高中数学课件-修改斐波那契数列与黄金分割讲义
第八讲--黄金分割与斐波那契数列
第八讲黄金分割与斐波那契数列一、黄金分割1.黄金分割的概念德国天文学家开普勒（J.Kepler）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
“中外比”指将一线段分成两段不等长的部分，使得长段与短段之比等于全长与长段之比。
此比值为215，取其前三位数字的近似值是0.618称为黄金比，或黄金数（Golden Number）。
一线段中使长段与短段之比为黄金比的那点，称为把此线段黄金分割。
有时也将黄金数称为黄金分割。
而一长方形，如长比宽等于黄金数，便称此为黄金长方形。
其实关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
2.黄金分割在各领域中的应用（1）人体中的黄金分割：人的肚脐眼原是胎儿在母体中吸收养分的重要器官，其所在高度与一个人身高的比值恰为0.618。
关于黄金比与斐波纳契数列ppt课件
♀
♀
♂
♀
♀♂ ♀ ♂
♀ ♂
蜂巢中有蜂王、工蜂、雄蜂。 前两者是雌性，由蜂王的受精 卵孵化而来；而雄蜂则是由蜂 王的未受精卵孵化来的。因此， 雌蜂有父亲和母亲，而雄蜂却 只有母亲。
从图上看，任何一只雄蜂有一 个父母（母亲），两个祖父母 （母亲的父母），三个曾祖父 母（祖母的父母和祖父的母 亲），家谱中每一代亲族的数 字构成一个斐波纳契数列：
51 2
531
2
黄金比例还有诸多迷人的表示方法，比如：
斐波纳契及斐波纳契数列之一 关于兔子繁殖的问题
•斐波纳契是中世纪的意大 斐波纳契数列之起源
利数学家。
——关于兔子繁殖的问题：
•他引进了阿拉伯数字及其 运算法则来代替复杂的罗 马数字。
将一对兔子放进一个 四周都是墙的地方。假定 一对兔子每月生一对小兔， 新生的小兔子过两个月之
爬楼梯问题
一个孩子要爬楼梯，他每次最多爬两阶，如果有n阶台阶，那么
他有多少种方法 C n 可以爬上楼梯?
• n=1时有一种方法， C 1 =1：1；
• n=2时有两种方法， C 2 =2：11，2； • n=3时有三种方法， C 3 =3：111，12，21； • n=4时有五种方法， C 4 =5：1111，112，121，211，22；
极限中间比为 x 1 也就是黄金比例
我们的黄金比例
不管怎么说， 首先是一个极其有趣的数字：
1 51.618033987，由此出发， 的倒数
2
1 0.618033987 , 的平方22.618033987
事实上，
的倒数 1
2 51
511，
2
2
第七讲课件：黄金分割 (1)
4
（ 2）、依次写出斐波那契数列 的各项，就是： 1，1，2，3，5，8，13，21， 34 55 89 144 233 377 34，55，89，144，233，377 ……其中的任一个数，都叫斐波 那契数。
5
3、相关的问题举例 、 ）、跳格游戏 （1）、跳格游戏：有一种跳格游戏， ）、跳格游戏：有一种跳格游戏，
每次可以跳1格或 格 每次可以跳 格或2格，现在从第一格起 格或 跳到第八格有多少种方法？ 跳到第八格有多少种方法？
x= 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1 1+ 1 +L
6
）、连分数 （2）、连分数： ）、连分数：
）、黄金矩形 （3）、黄金矩形 ）、
（A）、 定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比的 矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述方 法无限地分割下去。 （B）、 试求黄金矩形的宽与长之比 （也称为黄金比）
7
）、黄金分割 （4）、黄金分割 ）、 [1]、 定义：把任一线段分割成两段， 使 “大段：全段=小段：大段”，这 样的分割叫黄金分割，这样的比值叫 黄金比。 [2]、 求黄金比
8
9
10
[3]、黄金分割的美
11
人体各部分的比例美
12
13
14
15
巧用黄金率，构建和谐美
16
古希腊帕提依神庙
2
列表考察兔子的逐月繁殖情况
月 1 份 大 兔 子 小 兔 子 总 数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
2、 斐波那契数列 、 （1）、 公式 用F n表示第n 个月大兔子的对数， 则有
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
数学文化第四讲斐波那契数列与黄金分割
2、兔子数列 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔 子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有 生育能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。 假定这些兔子都不发生死亡现象，那么从一对刚出生 的兔子开始，一年之后会有多少对兔子呢？
解答
1 月 1 对
解答
1 月 1 对 2 月 1 对
斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，• • • 上述数列中的每一个数称为斐波那契数． 此数列有下述递推公式： u1 = 1， u2 = 1，un = un-1 + un-2 ，n > 2 ． 用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：
1 1 5 n 1 5 n , un 5 2 2
二、黄金分割
著名天文学家开普勒说：几何学里有两个 宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分 割。前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的 钻石矿。
数学之美
德国天文学家开普勒曾说：“几何学有两大宝 藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。 前者如黄金，后者如珍珠。”
A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when,as the whole line is to the greater segment,so is the greater to the less.
