运筹学第四章第2节
第四章社区管理方法
2. 法律手段：权威性、强制性、稳定性、规范性
3. 经济手段：利益性、间接性、多样性 4. 思想教育手段：潜在性、长期性、主动超前性、
内在稳定性
5. 行为激励方法：目标激励、奖励激励、竞争激励
区工作者的角色；4、社区工作对象的范围和角色
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21
二、 社区发展模式
（一）建立社区发展模式背景及目标
（二）建立社区发展模式的理论
1. 沟通理论：三个层面
2. 决策理论 ：四个步骤，争论、评价、决定、经营 3. 均衡发展理论：整体的发展观念、平衡的发展
措施、民主的发展程序
4. 基层建设理论：三D理论（民主、分权、发展）；两 种发展趋势：由下而上的发展、由点而面的发展
第二节 社区管理的行政方法
一、 社区管理行政方法的涵义
社区管理主体，特别是社区行政管理主体 为履行社区的行政管理职能，实现社区 管理目标，遵循一定的规律和原则而采 用的各种手段的总称 。 二、 社区管理行政方法的类型
（一）定性的社区管理行政方法
（二）定量的社区管理行政方法
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3
定性的社区管理行政方法 ：
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18
六、效果评估
（二）社区工作效果评估原则 1、确定科学的评估方法 2、专业人士参加评估 3、评估内容的多层面 4、评估方法全面 （三）社区工作效果评估的特点 主观性、相对性、协作性、双重性
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19
第四节社区管理工作模式分析
一、社区组织的工作模式 二、社区发展模式
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9/5/2023
运筹第四章整数规划与分配问题
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
运筹学线性规划
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
运筹学--第2节(线性规划-标准型)
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
管理运筹学(第四版)第四章习题答案
目标函数值为2×30＋5×10＋1×10＋5×10＋3×25＋7×5＋6×20＋10×40＝800目标函数值为2×30＋5×10＋1×10＋5×10＋3×25＋7×5＋6×20＋10×40＝800（2）最小元素法：先从311=c 开始分配先从325=c 开始分配，需迭代4次，具体见QM 的迭代 逼近法（结果同最小元素法——先从313=c 开始分配）v j 2 2 0 u i 1 2 3 产量 0 1 2 10 7 2 8 × 7 × 2 1 2 3 2 1 0 × 2 2 4 1 3 11 3 8 8 × 3 7 × 3 2 4 4 9 2 1 5 × 5 6 -2 5 0 0 0 4 0 × 2 × 4销量757目标函数值为33。
A B C 产量 甲 18 16 21 180 乙 16 18 22 250 丙 19 14 19 320 销量 250300200用QM 解得玩 具利 润工人A B C 产量甲52 64 49 180乙54 62 48 250丙51 66 51 320销量250 300 200用QM解得即甲工人做C玩具180个，乙工人做B玩具250个，丙工人做A玩具250个，做B玩具50个，做C玩具20个。
最大利润为：70×250＋80×300＋70×200－41390＝14110元甲乙丙产量A 15 18 22 400B 21 25 16 450最低需求290 250 270最高需求320 250 350甲1 甲2 乙丙1 丙2 产量A 15 15 18 22 22 400B 21 21 25 16 16 450C M 0 M M 0 70需求290 30 250 270 80用QM解得玩具费用工人地区运费厂家地区运费厂家即A厂供给甲地区化肥150万吨，供给乙地区化肥250万吨；B厂供给甲地区化肥140万吨，供给丙地区化肥310万吨，总运费为14650万元。
运筹学 第四章 目标规划
二、目标规划模型的建立
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n) 。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 4
2、正负偏差变量 每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的 期望值之间就有正的或负的偏差。 正偏差变量 di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。 同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没 有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方 n 程。 c x d d E * 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束 (软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 7
5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4 【课堂作业】： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每 种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 3
第一节
目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。
管理运筹学教学内容
管理运筹学Ⅰ一．教学目的运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程，是管理专业一门重要的方法论课程。
通过本课程的学习，使学生获得线性规划、动态规划、网络规划、系统决策等方面的基本技能和方法，为解决实际问题和进行更高层次的学习奠定必要的方法论基础。
