中职数学9.4.1圆的标准方程
圆的标准方程完整ppt课件
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
中职教育数学《圆的标准方程》课件
3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
C
O C
A
B
x
1、圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方程为（ B ）
A . (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B .(x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C . (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D . (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r
M r
C 所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式， 点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
O
x
说明：
1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、确定圆的方程必须具 备两个独立条件，注意 符号为—。
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就 唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是
圆心和半径．
知识应用：
圆的标准方程
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆 y 的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
方程 x2 y2 r 2 （x a)2 y2 r2 x2 ( y b)2 r2
位置 图形
圆切 x 轴 ]
圆切 y 轴
圆切两坐标轴
方程 （x a)2 （y b)2 b2 （x a)2 （y b)2 a2 （x a)2 （y a)2 a2
中职数学教案——圆的标准方程.docx
课题：圆的方程（一）——圆的标准方程1.教学目标（1）知识目标：1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆方程.（2）能力目标：1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；2.使学生加深对数形结合思想的理解；（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，激发学生的学习兴趣.2.教学重点.难点（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用.（2）教学难点：会根据不同已知条件，求圆的标准方程以及解决与圆有关的实际问题.3.教学过程（一）创设情境（启迪思维）投影显示（欣赏美景图片）（学生活动）如上面这些是我们生活中一些常见的圆形物体。
欣赏上述美景图片后，你有何感想？自然界中有着漂亮的圆，圆是最完美的曲线之一问题1 什么是圆？一、圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）。
定点是圆心定长是半径问题2 确定圆需要哪几个要素？圆心一一确定圆的位置半径--- 确定圆的大小（-）深入探究问题3：如果圆心在（a,。
），半径为r时圆的方程是什么？［学生活动］探究圆的方程。
［教师预设］方法：坐标法如下图，设M （x.y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以由两点间的距离公式，点〃适合的条件可表示为^(x-a)。
+(y-A、= r ①把①式两边平方，得(x—a)②+ (y—b) 2=r2由此可得圆的标准方程为：(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2当圆心在原点时，圆的标准方程为：x2 +y2 =广2问题3：观察圆的标准方程的特点有哪些？特点：1、明确给出了圆心坐标和半径。
2、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r .3、是关于x、y的二元二次方程。
(三)应用举例(巩固提高)I.直接应用例1：试写出下列圆的圆心及半径(1) (x-1)2+ (y-3)2=9 (2) (x-2)2+(y-3)2 =5；(3)(x + 2)2 + y2 =(一2尸.变式：下列方程圆的方程吗？为什么？1、(x-1)2+ (y-3)2= -52、(x-1)2+ (y-3)=K例2：写出下列各圆的方程(1)圆心在原点，半径为3；⑵圆心在C(3,4),半径为打;⑶圆心在C(l,3),半径是3II.间接应用例3：求以。
圆的标准方程
圆的标准方程圆是平面上一点到一个固定点的距离等于一个固定长度的点的集合。
在解决圆相关的问题时，我们通常会用到圆的标准方程。
圆的标准方程可以帮助我们更方便地描述圆的性质和特征，从而更好地解决与圆相关的数学问题。
圆的标准方程可以表示为，(x h)² + (y k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
在这个方程中，我们可以看到，圆的标准方程由两部分组成，第一部分是(x h)²，表示圆上任意一点的横坐标与圆心横坐标的差的平方；第二部分是(y k)²，表示圆上任意一点的纵坐标与圆心纵坐标的差的平方；等号右边的r²则表示圆的半径的平方。
通过这个方程，我们可以清晰地了解到圆的特性，圆上任意一点到圆心的距离等于半径r。
这也是圆的定义之一，因此圆的标准方程可以帮助我们更好地理解圆的性质。
接下来，我们来看一个例子，已知圆心坐标为(3, 4)，半径为5，求圆的标准方程。
根据圆的标准方程，我们可以直接将已知的圆心坐标和半径代入方程中，(x 3)² + (y 4)² = 5²。
通过这个例子，我们可以更清晰地理解圆的标准方程的应用方法。
当我们已知圆的圆心坐标和半径时，可以直接代入方程中，从而得到圆的标准方程。
除了求解圆的标准方程外，我们还可以利用圆的标准方程来解决一些与圆相关的几何问题。
例如，求圆与直线的交点、判断点是否在圆内外、求圆的切线等问题都可以通过圆的标准方程来进行分析和求解。
在实际应用中，圆的标准方程也经常用于计算机图形学、工程设计等领域。
通过圆的标准方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质，从而更好地应用于实际工作中。
总之，圆的标准方程是描述圆的重要工具，它可以帮助我们更清晰地了解圆的性质和特征，解决与圆相关的数学问题。
通过学习和掌握圆的标准方程，我们可以更好地理解和运用圆的知识，为我们的学习和工作带来便利和帮助。
圆的标准方程-PPT课件
能力提高
1.已知A(-2,0),B(2,0),求过A,B两点的半径最小 的圆的方程.
