《基本不等式》第二课时参考教案
人教版高中数学复习 2.2基本不等式满分教学案(二)
2.2基本不等式（二）一、学习目标：1.掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释，提升数学抽象的核心素养；2.会用基本不等式解决简单问题，强化逻辑推理和数学运算的核心素养.学习重点：基本不等式的定义，证明方法和几何解释.学习难点：基本不等式的证明过程，用基本不等式解决简单的最值问题.导学检测及课堂展示材，完成右概念复习(1)重要不等式：对于任意实数ba、，都有，当且仅当时，等号成立．(2)基本不等式：，当且仅当时，等号成立．其中abba和2+分别叫做正数ba、的和．（3）基本不等式表明：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．新课教学阅读教材46P例题3，47P例题4.【即时训练1】教材48P练习第2题.材，完探究1：利用基本不等式证明不等式【例】已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：⎝⎛⎭⎪⎫1a－1⎝⎛⎭⎪⎫1b－1⎝⎛⎭⎪⎫1c－1≥8. 【即时训练2】1．已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.探究2：基本不等式的实际应用【例】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？ 【即时训练2】1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．三、巩固诊断。
【A 层】1若不等式9x ＋a 2x≥a ＋1(常数a ＞0)对一切正实数x 成立，求a 的取值范围．【B 层】2．(2020·聊城高一检测)设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2【C 层】3．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．【闯关题】已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .。
人教版高中数学必修⑤3.4《基本不等式(二)》教学设计
课题：必修⑤3.4基本不等式（二）三维目标：1、知识与技能（1）在上一节的基础上再通过各种运用，进一步理解、掌握基本不等式的本质，熟练运用此性质的等价形式灵活地解决相关问题，提高解决此类问题的技能；（2）能用不等式的基本性质论证简单的不等式，并进一步运用基本不等式解决生活中的应用问题。
2、过程与方法（1）在熟悉基本不等式性质的基础上，引领学生在应用问题中进一步合作探索，然后再通过相应的问题（尤其是相关的实际问题的最值问题）的解决，加深学生对定理的理解，并为以后解决综合问题究奠定良好的基础；（2）通过简单得不等式的判断、论证，培养学生推理论证的逻辑性、严密性，从而逐步培养学生良好的数学品质。
3、情态与价值观（1）继续培养学生数形结合、等价转化、等与不等辩证的数学思想；(2) 通过对不等式知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍了解的辩证思想。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：基本不等式与的进一步应用教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵（a与b或许是一个式子），注意运用不等式求最大（小）值的条件教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★上两节课，我们学习了基本不等式，并且体会到在实际问题中的应用，感受到不等式在实际生活中的更广泛运用。
下面，首先我们一起回顾一下这些知识和方法：一般的，如果特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，简单回顾上节从实际问题中抽象出基本不等式的情景这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?【问题1】我们把“风车”造型抽象成图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？学生答：，【问题2】那4个直角三角形的面积和呢？学生答：【问题3】根据观察4个直角三角形的面积和与正方形的面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式呢？。
3.4基本不等式第2课时精品教案
3.42a b+≤【课题】3.4.22a b+≤的应用 【教学目标】12a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题22a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】2a b+≤的应用 【教学难点】2a b+≤求最大值、最小值。
值是A.233 cm 2B.4 cm 2C.32 cm 2D.23 cm 2解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ） cm ，则S =43（3x ）2+43（312x -）2=183（x 2－12x +72）=183［（x －6）2+36］≥23. 答案：D 2． 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解析：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000xx l ++=29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元答案：当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元3一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解析：法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2答案：菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 24.建筑一个容积为8000 m 3、深6 m 的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元／米2，池底造价为2a 元／米2，把总造价y 元表示为底的一边长x m 的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m 时总造价最低是___________元.解析：设池底一边长x （m ），则其邻边长为x 68000（m ），池壁面积为2·6·x ＋2·6·x68000＝12（x ＋x 68000）（m 2），池底面积为x ·x 68000＝68000（m 2），根据题意可知蓄水池的总造价y （元）与池底一边长x （m ）之间的函数关系式为y ＝12a （x ＋x 68000）＋38000a .