8-3-1逻辑推理.题库教师版
8-3逻辑推理
教学目标
1.掌握逻辑推理的解题思路与基本方法：列表、假设、对比分析、数论分析法等
2.培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口
3.能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题
知识点拨
逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。
一列表推理法
逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.
二、假设推理
用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．
解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设
三、体育比赛中的数学
对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。
四、计算中的逻辑推理
能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题.
例题精讲
模块一、列表推理法
【例 1】刚、马辉、强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刚和小丽对强和小英；第二盘：强和小红对刚和马辉的妹妹．问：三个男
孩的妹妹分别是谁？
【解析】因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刚与小丽、强与小英、强与小红都不是兄妹．由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹．将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表．
李强马辉刘刚小丽小红小英××××李强马辉
刘刚
小丽
小红小英×√×
××××√√
刚与小红、马辉与小英、强与小丽分别是兄妹．
【巩固】 王文、贝、丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴贝从未上过天；⑵跳伞运动员已得
过两块金牌；⑶丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、贝、
丽各是什么运动员？
【解析】 为了能清楚地找到所给条件之间的关系，我们不妨运用列表法，列出下表，在表中“√”表示是，
“×”表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“√”，可推出其它两格是“×”
由⑴⑶可知贝、丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；由⑶可知，丽也不
是田径运动员，可填出第三列，即丽是游泳运动员，则贝是田径运动员．
【巩固】 波、顾锋、英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教
学，每人教两门．现知道：
⑴ 顾锋最年轻；
⑵ ⑵波喜欢与体育老师、数学老师交谈；
⑶ ⑶体育老师和图画老师都比政治老师年龄大；
⑷ ⑷顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；
⑸ 英与语文老师是邻居．问：各人分别教哪两门课程？
【解析】 波教语文、图画，顾锋教数学、政治，英教音乐、体育．由⑴⑶⑷推知顾锋教数学和政治；由⑵
推知英教体育；由⑶⑸推知波教图画、语文．
【巩固】 王平、宋丹、涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一
次数学测验，这三个人的成绩是：⑴涛比大队长的成绩好．⑵王平和中队长的成绩不相同．⑶中
队长比宋丹的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？
【解析】 根据条件⑵和⑶，王平和中队长的成绩不相同，中队长比宋丹的成绩差．，可以断定，王平不是
中队长，宋丹也不是中队长，只有涛当中队长了．
王平和宋丹两人谁是大队长呢？由⑴和⑶，涛比大队长的成绩好，中队长比宋丹的成绩差，可以
推断出按成绩高低排列的话，宋丹的成绩比中队长（涛）的成绩好，涛的成绩比大队长的成绩好．这
样，宋丹、涛就都不是大队长，那么，大队长肯定是王平．
【例 2】 明、席辉和刚在、和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴明不在工作，席辉
不在工作；⑵在工作的不是教师；⑶在工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？
各是什么职业？
【解析】 这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系．三
者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表．
我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件⑴得到表1，由条件⑵、⑶得到表2，由条件⑷得到表3．
因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表2可填全为表5．
由表5知农民在工作，又知席辉不是农民，所以席辉不在工作，可以将表1可填全完为表4由表4和表5知得到：明住在，是工人；席辉住在天津，是教师；刚住在，是农民．方法二：由题目条件可知：席辉不在工作，而在工作的是工人，所以席辉不是工人，又不是农
民，那么席辉只能是教师，不在工作，就只能是在天津工作，那么明在工作，是工人。刚
在，是农民。
【巩固】甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是、广西、，他们的职业分别是教师、工人、演员．已知：⑴甲不是人，乙不是广西人；⑵人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人．
求这三人各自的籍贯和职业．
【解析】由题意可画出下面三个表：
将表3补全为表4．由表4知，工人是人，而乙不是工人，所以乙不是人，由此可将表1补全为表5．
所以，甲是广西人，职业是教师；乙是人，职业是演员；丙是人，职业是工人．
方法二：将能判断的条件先列入图表中，广西人是教师，但是乙不是广西人，所以乙不是教师，乙又不是工人，所以乙为演员。在对应的地方打上“√”，对应的行列均打“×”。但是人不是演
员，所以乙不是人，乙就是人，所以甲是广西人，职业是教师；乙是人，职业是演员；丙是人，职业是工人。
【巩固】小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？
【解析】这道题比上例复杂，因为要判断人、学校和爱好三个容。先将题目条件中给出的关系用下面的表
1、表
2、表3表示：
因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。
由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小
花
在一小上学，爱好游泳。
【巩固】小王、小和小一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？
【解析】这道题目并不难，聪明的小朋友思考一下就能得到答案，但是今天我们通过这道题目一起
来学习一个十分有用的方法：列表分析法。由题目条件可以知道：小不是教师，小王不是
农民，小不是农民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。
因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小是农民，
于是得到右上表。因为农民小比小年龄小，又小比教师年龄大，所以小比教师年龄大，
即小不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小是工人，小是农民，小王是教师。
例题中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题
时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是：①第一步应
将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列
