数学解题真经(一)问题与信息(新)
(完整word版)最新初一数学知识点讲解习题附答案大全(绝对实用)(良心出品必属精品)
第一章有理数【知识梳理】1．数轴：数轴三要素：原点，正方向和单位长度；数轴上的点与实数是一一对应的。
2．2．相反数实数a的相反数是－a；若a与b互为相反数，则有a+b=0，反之亦然；几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
3．3．倒数：若两个数的积等于1，则这两个数互为倒数。
4．绝对值：代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离. 5．科学记数法：，其中。
6．实数大小的比较：利用法则比较大小；利用数轴比较大小。
7．在实数范围内，加、减、乘、除、乘方运算都可以进行，但开方运算不一定能行，如负数不能开偶次方。
实数的运算基础是有理数运算，有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算。
正确的确定运算结果的符号和灵活的使用运算律是掌握好实数运算的关键。
一、选择题。
1．下列说法正确的个数是 ( )①一个有理数不是整数就是分数②一个有理数不是正数就是负数③一个整数不是正的，就是负的④一个分数不是正的，就是负的A 1B 2C 3D 42． a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：把a,-a,b,-b按照从小到大的顺序排列 ( )A -b＜-a＜a＜bB -a＜-b＜a＜bC -b＜a＜-a＜bD -b＜b＜-a＜a3．下列说法正确的是 ( )①0是绝对值最小的有理数②相反数大于本身的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④两个数比较，绝对值大的反而小A ①②B ①③C ①②③D ①②③④4.下列运算正确的是( )A B －7－2×5=－9×5=－45C 3÷D －(-3)2=-95.若a+b＜0,ab＜0,则 ( ) A a＞0,b＞0 B a＜0,b＜0C a,b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值D a,b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg,（25±0.2）kg, （25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A 0.8kgB 0.6kgC 0.5kgD 0.4kg7.一根1m长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（）A ()5mB [1－()5]mC ()5mD [1－()5]m8．若ab≠0,则的取值不可能是（）A 0B 1C 2D -2二、填空题。
新人教版(新插图)六年级上册数学 6 分数除法的实际应用 期末复习专项突破试卷
核心考点专项评价 6．分数除法的实际应用一、认真审题，填一填。
(每小题4分，共12分) 1．某饮料厂使用一种自动压盖机，给1瓶饮料压盖仅需12秒，1分钟可以给( )瓶饮料压盖。
2．蓝蓝看一本书，4天看了全书的27，看完这本书需要( )天。
3．手工课上，同同折了x 颗幸运星，是天天折的幸运星的3倍，天天折了( )颗幸运星，他们一共折了( )颗幸运星。
二、仔细推敲，选一选。
(每小题4分，共16分)1．一段路，龙龙走完需要10分钟，聪聪走完需要15分钟，龙龙的速度比聪聪的速度快( )。
A.12B.13C.1202．一辆汽车每行驶16 km 耗油85 L ，耗1 L 油可以行驶( )km 。
A.1285 B ．10 C.110 3．一件商品按原价的78出售，便宜了8元，求原价是多少元，列式正确的是( )。
A ．8÷78 B ．8÷(1＋78) C ．8÷(1－78)4．【新考法】荣老师整理维护学校的文化长廊，第一天整理维护了30m ，________。
第二天整理维护了多少米？横线上补充下面的信息( )，才能用算式30÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35解决。
A ．第二天整理维护的米数比第一天少35 B ．第一天整理维护的米数比第二天少35 C ．第二天整理维护的米数是第一天的35 三、对比练习。
(共30分)李叔叔是位外卖员。
1．昨天城东一共送了24份，城东的比城西的多13，城西昨天送了多少份？(10分)2．昨天城东一共送了24份，城西的比城东的多13，昨天城东和城西一共送了多少份？(10分)3．昨天城东的比城西的多送了24份，城东的比城西的多13，城西送了多少份？(10分)四、聪明的你，答一答。
(共42分)1．【新情境】《西游记》中唐僧师徒四人想要取得真经就要经历很多难，已知他们已经经历了全部难的16，离一半还差27难，唐僧师徒四人总共要经历多少难？(先画出线段图，再解答)(14分) 2．一个长方形的周长是120cm ，宽是长的15。
小学数学必考应用题思路解析(附例题)
小学数学必考应用题思路解析（附例题）（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。
数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例1. 一辆汽车以每小时100 千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60 千米的速度从乙地开往甲地。
求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。
此题可以把甲地到乙地的路程设为“1 ”，则汽车行驶的总路程为“2 ”，从甲地到乙地的速度为100 ，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为+ = , 汽车的平均速度为2 ÷=75 （千米）（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。
又称“单归一。
”两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。
又称“双归一。
”正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷专题1：归一归总问题(提高卷)(附参考答案)
（小升初思维拓展）归一归总问题（提高卷）2022-2023学年小升初数学高频考点专项培优卷一．选择题（共11小题）1．如图，学校买来足球和篮球共30个，用去2200元。
学校买来篮球（）个。
A．20B．18C．15D．102．一盒6支装的钢笔138元，李老师买了3盒这样的钢笔，付给售货员500元。
李老师买了多少支钢笔？要解决这个问题，需要用到的数学信息是（）A．一盒6支，138元，3盒，500元B．138元，3盒，500元C．一盒6支，138元，3盒D．一盒6支，3盒3．1000粒小麦的质量大约是50克，照这样推算，1000000000粒小麦的质量大约是（）A．5吨B．50吨C．500吨4．算式30÷2×12是解决下面（）问题的。
