二向应力状态分析—图解法

y
D2
x
该圆就是相应于该单元体 应力状态的应力圆。
D1 点的坐标为 ( x , x ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面（即横截面）上 的应力 。
o
D1
B2
B1
C
y
D2
x
说明
点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。
夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单 元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。
体积应变：
V1 V V
1 2 3
代入本构关系，得到体积应变与应力 分量间的关系:
1 2
E
(1
2
3)
3(1 2) (1 2 3 ) m
E
3
K
K E
3(1 2)
m
1
2
3
3
课本P239 例题7.9
例题4：壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点处与其轴线成 45° 和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片, 然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图所示，已知圆筒材 料的弹性常数为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性 范围内,且 max = 10MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后 的筒壁厚度。
max )
3
(1
E
)
max
5.2 104
(压应变)
y x 5.2 104 (拉应变)
τ max
x
τ max
k
450
1
圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为
z
E
(x
y)
E
(max
max )
0
同理可得圆筒中任一点 ( 该点到圆筒横截面中心的距离为 ) 处的径向应变为
z
E
(
)
0
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
量取
OB1 = x B1D1 = x
得 D1 点。
o
x
D1
B1
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
量取
OB2 = y
B2D2= y
得 D2 点
o
B2
y
D2
x
D1
B1
该圆的圆心 C 点到 坐标
原点的 距离为
D1
x y
2
o
B2
B1
C
半径
r
(
x
2
y
)2
2 x
(
x
y
,0)
2
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
半径为
r
(
x
2
y
)2
2 x
此圆称为 应力圆, 或称为莫尔圆
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
(
x
2
y )
2 x
2
o
C
σ x σ y
2
2、应力圆作法
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
σy
τy
σx
σx
o
τx
τx
τy
σy
在 - 坐标系内 ,选定 比例尺
A
B
B1
2
o
c
A1
§7–5 三向应力状态分析
y
一、空间应力状态的概念
1、X 平面：法线与 X 轴平行的平面.
Y, Z 平面的定义类似。
σz
o z 前面
σy
上面
τ yx
τ yz
τ xy
τ zy τ τ xz
zx
σ右x侧面
x
第一下标
τ y 第二下标
第一下标表示剪应力所在
的平面。
第二下标表示剪应力的方向。
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .
P1
P2
A
y x
P2 z
b z
a
l
b=50mm h=100mm
A
P2 A
20KN
（拉伸）
A
3FS 2A
30MPa
（负）
§7–9 复杂应力状态的应变能密度
τ xy
τ zy τ τ xz
zx
σ右x侧面
x
二、 应力状态的分类 空间应力状态: 1 ，2 ，3 均不等于零 平面应力状态:1 ，2 ，3 中有一个等于零.
单轴应力状态:1 ，2 ，3 中只有一个不等于零
σ3
σ1 σ2
三 、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力
已知：受力物体内某一点处三个
主应力 1、2、3 。
（2）整个单元体内的最大剪应力为
max
1
2
3
最大正应力和最大剪应力
从三向应力圆中可以看出，最大正应力，最小 正应力及最大剪应力分别为
max 1
注意其位置？ min 3
max
1
3
2
§7–8 广义胡克定律 一、单拉下的本构关系
y
x
x
x
E
y
E
x
z
E
x
ij 0 ( i,j x,y,z )
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
z
E
1 E
x
y百度文库
z
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
主单元体本构关系
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
利用 应力圆 确定该点的最
1
大正应力和最大切应力, 。
2
3
1
3
2
应力圆
若受力构件内一点处的三个主应力都不等于零，则该点处
于三向应力状态。其主应力为 1、 2、 3
平行于3的方向面－其上之应力与3无关， 于是由1 、 2可作出应力圆.
y
1
max
2
3
z
x
3
2
图a
1
图b
（1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面 上的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
σz
o
xy 表示 x 平面上，沿 y 方向
z
前面
的剪应力。
σy
上面
τ yx
τ yz
τ xy
τ zy τ τ xz
zx
σ右x侧面
x
根据剪应力互等定理数值上有
xy yx yz zy zx xz
因而独立的应力分量是 6个
σx σy
σz
τ τ xy
yz
zx
y
σz
o z 前面
σy
上面
τ yx
τ yz
G
1
1 E
1
2
3
2
1 E
2
3
1
3
1 E
3
2
1
构件每单位体积的体积变化,
称为体积应变用 表示。
各向同性材料在三向应力状态 下的体积应变
2
a1 1
a2 3
a3
五、体积应变与应力分量间的关系
V dx dy dz
V1 dx(1 1 )dy(1 2 )dz(1 3 ) dx dy dz(1 1 2 3 )