只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。
【例 3】甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察．已知：⑴教师不知道甲的职业；
⑵医生曾给乙治过病；⑶律师是丙的法律顾问（经常见面）；⑷丁不是律师；⑸乙和丙从未见过
面．那么甲、乙、丙、丁的职业依次是：．
【解析】律师、教师、警察．由⑶可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由⑸知乙不是律师，又由⑷
可知甲是律师．于是由⑴和⑶知丙不是教师，由⑵和⑸知丙不是医生，从而丙是警察．再由⑵知乙是教师，丁是医生．
列表如下（列表的好处在于直观明了，不会犯错误）：
【巩固】徐、王、、四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。（1）电工只和车工下棋；（2）王、两位师傅经常与木工下棋；（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；（4）师傅比钳
工下得好。问：徐、王、、四位师傅各从事什么工种？
【解析】徐是车工，王是钳工，是木工，是电工。
【巩固】甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好．⑵甲和中队长的成绩不相同．⑶中队长
比乙的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？
【解析】根据条件⑵和⑶，甲和中队长的成绩不相同，中队长比乙的成绩差，可以断定，甲不是中队长，乙也不是中队长，只有丙是中队长了（也可以列表确定中队长）．甲和乙两人谁是大队长呢？由
⑴和⑶，丙比大队长的成绩好，中队长比乙的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，乙的成
绩比中队长（丙）的成绩好，丙的成绩比大队长的成绩好．这样，乙、丙就都不是大队长，那么，大队长肯定是甲．
【巩固】甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地．
甲说：“我和乙都住在，丙住在天津．”
乙说：“我和丁都住在，丙住在天津．”
丙说：“我和甲都不住在，何伟住在．”
丁说：“甲和乙都住在，我住在．”
假定他们每个人都说了两句真话，一句假话．问：不在场的何伟住在哪儿？
【解析】 因为甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真
话，推出乙既住在又住在，矛盾．所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话．因为甲的前两句
话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话“我住在”是真的．由此知
乙的第二句话“丁住在”是假话，第一句“我住在”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一
句“我住在”是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在”是真话．所以，何伟
住在．
【巩固】 A ，B ，C ，D 分别是中国、日本、美国和法国人.已知：⑴A 和中国人是医生；⑵B 和法国人
是教师；⑶C 和日本人职业不同；⑷D 不会看病.问：A ，B ，C ，D 各是哪国人，
【解析】 有⑴⑵可知，A 、B 都不是中国人和法国人，再由⑴⑷知，D 也不是中国人，所以，C 是中国人，
由⑶，日本人也是教师，从而推知，D 是法国人，得下表：
最后由C 是中国人及⑴⑶，推知日本人是教师，再由⑵知B 是日本人.
【巩固】 根据条件判断旅游团去了A 、B 、C 、D 、E 中的哪几个地方？
⑴如果去A ，就必须去B ；
⑵D 、E 两地至少去一地；
⑶B 、C 两地只能去一地；
⑷C 、E 两地要去都去，要不去都不去；
⑸若去D ，则A 、E 两地必须去.
【解析】 从⑶入手，分别假设去B 或C ：⑶若去B 则不能去C ，⑷也不能去E ，⑵只能去D .⑸必须去A 、
E ，与不能去E 矛盾.所以不能去B 假设去C ：⑷必去E ，⑵需去D ，⑸必须去A 、E ，⑴去A 必
须去B ，与⑶B 、C 不能同去矛盾，所以不能去D ．综上只能去C 、E .
【例 4】 甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他
们在一起交谈可有趣啦：⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁
不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、
法两种语言．请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？
【解析】 由⑴⑵⑷可得下表，其中丙不会日语是因为甲会日语，且甲与丙交谈需要翻译．由下表看出，甲
会的另一种语言不是中文就是英语．
丁丙
乙
甲
日法英中
×××√× 先假设甲会说中文．由⑵知，丁也会中文；由⑴知丙不会中文，再由每人会两种语言，知丙会英、
法语（见左下表：由⑴⑷推知乙会中文和法语；再由⑶及每人会两种语言，推知丁会英语（见右
下表）．结果符合题意．
丁
丙
乙
甲
日
法
英
中
×
√
√
√
×
×
×
×
√
√
×
√
√
√
丁
丙
乙
甲
日
法
英
中
×
√
√
√
×
×
×
×
×
×
√
√
×
再假设甲会说英语．由⑵知，丁也会英语；由⑴知丙不会英语，再由每人会两种语言，知丙会中文和法语（见左下表）；由⑴⑷推知，乙会中文和日语；再由⑶及每人会两种语言，推知丁会法语（见右下表）．右下表与“有一种语言只有一人会说”矛盾．假设不成立．
√
丁
丙
乙
甲
日
法
英
中
×
√
√
√
×
×
×
×
√
×
√
√√
丁
丙
乙
甲
日
法
英
中
×
√
√
√
×
×
×
×
×
×
√
√
×
所以甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语．
【巩固】宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠
军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸
贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？【解析】由⑵知，宝宝不是跳高冠军和大作家；由⑸知，贝贝不是大作家；由⑹知，贝贝、聪聪都不是小画家，可以得到下表：
因为宝宝是小画家，所以由⑶⑷知宝宝不是短跑健将和数学博士，推知宝宝是歌唱家，因为聪聪是大作家，所以由⑵知聪聪不是跳高冠军，推知贝贝是跳高冠军，因为贝贝是跳高冠军，所以由
⑴知贝贝不是数学博士，将上面结论依次填入上表，得到下表：
所以，宝宝是小画家和歌唱家，贝贝是短跑健将和跳高冠军，聪聪是数学博士和大作家．
【例 5】（2007年省“创新杯”初赛）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：3班第一名，2班第二名，1班第三名，4班第四名．小华猜想比赛的结果是：2班第一名，4班第二名，
3班第三名，1班第四名．结果只有小华猜到的4班为第二名是正确的．那么这次竞赛的名次是
班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。
【解析】方法一：依题意，3班不为第一名也不为第三名，那么3班为第四名．同样，2班不为第二名也不为第一名，那么2班为第三名．1班不为第三名也不为第四名，那么1班为第一名．故第一名到第四名依次为1班，4班，2班，3班．
方法二：我们可以将两人的猜测结果列成表格形式，将小明猜想结果用“▲”表示，小华猜测结
果用“★”表示，列表如下：
由题意知只有小华猜到的4班为第二名正确，其他的全是错误的，所以很容易确定各班名次
（打√的即为正确的名次）
方法二：题目中只有小华猜到4班为第二名是正确的，那么其他的猜想均为错误的。在其对应的
地方打“×”，正确的则打“√”。
【巩固】甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序．在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测．甲猜：乙第三，丙第五．乙猜：戊第四，丁第五．丙猜：甲第一，戊第四．丁猜：丙第一，乙第二．戊猜：甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是__________；第三是__________．