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
十秒钟加数
请用十秒，计算出 左边一列数的和。
时间到！
答案是 231。
+
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????
黄金分割与斐波那契数列
第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
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12（4，4，4）→4（2，2） →2（1，1）
27瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称
至少称几次能保证找出这瓶次品？
27（9，9，9） 9（3，3，3） 3（1,1,1）
3次
81瓶呢？ 81（27，27，27） 27
4次
243瓶呢？ 243（81，81，81） 81
729瓶呢？
5次 6次
待测数量扩大3倍， 次数就增加1次。
4
表面上看来，似乎这就是最好的方 法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验 方法并不是最好的方法；每次取试验区间 的0.618处去做试验的方法，才是最好 的，称之为“优选法”或“0.618法”。
华罗庚证明了，这可以用较少的试验 次数，较快地逼近最佳方案。
5
2． 黄金分割点的再生性和“折纸法” ① 黄金分割点的再生性
其实有公式：前 n项和 = Ln2 L2 , Ln 表示卢卡斯数列的第 n 项。
(请大家课下自己制作)
39
6． 斐波那契数列的一些更深刻的性质
1） 通项公式 Fn
1 5
1
2
5
n
1 3
5
n
一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数
5 的式子表达，这是十分意外的结果。
该证明由法国数学家比内（Binet）做出。
这里有3瓶口香糖，其中有一瓶少了3 片，你能用什么办法把它找出来吗？
平衡
次数：1次
不平衡
5瓶口香糖，有一瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
（推想）
平衡
不平衡
次数：2次
5瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
3瓶还要1次
（推想）
平衡
次数：2次
不平衡
在生活中常常有这样的情况，在一些
看似完全相同的物品中混着一个质量不同 (轻一点或是重一点)的物品，需要想办法把 它找出来，像这一类问题我们把它叫做 “找次品”，这节课我们就来当小小质检 员一起来研究如何利用天平“找次品”。
华罗庚
善于“退”,足 够的”退”。退 到最原始而又不 失去重要性的地 方，是学好数学 的一个诀窍。
9瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
9瓶
（推想）
平衡
不平衡
次数：3次
9瓶口香糖，有1瓶少了几粒，用天平称 至少称几次能保证找出这瓶次品？
平衡
9瓶
（推想） 不平衡
3瓶还要1次
次数：2次
3瓶还要1次
瓶数（分成的份数） 保证能找到次品需要称的次数
9（4，4，1） 9（2，2，2，2，1）
6
即：C 如果是 AB 的黄金分割点，C 是BA的
黄金分割点，C与 C 当然关于中点 O 对称。
特殊的是，C又恰是 AC的黄金分割点。同样，
如果 C 是CA 的黄金分割点，则 C又恰是 AC
的黄金分割点，等等，一直延续下去 。再生
7
② 寻找最优方案的“折纸法”
根据黄金分割点的再生性，我们可以设 计一种直观的优选法——“折纸法”。
9
把两次试验结果比较，如果1618克的效果 较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪 去（如果1382克的效果较差，就把1382克以外 的一段纸条剪去）。
再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条 线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金 分割点），这条线在 1236克处。
10
按1236克做第三次试验，再和1382 克的试验效果比较，如果1236克的效果较 差，我们就把1236克以外的短的一段纸条 剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试 验点是1472克。
为了使算法的程序或步骤表达得更 为直观、准确，我们更经常地用图 形方式来表示它。
开始
判断整数n（n>2)是否为质数
输入n
i=2
1.程序框图
求n除以i的余数r
一般用i=i+1表示--- i的值增加1，仍用i表示
i>n-1或r=0?
否
是
是
r=0?