2.求过A(2,0),半径为2的圆的圆心的轨迹方 程.
3.求过点A(-1,3),面积为49π的圆的圆心的轨 迹方程.
4.如果实数x、y满足方程(x 3)2 ( y 3)2 6,求：
(1) y 的最大值与最小值； x
(2)几何法． 通过研究已知条件，结合圆的几何性质，求得圆的基本量 (圆心坐标，半径长)，进而求得方程． 圆的常用的几何性质：①圆心到圆上的点的距离等于半径； ②圆心到圆的切线的距离等于半径；③圆的弦的垂直平分线过 圆心；④两条弦的垂直平分线的交点为圆心；⑤r2＝d2＋(2l )2， 其中 r 为圆的半径，d 为弦心距，l 为弦长．
(2)x y的最大值与最小值.
5.设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，则 x－12＋y－12的最大值为________．
因为点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此 x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离．
易知点(1,1)在圆 x2＋(y＋4)2＝4 外，结合右图易得 x－12＋y－12的最大值为 1－02＋1＋42＋2＝ 26＋2.
a 46 5 b 93 6
2
2
圆心坐标为（5，6）
P1(4, 9) C
P2 (6, 3)
r CP1 （4 5）2 （9 6）2 10
圆的方程为
CM 10 CN 13 10
（x 5）2 （y 6）2 10
CQ 3 10
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
圆心：直径的中点
(5 a)2 (1 b)2 r 2
(7 a)2 (3 b)2 r 2
圆的标准方程1中职数学
圆的标准方程 课件
待定系数法或几何法求圆的标准方程
求过点 A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线 x＋y－2 ＝0 上的圆的方程．
【思路探究】 思路一：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，利用 A，B 及圆心所在位置求参数 a，b，r.
判断点 P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系有 几何法和代数法两种：
(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系作出判断：
①d>r，点在圆外；②d＝r，点在圆上；③d<r，点在圆 内．
(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具 体判断如下：
(2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 x2＋y2＝r2.
点与圆的位置关系 【问题导思】 点 A(1,1)，B(3,0)，C( 2， 2)同圆 x2＋y2＝4 的关系如图 所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径 r＝2 什么关系？
【提示】 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入 标准式写方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算 相对较容易．如本题法三．
2．求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此 常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直．
直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素 入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准 方程．
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面几何中常见的一种几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
在代数表示中，我们可以用方程来描述圆的位置和形状。
其中，最常见的一种表示方法就是圆的标准式方程。
接下来，我们将详细介绍圆的标准式方程及其相关知识。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
其中，到定点的距离通常称为半径，定长则称为圆的半径。
根据圆的定义，我们可以得出圆的标准式方程为：(x a)² + (y b)² = r²。
其中，(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
接下来，我们来看一些具体的例子，以帮助大家更好地理解圆的标准式方程。
例1，求圆心为(3, 4)，半径为5的圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程，代入圆心坐标和半径长度，得到方程为：(x 3)² + (y 4)² = 25。
这就是所求的圆的标准式方程。
例2，已知圆的标准式方程为(x 2)² + (y + 1)² = 16，求圆的圆心和半径。
通过比较方程和标准式方程的形式，可以得到圆心坐标为(2, -1)，半径长度为4。
除了使用圆的标准式方程来描述圆的位置和形状外，我们还可以通过圆的直径式方程和一般式方程来表示圆。
不同的表示方法可以帮助我们更灵活地处理问题，更好地理解圆的性质和特点。
在实际问题中，圆的标准式方程也有着广泛的应用。
比如在几何问题中，我们可以利用标准式方程来求解圆的性质，计算圆的面积和周长等。
在工程和科学领域，圆的标准式方程也常常被用来描述和分析问题，为问题的解决提供数学工具和方法。
总之，圆的标准式方程是描述圆的位置和形状的重要工具，它具有广泛的应用价值。
通过学习和掌握圆的标准式方程，我们能更好地理解和运用圆的性质，解决实际问题，拓展数学知识的应用领域。
希望本文能够帮助大家更好地理解圆的标准式方程，加深对圆的认识，提高数学解题能力。
同时也希望大家能够在学习和工作中，灵活运用数学知识，不断提升自己的综合素质。
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
中职直线与圆的方程知识点总结
中职直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程在二维平面上，直线可以由一元一次方程表示，其一般形式为:Ax + By + C = 0其中 A、B 和 C 是实数且 A 和 B 不同时为 0。
斜截式方程：斜率为 k，截距为 b 的直线方程可以表示为：y = kx + b其中 k 是斜率，b 是截距。
点斜式方程：已知直线上一点（x₁, y₁）和直线的斜率 k，可以使用以下点斜式方程表示直线：y - y₁ = k(x - x₁)二、圆的方程在二维平面上，圆可以由圆心的坐标 (h, k) 和半径 r 表示，其标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²三、直线与圆的关系直线与圆有以下几种关系：1.直线与圆相切：当直线与圆只有一个交点时，即直线与圆相切。
相切的直线与圆的切线相切于圆的一点。
2.直线与圆相离：当直线与圆没有交点时，即直线与圆相离。
3.直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，即直线与圆相交。
相交的直线与圆会穿过圆的两个点。
4.直线在圆上：当直线经过圆心时，即直线在圆上。
四、直线与圆的方程求解1.判断直线与圆的位置关系：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个一元二次方程；–计算一元二次方程的判别式；–根据判别式的值得出直线与圆的位置关系。
2.求直线与圆的交点坐标：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个二元一次方程组；–解方程组，求得交点坐标。
五、举例例 1：判断直线与圆的位置关系，直线方程为 y = 2x + 1，圆的标准方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 9。
将直线方程代入圆的标准方程得到：(x - 3)² + (2x + 1 - 4)² = 9化简得：5x² - 14x + 9 = 0计算判别式 D = (-14)² - 4 * 5 * 9 = 4，判别式大于 0，因此直线与圆相交。
圆的标准方程 课件
A
Co
x
B
几何法（确定圆心和半径）
例4.若A(-1,0),B(5,0),其中角C为直角， 求点C所满足的方程（轨迹方程）.
C
轨迹法
A
B
( x a)2 ( y b)2 r2
思考:在平面几何中，点与圆有哪几种位置
关系？ 如何判定点与圆的位置？
A
A ( x0 , y0 )
A
O
O
O
点在圆内
点在圆上
(2)若P是C上 任 一 点,求 | PA |2 | PB |2 的 最 大 值 和 最 小 值.
例6:已知圆的方程为: x2 y2 25 ,求
(1)过 点A(4,3)的 切 线 方 程;
(2)过 点B(5,2)的 切 线 方 程;
(3)斜 率 等 于1的 切 线 方 程;
(4)在y轴 上 的 截 距 是10的 切 线 方 程.
2、写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C(3,4)，半径是 5 ；
（3）经过点 P(5,1)，圆心在点 C(8,3) ;
（4）以点(3, 4)为圆心，且与y轴相切.
例1:求下列圆的标准方程 待定系数法
(1) 以AB为直径,A(-4,-5),B(6,-1)
(2) 过点A(-4，3)，圆心C在直线 2x-y+1=0上，且半径为5.
点在圆外
|OA|<r
|OA|=r
|OA|>r
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
( x a)2 ( y b)2 r2
思考:在平面几何中，点与圆有哪几种位置
《圆的标准方程》说课稿
《圆的标准方程》说课稿《圆的标准方程》说课稿1我说课的题目是上海教育出版社中职教材试用本数学第二册，第四章第一节《圆的标准方程》，说课内容分成教材分析、教法分析、学法分析、教学过程四个部分。
一、教材分析1、教材的地位：解析几何是通过建立直角坐标系把几何问题用代数方法解决的学科。
圆是同学们已经熟悉的几何图形，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。
圆也是体现数形结合思想的重要素材。
推导圆的标准方程需要在直线的学习基础上进行，基本模式和理论基础从直线引入。
同时和今后的直线与圆等课程有重要联系。
因此本节课具有承前启后的作用，是__的关键内容。
在本单元的地位和作用，结合职一年级学生的特点，我从以下三个角度制定教学目标：2．教学目标根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下：知识目标：经历圆的标准方程的推导过程，学会点与圆的位置关系的判定方法。
掌握圆的标准方程及其求法；能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
能力目标：体会用解析法研究几何问题的方法，理解数形结合思想。
情感目标：运用圆的相关知识解决实际问题，提高观察问题、发现问题和解决问题的能力，以及学习数学的热情和民族自豪感。
3.教学重点、难点及关键我将本课的教学重点、难点确定为：①重点：掌握圆的标准方程及其推导方法，②难点：圆的标准方程的应用。
二、教学方法分析在教法上，主要采用研究性和启发式教学法。
以启发、引导为主，采用提问启发的形式，逐步让学生进行研究性学习。
结合圆的定义自己推导圆的标准方程。
让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，主动地去分析问题、讨论问题、解决问题。
例题安排由易至难，采用变式题形式，形变神不便，层层递进，深入分析。
在应用问题的安排上，启发讨论的同时，体会我国古代劳动人民的智慧和才干，从而激发学生的民族自豪感。
三、学法分析我所任教的班级是金融一年级，学生已具备了直线的相关知识。
学生的基本运算过关，可是主动思考问题能力较薄弱。
圆的标准方程中职数学
2.求过圆x-12 y 32 29 切线方程为: 3x 4 y 25 0
上点N 1, 2的切线方程
2x 5y 12 0
解：
r (4 7)2 (1 3)2
C(7,-3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9 16 5
标准方程为 (x- 7 )2+(y+3 )2= 25
M(4,1)
C a,b
l
M
CM的长度是圆的半径吗 线段CM 与直线l垂直吗 点C到直线l的距离d Ax By C
A2 B2
解: r d 31 43 6
32 42
3 12 6
9 16
1.求圆心在CC21,,-33 ,并与直线
r x y 1 0相切的圆的
标准方程
x 22 y 32 2
15
2.求33x圆x心4y在4原5y点0,相并6切与的直圆0线的
25
标准方程
15 3
x2 y2 1
圆的5方程为 x 12 y 32 9
已知圆的方程是x2 +y2 =25,求经过圆上一点P 3,4 的
圆心为点半径为圆心为点半径为圆心为原点半径为圆心为点半径为圆心为点半径为求以c73为圆心并且经过m41的圆的标准方程c73m41线段与直线垂直吗1525求圆心在c23并与直线相切的圆的标准方程求圆心在原点并与直线相切的圆的标准方程25求经过圆上一点p3420上一点的切线的方程求过圆x1上点n的切线方程
2.圆心为点2, 1,半径为3
3.圆心为点4, 1,半径为 3
4.圆心为点0,1,半径为9
5.圆心为原点,半径为 2
x 22 y 12 16 x 22 y 12 9 x 42 y 12 3 x2 y 12 81
课程思政视域下的中职数学实践教学——以“圆的标准方程”教学为例
课程思政视域下的中职数学实践教学 ——以“圆的标准方程”教学为例文 / 吴海鹏■摘 要：中职数学课程是中职学校各专业学生必修的公共基础课程，中职数学日常教学应通过课程思政，让学生做到内外兼修，以期达到立德树人的育人目标。
本文以“圆的标准方程”教学为例，从教学的四个要素方面阐述课程思政要达到的四个“度”，即教学主体团队化，让思政有宽度；教学内容融合化，让思政有厚度；教学环境专业化，让思政有温度；学习主体全员化，让思政有广度。
■关键词：课程思政；中职数学；“圆的标准方程”在中等职业学校数学课程中如何合理融入思想政治教育，引导学生提高职业道德水平和职业素养？笔者认为充分挖掘和运用数学学科中蕴含的思政元素，并且让课程思政成为一种教学常态和教师的自觉行为是一条重要的途径。
下面以“圆的标准方程”教学为例，从教学主体、教学内容、教学环境、学习主体四个维度探究课程思政视域下的中职数学实践教学。
一、教学主体团队化，让思政有宽度教学主体在教学中起着定航把舵的作用，因此，教学主体一定要素养高、研究深、专业强和能创新，要做到这些，就需要教学主体团队化，确保思政有宽度。
在笔者所在学校课程思政小组的领导下，学校成立数学课程思政小组，数学教研组长兼任负责人，组员不仅有数学骨干教师，还包括部分思政和专业课教师，定期开展思政教学研讨和经验交流。
经多次商议后，小组围绕坚定学生理想信念、爱党、爱国、爱社会主义、爱人民这条主线，聚焦习近平新时代中国特色社会主义思想、社会主义核心价值观、中华优秀传统文化、职业理想和道德、数学学科特征五大重点，结合数学课程标准和核心素养的要义，从数学文化与立德树人、数学思维与必备品格、数学方法与关键能力三个方面绘制了中职数学学科课程思政映射图。
其中，数学文化与立德树人主要指数学史、数学美和数学家三个方面，内容涵盖科学精神和家国情怀；价值取向和理想追求；职业精神和职业素养。
数学思维与必备品格主要涵盖转化与类比、系统与辩证、对应与逆向、直觉与逻辑、形象与创新等思维。
圆的标准方程最终版
例1.根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）圆心在点 −, ，并且过点 , − 的圆；
（2）以点 , ， , 为直径的两个端点的圆.
练习
1.写出下列圆的圆心坐标和半径：
（1） + = ；（2） − + + = ；
（3） + + = ；（4） − + = .
练习
2.求满足下列条件的圆的标准方程：
（1）圆心为坐标原点，半径为；
（2）圆心为点 −, ，半径为 ；
（3）圆心为点 , ，半径为 ；
（4）圆心为点 , − ，半径为.
练习
3.求满足下列条件的圆的标准方程：
（1）圆心为 −, ，过点 , ；
（2）以点 −, ， , − 为直径的两个端点.
圆的标准方程
圆的标准方程
已知圆的圆心是 , ，半径为，如图9-20所示，
求圆的方程.
设点 , 是一个动点，
点在圆上 ⟺ =
⟺
−
+ −
=
两边平方，得
−
+ −
=
该方程即是以点 , 为圆心，为半径的圆的方程，称为圆的标准方程方程
如果圆心在坐标原点，这时 = ， = ，圆的标准方程为
+ =
例题：求圆心为坐标原点，半径为的圆的标准方程.
+ =
例题：已知圆 −
+ +
= ，试判断点 , ， , − 是否在该圆上.
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说出下列圆的圆心及半径： （1）x2＋y2＝1; （2）(x－3)2＋(y＋2)2＝16; （3）(x＋1)2＋(y＋1)2＝2; （4）(x－1)2＋(y－1)2＝4．
例 1 求过点 A(6，0)，且圆心 B 的坐标为(3，2)的 圆的方程．
解：因为圆的半径 r＝|AB|＝ (3 6)2 (2 0)2 13， 所以所求圆的方程是 (x－3)2＋(y－2)2＝13．
圆心为（2，-3），且过原点的圆C的方程。
解：因为圆C过原点，故圆C的半径
r 22 32 13
因此，所求圆C的方程为：
x 22 y 32 13
例2 求以直线 x－y＋1＝0 和 x＋y－1＝0 的交点为圆心，
半径为 3 的圆的方程．
解：由方程组
x y 1 0 x y 1 0
直线Biblioteka 圆圆直线9.4.1 圆的标准方程
初中学过的圆的定义是什么？ 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹． 定点是圆心，定长为半径．
A
半径
O
圆心
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y
设 M(x，y)是所求圆上任一点，
M（x，y） 点 M 在圆 C 上的充要条件是
r
|CM|＝ r，
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
2．确定一个圆的标准方程的条件．
教材 P 101 练习 第 2 题； P 101 练习 第 6 题（选做）．
解得：
x 0
y
1
所以所求圆的圆心坐标为 (0，1)，
又因为圆的半径为 3 ，
因此所求圆的方程为 x2＋(y－1)2＝3．
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式
有：AB 6 42 112 10
所以圆的半径为5
故圆的方程为： x 12 y 12 25
（1）求过点 A(3，0)，且圆心 B 的坐标为(1，－2) 的圆的方程；
（2）求以直线 x－y＝0 和 x＋y＝1 的交点为圆心， 半径为 2 的圆的方程．
1．圆的标准方程
以 C(a，b) 为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程：
C
由距离公式，得
O
x
(x a)2 ( y b)2 r2，
两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
说出下列圆的方程： （1）以 C（1，－2）为圆心，半径为 3 的圆的方程； （2）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程．
答案： （1）(x－1)2＋(y＋2)2＝9； （2）x2＋y2＝9．