【解析】题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序，每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过，其中戊被
乙和丙猜的都是第四，由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，所以戊是第四（否则戊的出赛顺序没有人猜中），以此为突破口。由于戊是第四，则在第四列其余地方均打“×”则丁不能第四，所以丁的出赛顺序被乙猜中，为第五，则丙不能是第五，丙只能是第一，甲不能是第一，故甲是第三，乙是第二，所以答案为：第一是丙，第三是甲．
【例 6】红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有A、B、C、
D、E五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包．
A猜：第二包是紫的，第三包是黄的；B猜：第二包是蓝的，第四包是红的；
C猜：第一包是红的，第五包是白的；D猜：第三包是蓝的，第四包是白的；
E猜：第二包是黄的，第五包是紫的．
猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对．请你判断他们各
猜对了其中的哪一包？
【解析】方法一：题目要求A、B、C、D、E五个人在猜每包珠子的颜色时每人只猜两包且每人都只猜对了一包每包只有一人猜对，所以观察五包珠子中第一包只有C猜，所以C猜对了第一包，又根据每人只猜对了一种，所以C猜第五包是白的，猜错了；第五包只有C、E两人猜，所以E猜第五包是紫的，猜对了；那么E猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有A、E两人猜，那么A猜第二包是紫的，猜错了；第二包有A，B，E三人猜，其中A，E都猜错了，所以B猜第二包是蓝的，猜对了；那么B猜第四包是红的，猜错了；所以D猜对的是第四包，是白的．D猜第三包是蓝的，也猜错了；所以A猜对的是第三包，是黄的；
总结以上推理判断，A猜对了第三包是黄的，B猜对了第二包是蓝的，C猜对了第一包是红的，D猜对了第四包是白的，E猜对了第五包是紫的．
方法二：分析同方法一，第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上“×”
第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。
【巩固】五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片．现在把它们按顺序排成一行，让A、B、C、D、E五人猜每只信封所装卡片的颜色．
A猜：第2封是紫色，第3封是黄色；
B猜：第2封是蓝色，第4封是红色；
C猜：第1封是红色，第5封是白色；
D猜：第3封是蓝色，第4封是白色；
E猜：第2封是黄色，第5封是紫色．
然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中．请你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片？
【解析】把已知条件简明地记录在表格中．选择其中一只信封作为“突破口”．比如第3封，A猜的是黄色，D猜的却是蓝色．由已知条件，这只信封的卡片不是蓝色，就是黄色．假如第3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾：白色卡片没人猜对．这说明假设不正确，第3封应是黄色．由此推出其它各封的颜色．
【巩固】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）老师在3个小箱中各放一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球．
小明说：“1号箱中放的是黄色的，2号箱中放的是黑色的，3号箱中放的是红色的．”
小亮说：“1号箱中放的是橙色的，2号箱中放的是黑色的，3号箱中放的是绿色的．”
小强说：“1号箱中放的是紫色的，2号箱中放的是黄色的，3号箱中放的是蓝色的．”
小佳说：“1号箱中放的是橙色的，2号箱中放的是绿色的，3号箱中放的是紫色的．”
老师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个．”
那么3号箱子中放的是________色的球．
【解析】由于猜中的总次数为5次，所以有一个箱子至少被猜中了2次以上，从而这个箱子只能是2号箱，推理得出只能是小亮对了2次，其他人只对一次，所以1号箱只能是橙色的，那么3号箱的颜色是蓝色的．
【巩固】四卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一上写一个字），取出三字朝下放在桌上，A、B、C三人分别猜每卡片上是什么字，猜的情况见下表：
结果，有一人一也没猜中，一人猜中两，另一人猜中三.问：这三卡片上各写着什么字．
【解析】A、B有两猜的相同，必有一人全对，一人对两，因此，C全错，推知B全对.
【例 7】老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了．现在知道：⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；⑵小贝拿
的不是小丸子的，也不是小淘气的；⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；⑷小淘气拿
的不是小丸子的，也不是小马虎的；⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的．另外，没有
两人相互拿错(例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的)．问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁
拿走了？
【解析】根据“全发错了”及条件⑴～⑸，可以得到下表：
由表1看出，小淘气的本被小丸子拿了．此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法．由上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的．先假设小胖拿了小丸子的本．于是得到下表，表中小贝拿小马虎的本，小马虎拿小贝的本．两人相互拿错，不合题意．
再假设小胖拿小马虎的本．于是又可得表，经检验，下表符合题意．
所以小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了．
模块二、假设推理
【例 8】甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎．有一次谈到他们的职业．甲说：“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师．”乙说：“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲
会说他是油漆匠．”丙说：“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察．”你知道谁总说谎吗？【解析】甲．如果甲从不说谎，那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾；同理，如果丙从不说谎，也将推出矛盾．
【巩固】在神话王国，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝，小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子．”，小蓝说：“小白和我不同，一个是骑
士，一个是骗子．”国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子．你能判断出吗？
【解析】假设小白是骑士（说实话），则小蓝是骑士，小黑是骗子；又因为小蓝是骑士，那么小白、小蓝不同，一个是骑士，一个是骗子，与小白、小蓝均为骑士矛盾．假设小白是骗子（说假话），那么小蓝是骗子，小黑是骑士，又因为小蓝是骗子，所以小白、小蓝不同是假话．因此，小白、小蓝是骗子，小黑是骑士.
