抛物线中的定值、定点问题
最全总结之抛物线曲线定值问题
最全总结之抛物线曲线定值问题
抛物线曲线定值问题是高等数学中重要的一节内容。
下面将从以下四个方面对此问题进行全面总结:
抛物线的基本概念
抛物线是一条平面曲线,其形状如同一个开口朝上或朝下的弯弓。
它可以用方程 $y=ax^2+bx+c$ 来表示。
抛物线的定点问题
当抛物线经过给定的点 $(x_0,y_0)$ 时,可以通过对抛物线方程进行替换和求导等计算得到关于曲线参数 $a,b,c$ 的表达式,进而解出曲线的定值。
抛物线切线问题
抛物线上任一点的切线斜率为该点横坐标下的导数值
$y'=2ax+b$。
因此可以根据给定的点求出曲线斜率,并结合该点坐标得到切线方程。
特别地,当点为顶点时,切线是水平的。
抛物线焦点问题
抛物线焦点是指到该曲线上任意一点距离等于该点到直线 $y=-\infty$ 的垂线距离的点。
使用 $F(x_F,y_F)$ 表示焦点,通过对抛物线方程进行平移和旋转后,可以求得焦距 $FV=\frac{1}{4a}$ 和焦点坐标。
总之,只要掌握了抛物线的基本概念和相关计算方法,抛物线曲线定值问题就不是难题。
抛物线定值定点解析版
【分析】
由题意得出 ,化简得到 ,设 ,联立方程组,利用韦达定理,求得 ,再利用三角形的面积公式 ,进而求得 的值,即可求解.
【详解】
设直线与抛物线交于 两点, ,
因为 ,可得 ,
即 ,可得 ,
可得 ,所以 ,得到 ,
设 ,代入抛物线 中,可得方程 ,
由韦达定理得 ,所以 ,
所以面积
,当且仅当 时,等号成立,即 ,解得 ,
【分析】
(1)设直线 ,联立 消元可得 ,然后由 得到 ,然后可证明 ;
(2)由(1)可得 ,同理可得 ,然后可得 四点共圆, 四点共圆, 四点共圆,然后证明 即可.
【详解】
(1)直线 的斜率显然存在,设直线 ,
联立 消元可得
由 可得
因为 ,所以 ,所以
(2)由(1)可得 ,同理可得
所以 四点共圆, 四点共圆, 四点共圆
所以 ,即直线 的斜率为定值 .
(3)设直线 的斜率为 ,所以直线 的斜率为 ,
则 ,
两类方程组 ,整理得 ,
即 ,可得 ,
联立方程组 ,可得 ,
即 ,可得
所以 ,
所以 ,整理得
所以直线 恒过 .
【点睛】
解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略:
1、参数法:参数解决定点问题的思路:①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中核心变量(通常为变量 );②利用条件找到 过定点的曲线 之间的关系,得到关于 与 的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,得出定点的坐标;
(Ⅱ)设 , 的方程分别为 , ,
联立方程组 ,整理得 ,
所以 ,则 ,同理
所以 ,
由 ,可得 ,
所以直线 的方程为
抛物线中的定值、定点问题资料讲解
抛物线中的定值、定点问题抛物线中的定值、定点问题 例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,求证:221p y y -=.【规范解答】证法一:因直线AB 过焦点)0,2(p F ,可设其方程为2p my x +=,代入px y 22= 得)2(22p my p y +=,即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ,由韦达定理:221p y y -=.证法二:因B A ,在抛物线上,故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ,故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线,所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得:0))((21221=-+y y p y y ,其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三:如图1,过点F B A ,,分别作准线的垂线,垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=,只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF ;同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A (A A 1∥B B 1),故01804321=∠+∠+∠+∠,所以.90310=∠+∠01190=∠FB A .由直角三角形的性质得:.211111F F F B F A =⋅【回顾】(1)从解题方法来看,对于直线与圆锥曲线相交的问题,一般有“设线”(证法一)和“设点”(证法二)两种选择,但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答(证法三)(特别是与焦点有关的问题);(2)从解题细节来看,证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=,为什么?首先,这样代入可消去x 直达目标221p y y -=,运算便捷;其次,本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在,但不可能与y 轴垂直,设2p my x +=省去了讨论的麻烦;证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑;(3)从知识内容来看,抛物线的方程和定义是解题的依据,韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具,而所证明的结论表明:对于抛物线而言,虽然过焦点的弦有无数条,但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐!借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得:变式1 条件同例1,则4221p x x ==定值。
专题27:抛物线的定点问题20页
专题27:抛物线的定点问题1.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A ,B 两点,AOB (点O 为坐标原点)的面积为2. (1)求抛物线C 的方程;(2)设不经过原点O 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点,设直线OP 、OQ 的倾斜角分别为α和β,证明:当4παβ+=时,直线l 恒过定点.2.已知点()0,1A -,()0,1B ,动点P 满足PB AB PA BA =⋅.记点P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程;(2)设D 为直线2y =-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别是E ,F .证明:直线EF 过定点.3.设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ,已知直线1l :20mx y m --=,圆E :222440x y x y +---=.(1)设直线1l 与圆E 的交点分别为P ,Q ,求当PQ 取得最小值时,直线1l 的方程;(2)若抛物线过圆E 的圆心,直线1l ,2l 过同一定点且与抛物线相交于A ,B 和C ,D 点,12l l ⊥,设M 是AB 的中点,N 是CD 的中点,证明:直线MN 恒过定点.4.已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点F 是椭圆222:21C x y +=的一个顶点.(1)求抛物线1C 的方程;(2)若点()1,2P ,M 、N 为抛物线1C 上的不同两点,且PM PN ⊥,问:直线MN 是否过定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y x =被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为直线l 与抛物线C 相交于点M ,N ,点()1,2A ,且直线AM ,AN 的斜率之和为4.(1)求抛物线C 的方程;(2)求证:直线l 过定点,并求出定点坐标.6.已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,()02,A y 是E 上一点,且2AF =.(1)求抛物线E 的方程;(2)设点B 是E 上异于点A 的一点,直线AB 与直线3y x =-交于点P ,过点P 作x 轴的垂线交抛物线E 于点M,证明:直线BM 过定点,并求出该定点坐标.7.在平面直角坐标系xOy 中,M 为直线3y x =-上的动点,过点M 作抛物线2:2C x y =的两条切线,MA MB ,切点分别为,,A B N 为AB 的中点.(1)证明MN x ⊥轴;(2)直线AB 是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.8.已知点1,0A ,E ,F 为直线1x =-上的两个动点,且AE AF ⊥,动点P 满足//EP OA ,//FO OP (其中O 为坐标原点). (1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M 、N ,如果4OM ON ⋅=-,证明直线l 必过一定点,并求出该定点的坐标.9.平面上动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到直线2x =-的距离小1.(1)求动点M 满足的轨迹方程C ﹔(2)若A ,B 是(1)中方程C 表示的曲线上的两点,且OA OB ⊥(O 为坐标原点).试问直线AB 是否经过定点,并说明理由. 10.设抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ,点()4,P m 是抛物线C 上一点,且5PF=.(1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,若6AF BF +=,求证:线段AB 的垂直平分线过定点.11.已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点,()1,M t 是抛物线上一点,且32MF. (1)求抛物线C 的方程;(2)已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,若直线AF ,BF 的倾斜角互补,则直线l 是否会过某个定点?若是,求出该定点坐标,若不是,说明理由.12.在直角坐标系xOy 中,已知一动圆经过点()3,0,且在y 轴上截得的弦长为6,设动圆圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ,2l ,直线1l 与曲线C 相交于A ,B 两点,直线2l 与曲线C 相交于E ,F 两点,线段AB ,EF 的中点分别为M 、N ,求证:直线MN 恒过定点,并求出该定点的坐标.参考答案1.(1)24y x =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据焦点,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭,求得点A ,B 的坐标,然后由1222AOB pS AB =⋅⋅=△求解;(2)易知直线l 的斜率存在,记为k ,设直线:l y kx m =+,与24y x =联立, 由tan OP k α=,tan OQ k β=,结合4παβ+=,由()tan tan tan 1tan tan 1OQ Q O P P O O k k B k k ααβαβ+++==-⋅⋅-14tan π== 求解.【解析】(1)因为焦点,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以点A ,B 的坐标分别为,2pp ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以12222AOBpS p =⋅⋅=△, 故2p =.故抛物线C 的方程为24y x =. (2)由题设()11,P x y ,()22,Q x y , 易知直线l 的斜率存在,记为k ,则设直线:l y kx m =+,与24y x =联立得2440ky y m -+=, 得124y y k+=,124my y k⋅=, 则()2221212121221422444y y m x x y y y y k k ⎡⎤+=+=⨯+-=-⎣⎦, 2221212244y y m x x k⋅=⋅=,121212164OP OQ y y k k k x x y y m ⋅=⋅==⋅,()()2112121112OP OQ x kx m x kx m y y k k x x x x +++=+=+ ()12121224k x m x x x x m++==.又知tan OP k α=,tan OQ k β=,()tan tan tan 1tan tan 1OQ Q O P P O O k k Bk k ααβαβ+++==-⋅⋅-, 41441m tan k mπ===-,解得44m k =+,所以直线():4444l y kx k k x =++=++,恒过定点()4,4-.【点评】 定点问题的常见解法:①假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;②从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意. 2.