A．小美每天写2页毛笔字，每页写12个，30天写了多少个？B．小美第一天写了2页毛笔字，每页12个字，第2天写了30个，一共写了多少个字？C．小美第一天写了30个毛笔字，第2天写了12个，这两天一共写了多少个字？D．小美2天写了30页毛笔字，照这样计算，12天能写多少个字？5．接种新冠病毒疫苗是预防新冠肺炎最经济有效的手段，适用于18岁以上的成年人。
某区有12所小学，平均每所小学有80名教师，为配合国家防疫要求，将这些教师分成8批接种新冠疫苗，平均每批接种（）人。
A．110B．120C．130D．1406．王处长从东北捎来一袋苹果分给甲乙两个科室的人员，每人可分得6个，如果只分给甲科，每人可分得10个．问如果只分给乙科，每人可分得多少个？（）A．8个B．12个C．15个D．16个7．据统计，回收20吨废纸能生产16吨再生纸，相当于保护了320棵树。
照这样计算，某校环保小队一年来一共回收了4吨废纸，相当于保护了（）棵树。
A．64B．80C．1280D．16008．3头河马一天要吃360千克水草，动物园里养了8头河马，一天要给它们准备（）千克水草。
A．1600B．960C．86409．100张纸大约厚1厘米。
宝鸡市小升初数学解答题知识点总结(提高培优)
考试范围：xxx；满分：***分；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、解答题（共26题，总计0分）1．李阿姨要买16瓶某种品牌的酸奶，经了解，甲、乙两个商店这种品牌酸奶的单价都是8.5元/瓶，甲店：每瓶打八折出售，乙店：每2瓶一组，第1瓶全价，第2瓶半价。
李阿姨到哪个商店购买比较划算？最少需要多少元钱？2．明明看一本故事书，第一天看了，第二天与第一天看的页数同样多，还剩下这本书的几分之几？3．计算如图所示阴影部分的周长与面积．（单位：厘米π取3.14）4．列式并计算．（1）2减与的积，所得的差除以得多少？（2）甲数的是24，乙数是24的，甲乙两数相比谁多，多多少？5．一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了156千米。
照这样的速度，从甲地到乙地共需8小时，甲、乙两地相距多少千米？（用比例解）6．按要求画一画。
（每个小正方形的边长是1厘米）（1）按2∶1画出下图中正方形放大后的图形，在放大后的正方形里画一个最大的圆，并画出这个图形的对称轴。
（2）画出梯形绕点O按逆时针旋转90°后的图形，此时点A用数对表示是（，）。
7．列式计算。
（1）7.2比一个数的25%多6.7，求这个数。
（2）比某数的20%少4的数是7，求某数。
（用方程解）8．王叔叔开车从甲地到乙地，第一天行了全程的28%，第二天行了110千米，这时距离乙地还有一半路程，甲、乙两地相距多少千米？9．某超市有一批化肥按3：4：5分给甲、乙、丙三个村。
已知丙村比甲村多分了24吨，这批化肥共有多少吨？10．计算下面图形的面积。
11．计算下面图形的表面积。
12．只列式或方程，不计算。
（1）比5.3的2倍少6.1的数是多少？（2）x的一半比x的40%多0.84。
第13讲 经济问题—小升初复习讲义(通用版 含详解)14页
2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第13讲经济问题知识点一：打折问题1.基本概念：打折：现价是原价的百分之几，叫做折扣，通称“打折”；几折就是十分之几，也就是百分之几十成数:表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。
几成就是十分之几，也就是百分之几十;三成五是十分之三点五，也就是35% 2.打折的常见类型举例：（1）买一大瓶送一小瓶（2）超过50元的部分打八折（3）买四送一（4）满200元送40元（5）学生半价（6）折上折（7）团购代金券59元一张，可抵100元消费3.解决打折问题注意事项：要根据打折的不同方式灵活计算，选择最佳的消费方式知识点二：利润利率税率问题1.基本概念：存入银行的钱叫做本金；取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率；应纳税额与各种收入的比率叫做税率2.利润利率税率问题主要相关公式：利息=本金×利率×期数；利率＝利息÷本金÷存期×100％存期=利息÷本金÷利率应纳税额=总收入×税率收入额=应纳税额÷税率=+售价成本利润， 100%100%-=⨯=⨯售价成本利润率利润成本成本； 1=⨯+售价成本（利润率）， 1=+售价成本利润率 其它常用等量关系：售价=成本×（1+利润率）；成本=卖价÷（1+利润率）； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；[来源:Z_xx_]注意：如要缴利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：税后利息=本金×利率×存期×(1－利息税率)3.利润利率税率问题的一般题型(1)直接与利润相关的问题：无非是找成本与销售价格的差价.(2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题：涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况.4.解题主要方法：（1）抓不变量(一般情况下成本是不变量)；（2）列方程解应用题．（3）用假设法和比例法解应用题知识点三：阶梯收费问题1.阶梯收费问题的特点是分段计费,所以题目中的数量关系也相应地被分为几段,并且各段中的数量关系各不相同,所以列出的算式或方程也不相同。
小学奥数经济问题综合讲义五套（全部含答案）.doc
经济问题第一套讲义商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得 40％的利润.因此利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100％.卖价=成本×（1+利润的百分数）.成本=卖价÷（1+利润的百分数）.商品的定价按照期望的利润来确定.定价=成本×（1+期望利润的百分数）.定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价 25％，就是按定价的（1-25％）＝ 75％出售，通常就称为75折.因此卖价=定价×折扣的百分数.例1某商品按定价的 80％（八折或 80折）出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润百分数是多少？解：设定价是“1”，卖价是定价的 80％，就是0.8.因为获得20％定价的期望利润的百分数是答：期望利润的百分数是50％.例2 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中80％的卖价是 1.3×80％，20％的卖价是 1.3÷2×20％.因此全部卖价是1.3×80％＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17.