【巩固】一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话．请提一个尽量简单的问题，使两人的回答相同．这个问题可以是.
【解析】这个问题可以是：你是老实人吗?如果问的问题是客观的，也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话，那么他们的回答肯定不一样．所以要问一个与他们自身相关的问题，例如你是老实人吗?或者问你是骗子吗?这样他们的回答才会一样．
【巩固】甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：（1）三人都说谎；（2）三人都不说谎；（3）三人中只有一人说
谎；（4）三人中只有一人不说谎。
【解析】（4）正确。
【例 9】某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了
一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？
【解析】丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。
【巩固】三只小猴子聪聪、淘淘、皮皮见到一个水果，他们分别判断这是什么水果：聪聪判断：不是苹果，也不是梨．淘淘判断：不是苹果，而是桃子．皮皮判断：不是桃子，而是苹果．老猴子告诉他们：有一只小猴子的判断完全正确，有一只小猴子说对了一半，而另一只小猴子完全说错了．你知道
三只小猴中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？
【解析】先设聪聪全对，不是苹果，也不是梨只能是桃子，那么淘淘两句也都说对了，推出矛盾；再设淘淘全对，不是苹果，而是桃子，推出这个水果是桃子，那么聪聪说的也都对了，又推出矛盾；则说明皮皮全对，那么这种水果是苹果，聪聪说对了一半，淘淘全说错了．
【例 10】（2007年福布斯迎奥运数学展示活动）4名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”丙说：“我绝对不会得最后一名．”
丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们4人的预测中只有一人是错误的．请问谁的预测是
错误的？
【解析】假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾．所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的．如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾．所以乙的预测是对的，丁的预测是错的．
【巩固】甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高．”乙说：“我不最矮．”丙说：“我没甲高，但还有人比我矮．”丁说：“我最矮．”实际测量的结果表明，只有一人说错了．请将他们按身高次序从高到矮排列出来．
【解析】丁不可能说错，否则就没有人最矮了．由此知乙没有说错．若甲也没有说错，则没有人说错，矛
盾．所以只有甲一人说错．所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高．所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁．
【巩固】（2009年第七届希望杯一试试题）百米决赛前，小芳对参赛的五名选手的名次作了预测，比赛的结果同她预测的名次全不相同．由下图知小芳预测为第一名的选手的实际名次是第名．
【解析】假设小芳预测第一名、第二名、第三名、第四名、第五名对应的人分别是甲、乙、丙、丁、戊，
由小芳说的话知第四名丁就是实际名次的第一名, 预测的第二名乙就是实际名次的第三名, 预测的第三名丙就是实际名次的第二名,因此实际的第一名、第二名、第三名的人分别是丁、丙、乙，又知道比赛的结果同她预测的名次全不相同,所以小芳预测的第五名戊只能是实际的第四名了，这样实际名次的第五名只能是小芳预测的第一名甲了.（如下表所述）
【例 11】（2007年第一届小学数学世界邀请赛）在期末考试前，学生W、X、Y、Z分别预测他们的成绩是A、B、C或D，评分标准是A比B好，B比C好，C比D好．
W说：“我们的成绩都将不相同．若我的成绩得A，则Y将得D．”
X说：“若Y的成绩得C，则W将得D．W的成绩将比Z好．”
Y说：“若X的成绩不是得到A，则W将得C．若我的成绩得到B，则Z的成绩将不是D．”
Z说：“若Y的成绩得到A，则我将得到B．若X的成绩不是得到B，则我也将不会得到B．”
当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测．请问这四位学生的成绩分别是什么？
【解析】由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测，所以X说：“W的成绩将比Z好”是正确的，这样W将不可能得D，Z不可能得A．这样Y不可能得C（否则W得D）．
⑴如果W得A，那么Y将得D．由于X的成绩不是得到A，那么W将得C，这与W得A矛盾．所
以W不得A．
⑵如果Y得A，那么Z将得到B．但这样W的成绩将不可能比Z好，矛盾．所以Y不得A．
⑶由于W、Y、Z均不得A，那么只有X得A．
⑷如果Y得B，那么Z的成绩将不是D．这样Z的成绩将是C，W的成绩将是D，矛盾．所以
Y不得B．由于Y不得A、B、C，所以Y得D．
⑸由于W的成绩比Z好，所以剩下的B和C只能是W得B，Z得C．
所以W、X、Y、Z的成绩分别是B、A、D、C．
【巩固】一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别供述如下：
甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”
乙说：“我没有作案，是丙偷的．”
丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯．”
丁说：“乙说的是事实．”
经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话．
同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？
【解析】如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话．可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话．即“丙是盗窃犯”．这样一来，甲说的也是对的，不是假话．这样，前后就产生了矛盾．所以甲说的不可能是假话，只能是真话．同理，剩下的三人中只能是丙说真话．乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯．又由甲所述为真话，即甲不是罪犯．再由丙所述为真话，即丁是罪犯．所以乙和丁是盗窃犯．
【巩固】四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？”
宝宝说：“是星星无意打破的。”
星星说：“是乐乐打破的。”
乐乐说：“星星说谎。”
强强说：“反正不是我打破的。”
如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？
