2.1.1类比推理

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1.归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理； ⑶ 检验猜想。
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
2.类比推理的一般步骤： ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似 特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的 特征,从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
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几何中常见的类比对象
c2=a2+b2 猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
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例4：已知 ABC 三边长为a , b, c , 面积为S,则
2S ABC内切圆半径r= ___________ . abc
分析：面积法
1 由2r(a+b+c)=S 2S r= a+b+c
16 16
变式： 已知 ABC 三边长为a , b, c , 面积为S,则 2S ABC内切圆半径r= . abc 根据类比推理的方法, 若一个四面体A-BCD四个面的 A 面积分别为S1 , S 2 , S 3 , S4 , 体积为V ，
nm
商
和
积
①an= am· n-m q ② an÷ am= qn-m
质
③若m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq ④若 p+q=2n,ap+ aq= 2an
③若m＋n＝p＋q， 则am·n＝ap·q a a
④若 p+q=2n,ap· q= a122 a n
利用平面向量的性质类比得 空间向量的性质
D1 A1
B1
D
C
D C
A B
20
A
B
S PA ' B ' PA'PB' B' 2．由上图（左）有面积关系： S PAB PA PB
B
B'
则由上图（右），则类似的结论是：
A' A
P
P
VP A'B 'C ' VP ABC
PA'PB'PC ' PA PB PC
21
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合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的 事实，经过观察、分析、比较、联想， 再进行归纳、类比，然后提出猜想的 推理，把它们统称为合情推理
从具体问 题出发 观察、分析 比较、联想 归纳 类比 提出 猜想
30
只要你在思考数学，你 就在分析、推理……
31
探究：如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金
构成几何体的元素数目： 四面体
三角形
14
例3.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给
出空间中四面体性质的猜想．
Ｂ A
a
Ｃ
c
Ａ b 直角三角形 B
s1 os2 s3
C
3个面两两垂直的四面体
∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝90°
∠C＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜 3个“直角面” S1，S2，S3和1 个“斜面” S 边c
R ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1(a≠0) x=1/a
1*a=a
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例2. 等差数列｛an｝中
等比数列｛an｝中
概 n 2时，均有a a ＝常数 n 2时，均有 an ＝常数 n n 1 an 1 念 相似点：都是相邻两项的关系，都为常数 差
性 ①an= am+(n-m)d ② d an am
④
⑤ a // b a1 b1 , a2 b2 ( R) ⑤ a // b a b , a b , a b ( R) 1 1 2 2 3 3
a b a1b1 a2 b2
④ a b a1b1 a2 b2 a3 b3
9
’
9
在数学中,由已经解决的问题和已经获得的知 识出发,通过类比而提出新问题和作出新发现.
如:
立体几何与平面几何的类比
向量与数的类比 无限与有限的类比 不等与相等的类比 ……
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例1 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运 算性质.
类比角度 运算结果 运算律 逆运算 单位元 实数的加法 R a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+x=0 x=-a 0+a=a 实数的乘法
圆 三角形 正方形
空 间 正方体 球
三棱锥
注意:进行类比 时,合理地确定 类比对象是非常 重要的,否则会 使类比成为“乱比”
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练习：
1.如图，在平行四边形 ABCD中，有
AC BD 2 AB AD
2 2 2