实际获得利润的百分数是1.17－1＝ 0.17＝17％.答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％.例3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元？解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.乙店的定价是 1×（1＋ 15％），甲店的定价就是 0.9×（1＋20％）.因此乙店的进货价是11.2÷（1.15- 0.9×1.2）=160（元）.甲店的进货价是160× 0.9= 144（元）.答：甲店的进货价是144元.设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些.例4开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？解：设去年的利润是“1”.利润下降了40％，转变成去年成本的 10％，因此去年成本是 40％÷10％＝ 4.在售价中，去年成本占因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％.答：今年书的成本在售价中占88％.因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.例5一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.现在出售 70％商品已获得利润0.5×70％＝ 0.35.剩下的 30％商品将要获得利润0.5×82％-0.35＝0.06.因此这剩下30％商品的售价是1×30％＋ 0.06＝ 0.36.原来定价是 1×30％×（1+50％）＝0.45.因此所打的折扣百分数是0.36÷0.45＝80％.答：剩下商品打8折出售.从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.例6某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润（45-35）×12＝120（元）.出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润120÷8＝15（元）.不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是（45-15）÷（1-85％）＝200（元）.答：每个商品的定价是200元.例7张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？解：减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购 4×3＝12（件）.由于60件每件减价 4元，就少获得利润4×60＝ 240（元）.这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润240÷12＝20（元）.这种商品每件成本是100-4-20＝76 （元）.答：这种商品每件成本76元经济问题第二套讲义1．某商品按每个5元利润卖出11个的钱，与按每个11元的利润卖出10个的钱一样多。
小学数学“归一问题”与“归总问题”总结+解题思路+例题整理(经典应用题1收藏!)
小学数学“归一问题”与“归总问题”总结+解题思路+例题整理一、归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。
例23台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？解：（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。
例3：5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解：（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5×7＝35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。
二、归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
最新初中数学经典解答题大全名师指点资料
1、如图AB//CD，∠B=120°, ∠C=35°求∠EA BEC D、2、如图A1B是∠ABC角平分线，A1C是∠ACD角平分线，A2B是∠A1BC角平分线，A2C 是∠A1CD角平分线，求∠A与∠A1，∠A与∠A2关系？AB C A1A2D3、已知长方形AB//CD，AC、BD交于O，S△AOB=32，S△COB=48，则梯形面积是多少？A BCDO4、如图，已知几根线段把长方形分成几份，中间是阴影部分，求阴影部分面积？5、如图，△ABC的三个角平分线交于O，过O点OE⊥BC于E，求证∠BOD=∠COEBCD6、如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠DEB的平分线，（1）求∠F与∠B、∠D之间关系；（2）∠B：∠D：∠F=2：4：x,求x值？BC 7、如图，AO是∠A的角平分线，AB⊥BD，DF⊥AC，ED=DC，求证：BE=FC。
AEB C8、如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂直分别为点D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是__________?B C9、如图所示，∠B+∠D=180°，CE⊥AB，AC为∠A的角平分线，求证：AE=AD+EB.ABC DE10、如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是边BC 、CD延长线上的点，∠EAF=BAD 21，求BE 、DF 、EF 的关系. ABCEDFG11、如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的角平分线AF 上的任意一点，求证：△ABC 的周长小于△PBC 的周长.EABCPF12、如图，△ABC ，ED ⊥DF ，D 为中点，求EB+CF 与EF 的大小.AB13、如图，△ABC 中，BD=DC+AC ，E 是DC 中点，求证：AD 平分∠BAE.ABDEC14、如图，△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC ，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC.B CD15、如图，已知在△ABC 内，∠BAC=60°，∠C=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平线，求证：BQ+AQ=AB+BP.AB16、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC,D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ，求证：∠ADC=∠BDF.CAB17、如图，求以∠O 两边与点A 、B 所围的周长最短.A B O。
