浅谈数列中an与Sn的关系(学生版)

对于任意一个数列，当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，此时通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2． 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢？

我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题：

归纳起来常见的角度有：

角度一：直观运用已知的S n ，求a n ；

角度二：客观运用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求与a n ，S n 有关的结论；

角度三：a n 与S n 的延伸应用．

方法：已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)：

(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；

(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；

(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．

同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用S n 求解．如：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n －1，其中a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 表示数列{na n }的前n 项和．

1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )

A ．a n ＝2n －3

B ．a n ＝2n ＋3

C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝12n －3，n ≥2

D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1，n ＝12n ＋3，n ≥2 2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1) ·3n +1＋3(n ∈N *)，则数列的通项公式a n ＝ ．

3．(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝ ．

4．(2015·四川成都树德期中)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14．

(1)求{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋1(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和．

此类题目中，已知条件往往是一个关于a n 与S n 的等式，问题则是求解与a n ，S n 有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留a n ，还是S n ．那么，主要从两个方向利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)：

方向一：若所求问题是与a n 相关的结论，那么用S n －S n －1＝a n (n ≥2)消去等式中所有S n 与S n －1，保留项数a n ，在进行整理求解；

1．(2015·广州潮州月考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1 ＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)，则数列的通项公式是 ．

2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1.

(1)求数列{a n }的通项公式；