四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高三上学期第一次月考数学(理)试题

四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高三上学期第一次月考数学（理）试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 设集合，，则（）A．B．C．D．

2. 设，则（）

A．2 B．3

C．D．

3. 若，则的值为（）

A．B．C．D．

4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：

对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，

，则的值约为（）

A．1.322 B．1.410

C．1.507 D．1.669

5. 二项式的展开式中的系数是，则（）

A．1

D．

B．C．

6. 在中，，，为的重心，则的值为

A．1

D．2

B．C．

7. 函数的图象大致为（）

A．B．

C．D．

8. 为了考察、两种药物预防某种疾病的效果，某研究所进行动物试验，已知参与两种药物试验的服药和未服药的动物数量相同，图1是药试验结果对应的等高条形图；图2是药试验结果对应的等高条形图．下列说法正确的是（）

A．服用药物患病比例高于未服药物的患病比例

B．服用药物对预防该疾病没有效果

C．在对药物的试验中，患病小动物约占总数的

D．对该疾病的预防作用药物比药物更有效

9. 已知双曲线，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（）

A．2 B．C．D．3

10. 已知函数的图象向左平移个单位长度后，

图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则

的最小值是（）

A．B．C．D．

11. 已知正四棱锥的高为2，，过该棱锥高的中点且平行于底面的平面截该正四棱锥所得截面为，若底面与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）

A．

B．C．

D．

12. 给出下列命题，其中真命题为（）

①用数学归纳法证明不等式时，当

时，不等式左边应在的基础上加上；

②若命题：，，则：，；

③若，，，则；

④随机变量，若，则.

A．①②④B．①④C．②④D．②③

二、填空题

13. 已知数列的前项和为，，，则＝_____．

14. 用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是

____________．

15. 已知函数，若（a），则实数的取值范围是__.

16. 已知函数，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设．若在上恒成立，则实数a的取值范围为_____

三、解答题

17. 在锐角中，内角、、所对的边分别为，且直线为函数图像的一条对称轴．

（1）求；

（2）若恒成立，求实数的最小值．

18. 为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策.某市拟定出台“房产限购的年龄政策”.为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在20～60岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：

（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05

的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？

（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽

取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人.记抽到44岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

0.100 0.050 0.010 0.001

2.706

3.841 6.635 10.828

19. 如图1，在矩形中，，，点在线段上，

.把沿翻折至的位置，平面，连结，

点在线段上，，如图2.

（1）证明：平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

20. 已知椭圆C：点的离心率为，且经过点. （1）求C的方程；

（2）若不过坐标原点的直线与椭圆C相交于点M，N两点，且满足

，求面积最大时直线的方程..

21. 已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）是否存在实数a，使方程有两个不同的实数根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

22. 在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cosθ和曲线C2：ρcosθ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．

23. 已知均为实数，且 .

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.