中考数学冲刺专题4 信息型问题 人教新课标版
2011中考冲刺数学专题4——信息型问题【备考点睛】图表信息类试题是题设条件或结论中包含有图表的试题，这类试题的解题条件主要靠图表给出。
它主要表现在数轴、直角坐标系、点的坐标、一次函数、二次函数、反比例函数的图像、实用统计图及部分几何图形等，所提供的形状特征、位置特征、变化趋势等数学基础知识，很好地考查了观察问题、分析问题、解决问题的能力。
跨学科型是综合利用各个学科的特点，和数学有关知识有机结合在一起。
这类试题是近几年考试的常见试题，信息型试题也是考试的热点问题。
【经典例题】例题1．（2010浙江宁波）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米. 小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线O-A-B-C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s (千米)与所经过的时间t (分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 ▲ 分钟，小聪返回学校的速度为 ▲ 千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s (千米)与所经过的时间t (分钟)之间的函数关系式；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?解答： (1)15，415(2)由图象可知，s 是t 的正比例函数设所求函数的解析式为(0)s kt k =≠代入(45，4)得:445k = ，解得:445k = ∴s 与t 的函数关系式为445s t =(045t ≤≤) (3) 由图象可知，小聪在3045t ≤≤的时段内，s 是t 的 一次函数，设函数解析式为(0)s mt n m =+≠，代入(30，4)，(45，0)得: 304450m n m n +=⎧⎨+=⎩解得:41512m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴412(3045)15s t t =-+≤≤ 令44121545t t -+=，解得1354t = 当1354t =时， 41353454s =⨯=， 答: 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米.例题2．（2010湖北咸宁）在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示． （1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ，=a ；（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．解答：（1）120，2a =；（2）由点（3，90）求得，230y x =．当x ＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，16030y x =-．当12y y =时，603030x x -=，解得，1x =．此时1230y y ==．所以点P 的坐标为（1，30）该点坐标的意义为：两船出发1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km ．求点P 的坐标的另一种方法： 由图可得，甲的速度为30600.5=（km/h ），乙的速度为90303=（km/h ）． 则甲追上乙所用的时间为3016030=-（h ）．此时乙船行驶的路程为30130⨯=（km ）． 所以点P 的坐标为（1，30）．（3）①当x ≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，16030y x =-+． 依题意，(6030)30x x -++≤10． 解得，x ≥23．不合题意． ②当0.5＜x ≤1时，依题意，30(6030)x x --≤10． 解得，x ≥23．所以23≤x ≤1．0.5 甲 乙③当x ＞1时，依题意，(6030)30x x --≤10．解得，x ≤43．所以1＜x ≤43． 综上所述，当23≤x ≤43时，甲、乙两船可以相互望见． 例题3．（2010广西河池）李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系如图9所示.根据图象，解答下列问题：（1）求李明上坡时所走的路程1s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系式和下坡时所走的路程2s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系式；（2）若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟？解答：（1）设 11k t s = ()06t ≤≤∵ 图象经过点()6,900 ∴ 90016k =解方程，得 1150k = ∴ 1150t s = ()06t ≤≤设22k t b s =+ ()610t <≤∵图象经过点()6,900,()10,2100∴ 226900102100k b k b +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得 2300900k b =⎧⎨=-⎩∴ 2300900t s =-()610t <≤（2）李明返回时所用时间为()()()()[]2100900900690021009001068311-÷÷+÷-÷-=+=（分钟）答: 李明返回时所用时间为11分钟.例题4．（2010山东临沂）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A 、B 两地相距10千米，甲班从A 地出发匀速步行到B 地，乙班从B 地出发匀速步行到A 地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为x 小时，甲、乙两班离A 地的距离分别为1y 千米、2y 千米，1y 、2y 与x 的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出1y 、2y 与x 的函数关系式；（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A 地多少千米？（3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时?解答：（1）y 1=4x （0≤x ≤2.5）,y 2=-5x+10（0≤x ≤2）（2）根据题意可知：两班相遇时，甲乙离A 地的距离相等，即y1=y2，由此可得一元一次方程-5x+10=4x,解这个方程，得x=109（小时）。
