第十三章排队系统分析
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，即平均对每位顾客的服务时间为
1
参数
的含义：服务率，即单位时间平均服务完 人。
，可得
二、排队系统的状态转移方程
(一) 排队系统状态的概率及其分布
(1)瞬态概率Pn(t) ——表示时刻系统状态N(t)=n的概率; (2) 稳态概率Pn ——Pn= lim Pn(t) ;
t
一般，稳态概率Pn的分布，是分析计算 排队系统运行优劣的基础。
n
1 Pn 1, 即P0 P0 1 1 n 0 n 0
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程
P0 P1 P n 1 P n 1 ( ) Pn , n 1
直观上看，在已知T>t0的条件下估计T>t 的概率，与无条件时估计T>t
的概率相同，把以前的t0时间给忘了。
事实上，
P (T t0 t ) P (T t0 ) P (T t0 t T t0 ) P (T t0 ) P (T t0 t ) e ( t0 t ) t e P (T t ) t0 P (T t0 ) e
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
n1Pn1 n1Pn1 (n n )Pn
第三节
M/M/1排队模型
一.标准的M/M/1模型（M/M/1/ / ）
1.问题的一般提法
设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn；
一. 排队系统的组成
排队规则
顾客源 排队结构
服务规则
服务机构
。。。
顾客到来
顾客离去
排队系统
第一节
到达顾客 病 人 进港的货船 到港的飞机 电话拨号
排队的基本概念
服务内容 服务机构 医生/手术台 码头泊位 机场跑道 交换台
诊断/手术 装货/卸货 降落 通话
故障机器
修理技工
修理
领取修配零件
修理技工
仓库管理员
(三)排队模型示例 ——M/M/1，M/D/1，M/ Ek/1； ——M/M/c， M/M/c//m， ——M/M/c/N/ ，。。。
二、系统参数
(一)系统运行状态参数
1、系统状态 N(t) ——指排队系统在时刻t时的全部顾客数 N(t)， 包括“排队顾客数”和“正被服务顾客 数”； ——系统状态的可能值如下：
（2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程
状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达 与服务率分别为 和 ，则
0 1
2
...
n-1 n
n+1 ...
由此列出平衡方程：
P0 P1 P n 1 P n 1 ( ) Pn , n 1
2、国际排队论标准化会议(1971)表示法
X / Y / Z / A / B / C
（1） A 系统容量限制； （2） B 顾客源（总体）数目； （3） C 服务规则（FCFS，LCFS等）；
——略去后三项，即指 “X/Y/Z///FCFS”； ——这里仅研究FCFS的情形；
(二)到达间隔和服务时间典型分布 （1 ） （2 ） （3 ） （4 ） （5 ） 泊松分布 负指数分布 k阶爱尔朗分布 确定型分布 一般服务时间分布 M ； M ； E k； D； G；
成正比 (平稳性)： P 1 (t , t t ) t o( t ) (3) 对于充分小的时间间隔 [t , t t ]，2个及以 上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性)。
N t : 在区间[0,t)内到达的顾客数 Pn t1 , t2 : 在 t1 , t2 内有n个顾客到达的概率 Pn t1 , t2 =P N t2 N t1 n 若Pn t1 , t2 满足
上游河水
入库
水闸管理员
排队系统的三个基本组成部分
• 输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); • 排队结构与排队规则 (顾客按照一定规则 排队等待服务); • 服务机构 与服务规则(服务机构的设置, 服务台的数量,服务的方式,服务时间分布 等)
（1） 输入过程
顾客源(总体)：有限/无限; 顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形) 顾客到达间隔：随机型/确定型; 顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联； 输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)
t ）的概率为
P (T t ) 1 e t ，即F (t ) 1 e t
而这正是负指数分布的分布函数，说明T 服从负指数分布，且 参数同为 。
可证反之也成立。于是得到关于到达规律的重要性质：
到达数为泊松流
到达间隔服从负指数分布（同参数）。
由概率论知识可知，负指数分布的表达式（密度函数）为
（1）系统容量无限制， N(t) =0，1，2，…;
(2) 系统容量为N时, N(t) =0,1,2,…,N;
(3) 服务台个数为c/损失制, N(t) =0,1,2,…,c; 一般,系统状态N(t)是随机的。
2、系统状态概率： (1)瞬态概率Pn(t) ——表示时刻系统状态 N(t)=n 的概率; (2) 稳态概率Pn ——Pn= lim Pn(t) ; t ——一般，排队系统运行了一定长的时 间后，系统状态的概率分布不再随时间 t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的 概率分布(Pn(0) ，n>0）的影响将消失。
相继到达间隔时间ti
顾客到达时刻i
（2）排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制); 排队系统容量：有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
（3）服务机构与服务规则
服务台(员)数目;单个/多个; 服务台(员)排列形式;并列/串列/混合; 服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形) 服务时间分布;随机型/确定型; 服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形) 1 1
(4)服务强度： = /c ；
6.3 排队系统时间参数分布规律
一、顾客到达时间间隔分布 (一)泊松流与泊松分布 如果顾客到达满足如下条件,则称为泊松流: (1) 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数
相互独立(无后效性).
