四川省绵阳市高中2018级第一次诊断性考试理科数学(含答案)

1秘密★启用前【考试时间： 2020年11月1日15: 00— 17: 00】四川省绵阳市高中2018级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题 答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后， 将答题卡交回。

一 、 选择题：本大题共12小题， 每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1. 已知A = {x |0< x <2}, B = {x |x (l −x )≥0}, 则A B =A.∅B.(−∞,1]C. [l, 2)D.(0,1]2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是A.y =tan xB.y =ln xC.y =x 3D.y =x 23. 若log a b > 1, 其中a >0且a ≠1， b >1, 则A.0<a <l<bB.1<a <bC.1<b <aD.1<b <a 24. 函数ππ()sin()24f x x =+的图象的一条对称轴是A.x =−3B. x =0C.x=π2D. x=32−5. 函数2()ln ||f x x x x=+的大致图象是6. 已知命题p : 在△ABC 中，若cos A =cos B , 则A =B ；命题q : 向量a 与向量b相等的充要条件2是|a |=| b |且a //b ．下列四个命题是真命题的是 A.p ∧(⌝q )B. (⌝p ) ∧(⌝q )C.(⌝p )∧qD. p ∧q7.若曲线y =(0, −1)处的切线与曲线y =ln x 在点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为A.(e,1)B.(1,0)C. (2, ln2)D. 1(,ln 2)2−8. 已知菱形ABCD 的对角线 相交于点O , 点E 为AO 的中 点， 若AB =2, ∠BAD =60°,则AB DE ⋅＝ A.−2B. 12−C. 72−D. 129. 若a <b < 0, 则下列不等式中成立的是A. 11a b a<− B. 11a b b a+>+C.11b b a a −<−D. (1)(1)a b a b −>−10. 某城市要在广场中央的圆形地面设计 一块浮雕，彰显城市积极向上的活力．某公司设计方案如图， 等腰△PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上， 点M , N 在半径为10m 的小⊙O 上， 圆心O 与点P 都在弦MN 的同侧． 设弦MN 与对应劣弧所围成的弓形面积为S , △OPM 与△OPN 的面积之和为S 1,∠MON =2α, 当S 1−S 的值最大时，该设计方案最美， 则此时cos α= A. 12C.11. 数列{a n }满足21121n n n a a a ++=−,2411,59a a ==,数列{b n }的前n 项和为S n ,若b n =a n a n +1，则使不等式427n S >成立的n 的最小值为 A. 11B. 12C. 13D. 1412. 若1823,23a b +==，则以下 结论正确的有 ①b −a <1 ②112a b+> ③34ab > ④22b a > A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．313. 已知向量a =(l, 0), b =(l, 1), 且a +λb 与a 垂直，则实数λ＝ ．14. 若实数x ,y 满足0,,22,x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则z =2x +y 的最大值为 ．15. 已知sin x +cos y =14, 则sin x −sin 2y 的最大值为 ．16. 若函数f (x )=(x 2 +ax +2a )e x 在区间(−2, 1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考 题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. (12分)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 3=15, a 1·a 2=a 7 . (1)求a n ;(2)若2(1)n a n n b a =+−⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .18. (12分）已知函数π()sin())6f x x x x =+∈R . (1)判断函数f (x )在π[0,]2上的单调性；(2)将函数f (x )的图象向右平移14个周期后得到函数g(x )的图象，求函数g(x )在区间π[0,]2上的值域.19. (12分）在△ABC 中， 角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,已知πsin cos()6c A a C =−. (1)求角C 的大小;(2)若1cos ,77B c =−=,求AB 边上的高．420. (12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0 时，21()1x f x x+=+.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对于任意实数x , 不等式f (e 2x ) +2af (e x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．21. (12分）已知函数3224()22()32a f x x x ax a +=−++∈R . (1)若函数f (x ) 在(0, 2)上有唯一零点，求a 的取值范围；(2)当0<a <43时，求证：对任意的125,[0,]2x x ∈,都有128|()()|3f x f x −<.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22. [选修4-4: 坐标系与参数方程] (10分）在极坐标系中，O 为极点，如图所示，已知M π)6以OM 为直径作圆C .(1)求圆C 的极坐标方程 ；(2)若P 为圆C 左上半圆弧OM 的三等分点，求P 点的极坐标．23. [选修4-5: 不等式选讲] (10分)已知函数()|21||23|f x x x =+−− 。