小学数学经典题型归一问题应用题知识点讲解练习题及参考答案
小学数学归一问题知识点讲解+练习题+参考答案一、【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量，这类应用题叫做归一问题。
还可以理解为：在除法简单应用题的基础上，先用除法求出“单位数量”是多少，把它作为固定不变的数量，然后求其它的量。
二、【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数还可以理解为：另一总量÷1份数量＝所求份数三、【解题思路和方法】先用除法求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1、买5支刚笔要60元钱，买同样刚笔6支，需要多少钱？解（1）买1支刚笔多少钱？60÷5＝12（元）（2）买16支刚笔需要多少钱？12×6＝72（元）列成综合算式 60÷5×6＝12×6＝72（元）答：需要72元。
例2、3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机一周耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×7＝350（公顷）列成综合算式 90÷3÷3×5×7＝10×35＝350（公顷）答：5台拖拉机一周耕地300公顷。
例3、5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 5×7＝35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。
四、知识巩固题。
小学数学奥数方法讲义40讲大全集(附解题思路和).doc
第一讲观察法在解答数学题时，第一步是观察。
观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。
小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道思考题。
书中除图1-1的图形外没有文字说明。
这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。
这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。
实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。
从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。
图1-5是填完数字后的幻方。
例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。
（适于二年级程度）6、16、26、____、____、____、____。
七年级数学下思维探究-信息技术中的数学问题(带答案)
七年级数学下思维探究-信息技术中的数学问题（带答案）4．信息技术中的数学问题解读标伴随着计算机和网络技术的迅猛发展，人类社会已步入信息时代，并将迈人后信息化时代：IT技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式．计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式，现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具．近年出现的以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景，这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透，构思巧妙、立意新颖，其内容涉及计算机常识（数制、字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等．解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系，将其转化为数学问题．问题解决例1给出下列程序，且已知当输入的值为时，输出值为；输入的值为时，输出值为，则当输入的值为时，输出值为________．试一试把程序流程图用代数式表示，由条先求出、的值．例2计算机利用的是二进制数，它共有两个数码、，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可，如．为二进制下的位数，则十进制数是二进制下的( )．A．位数B．位数位数D．位数试一试本例渗透了计算机的基本知识——“二进制计算”，无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式．例3一条信息可通过如图所示的网络线由上（点）往下向各站点传送．例如信息到点可由经的站点送达，也可由经的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由点到达的不同途径共有多少条．试一试在阅读理解的基础上，画出路线示意图，穷举得出结论．例4你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳．其实，这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的．每个二进制数都由和构成，电脑芯片上电子元的“开”、“关”分别代表“ ”和“ ”．一组电子元的“开”“关”状态就表示相应的二进制数，例如“开”“开”“关”表示“ ”，如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元不能同时是关的．（以下各小题要求写出解答过程）（1）若此电路上有个元，则这个元所有不同的“开”“关”状态共有多少种？（请一一列出）（2）若用表示电路上只电子元所有不同的“开”“关”状态数，试探索、、之间的关系式（不要求论证）；（3）试用（2）中探索出的递推关系式，计算的值．试一试对于（l），通过穷举，得出答案值；对于（2），从特例入手，归纳出相应关系式．例先阅读下面的材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明（真实）按计算机键盘字母排列分解，其中、、、、、这个字母依次对应、、、、、这个正整数（见下表）：给出一个变换公式：将明转换成密，如：，即变为；，即变为．将密转换成明，如：，即变为；，即变为．（1）按上述方法将明译为密；（2）若按上述方法将明译成的密为，请找出它的明．试一试对于（1），由明选择变换公式，求得相应整数，推出密；对于（2），逆用变换公式，即由导出值，推出明，解题的关键是确定变换公式中的取值范围．电话号码的破译例6同学们看电影、看电视时，经常遇到破译密码的故事情节，在军事上、商业上，为了保密，都采用密码．破译密码需要有解密的“钥匙”，下面我们也破译一个电话号码：一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的，如图，话机上的数字排列顺序是，，，，，，，，，，图中画出了拨数字时相应的小孔转过的路线），随着拨号盘转回的声音，用铅笔以同样的速度在纸上画线，他画出的条线如下：他很快就知道了那人拨的电话号码，这个号码是多少？