高考冲刺 正弦、余弦定理及解三角形_基础

正弦、余弦定理及解三角形

【考纲要求】

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】

【考点梳理】

要点一、三角形中的边与角之间的关系

约定：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系：

(1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；

两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<； (2) 勾股定理：ABC ∆中，2

2

2

90a b c C +=⇔=︒. 2．角的关系：

ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2

π （1）互补关系：

sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=-

（2）互余关系：

sin

sin()cos 2222A B C C

π+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-=

tan tan()cot 2222

A B C C π+=-=

3．直角三角形中的边与角之间的关系

Rt ABC ∆中，90C =︒（如图）

，有： c c

C c b B c a A ====

1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b a

A B C c c

===.

要点二、正弦定理、余弦定理

1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：

应用

解三角形

正弦定理 余弦定理

2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩

⎪⎨⎧===C

R c B R b A

R a sin 2sin 2sin 2

2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：

222222

222

2cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎫=+-⎪=+-⎬⎪=+-⎭⇒222222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=

⎪⎩

要点诠释：

（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一. （2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. （3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角. (4) 利用余弦定理判断三角形形状：

①勾股定理是余弦定理的特殊情况，2

2

2

90cos 0a b c C C +=⇔=︒⇔=.

②在ABC ∆中，222

2

2

2

cos 0902b c a c b a A A bc

+-+>⇔=

>⇔<︒，所以A 为锐角； 若222a c b +>，222

a b c +>，同理可得角B 、C 为锐角.

当2

2

2

a c

b +>，2

2

2

a b c +>，2

2

2

c b a +>都成立时，ABC ∆为锐角三角形．

③在ABC ∆中，若222

2

2

2

cos 0902b c a c b a A A bc

+-+<⇔=

<⇔>︒， 所以A 为钝角，则ABC ∆是钝角三角形．

同理：若2

2

2

a c

b +<，则ABC ∆是钝角三角形且B 为钝角； 若2

2

2

a b c +<，则ABC ∆是钝角三角形且C 为钝角．

要点三、解斜三角形的类型

1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.

2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知,a b 和角A 时，解的情况如下：

(1)若A为锐角时：

a bsin A

a bsin A()

bsin A a b()

a b()

<

⎧

⎪

=

⎪

⎨

<<

⎪

⎪≥

⎩

无解

一解直角

二解一锐，一钝

一解锐角

如图：

(2)若A为直角或钝角时：

a b

a b ()

≤

⎧

⎨

>

⎩

无解

一解锐角

3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.

4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.

要点诠释：

1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.

2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能．

要点四、三角形面积公式

1．

1

2a

S a h

=⋅（

a

h表示a边上的高）；

2．

111

sin sin sin

222

S ab C ac B bc A

===；

3．2

2sin sin sin

S R A B C

=；

4．

4

abc

S

R

=；

5.

1

()()().()

2

S p p a p b p c p a b c

=---=++

要点五、实际问题中的常用角

1. 仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：