(1)24x y =;(2)证明见解析.【分析】(1)把已知条件用坐标表示,并化简即得C 的方程; (2)设(),2D t -,()11,E x y ,()22,F x y ,利用导数得出切线,DE DF 的方程,由D 在切线上,从而可得直线EF 的方程,由直线方程可得定点坐标.【解析】(1)设(),P x y ,则(),1PA x y =---,(),1PB x y =--,()0,2AB =,()0,2BA =-,所以,PB AB PA BA =⋅()10,2y AB =+=,化简得24x y =.所以,C 的方程为24x y =.(2)由题设可设(),2D t -,()11,E x y ,()22,F x y , 由题意知切线DE ,DF 的斜率都存在,由24x y =,得24x y =,则2y x '=, 所以12DE x k =, 直线DE 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y y x -=-,①因为()11,E x y 在24x y =上,所以2114x y =,即21122x y =,②将②代入①得11220x x y y --=, 所以直线DE 的方程为11220x x y y --= 同理可得直线DF 的方程为22220x x y y --=. 因为(),2D t -在直线DE 上,所以11240tx y -+=, 又(),2D t -在直线DF 上,所以22240tx y -+=, 所以直线EF 的方程为240tx y -+=, 故直线EF 过定点()0,2.【点评】 本题考查直接法求动点轨迹方程,考查抛物线中的直线过定点问题,解题方法是设出切线坐标,由导数的几何意义写出切线方程,再由D 在切线上,根据直线方程的意义得出直线EF 方程,然后得定点坐标.3.(1)220x y --=;(2)证明见解析.【分析】(1)先判断直线1l :20mx y m --=过定点()2,0T ,由垂径定理表示出PQ =PQ ET ⊥时,当d 最大时,PQ 最小,求出PQ斜率m ,得到直线方程;(2)联立方程组表示出点M 、N ,进而表示出直线MN 的方程,利用点斜式方程说明直线过定点.【解析】 (1)由题意得直线1l :20mx y m --=过定点()2,0T , 由222440x y x y +---=得()()22129x y -+-=. 因为()()2221029-+-<,所以点()2,0T 在圆E 内.设圆心()1,2到直线1l 的距离为d ,PQ =d 最大时,PQ 最小,此时PQ ET ⊥,所以112PQ ETm k k ==-=,此时直线1l 的方程为220x y --=.(2)证明:因为抛物线过圆E 的圆心()1,2, 所以222p =,解得2p =, 所以抛物线的方程为24y x =.由直线1l 的方程为20mx y m --=,可得直线1l :12x y m=+,且过定点()2,0T ,由12l l ⊥可得直线2l :2x my =-+,联立24,2,y x x my ⎧=⎨=-+⎩,消x 整理得2480y my +-=.设点()11,C x y ,()22,D x y ,则124y y m +=-, 所以2Ny m =-,则222Nx m =+,即点()222,2N m m+-,同理得点2222,M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 当1m ≠时, 直线MN 的斜率2222212112MNmm m k m m mm m +===---,则直线MN 的方程为222221m y x m m m ⎛⎫-=-- ⎪-⎝⎭, 即22222121m m y x m m m m-=--+⋅-,所以直线MN 的方程为()241my x m =--, 即直线MN 恒过定点()4,0;当1m =时,()4,2N -,()4,2M ,直线MN 的方程为4x =,也过定点()4,0. 综上,直线MN 恒过定点()4,0.【点评】证明直线过定点,通常有两类:(1)直线方程整理为斜截式y=kx+b ,过定点(0,b ); (2)直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0),过定点(x 0,y 0) . 4.(1)24y x =;(2)过定点()5,2-.【分析】(1)根据已知条件求出p 的值,可得出抛物线1C 的方程; (2)设直线MN 的方程x my n =+,设点()11,M x y 、()22,N x y ,将直线MN 的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,由PM PN ⊥得出0PM PN ⋅=,代入韦达定理可得出m 、n 所满足的关系式,由此可得出直线MN 所过定点的坐标.【解析】(1)把椭圆2C 的方程化为标准方程是221112x y +=,椭圆的左、右顶点分别为()1,0-、()1,0, 依题意12p=,解得2p =,所以抛物线1C 的方程为24y x =; (2)若直线MN 与y 轴垂直,则直线MN 与抛物线1C 只有一个交点,不合乎题意.设直线MN 的方程为x my n =+,与抛物线方程联立并化简得2440y my n --=.则216160m n ∆=+>,可得20m n +>,设()11,M x y 、()22,N x y ,则124y y m +=,124y y n =-.因为PM PN ⊥,()()()21111111221,21,2,244y y y PM x y y y -+⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 同理可得()()22222,24y y PN y -+⎛⎫=-⎪⎝⎭, 所以,()()()()()()121212222222016y y y y PM PN y y --++⋅=+--=,所以,()()()()12122222160y y y y --+++=⎡⎤⎣⎦, 显然12y ≠且22y ≠,所以,()()()121212221622048200y y y y y y n m +++=+++=-++=,所以,25n m =+,所以,直线MN 的方程为25x my m =++,即()250x m y -+-=,因此,直线MN 过定点()5,2-.【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点; (3)求证直线过定点()00,x y ,常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.5.(1)24y x =;(2)直线l 过定点,定点坐标为()0,1-,证明见解析. 【分析】(1)联立直线方程和抛物线方程,求出交点的坐标后利用弦长公式可求p 的值,从而可求抛物线的方程.(2)设直线l 的方程为x my b =+,联立直线方程和抛物线方程,消去x 后利用韦达定理化简斜率之和,从而可得b m =,故可求定点坐标.我们也可以设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,用坐标表示斜率之和,再用该两点的坐标表示直线l ,化简后可得直线过定点.【解析】(1)由2,2,y x y px =⎧⎨=⎩解得10x =,22x p =,因为直线y x =被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为0p -=,0p >,解得2p =, 所以抛物线C 的方程为24y x =.(2)法一: 设直线l 的方程为x my b =+,()11,M x y ,()22,N x y ,由2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩得2440y my b --=, 所以124y y m +=,124y y b =-,因为点()1,2A ,且直线AM ,AN 的斜率之和为4,所以121222411y y x x --+=--,而2114y x =,2224y x =,化简得12120y y y y ++=, 所以440m b -=,即b m =, 所以直线l 的方程为()1x m y =+, 所以直线l 过定点,定点坐标为()0,1-. 法二:设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 因为点()1,2A ,且直线AM ,AN 的斜率之和为4,所以1222122241144y y y y --+=--,即12120y y y y ++=,①当210y y +≠时,直线l 的方程为221112221444y yy y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭- 即2141y x y y =--, 所以直线l 过定点,定点坐标为()0,1-;②当210y y +=时,120y y =,所以120y y ==,不满足题意. 所以直线l 过定点,定点坐标为()0,1-.【点评】直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题,一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程,再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +,最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程(或函数),从而可求定点、定值、最值问题,也可以设出交点坐标,用交点坐标表示目标代数式,从而解决定点、定值、最值问题.6.(1)24x y =;(2)证明见解析,定点为()2,3. 【分析】(1)根据抛物线的性质即可得到042py =,022py +=,解得即可;(2)设1(B x ,1)y ,2(M x ,2)y .由题意,可设直线BM 的方程为y kx b =+,由根与系数的关系.得124x x k +=,124x x b =-,再根据A ,P ,B 三点共线,化简整理可得(2)3y k x =-+.即可求出直线BM 过定点. 【解析】(1) 根据题意知,042py =,① 因为||2AF =,所以022py +=.②. 联立①②解的01y =,2p =. 所以E 的方程为24x y =.(2)证明:设1(B x ,1)y ,2(M x ,2)y .由题意,可设直线BM 的方程为y kx b =+,代入24x y =,得2440x kx b --=.由根与系数的关系.得124x x k +=,124x x b =-.③ 由MP x ⊥轴及点P 在直线3y x =-上,得2(P x ,23)x -,则由A ,P ,B 三点共线,得21214122x kx b x x -+-=--,整理,得1212(k 1)(24)(1)260x x k x b x b ---++--=. 将③代入上式并整理,得1(2)(23)0x k b -+-=.由点B 的任意性,得230k b +-=,所以32(2)3y kx k k x =+-=-+. 即直线BM 恒过定点(2,3).【点评】 证明直线过定点,一般有两种方法.(1)特殊探求,一般证明:即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,然后证明该定点在该直线或该曲线上(定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立).(2)分离参数法:一般可以根据需要选定参数R λ∈,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=,(一般地,(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式)由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0f x y f x y f x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩,从而求得该定点.7.(1)证明见解析;(2)直线AB 恒过定点(1,3).【分析】(1)设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,求出导数y x '=,由此可得切线斜率,得切线MA 方程()21112x y x x x -=-,同时设(,3)M t t -,代入切线方程并整理,同理得MB 方程,从而可得12,x x 是方程22360x tx t -+-=的两根,利用韦达定理得1212,x x x x +,求出N 点横坐标可证得结论; (2)利用(1)再求得N 点纵坐标,由,A B 两点坐标求得直线AB 的斜率,然后得出直线AB 方程后可得定点坐标.【解析】(1)设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,y x '=,∴切线MA 的斜率为1x ,切线()2111:2x MA y x x x -=-,设(,3)M t t -,则有()211132x t x t x --=-,化简得2112360x tx t -+-=,同理可的2222260x tx t -+-=∴1x ,2x 是方程22360x tx t -+-=的两根,∴122x x t +=,1226x x t =-,122N M x x x t x +===,∴MN x ⊥轴. (2)∵()()22221212121113442N y x x x x x x t t =+=+-=-+,∴()2,3N t t t -+. .()221212121122ABx x k x x t x x -=⋅=+=-, ∴直线()2:3()AB y t t t x t --+=-,即3(1)y t x -=-, ∴直线AB 过定点(1,3).