【解析】因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。
假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了
实话”矛盾，所以星星说错了。
假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。
宝宝、星星确实都说错了。符合题意。
所以是强强打破了玻璃。
【巩固】（2007年春明心奥数挑战赛）5名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名是凶手．下面5个人的供述中，只有3句是对的：
A说：D是杀人犯；
B说：我是无辜的；
C说：E不是杀人犯；
D说：A在说谎；
E说：B说的是实话．
在这5个人中，是凶手．
【解析】B与E判断相同，要么都对，要么都错．
假设B与E都错，即凶手是B，那么A也错，就出现了3句错的，与“有3句是对的”矛盾．所以B与E都是对的．
余下的3人中还有1人判断是对的，由于A与D互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有3句是对的，那么C必定是错的，所以E是凶手．
【巩固】(2008年第十二届保良局小学数学世界邀请赛个人赛)三位女孩A、B、C进行百米赛跑，裁判
D、E、F在赛前猜测她们之间的名次。D说：“我猜A是第一名。”E说：“我猜C不会是
最后一名。”F说：“我猜B不会是第一名。”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？
【解析】假设A是第一名，那么D猜测正确，F猜测正确，出现矛盾。假设B是第一名，那么D与F猜测错误，而当C为第二名时，E猜测正确。假设C为第一名，那么E、F猜测正确，出现矛盾，所以第一名是B。
【巩固】小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖．已知：⑴小强不是甲校选手；⑵小明不是乙校选手；⑶甲校的选手不是一等奖；⑷乙校
的选手得二等奖；⑸小明不是三等奖．根据上述情况，可判断出小勇是校的选手，他得的
是等奖．
【解析】甲校；三等奖．由⑵、小明得的不是二等奖，由⑸知小明得的不是三等奖，所以小明得的是-等奖，由⑶、⑷知小明是丙校的，由⑴知小强是乙校的，所以小勇是甲校的，他得的是三等奖．
【巩固】甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下．甲：“丙、丁两人中有人做了好事．”
乙：“丙做了好事，我没做．”
丙：“甲、丁中只有一人做了好事．”
丁：“乙说的是事实．”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事
实有出入．到底是谁做了好事？
【解析】我们用假设法来解决．题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入．注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入．
因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙与丁错，甲与丙正确．
⑴假设乙与丁说的话正确．这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，
这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾．所以假设错误．
⑵假设甲与丙说的话正确．那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁．若做好事的是甲与丙，
或丙与丁，则乙说的话也正确，与题意不符；若做好事的是乙与丁，则乙说的话与事实不符，符合题意．综上所述，做好事的是乙与丁．
【例 12】甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙第1名，我第3名。”乙说：“我第1名，丁第4名。”丙说：“丁第2名，我第3名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？
【解析】我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。
假设甲说的第一句话“丙第1名”是对的，第二句话“我第3名”是错的。由此推知乙说的“我第1名”是错的，“丁第4名”是对的；丙说的“丁第2名”是错的，“丙第3名”是对的。这与假
设“丙第1名是对的”矛盾，所以假设不成立。
再假设甲的第二句话“我第3名”是对的，那么丙说的第二句“我第3名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第2名”是对的；由此推出乙说的“丁第4名”是错的，“我第1名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。
【巩固】编号分别为1，2，3，4的四位同学参加了学校的110米栏比赛，获得了全校的前四名，1号同学说：“3号比我先到达终点.”得第三名的同学说：“1号不是第四名.”而另一位同学说：“我们
的与我们所得的名次都不相同.”聪明的同学们，你们能说出这四位同学各自所得到的名次吗？
【解析】从得第三名同学的话中可以推知：1号不是第三名，也不是第四名；而1号同学又说“3号比我先到终点”，这说明1号同学不是第一名，这样我们可以得知1号同学是第二名，于是3号同学是第一名，而另一位同学说：“我们的与我们所得的名次都不相同.”，这样4号不是第四名，只能是第三名，所以获得第四名的同学是2号.
【巩固】在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次的），关于各人的名次大家作出了下面的猜测：A说：“第二名是D，第三名是B．”B说：“第二名是C，第四名是E．”C说：“第一名是E，第五名是A．”D说：“第三名是C，第四名是A．”E说：“第二名是B，第五名是D．”结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何？
【解析】假设A猜的第一句是真的，那么B猜的第二句是真的，即第四名是E，那么C猜的“E是第一名”
是错的，A是第五名，那么D猜的C是第三名是对的，那么B就是第一名，从而E说的全是错的，所以假设不成立．所以A猜的第二句是真的，即B是第三名，那么D猜的第一句是错的，从而A
是第四名，所以C猜的第二句是错的，E是第一名，从而B猜的C是第二名是对的，E猜的第五名是D正确，所以，第一名是E，第二名是C，第三名是B，第四名是A，第五名是D．
【例 13】传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；
女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话．有一天，一个人到说谎国去旅
游，他在那里认识了一男一女．男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假
话的日子”．这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？
【解析】假设男人今天说的是真话，那么今天是星期四、五、六、日其中的一天，而且今天的前一天男人说的是假话，所以，根据男人的话，确定今天是星期四，所以女人说的话是假话，昨天也就是星期三女人说的是真话，符合题意，所以，今天是星期四.