二．教学内容第一章线性规划基础第一节运筹学发展简史及其现代社会中的应用第二节线性规划问题的一般模型第三节线性规划问题的标准型第四节线性规划问题的图解法第二章单纯形法第一节线性规划问题的几何意义第二节单纯形法第三节对单纯形法的进一步讨论第四节对线性问题解的讨论第五节改进单纯形法及计算机程序设计第三章线性规划模型的建立第一节线性规划问题建模技巧第二节用线性规划方法求解的实际问题的类型第四章对偶问题及应用第一节对偶问题第二节对偶问题的建立第三节对偶问题的基本性质第四节对偶性质的应用第五节对偶单纯形法第六节对偶单纯形法的应用第五章线性规划问题的灵敏度分析第一节边际值及其应用第二节对C值的灵敏度分析j值的灵敏度分析第三节对aij第四节对 b 值的的灵敏度分析第五节灵敏度分析的应用示例第六章运输问题第一节运输问题的线性规划模型第二节初始基本可行解的求法第三节求检验数的方法第四节方案的调整第五节表上作业法应用举例第六节指派问题第七章整数规划第一节基本概念第二节整数规划问题的图解法第三节整数规划建模第四节割平面算法第五节分枝定界算法第六节 0—1 规划算法第八章动态规划第一节引例第二节动态规划的基本概念和基本原理第三节背包问题第四节生产计划问题第五节购销量计划问题第六节复合系统可靠性问题第七节设备更新问题第八节投资问题第九节计算机算法设计第九章线性多目标规划规划第一节例子第二节建模方法第三节求解方法第四节在决策中的应用三．教学课时安排章名称主要内容课时安排备注1线性规划基础介绍一般线性规划问题的特征、标准形及简单规划问题的图解法6课时包括习题课时间2单纯形法单纯形法的思想与求解过程、线性规划解的讨论63线性规划建模从三个方面讲述建立线性规划模型的方法34对偶问题及应用对偶问题的一般理论及应用65灵敏度分析灵敏度分析方法与应用56运输问题运输问题表上作业法的建模、求解方法、应用，指派问题的求解67整数规划求解整数规划的方法——割平面、分支定界、隐枚举法58动态规划动态规划的概念、基本原理与应用59线性多目标规划多目标规划及其在决策中的应用3总复习3总课时4855运筹学Ⅱ一．教学目的运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程，是管理专业一门重要的方法论课程。
运筹学第四章习题答案
即:4y1+6y2=﹣8 ① 又由于原问题的最优解X1*＞0,X2*＜0是松约束,故对偶问题的 约束必为紧约束,即对偶问题的前两个约束必为等式:
y1+y2=﹣2 y1+ky2=﹣2 ∴由①②解得y1*=﹣2 Y*=(﹣2,0)
② ③ y2*=0,即对偶问题的最优解为
将y1*,y2*的值代入③式得k=﹣1
（2）max z=4x1－2x2+3x3－x4
X1+x2+2x3+x4≤7
2x1－x2+2x3－x4=﹣2
s、t
X1－2x2+x4≥﹣3
X1、x3≥0 x2、x4无符号约束
解：其对偶问题为：
Min w=7y1－2y2－3y3
y1+2y2+y3≥4
y1－y2－2y3=﹣2
s、t
2y1+2y2≥3
y1－y2+y3=﹣1
y1≥0 y2无符号约束 y3≤0
4、已知线性规划问题：
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4≤20
s、t
2x1+x2+3x3+2x4≤20
xj≥0 j=1、2、3、4
其对偶问题最优解为y1=1.2 y2=0.2,由对偶理论直接求出原问题的 最优解。
解：将Y*=（1.2，0.2）代入对偶问题的约束条件：
１、写出下列线性规划问题的对偶问题。
（１）min z=x1+x2+2x3
X1+2x2+3x3≥2
2x1+x2－x3≤4
s.t
3x1+2x2பைடு நூலகம்4x3≤6
运筹学课件第二节图解法
尽管最优点的对应坐标可以直接从图中 给出，但是在大多数情况下，对实际问题准 确地看出一个解答是比较困难的。所以，通 常总是用解联立的坐标值我们可以通过求解 下面的联立方程，即求直线AB和CD的交点 来求得。
直线AB: 1/3x1+1/3x2=1 直线CD: 1/3x1+4/3x2=3
s . t 1 1 / / 3 3 x x 1 1 + + 4 1 / / 3 3 x x 2 2 1 3 x 1 , x 2 0
该线性规划的可行域为上图中四边形
OAED〔即阴影区〕，虚线为目的函数等值线， 箭头为目的函数值递增的方向。沿着箭头的
方向平移目的函数等值线，发现平移的最终
令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数，在图中画出直线 2x1+3x2=c,这条直 线上的点即对应着一个可行的消费方案，即使两种产品的总利润到达c。
这样的直线有无数条，而且互相平行，称这样的直线为目的函数等值线。只要画出 两条目的函数等值线，比方令c＝0和c=6，就能看出
目的函数值递增的方向，
x2
最最优优解的确点实,目定的:m函可a数行x 的域Z Z使值目2逐的x渐1函增数x大到2 ，达 一直挪动到目的函 数的5直x 2线与1约5 束条
6x1+2x2=24
件包5x围2=成15的凸多s t .边 形6 x相x1 1切 时2 xx为2 2 止 5，2 4切
x 1 , x 2 0
0 x2=-2x1+Z
根本概念：
凸集——假如集合C中任意两个点X1,X2，其连线上的所有 点也都是集合C中的点，那么称C为凸集．
用数学解析式表示：假设任意两点X１∈C，X2∈C的连线上的 一切点：
运筹学 第4章 表上作业法
2.1 确定初始基可行解
表 3-5 和表3-6
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1 A2 A3 销量
7
3
4
9
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
12
2.1 确定初始基可行解
第二步：在表3-6未划去的元素中再找出最小运价2，确定A2多余的1吨供应B3， 并给出表3-7，表3-8。
• (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判 别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到 下一步。
• (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。在表上用 闭回路法调整。
• (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
7
第2节 表上作业法
• 例1 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。每日的 产量分别是：A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公司 把这些产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量 为：B1为3吨，B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从 各工厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。问 该公司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的前 提下，使总运费为最少。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