【点评】本题考查直线与抛物线相交问题,考查导数的几何意义,方法是设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设动点坐标(,3)M t t -,把M 点坐标代入两切线方程得出12,x x 是一元二次方程的根,利用韦达定理得出1212,x x x x +,这样可得中点N 坐标,由中点N 坐标写出直线AB 方程可得定点坐标.是设而不求思想的运用.8.(1)()240y x x =≠;(2)证明见解析,定点为()2,0.【分析】(1)设点(),P x y ,()1,E a -,()1,F b -,由AE AF ⊥可得出4ab =-,由//EP OA ,//FO OP 可得出y a =,y bx =-,代入4ab =-化间可得出动点P 的轨迹C 的方程;(2)设直线l 的方程为()0x ty n n =+≠,设点()11,M x y 、()22,N x y ,联立直线l 与曲线C 的方程,列出韦达定理,由4OM ON ⋅=-可求得n 的值,可得出直线l 的方程,进而可得出直线l 所过定点的坐标. 【解析】(1)设(),P x y 、()1,E a -、()1,F b -,则()2,AE a =-,()2,AF b =-,()1,EP x y a =+-,()1,0OA =,()1,FO b =-,(),OP x y =.由AE AF ⊥,得40AE AF ab ⋅=+=,且点E 、F 均不在x 轴上,故4ab =-,且0a ≠,0b ≠. 由//EP OA ,得0y a -=,即y a =. 由//FO OP ,得0bx y +=,即y bx =-.所以24y abx x =-=,所以动点P 的轨迹C 的方程为:()240y x x =≠;(2)若直线l 的斜率为零时,则直线l 与曲线C 至多只有一个公共点,不合乎题意.可设直线l 的方程为()0x ty n n =+≠.由24y ty n y x=+⎧⎨=⎩,得2440y ty n --=. 设()11,M x y 、()22,N x y ,则124y y t +=,124y y n =-.()21221212124416y y OM ON x x y y y y n n ∴⋅=+=+=-=-,0n ≠,解得2n =,所以,直线l 的方程为2x ty =+,即直线l 恒过定点()2,0.【点评】 直线过定点:根据题中条件确定直线方程y kx m =+中的k 与、所满足的等量关系或等式,然后再代入直线方程,即可确定直线所过定点的坐标9.(1)24y x =;(2)直线AB 经过定点()4,0,证明见解析. 【分析】(1)利用抛物线的定义可得动点M 满足的轨迹方程C ﹔ (2)设直线OA 的方程为:y kx =,则直线OB 的方程为:1=-y x k,联立直线与抛物线方程解出交点坐标,进而可得直线AB 的方程,可得直线AB 经过的定点坐标.【解析】(1)由题意易得:点M 到定点()1,0F 的距离等于点M 到直线1x =-的距离由抛物线定义可得:动点M 满足的轨迹方程C 为24y x =.(2)设直线OA 的方程为:y kx =,则直线OB 的方程为:1=-y x k.联立方程24y kx y x =⎧⎨=⎩可得244(,)A k k ,同理可得:24,4()B k k -.∴()222441414kk k k k k k k+===±-- 直线AB 的方程为224(4)1k y k x k k +=--即2(4)1ky x k =--. 特别的,当1k =或1-时,点A 与点B 的横坐标都是4. 综上可知,直线AB 经过定点()4,0.【点评】 本题考查抛物线的定义的应用,考查直线与抛物线的位置关系,解决本题的关键点是设出直线OA 和OB 的方程,分别与抛物线联立解出交点坐标,即可写出直线AB 的方程,进而得出定点坐标,考查了学生计算能力,属于中档题. 10.(1)24y x =;(2)证明见解析. 【分析】(1)由条件可得542pPF==+,解出即可; (2)当直线l 的斜率存在时,设:l y kx m =+,()()1122,,,A x y B x y ,联立直线与抛物线的方程联立消元,然后韦达定理可得12242kmx x k -+=,由6AF BF +=可得12242242km x m k k kx -+==⇒=-,然后表示出线段AB 的垂直平分线方程可得答案.【解析】(1)由抛物线的焦半径公式可得542pPF ==+,解得2p = 即抛物线C 的方程为24y x =(2)当直线l 的斜率存在时,设:l y kx m =+,()()1122,,,A x y B x y由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得()222240k x km x m +-+= 所以0k ≠,()2222440km k m ∆=-->,即1km <12242kmx x k -+=因为6AF BF +=,所以1226x x ++=,所以12242242km x m k k kx -+==⇒=- 所以线段AB 的中点坐标为()2,2k m +所以线段AB 的垂直平分线方程为()122x ky k m ---=-, 即()1214124x k m x x k k k k ky +++=+=--=--,所以过定点()4,0 当直线l 的斜率不存在时也满足综上:线段AB 的垂直平分线过定点()4,0【点评】 定点问题的常见解法:①假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;②从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.11.(1)22y x =;(2)过定点,定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+,设()11,A x y ,()22,B x y ,由条件可得0AF BF k k +=,化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理代入可得2k m =,从而得出答案. 【解析】(1)根据抛物线的定义,31122p MF p =+=⇒=, 抛物线的方程为22y x =,(2)设直线l 的方程为y kx m =+,设()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x =+⎧⇒+-+=⎨=⎩, 12222km x x k -+=,2122m x x k =,则122y y k +=,122m y y k =, 又0AF BF k k +=,即12121122y y x x --+=--,()122112102x y x y y y +-+=,()()1212121202kx x m x x y y ++-+=,即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=,整理得:2k m =, 所以直线的方程为()21y m x =+, 即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点评】关键点睛:本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系,考查直线过定点问题,解答本题的关键是由0AF BF k k +=,得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=,然后由方程联立韦达定理代入,属于中档题.12.(1)26y x =;(2)证明见解析,9(,0)2.【分析】(1)设圆心(),C x y ,然后根据条件建立方程求解即可;(2)设直线1l 的方程为3()2y k x =-,然后算出22363(,)2k M k k+,236(,3)2k N k +-,然后表示出直线MN 的方程即可.【解析】(1)设圆心(),C x y ,由题意得2229(3)x x y =-++,即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =(2)由题意可知,直线12,l l 的斜率均存在,设直线1l 的方程为3()2y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y 联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=, 所以212236k x x k ++=,12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点,所以22363(,)2k M k k + 同理,将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-, 当222363622k k k ++≠,即1k ≠±时 2222333636122MNkk k k k k k k +-==++-- 所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=-- 即29()12k y x k -=--, 所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时,直线MN 的方程为92x =,也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点评】 定点问题的常见解法:①假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;②从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.。
例说抛物线中的定点问题
例说抛物线中的定点问题浙江奉化奉港中学 罗永高 315500近几年,抛物线中的定点问题频繁出现在各类考试试题中,这类问题条件隐晦,变量较多,计算量大.因而许多同学感觉到困难.其解决问题的关键是合理使用参数,巧妙地消去参数,找出与参数无关的点.下面给出几个定点问题一般形式. 1 线段的中垂线问题已知抛物线)(22o p px y >=上两动点),,(),,(2211y x B y x A 且a a x x ,21=+为常数,求证:线段AB 的垂直平分线过定点.证明 设).,2(),,2(222121y py B y p y A 则 AB 中点.2),2,2(2121y y p k y y a M AB +=+ AB ∴的垂直平分线方程为 ).2(222121a x p y y y y y -+-=+-即 .02)2)((21=+--+py P a x y y ∴ ,02=--p a x 且0=y . ∴ AB 的垂直平分线过定点).0,2(p a + 2 切点弦所在直线问题直线n my x l +=:与抛物线)0(2:2>=p px y C 相离,动点P 在直线l 上运动,过P 作抛物线C 的两条切线,,PB PA 切点分别为B A ,两点,求证:直线AB 过定点.证明 设).,(),,(),,(002211y x P y x B y x A则切线PA 方程为);(11x x p y y +=切线PB 方程为 ).(22x x p y y += 把,(0x P )0y 代入得 ).(),(20021001x x p y y x x p y y +=+=∴直线AB 方程为 ).(00x x p yy += 把n my x +=00代入得 ,0)(0=---px pn mp y y.,mp y n x =-=∴∴直线AB 过定点).,(mp n -3 抛物线内接三角形一边直线问题点),(00y x M 是抛物线px y 22=上一个定点,过点M 作两弦,,MB MA (1) 若MA k m m k MB,.=为非零常数,求证直线AB 过定点; (2) 若n n k k MB MA ,=+为非零常数,求证直线AB 过定点;(3) 若MB MA ,倾斜角分别为βα,,当βα,变化时;且βα+为定值)0(πθθ<<,求证直线AB 过定点.证明 设).,2(),,2(),,2(020222121y py M y p y B y p y A 则 .2,2,2212010y y p k y y p k y y p k AB MB MA +=+=+= 直线AB 的方程为 ).2(2)(21211py x y y p y y -+=- 即 .02)(2121=--+px y y y y y)1( 1 ,2.22010m y y p y y p =++ .)(4.20210221y y y y mp y y -+-=∴ )2( 把)2(代入)1(得,024))((22021=--+++px m p y y y y y.020,22y y m p p y x -=-=∴ 即直线AB 过定点),22(020y mp p y --。
{公开课}《与抛物线有关的定值定点问题探究》课件
������ ቐ������ = ������������ + 2
������2 = 2������������
8
6
A
4
∴ ������2 −2������������������ − ������2 = 0
2
由韦达定理得: ������1 ⋅ ������215 = −������2
10
5
F
5
10
∵
൝������������1222
= =
2������������1 2������������2
∴ ������1������2 2= 4������2������1������2
2
B
4
������4 ������2
6
∴ ������1 ������2 = 4������2 = 4
8
探究1
过抛物线������2 = 2������������ ������ > 0 的焦点的一条直线和该 抛物线相交于A、B两点,已知A、B两点的纵坐标 分别为������1和������2,则������1 ⋅ ������2的值是否也是常数?