【巩固】从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：（1）A，B两种产品中至少选一种；（2）A，D两种产品不能同时入选；（3）A，E，F三种产品中要选两种；（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；（5）C，D两种产品中选一
种；（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？
【解析】用假设法。从条件（1）开始，有三种情况：
①假设选A不B选，由（2）知D不能入选，再由（5）知C入选，再由（4）推知C，B同时入
选，与前面假设不选B矛盾。假设不成立。
②假设选B不选A，由（3）知选E，F，由（6）知D入选，再由（5）知C不入选，再由（4）
推知B，C都不入选，与假设选B矛盾。假设不成立。
③假设A，B都入选，由（2）知D不入选，由（6）知E也不入选，再由（3）知F入选，由（4）
知C入选。符合题意。因此，A，B，C，F选中参展。
【例 14】三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄．强说：“我12岁，比红小2岁，比丽大1岁．”红说：“我不是年龄最小的，丽和我差3岁，丽是15岁．”丽说：“我比强年岁小，强13岁，红比强大3岁．”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的．请你帮助
班主任分析出他们三人各是多少岁？
【解析】经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的．一句话是强说的第一句话：“我12岁”，另一句话是丽说的第二句话：“强13岁”．这两句话不能都真，必有一句是假的．为了确定这两句话的真假性．可以先假设某一句为真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决；如果推出
矛盾，就说明这句话是假的，从而也就找到了突破口．先假设强说的第一句话“我12岁”为真，那么丽说的第二句话“强13岁”就为假，因此丽的另外两句话就应该是真话，从“红比强大3岁”就推出红是15岁；又从“我比强年岁小”推出丽小于12岁．可是这样一来，红说的三句话中，“丽和我差3岁”和“丽15岁”这两句话都不能成立，这与本题中的要求(“每人说的三句话中，都有一句是错的”，即三句话中有两句话是真的)相矛盾．因此，强说的“我12岁”这句话是假的．由于强说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的．因此，丽说的第三句话“红比强大3岁”就是假的，所以，丽说的第二句话“强13岁”就是真的．于是就可以推出：丽12岁，红15岁，强13岁．
【例 15】(2008年日本小学算术奥林匹克大赛决赛)甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写1个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如
果数字和位数都猜对了就是○，如果数字对而位数不对就是△。
例如：甲写的是1234，乙猜的是1354，那么就是2个○，1个△。
请阅读以下对话并回答问题：
乙：“我猜9856”，甲：“1个○，1个△。”
乙：“6972？”，甲：“也是1个○，1个△。”
乙：“3058？”，甲：“也是1个○，1个△。”
乙：“4732呢？”，甲：“2个△。”
乙：“哇，猜不着呀，8369呢？”甲：“也是2个△。”
（1）：请从以上的对话中答出甲最可能写的4个四位数。
后来，甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。
甲：“对不起，刚才有搞错的。”乙：“啊！那么”
甲“只是1个数字搞错了，在刚才说到的数字中，只是对4732的判断有误，正确的回答应该是1
个○，1个△。”
乙“稍等一会儿，啊！我知道啦！甲写的四位数是吗”？
甲：“对啦！你真棒！”
(2)：请问甲写的这个四位数是什么？
【解析】如下表：
由1、4次猜测结果知，2到9中包含了正确数字中的全部四位数字，也即甲写的数字各位都不是0或1；由2、3次猜测结果，同理知甲写的数字各位都不是1或4；再考察第3、4次猜测结果，由于其中的0和4一定是错的，而且两次各猜对了正确数字四位数中的两位，可以先假设甲写的数字各位上没有3，那么甲写的数字各位就是2、5、7、8，那么第5次猜测的结果就应该是（0，1）或者（1，0）而非（0，2）。因此甲写的数字一定有一位是3；再由第5次猜测结果，甲所写的数字各位有且只有6、8、9中的一个；于是由第1次猜测结果，甲所写的数字中一定有一位是5
再综合第3、5次猜测结果，知甲所写的数字各位上没有8，而一定有且只有6、9其一
根据第2次的猜测结果，甲所写的数字应该有一位是2、7其一。
假定第1、3次猜测中位数对的数字是5，那么根据第3、5次的猜测结果
可以判断出3在甲所写的数字的个位上
于是由第2次猜测结果，2或7一定是数字对而位数不对的，那么6或9一定是数字对且位数对的，于是甲可能写的数字是：6253、2953或7953
假定第1、3次猜测中位数对的数字不是5，那么第3次猜测中位数对的数字一定是3，
第1次猜测中位数对的数字只能是6而不能是9，于是只能第百位是5，十位是7，
这时甲可能写的数字只有3576
综上所述，甲可能写的四位数是6253、2953、7953或3576
（2）由上述前半部分推理，仍然能判断出甲写的数字各位上一定有3和5，
且仍然6、9中有其一，而2、7中有其一。
仍然先假设第3次猜测中数字对且位数对的是3，那么第1次猜测中数字对且位数对的只能是6，而不能是5或9。那么由于第1次猜测中5是数字对而位数不对的，则5只能放在百位，
又由于第2次猜测中有一位数字对且位数对，所以只能是十位上为7，这时这个四位数是3576，但这时第4次猜测将没有数字对且位数对的数，与甲的叙述不附，因此最开始的假设不成立。
那么第3次猜测中数字对且位数对的数只能是5，由第3、5次猜测结果可以推知，
3不在千位也不在百位，那么3只能在个位。
考虑到第四次猜测中要有一位数字对且位数对，只能是百位上的7，
再由第1次猜测的结果推出千位上不能是9而只能是6，
于是这个四位数是6753，经过检验可知，这个四位数满足所有五个条件，
因此甲写的四位数就是6753。
【巩固】一只皮箱的密码是一个三位数。小光说：“它是954。”小明说：“它是358。”小亮说：“它是214。”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码
是。
【解析】每个人只猜了位置不同的一个数字，也就是说一样的数字必然不对，“5、4”第一位肯定是9，第三位是8，第二位是1，密码就是918。
【例 16】一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知A、B、C、D、E、F、G七
人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分．并简单说明你的思路．
【解析】由于E得了9分，说明他只答错了一道题．先假定答错的是第1题，这样就有一个标准答案，并由此可分析其他人的得分．如出现矛盾，再假定E答错的是第2题……直到判断出E答错的题号为止．有了正确的答案，就可以写出G的得分．
假设E的第1题答错，那么A至少错3道题，一题未答，最多得5分，与A得7分矛盾．所以E
第1题答对．
假设E第2题答错，可知A最多得3分，矛盾．所以E第2题答对．
假设E第3题答错，则B最多得3分，矛盾．所以E第3题答对．
假设E第6题答错，则D最多得3分，矛盾．所以E第6题答对．
由于E得9分，因此E只答错一题，因此E第4题答错，于是A的第2，4两题对，3，6两题错．而
A得7分，说明A的第5题是对的．由A，E两人的答案，可得一标准答案如下表：