(1)在如右的网格图中画出函数f (x )的图象； (2)若实数m 满足f (2m −1)<f (2m +l),求m 的取值范围．理科数学答案第 1 页（共6页）四川省绵阳市高中2018级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCBDA ADBCB CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-114．615．91616．3(0]4，−三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．∵ 31232315S a a a a =++==，得25a =．又217a a a ⋅=，得222()5a d a a d −⋅=+， ………………………………………3分 即5(5)55d d −=+， 解得d =2．∴ 2(2)22+1n a a n n =+−⨯=． ………………………………………………6分 （2）由题意得212(1)(21)24(1)(21)n n n n n b n n +=+−⋅+=⨯+−⋅+ ， ∴ 122(444)[3579(1)21)](n n n T n =++⋯++−+−+−⋅⋅⋅+−+8(41)3n n G −=+． ……………………………………………………………9分当2n k =(k ∈N *)时，22n nG n =⨯=， ∴ 8(41)3n n T n −=+．当21n k =−(k ∈N *)时，()122122n n G n n −=⨯−+=−−， ∴ 8(41)23n n T n −=−−，∴ **8(41)(2)38(41)2(21)3，，，．n n n n n k k T n n k k ⎧−+=∈⎪⎪=⎨−⎪−−=−∈⎪⎩N N …………………………………12分理科数学答案第 2 页（共6页）18．解：（1）π()sin()6f x x x =⋅+1cos )2x x x =+23sin cos x x x =31cos2sin 222x x +=π)6x =+． ………………………………………………4分由πππ2π22π262k x k −++≤≤(k ∈Z )可得 ππππ36k x k −+≤≤(k ∈Z )， 即当x ∈ππ[ππ]36，k k −+(k ∈Z )时，函数()f x 单调递增， 同理可得：当x ∈π2π[ππ]63，k k ++(k ∈Z )时，函数()f x 单调递减， 又π[0]2，x ∈，∴ 函数)(x f 在π[0]6，上单调递增，)(x f 在ππ[]62，上单调递减． ……………8分（2）由题意得πππ())])463g x x x −+=−．∵ π02≤≤x ， ∴ ππ2π2333≤≤x −−，∴π)[1]3x −∈，∴3()[2g x ∈−． …………………………………………………………12分19．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得πsin sin sin cos()6C A A C =−，∵ 0πA <<∴sin 0A ≠， ∴π1sin cos()sin 62C C C C =−+，理科数学答案第 3 页（共6页）即sin C C，得tan C = ∵0πC <<， ∴ π3C =． ……………………………………………………………………6分 （2）由题意得sin B ==． 在△ABC 中， 由正弦定理得sin 8sin AB BAC C⋅==． …………………………8分π1sin sin()sin 32A B B B =+=+=， ∴ AB边上的高sin h AC A =⋅=． ………………………………………12分 20．解：（1）当x =0时，f (x )=0；当x >0时，f (x )=-f (-x )=22()11[1]1x x x x −++−+=−−；综上，所述22110()00110，，，，，．x x x f x x x x x ⎧+−>⎪⎪⎪==⎨⎪+⎪+<⎪⎩…………………………………………5分（2）不等式2(e )2(e )0≥x x f af +， 等价于2211e 12(e 1)0e e ≥x x x xa +−++−， 等价于211(e )32(e 1)0e e ≥x x x xa +−++−． ……………………………………8分 令1e [2)e ，x xt =+∈+∞． 由题意得关于t 的不等式22(1)30≥t a t +−−恒成立，即2321≥t a t −−−，令232()(1)211t g t t t t −=−=−−+−−−，………………………10分 易得函数)(t g 在区间[2)，+∞上单调递减， ∴2(2)1≥a g =−， ∴12≥a −． ……………………………………………………………………12分理科数学答案第 4 页（共6页）21．解：（1）2()2(4)22()(2)2af x x a x a x x '=−++=−−．①当a ≥4时，()0f x '>在(0，2)上恒成立， ∴ 函数)(x f 在(0，2)上单调递增, 又(0)f =2>0，∴ 函数)(x f 在(0，2)上无零点． ……………………………………………2分②当0<a <4时，易知函数)(x f 在(0)2，a 上单调递增，在(2)2，a上单调递减.要使函数()f x 在(0，2)上有唯一零点， 则2(2)203f a =−<，即13a <.∴ 103a <<.③当a ≤0时，0)(<'x f 在(0，2)上恒成立， ∴ 函数)(x f 在(0，2)上单调递减. 又02)0(>=f ,0322)2(<−=a f , ∴ 函数)(x f 在(0，2)上有唯一零点.综上，所述实数a 的取值范围为13a <. ………………………………………6分（2）由（1）得函数)(x f 在(0)2，a上单调递增，在(2)2，a 上单调递减,在5(2)2，上单调递增.02)0(>=f ，极小值2(2)23f a =−，极大值3211()22242a f a a =−++,5151()2812f a =−. ……………………………8分当125[0]2，，x x ∈时，12max max 5()()|{()()}(2)22|，a f x f x f f f −=−.令321184()()(2)2(0)224233a g a f f a a a a =−=−+−+<<，则2211()2(4)088=-g a a a a '=−+−−<，∴)(a g 在4(0)3，上单调递减，理科数学答案第 5 页（共6页）∴38)0()(=<g a g ． ……………………………………………………………10分 令517()()(2)2812h a f f a =−=−+，显然h (a )在4(0)3，上单调递减，∴78()(0)123h a h <=<. 综上，当403a <<时，对任意的125[0]2，，x x ∈，都有128()()|3|f x f x −<． ………………………………………………………12分22．解：（1）设点()A ρθ，为圆上任一点，则OA ρ=，π6AOM θ∠=−， 在Rt △AOM中，π)6ρθ=−.∴ 圆C的极坐标方程为π)6ρθ=−，(π3−≤θ≤2π3).…………………5分 （2）圆C 左上半圆弧OM 的三等分点对应的极角分别1π3θ=，2π2θ=. 代入圆C 的极坐标方程中，∴ 圆C 左上半圆弧OM 的三等分点分别为1π(6)3，P ，2π)2，P ．………10分 23．解：（1）由已知条件可得，34213()4222142，≥，，，，≤．x f x x x x ⎧⎪⎪⎪=−−<<⎨⎪⎪−−⎪⎩……………………3分作出函数图象如右图． ……………………………5分（2）由（1）的图象可得，实数m满足532122m−<−<(或172122m−<+<)，解得35 44m−<<，∴实数m的取值范围为35()44，−．…………………………………………10分理科数学答案第 6 页（共6页）。