= ������
2������������ = ������������
整理得:������2 − 2������������������ − 2������������ = 0
88 66 44 2
2
B'
AA A'
Q(m,0)
15
10
15
10
∴ Δ > 0且������1 ������2 = −2������������
8
A
6
A'
初中数学定值定点最值问题
初中数学定值定点最值问题初中数学定值定点和最值问题是中考数学压轴题常考考点,对于定值定点问题可以采用特殊点,特殊值和特殊位置确定其值是多少,然后采用一般法去证明,最值问题一般是线段的和与差,最常用的方法是“化折为直”比如常见的“将军饮马问题”、“胡不归问题”、“阿氏圆问题”、“隐圆问题”。
例1.对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣6a总不经过点P(m+1,4﹣2m),则符合条件的点P的坐标为.变式1.若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P(x0﹣3,x02﹣16),则写出符合条件的点P的坐标:.变式2.若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣6a总不经过点P(m﹣2,m2﹣9),写出符合条件的点P的坐标:.变式3.若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P(x0,2x0﹣6),写出符合条件的点P的坐标:.变式4.若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P(m﹣3,m2﹣16),写出符合条件的点P的坐标:.变式5.若对于任意非零实数a,抛物线y=a(x+2)(x﹣1)总不经过点P(x0﹣3,x0﹣5)写出符合条件的点P的坐标:.变式6.若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P(x0﹣3,x02﹣16),写出符合条件的点P的坐标:.例2.已知抛物线y=ax2﹣2anx+an2+n+3的顶点P在一条定直线l上.求直线l的解析式;例3.我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称,则把该函数称之为“T函数”,其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c(a>0,且a,b,c是常数)经过坐标原点O,且与直线l:y=mx+n(m≠0,n>0,且m,n是常数)交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,当x1,x2满足(1﹣x1)﹣1+x2=1时,直线l是否总经过某一定点?若经过某一定点,求出该定点的坐标;否则,请说明理由.例4.如图,已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点,求证:为定值.例5.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,sin A=,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+PB的最小值为.例6.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,M为BC的中点,H为AB上一点,过点C作CG ∥AB,交HM的延长线于点G,若AC=8,AB=6,求四边形ACGH周长的最小值例7如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C(2,﹣3),且与x轴交于原点及点B(8,0).若点P为⊙O上的动点,且⊙O的半径为2,一动点E从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P,再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动,求点E的运动时间t的最小值.例8.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+QC是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.例9.如图,A,B两点的坐标分别为A(4,3),B(0,﹣3),在x轴上找一点P,使线段P A+PB的值最小,则点P的坐标是.例10.如图,已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限.当△OAB的面积为15时,P是抛物线上的动点,当P A﹣PB的值最大时,求P的坐标以及P A﹣PB的最大值.例11.如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6.点E是线段AD上的动点(点E不与点A,D重合),连接CE,过点E作EF⊥CE,交AB于点F.连接CF,过点B作BG⊥CF,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点,连接GM.①求AG+GM的最小值;②当AG+GM取最小值时,求线段DE的长.例12.如图一所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE ⊥BC于点E,作PF∥AB交BC于点F.当△PEF的周长为最大值时,求点P的坐标和△PEF的周长.。
高中数学定点定值问题
一、复习引入
1.过 抛 物 线 x 2 4 y的 焦 点 的 一 条 直 线 和 条 这 抛物线相交于 A(x1 , y1 ) ,B(x2 , y2 )两点 , 则x1 x2 ______,y1 y2 ______.
பைடு நூலகம்
二、典例剖析
例题:已知抛物线C: y y=-1,焦点为F。 (1)求抛物线C的方程
2
求证: 2)若直线AB过F,则 FA FB FP 为定值
2 的准线方程为 例题:已知抛物线C: y ax y=-1,焦点为F。 (2)过抛物线C上不同的两点A,B分别作抛物线的 切线相交于点P, PA PB 0
求证:3)直线AB过定点
三、巩固提高
练习:已知抛物线C: x 4 y ,焦点为F。 直线l:y=kx+b(k 0)与抛物线C交于不同的两点 A,B,记直线AF,BF的斜率之和为m.
ax
2
的准线方程为
2 的准线方程为 例题:已知抛物线C: y ax y=-1,焦点为F。 (2)过抛物线C上不同的两点A,B分别作抛物线的 切线相交于点P, PA PB 0
求证:1)P的纵坐标为定值;
2 的准线方程为 例题:已知抛物线C: y ax y=-1,焦点为F。 (2)过抛物线C上不同的两点A,B分别作抛物线的 切线相交于点P, PA PB 0
2
求常数m,使得对于任意的k,直线l过定点。
四、课堂小结
1.定值问题:引进变量法
变量 选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 把要证明为定值的量表示成上述变量的函数
函数 变量 定值 变量
把得到的函数化简,消去变量得到定值
抛物线有关的定点定值问题
为定点?
问题4:已知抛物线y2 x,点P(m, 0)m 0,过点P
作不重合的两条直线l1,l2,分别交抛物线于点A, B,C, D, 直线AC交BD于点E,直线AD与CB交于点F,探究点E,点F
问题1.已知抛物线 y2 x 的焦点为F,过点F作
直线 l交抛物线于A,B两点,证明:yA yB为定值。yAo
B
F
1 4
,
0
x
问题2.已知抛物线 y2 x 和 x 轴上点p(m, 0)
过点P作直线 l交抛物线于A,B两点, 试探究:yA yB 是否为定值?
y
A
o
P(m, 0)
x
B
已知抛物线 y2 x 和 x 轴上点p(m, 0)
是否为定点?
y
( y22 , y2 )
C
( y12 , y1)
o
B
m2 y12
,
m y1
x
m2 m
y22
,
y2
证明:OP OE与OP OF的值是定值。
课后作业(一)
(2010年全国Ⅰ卷文22)
已知抛物线C:y2 4x 的焦点为F,过点
K(-1,0)的直线 l与C相交于A,B两点,点
A关于 x 轴的对称点为D,
(Ⅰ)证明:点F在直线BD上;
(Ⅱ)设 FA FB= 8 ,求 BDK 的内切圆M的方程.
9
课后作业(二)
1. 若直线 l与抛物线 y2 2x 相交于A,B两点,
且 OA OB(O为坐标原点),证明:直线
AB过定点。 要求:证明此题并对此题进行变式,并作解答。
(完整)导学稿:抛物线中的定值定点问题
课题:抛物线中的定值定点问题定点定值问题在圆锥曲线中,有一类曲线系方程,对其参数取不同值时,曲线本身的性质不变;或形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着,这就是我们所指的定值问题。
圆锥曲线中的几何量,有些与参数无关,这就构成了定值问题.它涵盖两类问题,一是动曲线经过定点问题;二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。
引例:设A 、B 为抛物线22y px =上的点,且0OA OB ⋅=(O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________。
变式1:(将条件一般化)设A 、B 为抛物线22y px =上的点,且(0)OA OB a a ⋅=>(O 为原点),则直线AB 是否也过某个定点呢?学以致用1:(2014 四川)已知F 为抛物线2y x =的焦点,点A ,B 在抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点),则三角形ABO 与三角形AFO 面积之和的最小值是( ) A 。
2 B.3 C.8D思考1:若将O 点改为抛物线上任意点200(,)2y M y p ,仍有0MA MB ⋅=,AB 直线是否仍过定点? (答案:过定点200(2,)2y p y p+-)学以致用2:(2014重庆模拟)已知(1,0),(1,0)B C -,P 是平面内一动点,且满足PC BC PB CB ⋅=⋅。
(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)已知点(,2)A m 在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ,且AD ⊥AE ,判断:直线DE 是否过定点?试证明你的结论。
思考2:引例中,OA OB ⊥,即表示OA 、OB 斜率之积为-1,若OA OB k k a ⋅= (a 为不为零的常数),直线AB 是否过定点?若OA OB k k a +=呢?(答案:OA OB k k a ⋅=⇒过定点2(,0)p a -;OA OB k k a +=⇒过定点2(0,)p a) 变式2:(在思考2的基础上稍作改变)将O 点改为过抛物线上一点200(,)2y M y p 作两条斜率之和为0的弦MA,MB(即0MA MB k k +=)分别交抛物线于A 、B 两点,证明:直线AB 的斜率为定值。
抛物线中的定点、定值、定直线问题