否
N不是质数
结束
N是质数
构成程序框的图形符号及其作用
11
按1472克做试验后，与1382克的效 果比较，再剪去效果较差点以外的短的一 段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次 比一次接近我们的需要，直到达到我们满 意的精确度。
12
注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸 条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸 条的长度是上次长度的0.618倍。因此，纸条的长 度按0.618的k次方倍逐次减小，以指数函数的速 度迅速趋于0。所以，“0.618法”可以较快地找 到满意的点。
仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问 题为例。
8
用一个有刻度的纸条表达1000克—2000克。在 这纸条长度的0.618的地方划一条线，在这条线所指 示的刻度上做一次试验，也就是按1618克做第一次 试验。
然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地 方，再划一条线（黄金分割点），这条线在1382克 处，再按1382克做第二次试验。
否
是
是
r=0?
否N不是质数Fra bibliotek结束N是质数
循环结构 条件结构
2.程序框图的基本逻辑结构
求n除以i的余数r
称为第二黄金比。
即有
lim
n
Fn1
Fn
2 5 1
1.618
41
[思] 请构造一个3阶递推公式。
答： 例如
FF1n
F2 Fn1
F3 1 Fn2
Fn3
42
斐波那契数列的有趣特性
数学家发现了许多斐波那契数列的特性。 例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … 第3、6、9、12等项的数字能被2整除。 第4、8、12等项的数字能被3整除。 第5、10等项的数字能被5整除。 其余依此类推。
的值正是
6． 优选法的试验点，正是 我们看到了数学的统一美。
32
5． 推广的斐波那契数列 — 卢卡斯数列 1） 卢卡斯数列 卢卡斯（Lucas，F.E.A. 1824-1891） 构造了一类更值得研究的数列，现被
称为“推广的斐波那契数列”，
33
即从任何两个正整数开始，往后的每
一个数是其前两个数之和，由此构成无穷
2187瓶呢？ 7次
利用天平找次品的时候，把待测物 品分成3份，能够平均分的平均分成 3份，一定保证找出次品而且称的次 数最少 。
五、数学的统一美
数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得 到同一个结果”的情形是屡见不鲜的。
这反映了客观世界的多样性和统一性，也反 映了数学的统一美。
黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问 题的例子
2
例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢 的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每 吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000 克到2000克之间，现求最佳加入量，误差 不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入 100克，1002克，…，1000克，做1千次试 验，就能发现最佳方案。
3
一种动脑筋的办法是二分法，取1000克2000 克的中点1500克。再取进一步二分法的中点1250 克与1750克，分别做两次试验。如果1750克处效 果较差，就删去1750克到2000克的一段，如果 1250克处效果较差，就删去1000克到1250克的一 段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果 决定下一次的取舍，这种“二分法”会不断接近 最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大 减少。
Ln
1
2
5
n
1
2
5
n
35
推广的斐波那契数列与斐波那契数列 一样，与黄金分割有密切的联系：该数列 相邻两数之比，交替地大于或小于黄金 比；并且，两数之比的差随项数的增加而 越来越小，趋近于0，从而这个比存在极 限；而且这个比的极限也是黄金比 5 1。
2
36
类似于前面提到的数列
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , , un1 , un , 1 2 3 5 8 13 vn1 vn
事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的 任一个点都可以作为“满意”的点了，因为最优 点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小 于纸条的长。
13
0.618这个“黄金比”能产生“优 选法”，这告诉我们，美的东西与有 用的东西之间，常常是有联系的。
14
3． 最优化数学
生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共 同的追求目标是：最多、最快、最好、最省。这发 展成一门“最优化数学”，包括规化论（线性规划、 非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多 目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优 选法、多因素正交实验法、分批实验法），组合最 优化等等。
图形符号
名称
功能
终端框（起止框） 一个算法的起始和结束
输入、输出框 一个算法输入和输出的信息
处理框（执行框） 赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，出 口成立标“是”不成立标 “否”
或
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
开始 输入n
i=2
顺序结构
求n除以i的余数r i的值增加1，仍用i表示
i>n-1或r=0?
9（3，3，3）
9（1，1，1，1，1，1，1，1，1）
3次 3次
2次
4次
把9 个待测物品分成3 部分， 并且平均分，能够保证找出次
品，而且称的次数最少。
是不是在所有的找次品问题中，这样平均分成 3 份的方法都能保证找出次品，而且所需要的
次数一定最少呢？
如果有12 个，其中一个是次品， 按我们刚才的发现，应该怎么分， 称的次数就最少而且保证能找出