3
1
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
13
2.1 确定初始基可行解
运筹学习题答案(第四章)(课堂PPT)
Ⅰ
1500
6
Ⅱ
2000
4.5
Ⅲ
1000
3
page 9 28 April 2020
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
表4-14
商标
兑制要求
售价（元/kg）
红
Ⅲ少于10% Ⅰ多于50%
5.5
黄
Ⅲ少于70% Ⅰ多于20%
5.0
蓝
Ⅲ少于50% Ⅰ多于10%
4.8
解：x11 1125, x12 300, x13 75, x21 1125,
x2
d1
d
2
d3
d1
d
2
d3
150 40 40
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0, i
1,2,3
解：x1
55, x2
40,
d
2
15
满足P1，不满足P2
page 3 28 April 2020
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
min
P1
(d
3
d
4
第四章习题解答
解：目标规划模型如下：
min
P1d1
,
P2
(d
2
d
3
d
4
),
P3d
5
,
P4
d
6
x1 x2 x3 1000
x1
d1
d1
300,
x2
d
3
d
3
350,
x1
运筹学第四章
第 5 次课 2学时本次课教学重点：建立数学模型本次课教学难点：建立数学模型本次课教学内容：第四章线性规划在工商管理中的应用第一节人力资源分配的问题例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解：设x i( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0第二节生产计划的问题例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
第4章 最优化方法(运筹学)
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知： 项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%； 项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元； 项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但 规定最大投资额不能超过80万元； 项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但 规定最大投资额不能超过100万元。 问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥 有资金的本利金额为最大？
欧洲的古代城堡为什么建成圆形？
案例：生产计划问题
例1.
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的 生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元资源限制 300 来自时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能
使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解
（Excel，lingo）
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 1、合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下， 下料最少 2、配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润 3、投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报 最大 4、产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等， 使获利最大 5、劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6、运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
《运筹学》课程标准
《运筹学》课程标准一、课程编号1070100402二、课程名称运筹学三、课程类型理论课四、开课系（部）国际经贸学院物流系五、大纲说明1．学时、学分数、课程性质、考试方式、成绩评定运筹学课程是高等院校的经济管理专业和工科控制类培养方案中的一门必修专业基础课，也是高等院校工科其它专业的选修基础课或专业基础课。
它为培养高级经济、管理、技术人才的目标服务，在人才培养的过程中起着很重要的训练作用。
通过这门课程的学习，使学生获得系统最优化的基本知识、必要的基础理论和常用的思维方式及运算方法。
培养学生的分析思维能力和比较熟练的运算能力。
从而使学生感受到用高等数学、线性代数、概率论和数理统计等数学方法去研究和解决实际问题以及运用这些数学思想方法和计算机软件解决各种系统的最优问题和实际问题等的初步训练，为提高学生的基本素质和后继课程的学习以及进一步扩大应用数学知识解决实际问题奠定良好的基础。
3．主要先修与后续课程主要先修课程：高等数学、线性代数、概率论主要后续课程：仓储与配送管理、供应链管理、物流案例与实践六、教学内容（按照章节来编写）第一章绪论【教学目的和要求】本章介绍了本课程的释义与发展历史、运筹学研究的基本特征与基本方法、运筹学主要分支简介和运筹学与管理、控制科学，使学生了解本课程起点高、内容新、研究面广、应用性强、学习难度也很大。
【理论教学时数】 2学时【教学方法与手段】讲授法、讨论法、演示法、练习法。
【理论教学内容】第一节运筹学释义与发展简史第二节运筹学的基本特征与基本方法第三节运筹学主要分支简介第四节运筹学与其他学科的关系第二章线性规划【教学目的和要求】本章讨论了线性规划问题的数学模型、两变量的几何解法、求解线性规划问题的单纯形法的原理和方法，并对求解和应用中遇到的一些问题，以及用表格和矩阵进行计算的讨论。