一、单选题1.已知抛物线()2:20C y px p =≥的焦点F 与椭圆22:143x y E +=的一个焦点重合,过坐标原点О作两条互相垂直的射线OM ,ON ,与C 分别交于,M N ,则直线MN 过定点( )A .()4,0B .()4,0-C .()1,0-D .()1,0 2.已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ,B ,直线OA ,OB 的斜率分别为1k ,2k ,且12k k ⋅l 恒过定点( )A .(-B .(-C .(-D .( 3.已知曲线C :22y px =(0)p >,过它的焦点F 作直线交曲线C 于M ,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于点P ,可证明PF MN 是一个定值m ,则m =( ) A.12 B .1C .2D 4.已知抛物线2:2C y x =,过定点(,0)M a 的直线与抛物线C 交于,A B 两点,若2211||||MA MB +常数,则常数a 的值是( ) A .1 B .2 C .3 D .45.抛物线x 2=-2y 与过点P (0,-1)的直线l 交于A ,B 两点,如果OA 与OB 的斜率之和为1,则直线l 的方程是( )A .Y =-x -1B .Y =x +1C .Y =x -1D .Y =-x +1 6.设点F 为抛物线216y x =的焦点,A ,B ,C 三点在抛物线上,且四边形ABCF 为平行四边形,若对角线5BF =(点B 在第一象限),则对角线AC 所在的直线方程为 A .82110x y --=B .480x y --=C .4230--=x yD .230x y --=7.已知动点A ,B 关于坐标原点O 对称,2AB =,M 过点A ,B 且与直线1y =相切.若存在定点P ,使得MA MP -为定值,则点P 的坐标为( )A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C .()0,1D .()0,1-8.已知点,A B 在抛物线2y x =上且位于x 轴的两侧,2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点),则直线AB 一定过点( )A .(2,0)B .1,02C .(0,2)D .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、多选题9.抛物线2:4C y x =的焦点为F ,动直线():0l y kx b kb =+≠与抛物线交于两点,A B 且OA OB ⊥,直线,AF BF 分别与抛物线交于,C D 两点,则下列说法正确的是( ) A .直线l 恒过定点()4,0B .14AB CD k k =C .1625AD BC k k =- D .若OH AB ⊥于点H ,则点H 的轨迹是圆 10.已知抛物线方程为24x y =,直线:220l x y --=,点00(,)P x y 为直线l 上一动点,过点P 作抛物线的两条切线,切点为A 、B ,则以下选项正确的是( )A .当00x =时,直线AB 方程为1y =B .直线AB 过定点()0,1C .AB 中点轨迹为抛物线D .PAB △11.已知抛物线24y x =,过焦点F 作一直线l 交抛物线于()11,A x y ,()22,B x y 两点,以下结论正确的有( )A .AB 没有最大值也没有最小值B .122AB x x =++C .124y y =-D .111FA FB+= E.若直线l 的倾斜角为θ,则22sin =AB θ12.已知点()2,2M -在拋物线()220x py p =>的准线上,F 是拋物线的焦点.过点M 的两条直线分别与抛物线相切于点A ,B ,直线MF 交直线AB 于点E ,则下列结论正确的是( )A .拋物线方程为24x y =B .直线AB 的方程为240x y -+=C .0AM BM ⋅=D .2ME AE BE =⋅三、填空题 13.经过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线交此抛物线于A ,B 两点,抛物线在A ,B 两点处的切线相交于点M ,则点M 必定在直线______上.(写出此直线的方程) 14.已知点P 为直线l :x =-2上任意一点,过点P 作抛物线y 2=2px (p >0)的两条切线,切点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若x 1x 2为定值,则该定值为____.15.过抛物线24y x =上一点P (4,4)作两条直线P A ,PB ,且它们的斜率之积为定值4,则直线AB 恒过定点____.16.已知F 为抛物线C :24y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D 、E 两点,则11||||AB DE +的值为_______. 四、解答题17.在平面直角坐标系中,已知动点(,)(0)M x y y ≥到定点()0,1F 的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)过点(4,4)N 作斜率为12,k k 的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ,B 两点,且12111k k +=.证明:直线AB 恒过定点.18.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 且斜率k ()0k >的直线l 与C 交于A ,D 两点,8AD =.(1)求k ;(2)若()02B x ,在C 上,过点B 作C 的弦BP ,BQ ,若BP BQ ⊥,证明:直线PQ 过定点,并求出定点的坐标.19.已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,直线:21l y x =+与C 交于A ,B 两点且||||20AF BF +=.(1)求C 的方程.(2)若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ,N 两点,且AM 与BN 相交于点T ,证明:点T 在定直线上.20.已知曲线E 上的点到()0,1F 的距离比它到x 轴的距离大1.(1)求曲线E 的方程;(2)过E 作斜率为k 的直线交曲线E 于A 、B 两点;①若3BF FA =,求直线l 的方程;②过A 、B 两点分别作曲线E 的切线1l 、2l ,求证:1l 、2l 的交点恒在一条定直线上.21.在平面直角坐标系Oxy 中,点F (1,0),D 为直线l :x =-1上的动点,过D 作l 的垂线,该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ,记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程;(2)若过点F 的直线与曲线C 交于P ,Q 两点,直线OP ,OQ 与直线x =1分别交于A ,B 两点,试判断以AB 为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.22.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .点()02,A y 在C 上,2AF = .(1)求p ;(2)过F 作两条互相垂直的直线12,l l ,1l 与C 交于,M N 两点,2l 与直线1y =-交于点P ,判断PMN PNM ∠+∠是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.。
解析几何中的定点定值问题
my 2 4x
a
y2
4my
4a
0
16m2 16a 0
y1 y1
y2
y2
4m 4a
k1k2
1
y1 2 x1 1
y2 x2
2 1
1
4 y1 2
4 y2 2
1
y1y2 2( y1 y2 ) 12 0
4a 8m 12 0 a 2m 3
EF : x my 2m 3过定点(3,2)
B
AB:
y
2 px y1 y2
4 p2 y02 y1 y2
y0
y
y0
2 px 4 p2 2 px0 y1 y2
2 p(x 2 p x0 ) y1 y2
AB过定点(x0 2 p, y0 )
思路2:设直线AB(2字母)
代入抛物线得关键方程
A
P
k1k2=-1统一字母
O
代直线AB方程(1字母)
(二)椭圆类
例3、椭圆 x2 y2 1
4
(1)以左顶点 A 为直角顶点的 RtAMN 的顶点都在
椭圆上,则斜边 MN 过定点
M
A N
思路1:特殊化取AM:y=x+2
代入椭圆得M,N坐标(1字母)
得直线AB方程(1字母) M 猜测得定点坐标再证明 A
N
解析:A(2,0), 取AM : y x 2
解析:小题猜测:极端性,当 PA水平时 A
此时 A 在无穷远处,B(x0 , y0 ) ,直线 AB : y y0 所以定点纵坐标为 y0
P
当 AB 竖直时,设为 x t ,
O
代入抛物线方程,A(t, 2pt ),B(t, 2pt )
中考复习压轴题之二次函数压轴之定值问题与定点问题-含详细参考答案
二次函数压轴之定值、定点问题1.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图2,∠BAC的角平分线交y轴于点M,过M点的直线l与射线AB,AC分别于E,F,已知当直线l绕点M旋转时,11AF AE为定值,请直接写出该定值.2.如图,平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+nx+4过点A(﹣4,0),与y轴交于点N,与x轴正半轴交于点B.直线l过定点A.(1)求抛物线解析式;(2)过点T(t,﹣1)的任意直线EF(不与y轴平行)与抛物线交于点E、F,直线BE、BF分别交y轴于点P、Q,是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值?若存在,求t的值,若不存在,请说明理由.3.如图1,已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣1,0)和点B (3,0),与y 轴的负半轴交于点C .(1)求这个函数的解析式;(2)如图2,点T 是抛物线上一点,且点T 与点C 关于抛物线的对称轴对称,过点T 的直线TS 与抛物线有唯一的公共点,直线MN ∥TS 交抛物线于M ,N 两点,连AM 交y 轴正半轴于G ,连AN 交y 轴负半轴于H ,求OH ﹣OG4.如图1,已知抛物线的解析式为21362y x =--,直线y =kx ﹣4k 与x 轴交于M ,与抛物线相交于点A ,B (A 在B 的左侧).(1)当k =1时,直接写出A ,B ,M 三点的横坐标:x A =,x B =,x M =;(2)作AP ⊥x 轴于P ,BQ ⊥x 轴于Q ,当k 变化时,MP •MQ 的值是否发生变化?若变化,求出其变化范围;若不变,求出其值;5.如图,在正方形OABC中,AB=4,点E是线段OA(不含端点)边上一动点,作△ABE 的外接圆交AC于点D.抛物线y=ax2﹣x+c过点O,E.(1)如图1,若抛物线恰好经过点B,求此时点D的坐标;(2)如图2,AC与BE交于点F.请问点E在运动的过程中,CF•AD是定值吗?如果是,请求出这个值,如果不是,请说明理由;6.已知顶点为A的抛物线y=a(x﹣2)2(a≠0)交y轴于点B(0,2),且与直线l交于不同的两点M、N(M、N不与点A重合).(1)求抛物线的解析式;(2)若∠MAN=90°,试说明:直线l必过定点;7.如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;(2)过定点Q(1,3)的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M,N两点.证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形.8.已知,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,点P是抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,当点P位于第二象限时,过P点作直线AP,BP分别交y轴于E,F两点,请问CECF的值是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.9.已知点P(0,﹣4)为平面直角坐标系内一点,直线l绕原点O旋转,交经过点(0,﹣2)的抛物线y=14x2+c于M、N两点.(1)请求出该抛物线的解析式;(2)在直线l绕原点O旋转的过程中,请你研究一下(PM+MO)(PN﹣NO)是否定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.10.