(2) 对于充分小的时间间隔 [t , t t ]内，到达
1个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔
(2)等待时间:
——指一个顾客在系统中的排队等待时间；
期望值，记为 Wq
Ws = Wq + E[服务时间]
3、其他相关指标
(1)忙 期: 指从顾客到达空闲服务机构起到服务
机构再次空闲的时间长度；
(2)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成
服务的顾客数；
(3)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务
而离去的概率；
第一节
排队的基本概念
排队也称为随机服务系统理论
性态问题：排队系统的概率规律性，队 长分布，等待时间分布，忙期分布 最优化问题：静态优化和动态优化，前 者指最优设计，后者指排队系统的最优运 营
排队系统的统计推断：判断给定的排队 系统属于哪种类型，以便使用相应理论进 行分析研究
第一节
排队的基本概念
1
2 … c
1 2 … c
2 … c
服务台(员)为顾客服务的顺序: a)先到先服务(FCFS); b)后到先服务(LCFS); c)随机服务; d)优先服务;
排队模型与系统参数 一、排队模型 (一)排队模型表示方法
1、D.G.Kendall(1953)表示法
X / Y / Z ——依据排队系统3个主要特征： （1） X 顾客到达间隔时间分布； （2） Y 服务台（员）服务时间分布； （3） Z 服务台（员）个数（单个或多个并列）；
假若T表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了t0时间后估 计它还能再使用t 时间的概率，与刚开始用时的概率一样。说明这种
元件是高度耐磨损的。
二、顾客服务时间分布 (一)负指数分布
主要讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，参数为 ，即
由于v 的均值为
1
e t , t 0 fv (t ) t 0 0,
3
n1
n
1P P ( ) P 1 3 3 2 2 2
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
n2 Pn2 n Pn (n1 n1 )Pn1
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
(四) 排队系统状态转移图
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
在任意状态n达到稳态平衡的条件： 产生该状态的平均速率 =该状态转变成其他状态的平均速率
（流入=流出）
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
由概率论知识可知，泊松分布的参数即其均值。因此，
的含义是单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。
下面考察，当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间 T 是服从什么分布呢？
因为到达为泊松流，所以，t时段内没有来顾客的概率为
(t ) 0 t P0 (t ) e e t , 0!
所以， t时段内有顾客到来（即间隔T
e t , t 0 f T (t ) t 0 0, 1 参数 即其均值的倒数。因此， 的含义是平均间隔时间，
这与
为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
负指数分布有一个有趣的性质：无记忆性，即
P (T t 0 t T t 0 ) P (T t )
(二)系统运源自文库指标参数
——评价排队系统的优劣。
1、队长与排队长
(1)队长: 系统中的顾客数（n）； 期望值 Ls= n*Pn (2)排队长: 系统中排队等待服务的顾客数;
期望值 Lq =
n c 1
(n c) P n
Lq= Ls-E[正被服务的顾客数]
2、逗留时间与等待时间 (1)逗留时间: ——指一个顾客在系统中的全部停留时间； 期望值，记为 Ws
排队系统分析
（Queueing Systems Analysis）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C排队模型 M/G/1排队模型 排队系统优化
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服 务设施，但是增加的数量越多，人力、物 力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费， 如果服务设施太少，顾客排队等待的时间 就会很长，这样对顾客会带来不良影响。 如何做到既保证一定的服务质量指标，又 使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾 客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研 究解决的问题。
1
2
3
n1
n
1P P 1 0 0
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
0 P 0 2 P 2 ( 1 1 ) P 1
0
0 1
1
2
2
n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
1
2
1 在互不重叠的时间区间内顾客到达互相独立（无后效性） 2 对于充分小的t, 在[t , t t )内一个顾客到达的概率与t无关 P1 t , t t =t o t 3
n2
Pn t , t t o t
称具有上述特征的输入为泊松流，其在 t 时段内到达n 个顾客的概率为 (t ) n t P n (t ) e , n 0,1, n! 即参数为 t 的泊松分布。
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程
有: P 1
P0 P1 P n 1 P n 1 ( ) Pn , n 1
P0 , P2 P 1 P0 ,
n 2
Pn P0 设 =
1 ,由概率的性质有
1
参数
的含义：服务率，即单位时间平均服务完 人。
，可得
二、排队系统的状态转移方程
(一) 排队系统状态的概率及其分布