分析与解从电话拨盘上可以看出，拨时，画出的线段最短，拨时，画出的线段最长，由于画线速度相同，所以，每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度．间谍所画下的这条线段的长度互不相等，所表示的个数字当然也不一样，在这个数字的个数字中至少有个数字是相邻的（想一想为什么），因此，长度最接近的两条线段的长度差，就一定是上面所谈到的那个固定长度．通过对这条线段进行度量，可以发现第一条线段与第二条线段最为接近，它们相差厘米（相当于个格子的宽度）．由于最长的线段与最短的线段相差厘米（相当于个格子的宽度），因此可以断定最长的线段代表数字，而最短的线段则代表．第一条线段比第三条线段长厘米，因此第一条线段代表，同样可推知第六条线段代表，第四条线段代表，第二条线段代表，所以这个电话号码是．数学冲浪知识技能广场1．二进制数为法国数学家莱布尼兹所创，例如二进制数表示十进制数，即相当于十进制数，试将二进制数化为十进制数_________．二进制数是现代计算机理论的基础．2．如图，是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的数值为_______．3．老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入数据输出数据那么，当输入数据是时，输出的数据是________．4．在计算器上按照下面的程序进行操作：下表中的与分别是输入的个数及相应的计算结果：上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是．．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法．如图，一层二叉树的结点总数为，二层二叉树的结点总数为，三层二叉树的结点总数为照此规律，七层二叉树的结点总数为（）．A．B．．D．6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，则第次输出的结果为（）．A．B．．D．7．计算机是将信息换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十进制形式是数（）．A．B．．D．8．按下列程序计算，把答案写在表格内：（1）填写表格：输入输出答案（2）请将题中计算程序用代数式表达出，并给予化简．9．密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色，下面道算式，乍看真是莫名其妙！①；②；③；④；⑤；⑥．当你知道这只是密码算式，各个密码数字各自对应另二个不同数字时，算式就合理了．请根据算式，写出表中密码所对应的数字．密码对应数字10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明密（加密），接收方由密明（解密），已知有一种密码，将英个小写字母，，，，依次对应，，，，，这个自然数（见表格）．当明中的字母对应的序号为时，将除以后所得的余数作为密中的字母对应的序号，例如明对应密．字母序号字母序号按上述规定，将明“ ”译成密．思维方法天地11．我们知道在十进制加法中，逢十进一，如，也可写成；在四进制加法中，逢四进一，如，那么在进制中有等式，则______．12．某综合性大学拟建校园局域网络，将大学本部和所属专业学院、、、、、之间用网线连接起．经过测算，网线费用如图所示（单位：万元），每个数字表示对应网线（线段）的费用，实际建网时，部分网线可以省略不建，但本部及所属专业学院之间可以传递信息，那么建网所需的最少网线费用为_______万元．13．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出，按照“先进后出”的原则．如图堆栈（l）的个连续存储单元已依次存人数据，，取出数据的顺序是，；堆栈（2）的个连续存储单元已依次存人数据，，，取出数据的顺序则是，，．现在要从这两个堆栈中取出这个数据（每次取出个数据），则不同顺序的取法的种数有（）．A．种B．种．种D．种14．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相连，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为（）A．B．．D．1．写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如），用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大的数和一个最小的数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数，对于新得到的四位数，重复上面过程，又得到一个新的四位数，一直重复下去，你发现了什么？请你用计算器，帮助你进行探索．16．某人租用一辆汽车由城前往城，沿途可能经过的城币以及通过网城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示．若汽车行驶的平均速度为千米／时，而汽车每行驶千米需要的平均费用为元，试指出此人从城出发到城的最短路线，并求出所需费用最少为多少元？17．按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为，那么满足条的的不同值最多有多少个？18．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，对于英，人们将个字母按顺序分别为对应整数到，现有个字母构成的密码单词，记个字母对应的数字分别为，，，，已知整数，，，，除以的余数分别是，，，，请你通过推理计算破译此密码，写出这个单词，并写出此单词的汉语词意．̳4信息技术的数学问题问题解决例1由条得得，故当时例2 B例3画出路线图：故有条不同途径．例4（1）“ “表示开，“ ”表示关，则所有不同的“开”“关”的状态可表示为：（全开），，，（三开一关），，（两开两关）共有种（2）由，，，归纳出例（1）将明NET转换成密即密为（2）将密转换成明即密DN的明为F数学冲浪1．2．3．4．“ ”、“ ”．6．B 经若干次输出后结果反复循环7．B8．（1）略；（2）9．密码原数10．对应的数学是，除以的余数仍然是，因此对应的字母是；a对应的数字是，，除以的余数仍然是，因此对应的字母是；t对应的数字是，，除以的余数是，因此对应的字母是d；……所以aths译成密后是dr．11．12．最省路线图故最少网线费用为（万元）13．14．B1．最终总能出现这个四位数16．从城出发到城的路线有如下两类：（1）从城出发到达城，经过城，因从城到城所需最短时间为小时，从城到城所需最短时间为小时，故此类路线所需最短时间为小时；（2）从城出发到达城，不经过城，这时从城到城，必定经过、、城或、、城，所需时间至少为小时．综上，从城到达城所需的最短时间为小时，所走的路线为，所需的费用最少为（元）17．由得由，得；由，得．故的不同值最多有个．18．在的整数中，只有满足得，又除以的余数为，而除以余数为，而除以的余数为，得，对应，，，的字母分别是h，，p，e，故密码单词为hpe（希望）．。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第14讲图表信息问题