如图,抛物线C:y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣12,且抛物线经过A、B两点,交x轴于另一点C,A(﹣2,0),B(0,2);(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,设对称轴直线x=﹣12与x轴交于M,点P为抛物线上对称轴左侧一点,直线PM交抛物线于另一点Q,点P关于抛物线对称轴对称点H,直线HQ交抛物线对称轴于G点,在点P运动过程中GM长是否为一定值,若为定值,请求出其值,若不为定值,请求出其变化范围.11.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点D为(1,﹣1),且经过点B(3,3).(1)求这个抛物线相应的函数表达式;(2)如图1,过点D且平行于x轴的直线l,与直线OB相交于点A,过点B作直线l 的垂线,垂足为C.若点Q是抛物线上BD之间的动点(不与B、D重合),连接DQ并延长交BC于点E.如图2,连接BQ并延长交CD于点F,在点Q运动的过程中,FC(AC+EC)的值是否发生变化?若不变求出该定值,若变化说明理由.12.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)与坐标轴分别交于点A(﹣3,0),B(1,0)和点C.(1)求出a与c的数量关系式;(2)如图,若抛物线y=-x2-2x+3与直线y=(2k1﹣2)x交于E,F两点,与直线y=(2k2﹣2)x交于M,N两点,且k1k2=﹣1,点P,Q分别是EF、MN的中点,求证:直线PQ必定经过一个定点,并求出该定点坐标.13.已知抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)经过点(4,5).(1)若a+b=﹣3,求抛物线y=ax2+bx+5的解析式;(2)在(1)的条件下,经过点A(2,54)的任意直线y=mx+n(m≠0)与(1)中的抛物线交于B,C两点,那么11AB AC的值是定值吗?如果是定值,请求出这个定值,如果不是定值,请说明理由.14.如图1,抛物线C:y=ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B,与y轴交于点C,OB=OC,其对称轴为直线x=1.(1)直接写出抛物线C的解析式;(2)如图2,将抛物线C平移得到抛物线C1,使C1的顶点在原点,过点P(t,﹣1)的两条直线PM,PN,它们与y轴不平行,都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N,求证:直线MN必过定点.参考答案1.解:(1)OB=OC,C(0,c)则B(-c,0),代入抛物线解析式得c 2-bc+c=0,c-b+1=0,即当x=-1时,y =1-b+c=0,故抛物线过点(-1,0),故A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)抛物线的解析式为y =x 2-2x -3(2)过点M 作MG||x 轴交AC 于点G ,作FP||x 轴交AM 于点P ,作CQ||x 轴,易知∆COA~∆CMG ,∆ACQ~∆AGM ,GM CG OA AC =GM AG CQ AC =,GM GM CG AG 1OA CQ AC AC+=+=即得111OA CQ GM+=,而AM 平分∠BAC ,故AC=CQ ,故111OA AC GM +=;同时CG AC GM AE =,AF GM AC CQ=即可得111AE AF GM +=,OA=1,AC=10,故11101AE AF 10+=+2.解:(1)y =-x 2-3x +4(2)存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值,t=-4设E(m ,-m 2-3m+4),F(n,-n 2-3n+4),设BE 的解析式为y =k (x -1),将E 点坐标代入得k =-m -4,同理k =-n -4,则OP=m+4,OQ=-n-4,故OP ∙OQ=(m+4)(-n-4)=-mn-4(m+n)-16,直线CE 的解析式为y =k 1(x-t )-1,与抛物线y =-x 2-3x +4联立得x 2+(k 1+3)x-k 1t -5=0,m+n=-k 1-3,mn =-k 1t -5,OP ∙OQ=k 1t+4k 1+1=4k 1(t+4)+1,当t=-4时,OP ∙OQ 为定值,故当t=-4时,OP ∙OQ=13.解:(1)y =x 2-2x-3(3)易知T(2,-3),设直线TS 的解析式为y=m(x-2)-3,与抛物线y =x 2-2x-3联立得x 2-(m +2)x +2m =0,有两个相等实根,m 2+4m+4-8m=0,故m=2,即TS 解析式为y =2x -7,设MN 的解析式为y =2x+h ,与抛物线联立得x 17+h ,x 27+h 故7+h ,7+h ),N(2-7+h 7+h ),直线AM 解析式为y 1=k 1x+b 1,得b 1737hh +++737hh +++,同理可得773hh ++-,OH-OG=24.解:6,6,4;(2)MP ∙MQ 的值不变.y =21362x -与y =kx -4k 联立得x 2+6kx +9-24k =0,x A +x B =6k ,x A ∙x B =9-24k ,M(4,0),MP ∙MQ=(4-x P )(4-x Q )=16-4(x A +x B )+x A x B =16+24k+9-24k=255.解:(1)易得抛物线的解析式为y =12x 2-x ,圆的直径为BE ,故∠BDE=90°,且∠BED=∠BAD=45°,作MN ⟂OA 交BC 、OA 于点M 、N ,易知∆BDM ≅∆DEN ,设DM=NE=m ,则CM=ON=m ,而OE=2,故m=1,此时D(1,3)(2)不变,CF ∙AD=16,∠DBF=∠BAD=45°,故∆ADB~∆CBF ,故CF ∙AD=AB ∙CB=166.解:(1)y =12(x -2)2(2)设直线MN 的解析式为y=kx+b ,与抛物线联立得x 2-(4+2k )x +4-2b=0,x M +x N =4+2k,x M ∙x N =4-2b ,作ME 、NF 垂直于x 轴,易知∆AME~∆NAF ,AE ME NF AF =,即有AE ∙AF=ME ∙NF ,ME=kx 1+b ,NF=kx 2+b ,AE=2-x 1,AF=x 2-2,(2-x 1)(x 2-2)=(kx 1+b)(kx 2+b),即有4+2(x 1+x 2)-x 1x 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2,整理得2k+b =0或2k +b -2=0,即当x =2时,y =2,所以直线l 必过定点(2,2)7.解:(1)y =-x 2+2x +3,P(1,4)(2)联立y=kx-k +3和抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k-2)x-k=0,x 1+x 2=k-2,x 1x 2=-k,过点M 、N 作对称轴的垂线ME 、NF ,tan ∠PME=PE ME =221111114(23)(1)111x x x x x x --++-==---,同理tan ∠PFN=211x -,(1-x)(x2-1)=1,故tan ∠PME=tan ∠FPN,∠PME=∠FPN ,故∠MPN=90°,所以无论k 为何值,∆PMN 恒为直角三角形.8.解:(1)y =-x 2+2x +3(2)CE CF 的值为定值13,设P(t,-t 2+2t+3),直线AP 的解析式为y =(3-t)x +3-t ,直线BP 的解析式为y =(-t-1)x +3t+3,故CE=-t ,CF=-3t ,故CE CF =139.(1)y =2124x -(2)(PM+MO)(PN-ON)为定值,设直线l 的解析式为y=kx ,与抛物线联立得x 2-4kx -8=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)则有x 1x 2=-8,,y 1=kx 1,故PM=|x 1OM=|x 1,同理PN=|x 2,ON=|x 2,故+|x 1)(|x 2-|x 2)=16,故(PM+MO)(PN-ON)为定值16.10.解:(1)y=-x 2-x +2(2)连接MH ,易知AMP=CMH ,设PQ 的解析式为y=kx+b 1,MH 的解析式为y=-kx+b 2,分别代入(-12,0)得b 1=12k ,b 2=12-k ,故PM 的解析式为y=kx+12k ,MH 的解析式为y=-kx-12k 与抛物线联立得x=(1)92k -+±,所以Q((1)92k -++,292k -±),同理可得H(192k -,292k --),易知QH 的解析式为y=-x +992-当x=-12时,y=92,所以G(-12,92),所以点P 运动过程中GM 长为定值9211.解:(1)y =x 2-2x(2)FC(AC+EC)为定值,设Q(m ,m 2-2m ),易得BF 的解析式为y=(m -1)x -3m ,故点F(311m m -+,-1),D(1,-1),DE 的解析式为y=(m-1)x-m ,E(3,2m-3),FC=3-311m m -+=41m +,AC+EC=4+2m-3+1=2m+2,所以FC(AC+EC)=41m +(2m+2)=812.解:(1)c =-3a (2)联立y =-x 2-2x +3与y =(2k 1﹣2)x 得x 2+2k 1x -3=0所以x 1+x 2=-2k 1,y 1+y 2=-4k 12+4k 1,故P(-k 1,-2k 12+2k 1),同理可得Q(-k 2,-2k 22+2k 2),设直线PQ 的解析式为y=kx+b,将P 、Q 两点代入得y =(2k 1+2k 2-2)x -2,所以直线PQ 过定点(0,-2)13.解:(1)y=x 2-4x +5(3)将坐标系向右平移2个单位,向上平移1个单位,此时抛物线的解析式为y=x2,点A(0,14),设B(m,m 2),C(n,n 2),则AB=m 2+14,AC=n 2+14,故11AB AC +=AB AC AB AC +⋅=22221211()()416m n mn m n +++++,同时BC 的解析式y=kx +14,与抛物线联立得x 2-kx -14=0,m+n=k,mn =-14,故11AB AC +=414.解:(1)y =x 2-2x -3(2)平移后的抛物线的解析式为y =x 2,设M(m,m 2),N(n,n 2),直线PM 的解析式设为y=k 1(x-m)+m 2,PN 的解析式为y=k 2(x-n)+n 2,与抛物线联立得x2-k1x+k1m-m2=0,此时∆=0,即有k 1=2m ,PM 的解析式为y=2m(x-m)+m 2=2mx-m 2同理可得PN 的解析式为y=2n(x-n)+n 2=2nx-n 2,可得P(2m n +,mn ),mn =-1,MN 的解析式为y=(m+n)x +1,故MN 过定点(0,1)。
高考解析几何中的定点定值问题
一、解析几何中的定点问题
解析几何中定点问题的两种解法:
(1)引进参数法:引进动点坐标或动线中系数为参数表示变化量, 再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点, 再证明该定点与变量无关.
例1、已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A,B, 且OA⊥OB,则直线AB过定点为______. A
k 2 y k(x 2 p) y 0
AB过定点(2 p,0)
例 2.椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,该椭圆经过 点 P1,32且离心率为12.
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不
是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点, 求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.