(1)瞬态概率Pn(t) ——表示时刻系统状态N(t)=n的概率; (2) 稳态概率Pn ——Pn= lim Pn(t) ;
t
一般，稳态概率Pn的分布，是分析计算 排队系统运行优劣的基础。
n
1 Pn 1, 即P0 P0 1 1 n 0 n 0
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程
P0 P1 P n 1 P n 1 ( ) Pn , n 1
直观上看，在已知T>t0的条件下估计T>t 的概率，与无条件时估计T>t
的概率相同，把以前的t0时间给忘了。
事实上，
P (T t0 t ) P (T t0 ) P (T t0 t T t0 ) P (T t0 ) P (T t0 t ) e ( t0 t ) t e P (T t ) t0 P (T t0 ) e
n-1 n
n
n 1
1
2
3
n1
n
n1Pn1 n1Pn1 (n n )Pn
第三节
M/M/1排队模型
一.标准的M/M/1模型（M/M/1/ / ）
1.问题的一般提法
设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn；
一. 排队系统的组成
排队规则
顾客源 排队结构
服务规则
服务机构
。。。
顾客到来
顾客离去
排队系统
第一节
到达顾客 病 人 进港的货船 到港的飞机 电话拨号
排队的基本概念
服务内容 服务机构 医生/手术台 码头泊位 机场跑道 交换台
诊断/手术 装货/卸货 降落 通话
故障机器
修理技工
修理
领取修配零件
修理技工
仓库管理员
(三)排队模型示例 ——M/M/1，M/D/1，M/ Ek/1； ——M/M/c， M/M/c//m， ——M/M/c/N/ ，。。。
二、系统参数
(一)系统运行状态参数
1、系统状态 N(t) ——指排队系统在时刻t时的全部顾客数 N(t)， 包括“排队顾客数”和“正被服务顾客 数”； ——系统状态的可能值如下：
（2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程
状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达 与服务率分别为 和 ，则
0 1
2
...
n-1 n
n+1 ...
由此列出平衡方程：
P0 P1 P n 1 P n 1 ( ) Pn , n 1
2、国际排队论标准化会议(1971)表示法
X / Y / Z / A / B / C
（1） A 系统容量限制； （2） B 顾客源（总体）数目； （3） C 服务规则（FCFS，LCFS等）；
——略去后三项，即指 “X/Y/Z///FCFS”； ——这里仅研究FCFS的情形；
(二)到达间隔和服务时间典型分布 （1 ） （2 ） （3 ） （4 ） （5 ） 泊松分布 负指数分布 k阶爱尔朗分布 确定型分布 一般服务时间分布 M ； M ； E k； D； G；
成正比 (平稳性)： P 1 (t , t t ) t o( t ) (3) 对于充分小的时间间隔 [t , t t ]，2个及以 上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性)。
N t : 在区间[0,t)内到达的顾客数 Pn t1 , t2 : 在 t1 , t2 内有n个顾客到达的概率 Pn t1 , t2 =P N t2 N t1 n 若Pn t1 , t2 满足
上游河水
入库
水闸管理员
排队系统的三个基本组成部分
• 输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); • 排队结构与排队规则 (顾客按照一定规则 排队等待服务); • 服务机构 与服务规则(服务机构的设置, 服务台的数量,服务的方式,服务时间分布 等)
（1） 输入过程
顾客源(总体)：有限/无限; 顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形) 顾客到达间隔：随机型/确定型; 顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联； 输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)
t ）的概率为
P (T t ) 1 e t ，即F (t ) 1 e t
而这正是负指数分布的分布函数，说明T 服从负指数分布，且 参数同为 。
可证反之也成立。于是得到关于到达规律的重要性质：
到达数为泊松流
到达间隔服从负指数分布（同参数）。
由概率论知识可知，负指数分布的表达式（密度函数）为
（1）系统容量无限制， N(t) =0，1，2，…;
(2) 系统容量为N时, N(t) =0,1,2,…,N;
(3) 服务台个数为c/损失制, N(t) =0,1,2,…,c; 一般,系统状态N(t)是随机的。
2、系统状态概率： (1)瞬态概率Pn(t) ——表示时刻系统状态 N(t)=n 的概率; (2) 稳态概率Pn ——Pn= lim Pn(t) ; t ——一般，排队系统运行了一定长的时 间后，系统状态的概率分布不再随时间 t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的 概率分布(Pn(0) ，n>0）的影响将消失。
相继到达间隔时间ti
顾客到达时刻i
（2）排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制); 排队系统容量：有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
（3）服务机构与服务规则
服务台(员)数目;单个/多个; 服务台(员)排列形式;并列/串列/混合; 服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形) 服务时间分布;随机型/确定型; 服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形) 1 1
(4)服务强度： = /c ；
6.3 排队系统时间参数分布规律
一、顾客到达时间间隔分布 (一)泊松流与泊松分布 如果顾客到达满足如下条件,则称为泊松流: (1) 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数
相互独立(无后效性).