第十四讲图表信息问题21世纪是一个信息化的社会，从纷繁的信息中，捕捉搜集、处理、加工所需的信息，是新世纪对一个合格公民提出的根本要求． 图表信息问题是近年中考涌现的新问题，即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的一类试题．图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解读、分析和判断，确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题．【例题求解】【例1】 一慢车和一快车沿相同的路线从A 到B 地，所行的路程与时间的函数图象如下列图，试根据图象，答复以下问题：(1)慢车比快车早出发小时，快车追上慢车时行驶了千米，快车比慢车 早小时到达6地；(2)快车追上慢车需小时，慢车、快车的速度分别为千米／时； (3)A 、B 两地间的路程是．思路点拨 对于(2)，设快车追上慢车需t 小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立t 的方程．注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取．【例2】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，并设M=b a b a c b a c b a --+++--++22，那么( )A ．M>0B ．M ＝0C ．M<0D ．不能确定M 为正、为负或为0思路点拨 由抛物线的位置判定a 、b 、c 的符号，并由1±=x ，推出相应y 值的正负性． 注：函数图象选择题是广泛见于各地中考试卷中的一种常见问题，解此类问题的根本思路是：由图象大致位置确定解析式中系数符号特征，进而再判定其他图象的大致位置，在解题中常常要运用直接判断、排除筛选、分类讨论、参数吻合等方法．【例3】 某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如下列图．假设汽车行驶的平均速度为80千米／时，而汽车每行驶1千米所需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线． (2022年全国初中数学竞赛题)思路点拨 从A 城出发到B 城的路线分成如下两类：(1)从A 城出发到达B 城，经过O 城，(2)从A 城出发到达B 城，不经过O 城．【例4】 我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米／秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米／秒的时间约占60天．为了充分利用“风能〞这种“绿色能源〞，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A 、B 两种型号的风力发电机．根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：日平均风速v ／(米／秒) v<3 3≤v<6 v ≥6 日发电量 A 型发电机 0 ≥36 ≥150 (千瓦·时) B 型发电机 0 ≥24 ≥90根据上面的数据答复：(1)假设这个发电厂购x 台A 型风力发电机，那么预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为千瓦·时；(2)A 型风力发电机每台0．3万元，B 型风力发电机每台0．2万元．该发电厂拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2．6万元，而建成的风力发电厂每年的发电总量不少于102000千瓦·时，请你提供符合条件的购机方案．思路点拨 对于(1)，注意“平均风速不小于3米／秒〞的时间区分；对于(2)，利用购置费用和发电总量分别列出不等式．【例5】 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价1y 与上市时间x 的关系可用图1的一条线段表示；它的种植本钱2y 与上市时间x 的关系可用图2抛物线的一局部来表示，假定市场售价减去种植本钱为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱思路点拨 由图象提供的信息，求出直线、抛物线的解析式，利用市场售价与本钱价相等建立时间x 的方程．注：本例综合运用一次函数和二次函数的有关知识，涉及信息量大，题中呈现信息的方式不仅是文字和符号，还包括表格．解图象信息问题的关键是化“图象信息〞为“数学信息〞，具体包括： (1)读图找点；(2)看图确定系数符号特征；(3)见形(图象形态)想式(解析式)，建模求解．学历训练1． 如图，是某出租车单程收费y (元)与行驶路程x (千米)之间的 函数关系的图象，请根据图象答复以下问题： (1)当行驶8千米时，收费应为；(2)从图象上你能获得哪些正确的信息(请写出2条) ①；②．(3)收费y (元)与行驶x (千米)(x ≥3)之间的函数关系式为．2．甲、乙两人(甲骑自行车，乙骑摩托车)从A 城出发到B 地旅行，如图表示甲、乙两人离开A 城的路程与时间之间的函数图象。
讲究“谋略”追求“精彩”
（ ）求 △Ａ １ 曰的周长 ；
责任编校
徐 国 坚
高中 ２ ０ ０ ９年 第 ７ ８期 －
泛 趣
８ｘ ５ ＝ ． ｔ＋１ ｔ ０
对简单问题 的解决是 非常有
效的 ，但遇到较复杂的问题时 ，只想到 “ 进”有时会
且ｍ０ ＞ ，得 ｍ＞Ｖ － —］ ３
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讲 究 “ 略 ”追 求 “ 谋 精彩 ’ ’
●江苏省太仓高级 中学 王佩其
数 学解题 ，讲究 的是思 维流 畅 ，让 解答来 得顺 畅 、自然和精彩 ！而要做 到这一点 ，我们必须讲究解 题 策 略． 解题 如用 兵 打 仗 ， “ 略 ”至关 重 要 ，得 谋
＝
的猜想
基本原则 ：以课本的常见素材加 以组合 ，引入变
二
Ｉ Ｉ Ａ 的关系 ，若存在，请求出 ｂ的取值范围；
元 ，增加运动变化 ，动中求最 ，动 中求定 （ 长度、面 积 、角等定值 ） ，或动 中分析特性 （ 如平行或垂直关 系等 ）． 问稍具备 基础 的知识 即可解决 ，属容 易 第一 题 ；第二 、三问要经过分类讨论 ，推理论证方可证得
一
恰有 ５个实数解 ， ｍ的取值 范围为 （ 则
）
，
～
Ａ（ ．
， 孚）
Ｂ（ｑ－ ． ｖ３
一
．
）
瞳
一
１ ２ ３ ４ ｓ ６ ７ ８ ９ ｉ
二 、对 广 东 ２ １ ０ ０年 高 考 解 析 几 何 大 题
１
（）设 Ａ ， ２ Ｆ 的中点为 ，试探究是否存在 ＩＭ Ｉ Ｂ