y1
y2
2 pa
0
a
0
OA OB x1x2 y1y2 0 (my1 a)(my1 a) By1y2 0
(m2 1)(2 pa) am(2 pm) a2 0 a 2 p
AB : x my 2 p过定点(2 p,0)
思路2:设直线OA,OB
A
代入抛物线解得A,B点 O
B
得直线AB方程
O B
思路1:设直线AB方程 代入抛物线得关键方程 OA⊥OB 得定点
法1:设AB : x my a( AB水平显然不适合)A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
x y
my a 2 2 px
y2
2
pmy
2
pa
ห้องสมุดไป่ตู้
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二次函数与定点定值问题(教师版)
二次函数与定点、定值问题【方法归纳】已知抛物线和满足一定条件的直线在平面直角坐标系中,直线上的线段满足一定几何条件,图中可能产生一些定点,定量关系.通常要运用几何量的关系转换成线段关系和坐标关系求解. 思路:结合二次函数,将几何向代数转化,构建方程或方程组,并归纳解题一致性.例1.已知抛物线:y =ax 2+bx +c ,顶点坐标为原点,且过(4,8),如图,若A 、B 两点在抛物线上,且OA ⊥OB ,AB 交y 轴于H 点,求H 点的坐标.易求a =21,b =0,c =0,∴y =12x 2,设A (m ,21m 2),B (n ,12n 2),设AB 的解析式y =kx +b ,联立⎪⎩⎪⎨⎧+==b kx y xy 221得x 2-2kx -2b =0,m +n =2k ,mn =-2b ,又∵OA ⊥OB ,过A 点作AC 丄x 轴,BD ⊥y 轴,垂足分别为C 、D 两点,易证△AOC ∽△OBD ,∴OC AC =BD OD ,∴A A x y =B B y x -,∴m m221=221n n -,41mn =-1,∴mn=-4,∴b =2,∴H (0,2).(2013年武汉中考压轴题的关键一步)方法总结:_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________【练1】抛物线y =21(x -1)2,顶点为M ,直线AB 交抛物线于A 、B 两点,且MA ⊥MB ,求证:直线AB 过定点.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易求M (1,0),作AE ⊥x 轴,BF ⊥x 轴,△AEM ∽△BFM ,易得EM AE =FBMF,即111x y -=221y x -,1211)1(21x x --=222)1(211--x x ,∴-21(x 1-1)2=)1(2112-x ,∴-41[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]=1,联立⎪⎩⎪⎨⎧+=-=b kx y x y 2)1(21得,21(x -1)2=kx +b ,x 2-2x +1=2kx +2b ,x 2-(2+2k )x +1-2b =0,x 1·x 2=1-2b ,x 1+x 2=2k +2,∴(1-2b )-(2k +2)+1=-4,k +b =2,∴y =kx +b =kx +2-k =k (x -1)+2,∴AB 过定点(1,2).例2.已知抛物线y =41x 2,以M (-2,1)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB (即M ,A ,B 均在抛物线上),求证:直线AB 过定点,并求出该定点坐标.过M 作PQ ∥x 轴,AP ⊥PQ 于P ,BQ ⊥PQ 于Q ,设AB :y =kx +b , 由⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y xy 241得41x 2-kx -b =0,x A +x B =4k ,x A ·x B =-4b , 由△APM ∽△MQB 得AP ·BQ =PM ·MQ ,即(y A -1)(41x B 2-1)=-(x A +2)(x B +2), ∴161(x A -2)(x B -2)=-1,x A ·x B -2(x A +x B )+4=-16, ∴-4b -8k +4=-16,b =5-2k ,∴AB :y =kx +5-2k =k (x -2)+5,过定点(2,5).【练2】(2014武汉中考)如图,已知直线AB :y =kx +2k +4于抛物线y =21x 2交于A 、B 两点. (1)直线AB 总经过一个定点C ,请直接写出点C 坐标; (2)若在抛物线上存在定点D 使∠ADB =90°,求点D 到直线AB 的最大距离.(1)C (-2,4)(2)设A (x 1,21x 12),B (x 2,21x 22),D (m ,21m 2),由⎪⎩⎪⎨⎧++==42212k kx y xy 得x 2-2kx -4k -8=0,x 1+x 2=2k ,x 1·x 2=-4k -8,过D 作EF ∥x 轴,AE ⊥EF 于E ,BF ⊥EF 于F ,由△AED ∽△DFB 得AE ·BF =DE ·DF ,即(21x 12-21m 2)(21x 22-21m 2)=(m -x 1)(x 2-m ),化简x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=4,∴2k (m -2)+m 2-4=0,当m -2=0,即m =2时,点D 的坐标与k 无关,∴D (2,2),又∵C (-2,4),∴CD =25,作DM ⊥AB 于M ,则DM ≤CD =25,∴当CD ⊥AB 时,点D 到直线AB 的距离最大,最大距离为25.例3.如图,抛物线y =x 2+3顶点为P ,直线l 交抛物线于A 、B 两点,交y 轴于C 点,∠AOC =∠BOC ,求证:直线AB 过定点.设A (m ,m 2+3),B (n ,n 2+3),设直线AB 的解析式为y =kx +b ,⎩⎨⎧+=+=32x y bkx y ,∴kx +b =x 2+3,x 2-kx +3-b =0,∴mn =3-b ,∵∠AOC =∠BOC ,∴tan ∠AOC =tan ∠BOC ,∴32+m m =32+-n n,∴mn 2+3m =-m 2n -3n ,∴mn =-3,∴b =6,∴C (0,6).【练3】抛物线y =x 2-4x +5,对称轴交x 轴于P 点,直线EF 交抛物线于E 、F ,交对称轴于H ,且∠EPH =∠FPH ,求证:EF 恒过定点.E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),⎩⎨⎧+-=+=542x x y bkx y ,∴x 2-(4+k )x +5-b =0,x 1+x 2=4+k ,x 1x 2=5-b ,tan ∠EPH =tan ∠FPH ,∴112y x -=222y x -,∴(kx 1+b)(x 2-2)=(kx 2+b )(2-x 1),∴b +2k =2,y =kx +b ,∴直线过(2,2).例4.如图,抛物线y =x 2-1交x 轴于A 、B 两点,直线y =a (a >0)交抛物线于M 、N ,点C 在抛物线上,且∠MCN =90°,点C 到MN 的距离是否为定值?若是,求出这个定值.作CH ⊥MN 于H .则∠MCH =∠CNH ,Rt △MCH ∽Rt △CNH ,CH 2=MH ·HN ,令C (x C ,t ),M (m ,m 2-1),则N (-m ,m 2-1),CH =m 2-1-t ,MH ·HN =(x C -x M )(x N -x C )=-x C 2+m 2,y C =x C 2-1=t ,故x C 2=t +1,-x C 2=-t -1,即MH ·HN =m 2-1-t ,又CH 2=MH ·HN ,∴(m 2-1-t )2=m 2-1-t ,∴m 2-1-t =0(舍去)或m 2-1-t =1,即CH =m 2-1-t =1,点C 到MN 的距离是定值,这个值为1.【练4】(2015永州改)如图,抛物线:y =41(x -1)2,R (1,1)是对称轴l 上一点,点P 为抛物线上一个动点,PM 垂直于直线y =-1于M ,求PRPM的值.设P (t ,41(t -1)2),连PR ,作PM ⊥直线y =-1于点M ,PM =41(t -1)2+1, PR =222]1)1(41[)1(--+-t t =41(t -1)2+1,∴PM =PR ,∴PRPM=1.【课后反馈】1.如图,抛物线y =x 2-1交x 轴正半轴于A (1,0),M 、N 在抛物线上,且MA ⊥NA ,试说明MN 恒过一定点,求此定点的坐标.作MP ⊥x 轴于P ,NQ ⊥x 轴于Q ,设MN :y =mx +n ,由21y mx ny x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得x 2-mx -n -1=0,x M +x N =m ,x M ·x N =-1-n ,tan ∠MAP =PA MP =211M M x x --=-x M -1,tan ∠ANQ =AQ NQ =211N N x x --=11Nx +.由∠MAP =∠ANQ 得-x M -1=11Nx +,即-x M ·x N -(x M +x N )-1=1,1+n -m -1=1,n =m +1,MN :y =mx +m+1=m (x +1)+1,故MN 过定点(-1,1).2.如图,抛物线y =41(x -4)2-4的顶点为P ,M ,N 均在对称轴上,且PM =PN ,延长OM 交抛物线于点A .求证:∠ANM =∠ONM .易求P (4,-4),设A (m ,41m 2-2m ),可求OA :y =(41m -2)x ,点M 在OA 上,x =4时,y =m -8,∴M (4,m -8),故N (4,-m ),tan ∠ONM =N N x y -=4m ,tan ∠ANM =4A A N x y y --=2412()4m m m m ----=41(4)4m m m --=4m ,故∠ANM =∠ONM .3.(2016六初九下2月考T24)已知抛物线y =41x 2+m 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且OA =2OC ,直线y =kx -2k +4(k ≠0)与抛物线交于D 、E 两点. (1)求m 值及A 点坐标;(2)当k 取何值时,△ADE 的面积最小,并求面积的最小值;(3)若M 、N 为抛物线上两点,其以MN 为直径的圆始终经过A 点,求直线MN 经过的定点P 的坐标.(1)令x =0时,y =m ,∴OC =-m ,令y =0时,x =m -±2,∴OA =m -2, ∵OA =2OC ,∴m -2=2(-m ),m =-1,∴A (2,0);(2)直线y =kx -2k +4过定点(2,4),过点A 作AF ∥y 轴交DE 于F ,∴F (2,4), 设D (x 1,y 1)、E (x 2,y 2),∴S △ADE =21×4×(x 1-x 2)=2(x 1-x 2), 联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=141422x y k kx y ,整理得41x 2-kx +2k -5=0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=8k -15 ∴S △ADE =2212142)(x x x x -+=84)1(2+-k ,当k =1时,S △ADE 有最小值,最小值为16; (3)设M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2), ∵∠MAN =90°,过点M 作ME ⊥x 轴于E ,过点N 作NF ⊥x 轴于F ,∴△MEA ∽△AFN ,∴212122y x x y -=-,y 1y 2=(x 2-2)(2-x 1), 即)141)(141(2121--x x )=(x 2-2)(2-x 1),x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0,设直线MN 的解析式为y =kx +b ,联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1412x y bkx y ,整理得x 2-4kx -4-4b =0, ∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4-4b ,∴-4-4b +2×4k +20=0,2k -b =-4, 当x =-2时,-2k +b =4,∴直线MN 必过顶点(-2,4).。
抛物线中的定点问题
抛物线中的定点问题复习:设抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点为F,过焦点F 的直线AB 与抛物线交于A,B 两点,则 y 1y 2=_____________, x 1x 2=____________.设计意图:为了引出过定点的充分条件,先给出必要条件,从而为接下来的探究做准备,也比较自然,符合学生的思维过程。
问题1:前面是直线AB 过定点时,就有y 1y 2=_____________, x 1x 2=____________.,反过来若点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线y 2=2px (p >0)上,且满足y 1y 2=-p 2,则直线AB 是否过定点? 设计意图:通过此问题,引出本节课的内容--------直线过定点问题。
解答:省略。
问题2:若y 1y 2=-r (r 为非零的常数),直线AB 过定点吗?设计意图:推广到一般情况。
问题3:探究若点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线y 2=2px (p >0)上,你能给出哪些条件,使直线AB 过定点? 设计意图:充分发挥学生的想象力,让学生给出充分条件。
条件1:x 1x 2=42p 条件2:k OA k OB =-1 条件3:k OA k OB =m (m 为不为零的常数)证明:设).,2(),,2(),,2(020222121y py M y p y B y p y A 则 .2,2,2212010y y p k y y p k y y p k AB MB MA +=+=+= 直线AB 的方程为 ).2(2)(21211py x y y p y y -+=- 即 .02)(2121=--+px y y y y y )1(,2.22010m y y p y y p =++ .)(4.20210221y y y y mp y y -+-=∴ )2( 把)2(代入)1(得,024))((22021=--+++px m p y y y y y .020,22y y m p p y x -=-=∴ 即直线AB 过定点),22(020y mp p y --。
初中数学定点问题知识点与常考难题和培优提高练习压轴题(含解析)
初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)定点题型定点问题.初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题.这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因.先选择适当的参数.用参数表示出直线或抛物线方程.然后按参数整理.并令参数的系数为0得方程组.解方程方程组求出定点坐标.解题思路:这类问题通常有两种处理方法:①第一种方法:是从特殊入手.通过考查极端位置.探索出“定值”是多少.再证明这个点(值)与变量无关;②第二种方法:是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量.从而得到定点(定值)。
具体地说.就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数.化简消去变量即得定值。
一、直线过定点问题:解法1:取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值.这样就得到关于x.y的两个方程.从中解出x.y即为所求的定点.然后再将此点代入原方程验证即可。
例1:求直线(m+1)x+(m-1)y-2=0所通过的定点P的坐标。
解:令m=-1.可得y=-1;令m=1.可得x=1。
将(1.-1)点代入原方程得:(m+1)·1+(m-1)(-1)-2=0 成立.所以该定点P为(1.-1)。
解法2:由“y-y0=k(x-x0)”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k(x-x0)的形式.这样就证明了它所表示的所有直线必过定点(x0.y0)。
例2:已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程.求证不论k取任何实数值时.直线l必过定点.并求出这个定点的坐标。
证明:由已知直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k. ∴(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1).不论k取任何实数值时.直线l必过定点M(1.-1)。
解法3:方程思想若方程的解有无穷多个.则方程的系数均为0.利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程.然后利用系数为零求得。
例3:若2a-3b=1(a.b∈R).求证:直线ax+by=5必过定点。
抛物线中的最值、定值、定点问题
狓2 +1求导得狔′=2狓,所以犽1 =2狓1,犽2 =2狓2.