本章要求了解线性规划问题的数学模型；熟练掌握单纯形法；会解决求解和应用中遇到的一些问题；理解单纯形法的矩阵描述。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章
27
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
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2.1.4 线性规划问题的解的概 念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最 大值的可行解称为最优解。
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2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变 量，把原“≤”型不等式变为等式约束； 若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩 余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
运筹学大M法和两阶段法
Cj-Zj
→ 4M -6M+3 M-1 3M-1 0 -M
0
0
检验数判断
1. 检验数Cj-Zj=aM+b：当a<0时，认为检验数为负； 当a>0时，认为检验数为正。
2. 若最终检验数Zj-Cj均为非正，而b列中对应的检 验数Cb-Zb（即最优值）中仍有M存在，说明没 有得到确定的最优值，可以解释为约束条件过 于苛刻，该线性规划问题无可行解。
第二节 大M法和两阶段法
▪ 如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单 位向量组，解题时应先加入人工变量，人工地构成 一个单位向量组。
▪ 人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。 ▪ 两种方法可控制人工变量取值。
➢ 大M法 ➢ 两阶段法
例
min F 3x1 x2 x3 s.t. x1 2x2 x3 11 4x1 x2 2x3 3 2x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3
解：引入松弛变量x4、剩余变量x5， 将数学模型标准化
max F ' 3x1 x2 x3 s.t. x1 2x2 x3 x4 11 4x1 x2 2x3 x5 3 2x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3,4,5
观察约束条件系数矩阵A
1 2 1 1 0 A 4 1 2 0 1
-2
1
1
0
0
0
-M 1
x6
3
-4
1
20-110-M x71 -2
0
1
0
0
0
1
Cj-Zj →
Cj → 0 段
↓基 b
3 -1 -1 0 0 -M -M θi 注
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7
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译 成 英 文 2 15 13 4
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译 成 俄 文 7 8 11 9
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令xij=
1，分配第i个人去完成第j项任务
i=1,…,m
0，不分配第i个人去完成第j项任务 j=1,…,m
每个人只做一项工作
每项工作只能由一个人 做
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4 4 7 7 6 6
8 8
9 17 9 17 9 12 9 12
9 17 14 M 9 17 14 9 12 9 12 8 8
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4.6
25 39 34 24 0 29 31 42 37 38 26 20 33 27 28 40 32 42 36 23 45 0 0 0 M 25 39 34 24 24 29 31 42 37 38 26 20 33 27 28 40 32 42 36 23 45 27 26 20 32
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2-3几点说明 1. 目标函数极大化问题
令B= (M-aij)m×m ，通常选取M=max{aij}， B与A同解。
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例：有四个公司分别承包四项
工程，每个公司做各项工程的利 润矩阵如下所示，试求如何分配 使总利润最大。 工程 1 公司 甲 乙 丙 丁
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例：5家商店由5个建筑公司承建，建造费用报
价如下。
商店 建筑公司 A1 A2 A3 A4 A5 1 4 7 6 6 6 2 8 9 9 7 9 3 4 5
7 15 12 17 14 10 12 8 7 14 6 10 12 10 6
为保证工程质量，经研究舍去A4，A5 ，由A1，A2， A3来承建，并允许一家建筑公司承建一家或两家商 店。怎样分配任务，使总的建造费用最省。
工程，每个公司做各项工程所需 费用矩阵如下所示，试求如何分 配使总费用最小。 工程 1 公司 甲 乙 丙 丁
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Байду номын сангаас
解：
4 5 3 4 0 0 0 1
()
()
() ()
则最优解为：x14=1, x22=1, x33=1, x41=1,即将第一项工程 给丁，第二项给乙，第三项 给丙，第四项给甲。此时完 成工程总费用最少为17。
元素加（），对打（）0元素所在行画一条直线，
直至最后一列
(3)重复(1)(2)，可能出现三种情况
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①每一行均有打( )的0元素，则令打( )0元素处的
xij=1即为问题最优解
②所有0元素均被划去或打( ) ，但打( )的0元素个 数小于m，转第四步 ③打( )的0元素个数小于m，但未被划去的0元素之 间存在闭回路，可顺着闭回路的走向，对每个间 隔的0元素打( )，然后对所有打( )的0元素，或所在 行或所在列画一条直线
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4 4 7 7 6 6 8 8 7 7 15 12 0 15 12 0 14 10 0 14 10 0 8 7 0 8 7 0