按此标准评分，与题中所给A，B，C，D，E，F得分相符合，所以E的第4题确实答错了．
上表的答案是正确的．故可知G 得8分．
【巩固】 学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：⑴是一位姓王的中年女老师，教语文课；
⑵是一位姓丁的中年男老师，教数学课；⑶是一位姓的青年男老师，教外语课；⑷是一位姓的青
年男老师，教数学课；⑸是一位姓王的老年男老师，教外语课．他们每人听到的四项情况中各有
一项正确．问：真实情况如何？
【解析】 真实情况是姓的老年女老师，教数学．假设是男老师，由⑵、⑶、⑸知，他既不是青年、中年，
也不是老年，矛盾，所以是女老师．再由⑴知，她不教语文，不是中年人．假设她教外语，由⑶、⑸知她必是中年人，矛盾，所以她教数学．由⑵、⑷知她是老年人，由⑶知她姓．
【例 17】 有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐
里放两白球，另一罐放一红一白．然后将写有“两红”、“两白”、“红白”的三个标签贴在
三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了．试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定
三个罐分别装的是什么彩球？
【解析】 因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有“红白”标签的罐子中只能是两红或两
白．那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球，若是红色球，则可知罐中是两红，那么标有“两
白”的罐子中就是“一红一白”，标有“两红”的罐子中就是“两白”；若是白色球，则可知罐中
是“两白”，那么标有“两红”的罐子中就是“一红一白”，而标有“两白”的罐子中就是“两红”．
【巩固】 有三个盒子，甲盒装了两个1克的砝码，乙盒装了两个2克的砝码，丙盒装了一个1克、一个2克
的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一
个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？
【解析】 其实不用那么麻烦，我们发现“每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的”这句话说明
标签的可能只有两种：
标注 两个1克 两个2克 一个1克一个两克
可能1： 两个2克 一个1克一个两克 两个1克
可能2：一个1克一个两克 两个1克 两个2克
所以我们可以从标注“一个1克一个两克”里面拿一个，如果是“1克”的就是上面那种情况，
否则就是下面那种情况．
模块三、体育比赛中的数学
【例 18】 三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？一共要进行多
少场比赛？ （如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为单循环赛）
【解析】 （法一）题意要求每两个点之间都连一条线段．先考虑点A (如图)，它与B 、C 、D 三点能且只
能连接三条线段AB 、AC 、AD ；同样，从点B 也可以连出三条线段BA 、BC 、BD ；从点C 可
以连出三条线段CA 、CB 、CD ；从点D 可以连出三条线段DA 、DB ，DC ．因此，从一个点可
以连三条线段．从每个点都连出三条线段，共有四个点．3412?=(条)
注意到线段AB 既是由A 点连出的，也是由B 点连出的，并且每一条线段都是这样(如图)，所以，线段的总数应为：6(条)．
（法二）从点A 引出三条线．AB 、AC 、AD ，为避免重复计数，从B 点引出的线段只计BC 、BD 两条，由C 点引出的只有CD 一条．因此，线段的总数为3216++=(条)．
通过例题的讲解，对于这个问题，我们就可以很轻松地解决了．一共有四个队，每个队都要比赛
413-=场，一共有比赛3426?÷=场．
【点拨】我们可以将上面的问题如下表述：下面的四个点，每两个点之间都连一条线段，那么，
从一个点可以连出几条线段？一共可以连多少条线段？
【巩固】市里举行足球联赛，有5个区参加比赛，每个区出2个代表队．每个队都要与其他队赛一场，这些比赛分别在5个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？
【解析】一共有5210
?-÷=（场），平均每个体育场都要举行?=（个）队参加比赛，共赛10(101)245
÷=（场）比赛．
4559
【巩固】二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？
【解析】每个班要进行5场，一共要进行65215
?÷=（场）比赛．
【巩固】20名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场？【解析】假设20名羽毛球运动员中的甲是冠军，那么甲与其他19名运动员都赛过了，也就是一共赛了19场．
【巩固】三年级二班的六名同学进行乒乓球单单循环赛，一共要进行多少场比赛？
【解析】一共有6名同学，所以一共要进行n（场）比赛．
【巩固】8只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？
【解析】方法一：8进4进行了4场，4进2进行2场，最后决赛是1场，因此共进行了4217
++=（场）比赛．
方法二：每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了7只球队，因此进行了7场比赛．
【巩固】有8个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局？
【解析】8个选手进行乒乓球单循环赛，每个选手都要参加7场比赛，而且每人获胜局数各不相同，所以每人获胜的局数分别为0~7局，那么冠军胜了7局．
【例 19】（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）初赛）学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（）人参加了选拔赛．
A.8
B.9
C.10
【解析】三个人比赛，可以比赛3223
?÷=场；如果有五个
?÷=场；如果四个人比赛，可以比赛4326
人比赛，那么可以比赛54210
?÷=场，所以
?÷=场；如果有9个人比赛，那么可以比赛98236答案是B．
【巩固】区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有几个学校参加了比赛？
【解析】假设有n个学校参加比赛，那么就有(1)2
?-÷场比赛，现在已知共赛了28场，那么8
n n
n=，也就是有8个学校参加了比赛．
【例 20】A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，A已经赛4盘，B赛3盘，C赛2盘，D赛1盘．问：此时E同学赛了几盘？
【解析】画5个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场，建议教师让学生动手按要求画一画．
A
根据题意，A已经赛4盘，说明A与B、C、D、E各赛一盘，A应与B、C、D、E点相连．D
赛1盘，是与A点相连的．B赛3盘，是与A、C、E点相连的．C赛2盘，是与A、B点相连的．从图上E点的连线条数可知，E同学赛了2盘．
【巩固】八一队、队、队、队、队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了4场，队赛了3场，队赛了2场，队赛了1场．那么队赛了几场？
【解析】八一队赛了4场，说明八一队和其它四队都赛过了．