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教学
2020年12月 解法探究
评注:通过本题的求解,有利于提高学生运用“设 而不求”技巧的解 题 能 力,也 有 利 于 培 养 学 生 数 学 运 算的核心素 养,进 一 步 强 化 字 母 形 式 的 代 数 运 算 能 力.
类型三、处理有关“定点”问题
抛物线往往与直线、圆、向量等知识交汇在一起,
处理有关定点问题时,一般需要灵活运用“设而不求”
犘犇
,所以 犘犉 犘犃
犘犇 = 犘犃
=sin∠犘犃犇.
过两 点 的 直 线 斜 率 公 式 得 犽犘犃
=
1 4狓2 0
+1 ,所
以
狓0
1 4狓2 0 +1 狓0 =
1 2狓0,解得狓0
=±2.
由于抛物线具有对称性,不妨取点 犘(2,1),则可
得 犃犇 =2,犘犇 =1-(-1)=2,所以在Rt△犘犃犇
类型二、处理有关“定值”问题
灵活运用“设而不求”技巧,可巧妙处理抛物线中 有关定值 问 题,其 关 键 是 设 出 相 关 点 的 坐 标,根 据 题 意实施字 母 形 式 的 代 数 运 算,进 而 化 简,可 获 得 结 果 为定值.特 别 提 醒:化 简 运 算 基 本 功 必 须 过 关,否 则, 对目标问题的求解很难顺利获得.
>狔1),由犗犕 ⊥犗犖,得狔1狔2 =-16.
由
于犽犕犖
= 狔1
4 ,因此,直线 +狔2
犕犖
的方程是狔-
高中数学抛物线中的定值、定点问题
抛物线中的定值、定点问题例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,求证:221p y y -=.【规范解答】证法一:因直线AB 过焦点)0,2(p F ,可设其方程为2p my x +=,代入px y 22= 得)2(22p my p y +=,即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ,由韦达定理:221p y y -=.证法二:因B A ,在抛物线上,故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ,故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线,所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得:0))((21221=-+y y p y y ,其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三:如图1,过点F B A ,,分别作准线的垂线,垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=,只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF Θ;同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A (A A 1∥B B 1),故01804321=∠+∠+∠+∠,所以.90310=∠+∠01190=∠FB A . 由直角三角形的性质得:.211111F F F B F A =⋅【回顾】(1)从解题方法来看,对于直线与圆锥曲线相交的问题,一般有“设线”(证法一)和“设点”(证法二)两种选择,但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答(证法三)(特别是与焦点有关的问题);(2)从解题细节来看,证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=,为什么?首先,这样代入可消去x 直达目标221p y y -=,运算便捷;其次,本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在,但不可能与y 轴垂直,设2p my x +=省去了讨论的麻烦;证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑;(3)从知识内容来看,抛物线的方程和定义是解题的依据,韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具,而所证明的结论表明:对于抛物线而言,虽然过焦点的弦有无数条,但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐!借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得: 变式1 条件同例1,则4221p x x ==定值。
抛物线中的定值与定点
第二讲: 解析几何中定点与定值问题练一练:1、一动圆的圆心在抛物线x y 82=上,且动圆恒与直线02=+x 相切,则此动圆必过定点 ( )()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -2、设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ,那么:12y y = 。
3、设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1,证明:以A 1B 1为直径的圆必过一定点。
4、过y 2=x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点。
求证:直线BC 的斜率是定值。
变式题:如图M 是抛物线上y 2=x 上的一点,动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点,且MA=MB,若M 为定点,证明:直线EF 的斜率为定值;XYAB FA 1B 11M C一、定点问题:题型一:三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点例题1:抛物线22(0),.y px p A B =>在抛物线上,OA OB ⊥,求证:直线AB 过定点。
例题2:椭圆223412,x y +=直线:l y kx m =+(K>0)与椭圆交于,A B 两点,且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点。
求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标。
例题3:已知焦点在x 轴上的椭圆过点(0,1),求离心率为2,Q 为椭圆的左顶点, (1) 求椭圆的标准方程;(2) 若过点6(,0)5-的直线l 与椭圆交于,A B 两点。
(i ) 若直线l 垂直x 轴,求AQB ∠的大小;(ii ) 若直线l 不垂直x 轴,是否存在直线l 使得AQB ∆为等腰三角形?如果存在,求出l 的方程;如果不存在,请说明理由。
例题4:已知定点(1,0),(2,0)A F -,定直线1:2l x =不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍,设P 点的轨迹为E ,过点F 的直线交E 于,B C 两点,直线,AB AC 分别交l 于点,M N 。
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抛物线中的定值、定点问题
例1 过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,求证:221p y y -=.
【规范解答】
证法一:因直线AB 过焦点)0,2(p F ,可设其方程为2p my x +=,代入px y 22= 得)2(22p my p y +=,即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ,由韦达定理:221p y y -=.
证法二:因B A ,在抛物线上,故可设).,2(),,2(222121y p
y B y p y A 又)0,2(p F ,故),,22(121y p p y FA -=),,2
2(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线,所以 122221)2
2()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得:0))((21221=-+y y p y y ,其中,21y y ≠故
221p y y -=.
证法三:如图1,过点F B A ,,分别作准线的垂线,垂足为
.,,111F B A 要证明221p y y -=,只要证明
.2
11111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF Θ;同理.43∠=∠而
011180=∠+∠BF B AF A (A A 1∥B B 1),故
01804321=∠+∠+∠+∠,
所以.90310=∠+∠0
1190=∠FB A . 由直角三角形的性质得:.2
11111F F F B F A =⋅
【回顾】(1)从解题方法来看,对于直线与圆锥曲线相交的问题,一般有“设线”(证法一)和“设点”(证法二)两种选择,但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答(证法三)(特别是与焦点有关的问题);
(2)从解题细节来看,证法一选择设直线方程为2p my x +
=而非)2(p x k y -=,为什么?首先,这样代入可消去x 直达目标221p y y -=,运算便捷;其次,本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在,但不
可能与y 轴垂直,设2
p my x +=省去了讨论的麻烦;证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑;
(3)从知识内容来看,抛物线的方程和定义是解题的依据,韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具,而所证明的结论表明:对于抛物线而言,虽然过焦点的弦有无数条,但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2
p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐!
借题发挥
在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得: 变式1 条件同例1,则4
2
21p x x ==定值。
以AB 为直径作圆,考察该圆与准线的位置关系得:
变式2 条件同例1,则以AB 为直径的圆与准线相切。
设直线AB 的倾斜角为θ,计算AB 弦长得:
变式3 条件同例1,设直线AB 的倾斜角为θ,则θ2sin 2||p AB =
.(由此立刻得到:当090=θ时焦点弦最短,,2min p AB =我们称这条弦为通径)
在变式2中,计算AOB S ∆得:
变式4 条件如变式3,则AOB S ∆.sin 22θ
p =. 提示:给出倾斜角为θ,意味着斜率θtan =k (先验证090=θ时p AB 2=),设直线AB 的方程为
)2
(p x k y -=代入px y 22=可得21x x +,由于AB 过焦点,依据抛物线的定义可得焦点弦p x x AB ++=21,代入后化简可得结论.同学们也可以尝试在图1中用几何方法证明.
结合抛物线定义与韦达定理,研究AF 、BF 例数之和得:
变式5 条件同例1,求证:||1||1BF AF +为定值p
2. 将结论视作条件,逆向变式得:
变式6 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,满足:2
21p y y -=(或4
2
21p x x =),则这条直线过此抛物线的焦点.
我们可以把上面的变式归纳如下:
方法点拨
抛物线焦点弦的两端点的横(纵)坐标之积为定值是一个经典结论,若增设已知条件、改变设问方式、变换研究问题视角包括逆向考虑可得很多优美结论.
小结论
通径公式:θ
2sin 2||p AB = 变式7 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,满足:0=⋅,则
这条直线过定点.
变式8 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,满足:2=⋅OB OA ,则这条直线过定点.。