运筹学第四章第2节

元素加（），对打（）0元素所在行画一条直线，
直至最后一列
(3)重复(1)(2)，可能出现三种情况
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①每一行均有打( )的0元素，则令打( )0元素处的
xij=1即为问题最优解
②所有0元素均被划去或打( ) ，但打( )的0元素个 数小于m，转第四步 ③打( )的0元素个数小于m，但未被划去的0元素之 间存在闭回路，可顺着闭回路的走向，对每个间 隔的0元素打( )，然后对所有打( )的0元素，或所在 行或所在列画一条直线
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2-3几点说明 1. 目标函数极大化问题
令B= (M-aij)m×m ，通常选取M=max{aij}， B与A同解。
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例：有四个公司分别承包四项
工程，每个公司做各项工程的利 润矩阵如下所示，试求如何分配 使总利润最大。 工程 1 公司 甲 乙 丙 丁
运动员 甲 乙 丙 丁 仰泳 75.5 65.8 67.6 74.0 蛙泳 86.8 66.2 84.3 69.4 蝶泳 66.6 57.0 77.8 60.8 自由泳 58.4 52.8 59.1 57.0
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例2：有一份说明书，要
分别译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、 工作 人 丁四个人去完成。因各人 专长不同，他们要完成翻 甲 译不同文字所需时间(h) 乙 如表4-1所示。应如何分 丙 配，使这四个人分别完成 丁 这四项任务总的时间最少。
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如果效率矩阵为：
则x11=1， x23=1， x32=1， x44=1，即将第一项工作给甲， 第二项给丙，第三项给乙，第四项给丁。此时完成 总工作的时间最短。
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理论基础
匈牙利的数学家康尼格(Konig)提出的两个基 本定理，它解决了产生和寻找零元素的问题
译 成 英 文 2 15 13 4
译 成 日 文 10 4 14 15
译 成 德 文 9 14 16 13
译 成 俄 文 7 8 11 9
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令xij=
1，分配第i个人去完成第j项任务
i=1,…,m
0，不分配第i个人去完成第j项任务 j=1,…,m
每个人只做一项工作
每项工作只能由一个人 做
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2
3
4
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解：
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2. 人数≠任务数
• 人数多于任务数：增添假想的工作
• 任务数多于人数：增添假想的人
• 其效率均为0
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3. 一个人可以做几个任务
• 将这个人看做相同的几个人，做各项任务
的效率相同
4. 某任务不能由某人做 • 将相应的效率系数取足够大的数M
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令xij=
1，分配第i个人去完成第j项任务
i=1,…,m
0，不分配第i个人去完成第j项任务 j=1,…,m
数学模型可写为：
是否线性 规划？ 是否运输 问题？
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数学模型
•Baidu Nhomakorabea体情况不同，分配问题的提法可以各种各样
效率矩阵(A=[aij])：在分配问题中，利用不同
价如下。
商店 建筑公司 A1 A2 A3 1 4 7 6 2 8 9 9 3 4
7 15 17 14 12 8
允许一家建筑公司承建一家或两家商店。怎样分配 任务，使总的建造费用最省。
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7 7 15 0 0 15 0 0 14 0 0 14 0 0 8 0 0 8 0 0 4 4 7 7 6 6 8 8 7 7 15 M 15 0 0 M 0 M 0 M 0 M 0
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4 4 7 7 6 6 8 8 7 7 15 12 0 15 12 0 14 10 0 14 10 0 8 7 0 8 7 0
9 17 9 17 9 12 9 12
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例：4家商店由3个建筑公司承建，建造费用报
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解例2： 2 4 11 4 0 0 5 () () () 2 2 0 2 ()
K=2
0
() () ()
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-2 -2 0 0
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最优方案为：x13=1, x22=1, x34=1, x41=1, 即甲将说明 书译成俄文，乙译成日文，丙译成英文，丁译成 德文，所需时间为4+4+9+11=28小时。
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§2分配问题与匈牙利法 2-1问题的提出与数学模型
m项任务 m个人
m台机器
m个工厂
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例：4*100m混合泳接力是观众最感兴趣的游泳项目之一。
现在从实例出发，研究混合泳运动员的选拔问题。
甲、乙、丙、丁是4名游泳运动员，他们各种姿势的 100m游泳成绩见表，为组成一个4*100m混合泳接力队，怎 样选派运动员，方使接力队的游泳成绩最好？
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匈牙利法步骤：
第一步：找出行最小元素，并分别从每行中减去
第二步：找出列最小元素，并分别从每列中减去
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第三步：找异行异列的0元素
(1)从第一行开始，若该行只有一个0元素，将该0
元素加（），对打（）0元素所在列画一条直线，
直至最后一行
(2)从第一列开始，若该列只有一个0元素，将该0
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例：5家商店由5个建筑公司承建，建造费用报
价如下。
商店 建筑公司 A1 A2 A3 A4 A5 1 4 7 6 6 6 2 8 9 9 7 9 3 4 5
7 15 12 17 14 10 12 8 7 14 6 10 12 10 6
为保证工程质量，经研究舍去A4，A5 ，由A1，A2， A3来承建，并允许一家建筑公司承建一家或两家商 店。怎样分配任务，使总的建造费用最省。
资源完成活动的效率通常用表格形式表示，表格 中数字组成效率矩阵。
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2-2匈牙利法
基本思想：效率矩阵的所有元素aij≥0，其中存
在一组位于不同行不同列的零元素（异行异
列），则只要令对应于这些零元素位置的xij=1， 其余xij=0，就是问题的最优值。 若没有零元素，则通过变换得到零元素
4 4 7 7 6 6
8 8
9 17 9 17 9 12 9 12
9 17 14 M 9 17 14 9 12 9 12 8 8
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4.6
25 39 34 24 0 29 31 42 37 38 26 20 33 27 28 40 32 42 36 23 45 0 0 0 M 25 39 34 24 24 29 31 42 37 38 26 20 33 27 28 40 32 42 36 23 45 27 26 20 32
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第四步： ①从矩阵未被直线覆盖的数字中找出最小数 字k ②未被直线覆盖的行中每个数字减去k ③被直线覆盖的列中每个数字减去（-k） ④得到一个新的矩阵 第五步：回到第三步，反复进行，直到找到 最优方案为止
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例：有四个公司分别承包四项
定理1：如果从效率矩阵[aij]的每一行元素中 分别减去一个常数ui，从每一列元素中分别 减去一个常数vj，得到一个新的效率矩阵[bij] 的最优解等价于[aij]的最优解。
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定理2：若矩阵A的元素可分成“0”与非“0” 两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于 位于异行异列的“0”元素的最大个数。
工程，每个公司做各项工程所需 费用矩阵如下所示，试求如何分 配使总费用最小。 工程 1 公司 甲 乙 丙 丁
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3
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解：
4 5 3 4 0 0 0 1
()
()
() ()
则最优解为：x14=1, x22=1, x33=1, x41=1,即将第一项工程 给丁，第二项给乙，第三项 给丙，第四项给甲。此时完 成工程总费用最少为17。