的纬度，也是 或 的度数，即：某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的角度．
如图1，经度—— 点的经度，也是 或 的度数，即：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
答：球的半径为 ．
【演练反馈】
1． 、 为球面上相异两点，则通过 、 两点可作球的大圆有（）
A．一个B．无穷多个
C．零个D．一个或无穷多个
2．两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为 、 ，则这两个平面间的距离是_______________．
3．如图1， 、 、 是半径为1的球面上三点， 、 两点间的球面距离为 ，点 与 、 两点间的球面距离均为 ，且球心为 ．
4．球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的长度，而球的表面是曲面，球面上 、 两点间的最短距离显然不是线段 的长度，那是什么呢？
（用细线在地球仪上演示）
如图1， 、 是过 、 的两段劣弧，显然 ，那么这两段弧在本质上有什么区别呢？可以看出，半径不同， 的半径较大，所对劣弧较短，这就启发我们，要找到最短的劣弧，就要找到最大的半径，当然是经过 、 两点的大圆半径 ．在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．
（上面的引入和启发为学生对球的性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，学生已形成了一定的“定势”思维．）
我们知道圆的割线在圆内的部分为线段，球被平面所截其截面是什么呢？圆面．
（教具演示）
在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的位置关系是垂直．那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面的位置关系是什么呢？
2．球的性质
通过上面的讨论不难看出：球面的两种定义和圆有联系．比如说：从点的集合的观点看圆与球的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质？我们能否从圆的性质去推测并证明球的某些性质呢？
求：（l） 、 的大小；
（2）球心到截面 的距离．
[参考答案]
1．D 2.7或17
3．（1） ， ．
（2）取 中点 ，连结 、 ．
作 于点 ，证明 ，从而 ，又 ，∴ 面 ，∴ 平面 ∴ 为所求，再证 平面 ， 为正三角形，在 中∵ ， ， ，得 .
[总结锻炼]
本节课主要采用类比的思想，由浅入深，循序渐进地启发学生由圆的性质得出球的有关性质，培养学生独立思考、发现问题和解决问题的能力．
布置作业：课本习题3，4．[参考答案] 3．12cm 4．
板书设计：
球（一）
1．球的定义经纬度3．例题分析
2．球的性质球面距离例1
例2
例3
5．例题分析
例1我国首都北京靠近北纬 ，求北纬 纬线的长度．（地球半径约为6370km）
（解答见课本第66页）
例2过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面积为 ，求球的半径．
解：如图1，为球的轴截面图，设截面半径为 ，球半径为 ，则： ∴ ， ， ， ，且 ，在 中，由于 ，故由射影定理可知： 即： 解得
第一课时
教学目标：
1．理解球的概念，掌握球的性质．
2．理解地球经度、纬度、经线、纬线等概念．
3．理解球的大圆、两点间的球面距离的定义．
教具准备：圆规、三角板
教学过程：
[设置情境]
1．列举一些球形物体，如足球、篮球、乒乓球、地球仪等，老师强调它是一个面，即整个球面．
2．回忆圆的定义：在一个平面内到一个定点的距离为定长的点的集会是一个圆．引导学生结合三维空间的情况对上述结论加以推广，自然得出：在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合是一个球面．
3．设问：球面还有其他定义吗？什么叫球体呢？球体又会有哪些性质呢？
[探索研究]
1．球的概念
（教师展示教具，得出球面的旋转定义）
半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体．（简称球）
（接着教师画出上图，并介绍球的有关概念：球心、球半径、直径、球的表示，特别要强调球面与球二者的区别．）
（教师画示意图）
性质1球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质2球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 有下面关系：
（演示模型给学生看，不作证明）
在圆中，弦心距的变化与弦长有什么关系？
当 时弦最长，随着弦心距的增大，弦在减小，当 时弦长为0，这时直线与圆相切．
在球中，球wenku.baidu.com到截面的距离 与截面圆的大小有什么关系？
当 时，截面过球心，这时 ，截面圆最大，这个圆叫大圆；当 增大时截面圆越来越小，当 时，截面是小圆，当 时，截面圆缩为一个点，这时截面与球相切．
3．地球仪中的经纬度（边演示模型，边讲解）
如图1，纬度—— 点的纬度，也是 或 的度数，即：某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的角度．
如图1，经度—— 点的经度，也是 或 的度数，即：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
答：球的半径为 ．
【演练反馈】
1． 、 为球面上相异两点，则通过 、 两点可作球的大圆有（）
A．一个B．无穷多个
C．零个D．一个或无穷多个
2．两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为 、 ，则这两个平面间的距离是_______________．
3．如图1， 、 、 是半径为1的球面上三点， 、 两点间的球面距离为 ，点 与 、 两点间的球面距离均为 ，且球心为 ．
4．球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段的长度，而球的表面是曲面，球面上 、 两点间的最短距离显然不是线段 的长度，那是什么呢？
（用细线在地球仪上演示）
如图1， 、 是过 、 的两段劣弧，显然 ，那么这两段弧在本质上有什么区别呢？可以看出，半径不同， 的半径较大，所对劣弧较短，这就启发我们，要找到最短的劣弧，就要找到最大的半径，当然是经过 、 两点的大圆半径 ．在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．
（上面的引入和启发为学生对球的性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，学生已形成了一定的“定势”思维．）
我们知道圆的割线在圆内的部分为线段，球被平面所截其截面是什么呢？圆面．
（教具演示）
在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的位置关系是垂直．那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面的位置关系是什么呢？
2．球的性质
通过上面的讨论不难看出：球面的两种定义和圆有联系．比如说：从点的集合的观点看圆与球的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质？我们能否从圆的性质去推测并证明球的某些性质呢？
求：（l） 、 的大小；
（2）球心到截面 的距离．
[参考答案]
1．D 2.7或17
3．（1） ， ．
（2）取 中点 ，连结 、 ．
作 于点 ，证明 ，从而 ，又 ，∴ 面 ，∴ 平面 ∴ 为所求，再证 平面 ， 为正三角形，在 中∵ ， ， ，得 .
[总结锻炼]
本节课主要采用类比的思想，由浅入深，循序渐进地启发学生由圆的性质得出球的有关性质，培养学生独立思考、发现问题和解决问题的能力．
布置作业：课本习题3，4．[参考答案] 3．12cm 4．
板书设计：
球（一）
1．球的定义经纬度3．例题分析
2．球的性质球面距离例1
例2
例3
5．例题分析
例1我国首都北京靠近北纬 ，求北纬 纬线的长度．（地球半径约为6370km）
（解答见课本第66页）
例2过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面积为 ，求球的半径．
解：如图1，为球的轴截面图，设截面半径为 ，球半径为 ，则： ∴ ， ， ， ，且 ，在 中，由于 ，故由射影定理可知： 即： 解得