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吴振奎高等数学解题真经：概率统计卷
吴振奎高等数学解题真经：概率统计卷《吴振奎高等数学解题真经：概率统计卷》是深受广大家庭教育者和学子们欢迎，也是目前市场上非常精品的一本数学解题真经，全书共5册，系统介绍了概率统计的相关知识，以及概率统计中常见的游戏、方法、问题和技巧。
书中内容从概率统计的基本知识入手，以及概率论、实验概率论、随机变量、期望、条件期望以及抽样率推断等。
每个概念都结合实例，并介绍了该概念相关的问题以及如何解决方案。
同时，书中也介绍了许多有关统计概率的经典问题，以及概率统计中的新知识。
这些经典问题和新知识的讲解均结合实际情况，深入浅出，通俗易懂。
此外，书中还提供了实际案例，并结合实例讲解这些新知识的内容。
二、《吴振奎高等数学解题真经：概率统计卷》所具有的优势（1）系统介绍概率统计的相关知识，从基础开始，有利于学生深入学习，可以辅助学生理解概率统计学的基本概念；（2）以实例为脉络，结合实际情况，介绍统计概率常见的游戏、方法、问题和技巧，并及时讨论解决方案，使读者更容易理解并掌握知识；（3）书中的实际案例，有助于读者更深入地理解新知识，提高面试及答案能力；（4）书中处处体现作者对概率统计学的热情，全书写作风格简明扼要，常用语言生动形象。
三、对于《吴振奎高等数学解题真经：概率统计卷》的建议根据《吴振奎高等数学解题真经：概率统计卷》的实际情况，如下提出建议：（1）书中深入浅出的讲解，更加细致，更容易理解，可以更多加入实际的例子，不仅可以提高学生的实际理解能力，还能使读者更加能够掌握知识点；（2）书中新知识的讲解，可以多加细节，以免学生理解不深入，更多加入实际案例，可以让读者更好地理解新知识；（3）书中内容注重理论与实践的结合，可以通过实验实践，使学生对学习的内容更加有感触，加深印象，提高学习的兴趣。
四、小结《吴振奎高等数学解题真经：概率统计卷》是一本精品数学解题真经，书中全面而系统地介绍了概率统计学的基本知识以及概率统计中常见的游戏、方法、问题和技巧，对推进概率统计学的发展具有积极意义。
数学解题真经12寻旧思想的表现形式
寻旧思想的表现形式寻旧思想在解题过程的思维活动中主要表现为以下两种形式。
一、求同寻旧我们在感知问题的信息时，眼睛如照相机一样将问题所呈现的信息符号拍摄下来，这些符号通过视觉神经传输到大脑，大脑首先对信息符号进行识别、分类，然后寻找信息符号在认知结构中的联络点，联络点一经找到，就说明问题信息与认知结构中的某项知识经验存在一定的共性。
求同寻旧：就是问题解决中人的思维活动总是表现为寻找问题信息与认知结构中的某项知识经验的共性。
特别是形式上和内容上的共同点。
对于数学问题的解答，主要是寻找问题信息与认知结构中的某个公式、某个定理或某个曾经解决过的问题等在表达形式上或内容上的共同点。
二、求异寻旧问题的信息符号输入到大脑后，由于认知结构的贫乏或活性不足，大脑对问题信息可能感到陌生，虽能对信息符号进行准确地识别，却找不到信息符号在认知结构中的联络点。
那么这个问题对解题者可能就是一个难以解决的疑难。
另一种情况，解题者虽然没有找到信息符号在认知结构中清晰的联络点，但已经发现一点模糊联系，并不是指解题方案有一点线索，有时只是对问题信息的处理有一点思绪，至于信息处理后是否有利于问题解决，解题者依然茫然。
虽然问题信息与熟悉结构的联系如此微弱，但毕竟还存在一缕，只是其间还有一些差异。
求异寻旧：就是问题解决中人的思维活动总是表现为寻找问题信息与认知结构中的某项知识经验的个性，以便化异为同，促使问题信息与认知结构的网点顺利链接。
求同寻旧与求异寻旧在解题过程过程中总是结伴而行。
一般来说，两事物总是存在着区别和联系。
相同之外有不同，不同之中有相同，没有完全相同的两件事物。
寻旧就是寻找问题信息与认知结构中知识经验的联系和区别，特别要善于在不同之中找到一点共性，在相似之处要发现一点差异。
求同寻旧旨在寻找联系，以致为处理信息或问题解决提出假设方案；求异寻旧旨在发现差异，从而为化归变化指明方向，所以求同求异是不可分的。
例1 如果方程组⎩⎨⎧=+=2)(log )(log 2323y x k xy 只有一组解，试求k 的值. 求同寻旧 由于我们认知结构中有这样一项经验─── 一元二次方程根的存在及判定，而这个问题的信息是求方程组的一组解。
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问题解决与问题信息
我们通常把数学问题（常见的习题）的结构分为两部分。
题设条件(已知部分)和结论(未知部分)。
这种认识是针对问题的组成结构而言的，远离了问题解决的过程。
其实，问题解决是问题与人的思维活动相互作用的结果，人在认识和解决一个问题时，并不十分关注问题的结构，而是重视问题呈现的有意义的材料，特别是主观认为与问题解决有关的问题信息。
信息加工理论认为：“人的大脑是一台类似计算机的信息处理装置，我们在解题时，就如一台计算机那样，接受信息，加工信息，作出反应。
”当然，人脑远非计算机可比，除了能进行思维活动外，
，这 从而，左边8
331)tan tan tan tan tan (tan 3+++≤A C C B B A (2) 可见，要解答此题，只需证明1tan tan tan tan tan tan ≤++A C C B B A 即可。
（这是中学熟知的结论）
从此题的解答来看。
条件信息只是保证根式有意义和式子+B A tan tan +C B tan tan
1tan tan ≤A C 成立而已，对探求解题思路的作用不大；而结论信息反而为解题提供明确的思路──去根号。
就提供解题策略而言，条件作用弱，结论作用大。
于是我们可以得到一点解题经验：对于题
设简单，结论复杂的数学综合题，挖掘问题结论所隐藏的信息，是寻找解题思路的一条途径。
（二）问题结论不一定是问题解决过程中追求的重点目标
问题的结论既是一组信息，也是我们解题时所追求的终极目标，但并不一定是解题过程中追求的重点目标。
重点目标有可能是问题结论的反面，或者是一个矛盾，或者是与结论相关的等价的另一问题……只要我们对问题的所有信息进行综合加工处理，重点目标必将浮现出来。
例2 设+∈R z y x ,,且1=++z y x ，求证2772≤
-++xyz zx yz xy 。
结论信息是关于z y x ,,的对称轮换式，易知当1=
==z y x 时不等式取“=”.于是我们联想到磨
令'x z x =''1(= 探求到如几何图形，函数图象，坐标系，表格等，呈现给我们的是直观形象的感性材料。
2．符号信息。
用字母、数字、数学式子等形式表达的信息。
呈现给我们的是抽象的数学符号，通常称为数的信息。
3．语词信息。
就是用有意义的语词来表达的信息，也就是用汉语、数学语言来表达的数量关系、概念和数学问题中的解释、说明。
这三类信息既有区别又有联系。
虽然在表达形式上不同，但在解题过程中是可以互相转化的。
在解答平面几何和解析几何问题时，我们常常根据题意作出草图，这就是把语词信息向形象信息转化。
又如，用解析法解答平面几何问题时，又把形象信息转化为符号信息和语词信息。
解题者总是根据自
己的认知经验和思维习惯将三类信息相互转化。
总之，三类信息不能完全割裂，只是为了便于理解才以此分类和定义。