队赛了1场，说明只和八一队赛过．
队赛了3场，说明与八一队、队、队赛过．
队赛了2场，说明与八一队、队赛过．
由此可知，队只和八一队、队赛过，赛了2场．
【巩固】A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道：A、B、C、D、E五人已经分别赛过5．4、3、2、l盘。问：这时F已赛过盘。
【解析】3盘。
【例 21】趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在一起表演．男士用A、B、C表示，女士用甲、乙、丙表示．已知前面表演过程中A和甲一起
滑过，B和丙一起滑过，C和甲一起滑过，B和乙一起滑过，C的新搭档不可能是丙，那么乙
的新搭档是谁？
【解析】根据题意可列出以下表格，“×”表示二者不可能是新搭档．
由上图可以发现甲的新搭档是B，C的新搭档不可能是丙，所以丙的新搭档是A，乙的新搭档是
C．
【例 22】东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场？
【解析】东东、西西、南南、北北四人进行单循环赛，则每人都赛3场，共赛3426
?÷=(场)．如果其中有三人都胜3场，则至少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了2场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6
场比赛中的3场这三人各胜1场，另外3场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜
0场也是不可能的．因此，如果有3人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜0场，也可能胜3场．【巩固】东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果3人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场？【解析】三人进行单循环赛，即每两人都要赛一场，共进行3223
?÷=（场）比赛．每场比赛都有一人获胜，每人都赛2场．由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为2、1、0．显然，第一名是胜了2场．
【例 23】参加世界杯足球赛的国家共有32个（称32强），每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰
赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生8强、4强、2强，最后决出冠军、亚军、第三名，第
四名．至此，本届世界杯的所有比赛结束．
根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？
【解析】单循环赛中，有3248
÷=（个）组．每组4个队．每组四个队中，每个队要与其他3队都比赛1
场，每个队就比3场．因为每场比赛要2个队．所以1组里有4326?÷=（场）．有8个组，单循
环赛就有8648?=（场）．进入淘汰赛，有16个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军
1个队，就比了16115-=场，
还要决出第三名，第四名，又多了1场．淘汰赛就有15116+=场．世界杯的足球赛全程共有481664+=（场）．
【巩固】 四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计
发现，四个人的得分和加起来一定是多少？
【解析】 四个人循环比赛总共比赛4326?÷=（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2
分，因此最终四个人的得分加起来一定是2612?=（分）．
【巩固】 五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计
发现，五个人的得分和加起来一定是多少？
【解析】 四个人循环比赛总共比赛54210?÷=（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是
2分，因此最终四个人的得分加起来一定是21020?=（分）
．
【例 24】 五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分、负者得0分、打
平两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：⑴第1名的队没有平过；⑵第2名的队没
有负过；⑶第4名的队没有胜过．问全部比赛共打平了 场．
【解析】 5支球队进行循环赛，共需要打10场，产生总分20分．由⑴、⑵知第1名负于第2名，那么第1名
最多得236?=分．由于各队得分互不相同，而且6543220++++=，所以5支球队得分依次为
6分、5分、4分、3分、2分．第一名没有平过，又只得到了6分，因此负过一场，而第二名的
队没有负过，因此第一名应该负于第二名，胜3，4，5名．第二名得了5分，其中胜第一名得了
2分，又没有负过，因此和3，4，5名皆为平局．第四名得了3分，其中输给了第一名，平了第
二名，没有胜过，因此和第3，5名都是平局．第三名得了4分，输给了第一名，平了2，4名得
2分，因此胜了第5名得2分．第五名显然只和第2，4名平了，其余皆负．综上，所有比赛平
了5场，分别是2-3，2-4，2-5，3-4，4-5．
【巩固】 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选
手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分．结果，甲队选手平均得
4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分．那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手
人数各多少？
【解析】 由题意可知，这次比赛共需比9872145+++++=(盘)．
因为每盘比赛双方得分的和都是1分(101+=或0.521?=)，所以10名选手的总得分为
14545?=(分)．每个队的得分不是整数，就是“&.5”这样的小数．由于乙队选手平均得3.6分，
3.6的整数倍不可能是“&.5”这样的小数．所以，乙队的总得分是18或36．
但36 3.610÷=，而三个队一共才10名选手(矛盾)．所以乙队的总分是18分，有选手
18 3.65÷=(名)．甲、丙两队共有5名选手．
由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分，18分(不可能是27分)．因为271845+=，甲队选手总得分为0分)，丙队选手人数相应为1名、2名，甲队选手人数相应为4名，3名，经
过试验，甲队4名选手，丙队1名选手．
【巩固】 四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，
负一局得0分．如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？
【解析】 四人共赛6局，总分为6212?=（分），因为总分各不相同，分配得：125421=+++或
125430=+++．平局最多的应该是5、4、2、1的情况．总分是奇数的必有一局平局，当得分
是5分、1分的同学分别与得分是4分、2分的同学打平后，
得分是4分、2分的同学就还剩下3分、1分，互相打平就正好．所以平局最多是3局．
【例 25】 A 、B 、C 、D 、E 五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得