9 17 9 17 9 12 9 12
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例：4家商店由3个建筑公司承建，建造费用报
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匈牙利法步骤：
第一步：找出行最小元素，并分别从每行中减去
第二步：找出列最小元素，并分别从每列中减去
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第三步：找异行异列的0元素
(1)从第一行开始，若该行只有一个0元素，将该0
元素加（），对打（）0元素所在列画一条直线，
直至最后一行
(2)从第一列开始，若该列只有一个0元素，将该0
价如下。
商店 建筑公司 A1 A2 A3 1 4 7 6 2 8 9 9 3 4
7 15 17 14 12 8
允许一家建筑公司承建一家或两家商店。怎样分配 任务，使总的建造费用最省。
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7 7 15 0 0 15 0 0 14 0 0 14 0 0 8 0 0 8 0 0 4 4 7 7 6 6 8 8 7 7 15 M 15 0 0 M 0 M 0 M 0 M 0
资源完成活动的效率通常用表格形式表示，表格 中数字组成效率矩阵。
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2-2匈牙利法
基本思想：效率矩阵的所有元素aij≥0，其中存
在一组位于不同行不同列的零元素（异行异
列），则只要令对应于这些零元素位置的xij=1， 其余xij=0，就是问题的最优值。 若没有零元素，则通过变换得到零元素
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解：
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2. 人数≠任务数
• 人数多于任务数：增添假想的工作
• 任务数多于人数：增添假想的人
• 其效率均为0
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3. 一个人可以做几个任务
• 将这个人看做相同的几个人，做各项任务
的效率相同
4. 某任务不能由某人做 • 将相应的效率系数取足够大的数M
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第四步： ①从矩阵未被直线覆盖的数字中找出最小数 字k ②未被直线覆盖的行中每个数字减去k ③被直线覆盖的列中每个数字减去（-k） ④得到一个新的矩阵 第五步：回到第三步，反复进行，直到找到 最优方案为止
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例：有四个公司分别承包四项
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令xij=
1，分配第i个人去完成第j项任务
i=1,…,m
0，不分配第i个人去完成第j项任务 j=1,…,m
数学模型可写为：
是否线性 规划？ 是否运输 问题？
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数学模型
•具体情况不同，分配问题的提法可以各种各样
效率矩阵(A=[aij])：在分配问题中，利用不同
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§2分配问题与匈牙利法 2-1问题的提出与数学模型
m项任务 m个人
m台机器
m个工厂
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例：4*100m混合泳接力是观众最感兴趣的游泳项目之一。
现在从实例出发，研究混合泳运动员的选拔问题。
甲、乙、丙、丁是4名游泳运动员，他们各种姿势的 100m游泳成绩见表，为组成一个4*100m混合泳接力队，怎 样选派运动员，方使接力队的游泳成绩最好？
定理1：如果从效率矩阵[aij]的每一行元素中 分别减去一个常数ui，从每一列元素中分别 减去一个常数vj，得到一个新的效率矩阵[bij] 的最优解等价于[aij]的最优解。
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定理2：若矩阵A的元素可分成“0”与非“0” 两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于 位于异行异列的“0”元素的最大个数。
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解例2： 2 4 11 4 0 0 5 () () () 2 2 0 2 ()
K=2
0
() () ()
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-2 -2 0 0
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最优方案为：x13=1, x22=1, x34=1, x41=1, 即甲将说明 书译成俄文，乙译成日文，丙译成英文，丁译成 德文，所需时间为4+4+9+11=28小时。
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如果效率矩阵为：
则x11=1， x23=1， x32=1， x44=1，即将第一项工作给甲， 第二项给丙，第三项给乙，第四项给丁。此时完成 总工作的时间最短。
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理论基础
匈牙利的数学家康尼格(Konig)提出的两个基 本定理，它解决了产生和寻找零元素的问题
运动员 甲 乙 丙 丁 仰泳 75.5 65.8 67.6 74.0 蛙泳 86.8 66.2 84.3 69.4 蝶泳 66.6 57.0 77.8 60.8 自由泳 58.4 52.8 59.1 57.0
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例2：有一份说明书，要
分别译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、 工作 人 丁四个人去完成。因各人 专长不同，他们要完成翻 甲 译不同文字所需时间(h) 乙 如表4-1所示。应如何分 丙 配，使这四个人分别完成 丁 这四项任务总的时间最少。