2

C1
那么，在平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 中，有 2 2 2 2 2 2 2 AC1 BD1 CA1 DB1 4( AB AD AA1 )
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推理过程: 将球与圆作类比, 发现球存在一些与圆类似的特征, 而已知圆的一些已知特征, 由此可以推测球的类似特征.
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三、新课讲解 1.类比推理的定义：由两类对象具 有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类 比推理(简称类比)。
2.特点 ：
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理。 (2) 类 比 推 理 的 结 果 具 有 猜 测 性 ， 不 一定可靠。却具有发现的功能。
第1个圆环从1到3.
2
1
3
34 34
设 a n为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1＝1 n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3.
前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
35 35
设 a n为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1＝1 n＝2时，a2＝3
属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一 根针上. (1)每次只能移动1个金属片； (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移 动多少次？
2
1
3
33 33
设 a n为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1＝1
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
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类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
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小结
归纳推理 由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理 由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理的一般步骤
找出两类对象之间可以确切表述的相似 特征； 用一类对象的已知特征去猜测另一类对 象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
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类比推理的特点
类比推理是由特殊到特殊的推理 • 类比是从人们已经掌握了的事物的特征,推 测正在研究的事物的特征,所以类比推理的 结果具有猜测性，不一定可靠 • 类比推理是以旧有的知识为基础,推测出新 的结果，具有发现的功能 • 类比推理的关键是明确指出两类对象在某 些方面的类似特征
若 a ( a1 , a 2 ) ， b ( b1 , b2 )则
① a b (a1 b1 , a2 b2 )
平面向量
空间向量
b 若a (a1 , a2 , a3 ) ， (b1 , b2 , b3 ) 则
① a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 ) ② a b (a b , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3 ③ a ( a1 , a2 )( R ) ③ a ( a1 , a2 , a3 )( R)
科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的? 对比火星与地 球之间的某些 相似特征 从地球的一个 已知特征(有生 命存在)出发 猜想火星 也可能有 该特征
4
4、在研究球体时,自然联想到圆.
试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
则四面体的内切球半径 R ________________ .
O
O B
3V S1 S 2 S 3 S4
D
C
17 Fra Baidu bibliotek7
运用类比法的关键是： 寻找一个合适的类比对象
平面图形（二维） 点 线 周长 立体图形（三维） 点或线 线或面 面积 体积 空间直角坐标系
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面积 平面直角坐标系
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我们要根据实际情况选择适当的类 比对象．如： 平 面
第1个圆环从1到3.
前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
a n＝3时， 3 ＝7
前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
an 2 1
n
2
1
3
36 36
探究:把n个金属片从1号针移到3号针, 怎样移动才能达到最少的移动次数?
合情推理 ——类比推理
1
一、复习回顾：
1、什么是归纳推理？ 由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理, 称为归纳推理.(简称归纳) 2、归纳推理的步骤:
实验观察
大胆猜想
2
二、情景引入：
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称 鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
⑥ a b a1b1 a2 b2 0 ⑥ a b a b a b a b 0 1 1 2 2 3 3
⑦ | a | a12 a 22
⑦ | a | a12 a22 a32
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运用类比法的关键是：
寻找一个合适的类比对象
你认为平面几何中的哪一类图形 可以作为四面体的类比对象?
圆
球
弦 截面圆 . . 大圆 直径 周长 表面积 面积 体积 探究：类比圆的特征，说说球的相关特征，并说 明推理的过程。 5
利用圆的性质类比得出求的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦（非直径）中点的连 线垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
圆
三角形 四边形
球
四面体（各面均为三角形） 六面体（各面均为四边形）
代数中常见的类比对象 数 向量 方程 函数 不等式 交集，并集，补集 或，且，非运算
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完成下面猜想并指出下列哪些是归纳推理：
1.铜、铁、铝、银都能导电。 猜想：一切金属都能导电 2、服装涨价了、食用油、文具价格都涨价了。 猜想：物价上涨了 3、三角形内角和180º ，四边形内角和180º x2，五边形内 角和180º x3。 猜想：n边形内角和180º x（n-2） 4.地球上存在生命，火星表面某些环境与地球相似 猜想：火星上也有生命 5.氢氧化钠与盐酸进行中和反应，碳酸钠与氢氧化钠一样 是碱性的。 猜想：碳酸钠也可以与盐酸进行中和反应 其中1、2、3为归纳推理 4,5为类比推理
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的.
2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇.
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3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球 有许多类似的特征： 1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些 已知生物的生存,等等. 科学家猜想：火星上也可能有生命存在.
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3、进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的 特征，从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
4、类比推理的一般模式: A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .