第五章测地曲率和测地线§51测地曲率和测地挠率
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上任意一条曲线是平行的。 2、证明：在曲面上存在一个非零的、与路径无关的平行切向量场，当且仅当该曲面的 Gauss 曲率为零。 3 、证明：曲面 S 上的 ua —曲线的单位切向量沿曲线 C ： u 条件是沿曲线 C 成立
γ
= u γ (t ) 是平行的充分必要
Γ β αγ
du γ =0 dt
( β ≠ α ).
其中θ是曲线与经线( 即 u-曲线 )之间的夹角。 3、证明：在曲面的一般参数(u ，v)下，曲线 u ＝u (s)，v＝v(s )的测地曲率是
&+u & & &− v & u &&) k g = g ( Bu − Av v
其中 g ＝EG－ F2，
& ) 2 + 2Γ112 u &v & + Γ122 ( v &) 2 , B = Γ 2 11 (u &) 2 + 2Γ 212 u &v & + Γ 2 22 (v & ) 2 ，特 别 是， A = Γ111 (u
2 du + I = du 2 −
1 sin 2 ( Ku )dv 2 , K 1 2 sh ( − Ku )dv 2 , K
K > 0, K < 0.
－16－
证明：该曲面上的测地线可以分别表示为：
A sin( K u ) cos v + B sin( K u) sin v + C cos( K u) = 0,
K 0 = lim
3 2πr − Lr ⋅ r →0 π r3
12 πr 2 − Ar = lim ⋅ r →0 π r4
§ 5.4 常曲率曲面
1、试在测地极坐标系下写出常曲率曲面的第一基本形式。 2、证明：在常曲率曲面上，以点 P 为中心的测地圆具有常测地曲率。 3、已知常曲率曲面的第一基本形式是
τg =
1 1 dk n (θ ) ( k 2 − k1 ) sin 2θ = . 2 2 dθ
6、假定曲面上经过一个双曲点的两条渐近曲线在该点的曲率不为零。证明：这两条曲 线在该点的挠率的绝对值相等 、符号相反，并且这两个挠率之积等于曲面在该点的 Gauss 曲率 K( 提示：利用定理 4 和习题 5 的结果) 。 7、证明： k n − τ g − 2 Hkn + k = 0 。 8、证明：任何两个正交方向的测地挠率之和为零。 § 5.2 2、设曲线 C 是旋转面 测地线
－17－
第五章 测地曲率和测地线
§ 5.1 测地曲率和测地挠率
1、证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数，它的倒数等于在经线的切线上从切点到它 与旋转轴的交点之间的线段之长。 2、证明：在球面
r = ( a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u )
(−
π π ≤u ≤ ，0≤v ＜ 2π) 上，曲线的测地曲率可以表成 2 2 dv dθ kg = − sin u ， ds ds
α βγ
1、设曲面的第一基本形式为 I=du 2+G(u,v)dv2，求 Γ 证明： G(u,v)=1－ u2K(0,v)+0 (u2) 。
及 Gauss 曲率 K。
2、 设曲面的第一基本形式为 I= du2 +G(u,v)dv2 ， 并且 G(u,v)满足条件 G(0,v)=1， Gu(0,v)=0。 3、 设曲面上以点 P 为中心， 以 r 为半径的测地圆的周长为 Lr ， 所围的面积是 Ar ， 证明： 点 P 处的 Gauss 曲率是
2 2 o o
a2 v
2
(du 2 + dv 2 ) 。
7、证明：若在曲面上存在两族测地线，它们彼此交成定角，则该曲面必是可展曲面。 8、证明：曲面上的测地线的挠率恰是曲面沿曲线的切方向的测地挠率。 9、假定曲面 S1 和 S2 沿曲线 C 相切，证明：若 C 是 S1 上的测地线，则 C 也必定是 S2 上的测地线。 如果 C 是 S1 上的曲率线或渐近曲线，又如何？ § 5.3 测地坐标系
及
Ash( − K u) cos v + Bsh( − K u ) sin v + Cch( − K u ) = 0,
其中 A， B，C 是不全为零的常数。 4、试求 Klein 圆： u + v p 1, I =
2 2
du 2 + dv 2 内的测地线。 [1 − (u 2 + v 2 )]2
5、试求 Klein 圆： u + v < 1, I =
2 2
1、证明：柱面上的测地线必定是定倾曲线。
r (u , v ) = ( f (u) cos v, f (u) sin v, g (u ))
上的一条测地线，用 θ 表示曲线 C 与经线的交角。证明：沿测地线 C 成立恒等式
－15－
f (u) ⋅ sin θ = 常数 .
3、设在旋转面上存在一条测地线 C 与经线交成定角 θ ，并且 θ ≠ 0 ,90 。证明：此旋 转面必为圆柱面。 4、证明：(1)若曲面上一条曲线既是测地线，又是渐近曲线，则它必定是直线。 (2) 若曲面上一条曲线既是测地线，又是曲率线，则它必定是平面曲线。 (3) 若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线，则它必定是曲率线。 5、证明：若曲面上所有的测地线都是平面曲线，则该曲面必是全脐点曲面。 6、已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的测地线： (1) I = v(du + dv ) ； (2) I =
参数曲线的测地曲率分别为
&) 3 , kg1 = g Γ 211 (u
&) 3. k g2 = − g Γ122 ( v
4、 假定φ 是曲面 S 上的保长变换构成的变换群， 并且保持曲面 S 上的一条曲线 C 不变。 证明：如果φ限制在 C 上的作用是传递的，则曲线 C 的测地曲率必为常数。 5、设 e1，e2 是曲面在一点的两个彼此正交的主方向，对应的主曲率分别为 k 1，k 2 。证 明：曲面在该点与 e1 成θ角的切方向的测地挠率是
2 2
du 2 + dv 2 [1 − (u 2 + v 2 )]2
1 (dx 2 + dy 2 ) 之间的保长对应。 2 4y
1 。试求它们之间的保长对应： a2
和 Poincare 上半平面：y ＞ 0， I =
6、第一基本形式如下的曲面都具有常数 Gauss 曲率 −
(1) I =
a2 v
2
(du 2 + dv 2 )
2 2u a
(v＞0)
(2) I = du + e
dv 2 ； 2Biblioteka Baidu2 u (3) I = du + ch dv 2 。 a
§ 5.5 1、 证明：若 x
α
曲面上向量场的平行移动
= xα (u 1 , u 2 ) 是偏微分方程组
∂ xα ∂u
β
= −Γα βγ x y 的非零解，则(i)
f = gαβ xα x β 是非零常数；(ii)X= xα (u 1 , u 2 ) ⋅ rα (u1 , u 2 ) 是曲面上的切向量场，它沿曲面
γ
= u γ (t ) 是平行的充分必要
Γ β αγ
du γ =0 dt
( β ≠ α ).
其中θ是曲线与经线( 即 u-曲线 )之间的夹角。 3、证明：在曲面的一般参数(u ，v)下，曲线 u ＝u (s)，v＝v(s )的测地曲率是
&+u & & &− v & u &&) k g = g ( Bu − Av v
其中 g ＝EG－ F2，
& ) 2 + 2Γ112 u &v & + Γ122 ( v &) 2 , B = Γ 2 11 (u &) 2 + 2Γ 212 u &v & + Γ 2 22 (v & ) 2 ，特 别 是， A = Γ111 (u
2 du + I = du 2 −
1 sin 2 ( Ku )dv 2 , K 1 2 sh ( − Ku )dv 2 , K
K > 0, K < 0.
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证明：该曲面上的测地线可以分别表示为：
A sin( K u ) cos v + B sin( K u) sin v + C cos( K u) = 0,
K 0 = lim
3 2πr − Lr ⋅ r →0 π r3
12 πr 2 − Ar = lim ⋅ r →0 π r4
§ 5.4 常曲率曲面
1、试在测地极坐标系下写出常曲率曲面的第一基本形式。 2、证明：在常曲率曲面上，以点 P 为中心的测地圆具有常测地曲率。 3、已知常曲率曲面的第一基本形式是
τg =
1 1 dk n (θ ) ( k 2 − k1 ) sin 2θ = . 2 2 dθ
6、假定曲面上经过一个双曲点的两条渐近曲线在该点的曲率不为零。证明：这两条曲 线在该点的挠率的绝对值相等 、符号相反，并且这两个挠率之积等于曲面在该点的 Gauss 曲率 K( 提示：利用定理 4 和习题 5 的结果) 。 7、证明： k n − τ g − 2 Hkn + k = 0 。 8、证明：任何两个正交方向的测地挠率之和为零。 § 5.2 2、设曲线 C 是旋转面 测地线
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第五章 测地曲率和测地线
§ 5.1 测地曲率和测地挠率
1、证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数，它的倒数等于在经线的切线上从切点到它 与旋转轴的交点之间的线段之长。 2、证明：在球面
r = ( a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u )
(−
π π ≤u ≤ ，0≤v ＜ 2π) 上，曲线的测地曲率可以表成 2 2 dv dθ kg = − sin u ， ds ds
α βγ
1、设曲面的第一基本形式为 I=du 2+G(u,v)dv2，求 Γ 证明： G(u,v)=1－ u2K(0,v)+0 (u2) 。
及 Gauss 曲率 K。
2、 设曲面的第一基本形式为 I= du2 +G(u,v)dv2 ， 并且 G(u,v)满足条件 G(0,v)=1， Gu(0,v)=0。 3、 设曲面上以点 P 为中心， 以 r 为半径的测地圆的周长为 Lr ， 所围的面积是 Ar ， 证明： 点 P 处的 Gauss 曲率是
2 2 o o
a2 v
2
(du 2 + dv 2 ) 。
7、证明：若在曲面上存在两族测地线，它们彼此交成定角，则该曲面必是可展曲面。 8、证明：曲面上的测地线的挠率恰是曲面沿曲线的切方向的测地挠率。 9、假定曲面 S1 和 S2 沿曲线 C 相切，证明：若 C 是 S1 上的测地线，则 C 也必定是 S2 上的测地线。 如果 C 是 S1 上的曲率线或渐近曲线，又如何？ § 5.3 测地坐标系
及
Ash( − K u) cos v + Bsh( − K u ) sin v + Cch( − K u ) = 0,
其中 A， B，C 是不全为零的常数。 4、试求 Klein 圆： u + v p 1, I =
2 2
du 2 + dv 2 内的测地线。 [1 − (u 2 + v 2 )]2
5、试求 Klein 圆： u + v < 1, I =
2 2
1、证明：柱面上的测地线必定是定倾曲线。
r (u , v ) = ( f (u) cos v, f (u) sin v, g (u ))
上的一条测地线，用 θ 表示曲线 C 与经线的交角。证明：沿测地线 C 成立恒等式
－15－
f (u) ⋅ sin θ = 常数 .
3、设在旋转面上存在一条测地线 C 与经线交成定角 θ ，并且 θ ≠ 0 ,90 。证明：此旋 转面必为圆柱面。 4、证明：(1)若曲面上一条曲线既是测地线，又是渐近曲线，则它必定是直线。 (2) 若曲面上一条曲线既是测地线，又是曲率线，则它必定是平面曲线。 (3) 若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线，则它必定是曲率线。 5、证明：若曲面上所有的测地线都是平面曲线，则该曲面必是全脐点曲面。 6、已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的测地线： (1) I = v(du + dv ) ； (2) I =
参数曲线的测地曲率分别为
&) 3 , kg1 = g Γ 211 (u
&) 3. k g2 = − g Γ122 ( v
4、 假定φ 是曲面 S 上的保长变换构成的变换群， 并且保持曲面 S 上的一条曲线 C 不变。 证明：如果φ限制在 C 上的作用是传递的，则曲线 C 的测地曲率必为常数。 5、设 e1，e2 是曲面在一点的两个彼此正交的主方向，对应的主曲率分别为 k 1，k 2 。证 明：曲面在该点与 e1 成θ角的切方向的测地挠率是
2 2
du 2 + dv 2 [1 − (u 2 + v 2 )]2
1 (dx 2 + dy 2 ) 之间的保长对应。 2 4y
1 。试求它们之间的保长对应： a2
和 Poincare 上半平面：y ＞ 0， I =
6、第一基本形式如下的曲面都具有常数 Gauss 曲率 −
(1) I =
a2 v
2
(du 2 + dv 2 )
2 2u a
(v＞0)
(2) I = du + e
dv 2 ； 2Biblioteka Baidu2 u (3) I = du + ch dv 2 。 a
§ 5.5 1、 证明：若 x
α
曲面上向量场的平行移动
= xα (u 1 , u 2 ) 是偏微分方程组
∂ xα ∂u
β
= −Γα βγ x y 的非零解，则(i)
f = gαβ xα x β 是非零常数；(ii)X= xα (u 1 , u 2 ) ⋅ rα (u1 , u 2 ) 是曲面上的切向量场，它沿曲面