(2) 对于充分小的时间间隔 [t , t t ]内，到达
1个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔
(2)等待时间:
——指一个顾客在系统中的排队等待时间；
期望值，记为 Wq
Ws = Wq + E[服务时间]
3、其他相关指标
(1)忙 期: 指从顾客到达空闲服务机构起到服务
机构再次空闲的时间长度；
(2)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成
服务的顾客数；
(3)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务
而离去的概率；
第一节
排队的基本概念
排队也称为随机服务系统理论
性态问题：排队系统的概率规律性，队 长分布，等待时间分布，忙期分布 最优化问题：静态优化和动态优化，前 者指最优设计，后者指排队系统的最优运 营
排队系统的统计推断：判断给定的排队 系统属于哪种类型，以便使用相应理论进 行分析研究
第一节
排队的基本概念
1
2 … c
1 2 … c
2 … c
服务台(员)为顾客服务的顺序: a)先到先服务(FCFS); b)后到先服务(LCFS); c)随机服务; d)优先服务;
排队模型与系统参数 一、排队模型 (一)排队模型表示方法
1、D.G.Kendall(1953)表示法
X / Y / Z ——依据排队系统3个主要特征： （1） X 顾客到达间隔时间分布； （2） Y 服务台（员）服务时间分布； （3） Z 服务台（员）个数（单个或多个并列）；
假若T表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了t0时间后估 计它还能再使用t 时间的概率，与刚开始用时的概率一样。说明这种
元件是高度耐磨损的。
二、顾客服务时间分布 (一)负指数分布
主要讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，参数为 ，即
由于v 的均值为
1
e t , t 0 fv (t ) t 0 0,
3
n1
n
1P P ( ) P 1 3 3 2 2 2
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n-1 n
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n2 Pn2 n Pn (n1 n1 )Pn1
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(四) 排队系统状态转移图
0
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n-1 n
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1
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在任意状态n达到稳态平衡的条件： 产生该状态的平均速率 =该状态转变成其他状态的平均速率
（流入=流出）
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n 2 n 1
n-1 n
n
n 1
由概率论知识可知，泊松分布的参数即其均值。因此，
的含义是单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。
下面考察，当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间 T 是服从什么分布呢？
因为到达为泊松流，所以，t时段内没有来顾客的概率为
(t ) 0 t P0 (t ) e e t , 0!
所以， t时段内有顾客到来（即间隔T
e t , t 0 f T (t ) t 0 0, 1 参数 即其均值的倒数。因此， 的含义是平均间隔时间，
这与
为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
负指数分布有一个有趣的性质：无记忆性，即
P (T t 0 t T t 0 ) P (T t )
(二)系统运源自文库指标参数
——评价排队系统的优劣。
1、队长与排队长
(1)队长: 系统中的顾客数（n）； 期望值 Ls= n*Pn (2)排队长: 系统中排队等待服务的顾客数;
期望值 Lq =
n c 1
(n c) P n
Lq= Ls-E[正被服务的顾客数]
2、逗留时间与等待时间 (1)逗留时间: ——指一个顾客在系统中的全部停留时间； 期望值，记为 Ws
排队系统分析
（Queueing Systems Analysis）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C排队模型 M/G/1排队模型 排队系统优化
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服 务设施，但是增加的数量越多，人力、物 力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费， 如果服务设施太少，顾客排队等待的时间 就会很长，这样对顾客会带来不良影响。 如何做到既保证一定的服务质量指标，又 使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾 客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研 究解决的问题。
1
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1P P 1 0 0
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n 2 n 1
n-1 n
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0 P 0 2 P 2 ( 1 1 ) P 1
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n 2 n 1
n-1 n
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n 1
1
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1 在互不重叠的时间区间内顾客到达互相独立（无后效性） 2 对于充分小的t, 在[t , t t )内一个顾客到达的概率与t无关 P1 t , t t =t o t 3
n2
Pn t , t t o t
称具有上述特征的输入为泊松流，其在 t 时段内到达n 个顾客的概率为 (t ) n t P n (t ) e , n 0,1, n! 即参数为 t 的泊松分布。
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程
有: P 1
P0 P1 P n 1 P n 1 ( ) Pn , n 1
P0 , P2 P 1 P0 ,
n 2
Pn P0 设 =
1 ,由概率的性质有