定义域为（0，＋∞）.x ＋x 68000≥2x x 68000⋅＝34030（当且仅当x =x 68000即x =32030时取“=”）.∴当底边长为32030 m 时造价最低，最低造价为（16030a ＋38000a ）元. 答案：y =12a （x +x 68000）+38000a （0，+∞） 32030 16030a +38000a5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x （x ∈N ）的关系为y =－x 2+12x －25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.A.2B.4C.5D.6解析：设年平均利润为g （x ），则g （x ）=x x x 25122-+-=12－（x +x 25）.∵x +x25≥2x x 25⋅=10，∴当x =x25，即x =5时，g （x ）max =2. 答案：C6如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比现有制箱材料60平方米，问a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A 、B 孔面积忽略不计)解析：法一：设y 为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数依题意要使y 最小，只需求ab 的最大值由题设得：4b ＋2ab ＋2a ＝６0 （a ＞0，b ＞0） 即a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0)∵a ＋2b ≥2ab 2 ∴2ab ⋅2＋ab ≤30 当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 有最大值∴当a ＝2b 时有2ab ⋅2＋ab ＝30,即b 2＋2b －1５＝0解之得：b 1＝3，b 2＝－５（舍去)∴a ＝2b ＝６故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少解析：法二：设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0）∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝aa+-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 ∴y ＝264322302+-+-=+-=a a ka a a k ab k ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k≥18264)2(234k a a k=+⨯+- ∴当且仅当a ＋2＝264+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18 故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少答案：当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
《基本不等式(第2课时)》教学设计
第三章 不等式3.4.2 基本不等式第二课时（王乙橙）一、教学目标1.核心素养: 通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.2.学习目标（12a b+≤（2）熟练应用基本不等式求最值；（3）能够应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 3.学习重点通过师生共同研究，进一步掌握基本不等式2a b+≤，并会用此不等式求最大、最小值. 4.学习难点基本不等式求最值中取等的条件；“一正二定三相等”中定值的运用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1.基本不等式ab ≤a+b2及其应用，注意常用的一些结论：(1)a 2+1 2a (2)a +1a 2(a >0) (3)b a +a b 2(a,b 同号) （4）2___()2a b ab +2.预习自测1、已知x 、y 都是正数，xy =15，则x ＋y 的最小值为答案：2、已知x 、y 都是正数，x +y =15，则xy 的最大值为 答案：22543、已知x 、y ＞0，且x +y =1,则P =x +1x +y +1y 的最小值为 .答案：5 二、解答题3、设x 、y 满足x +4y =40,且x,y ∈R +,求lg x +lg y 的最大值. 解析：2,,4404040,10.lg lg lg(404)lg lg(404)lg 4(10)0,10.100(10)lg 4(10)lg 4lg1002210,5,20lg lg 2.x y R x y x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y +∈+=∴=-><∴+=-+=-⋅=-><∴->-+⎡⎤∴-≤⨯==⎢⎥⎣⎦-===∴+即又等号成立时的最大值为（二）课堂设计 1.知识回顾比较两个不等式222a b ab +≥2a b+的异同点 2.问题探究问题探究一 如何利用函数单调性求最值●活动一 例1 已知函数f (x )＝x ＋ax (a >0).(1)证明：f (x )在区间(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数； (2)求f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值. 【解析】 (1)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)＋(a x 2－ax 1)＝(x 2－x 1)＋a (x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－ax 1x 2)＝(x 2－x 1)x 1x 2(x 1x 2－a )，当0<x 1<x 2≤a 时，x 1x 2<a . ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). 当x 2>x 1≥a 时，x 1x 2>a .∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1).故f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. ∴函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的图像如图所示.(2)由(1)可知f (x )在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (a )＝2a .【点拨】基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b 均大于0)求最值(值域)时，必须具备“一正、二定、三相等”的条件.如果“相等”条件不具备就可能造成错解.为了解决这个问题，我们引进一个函数f (x )＝x ＋ax (a >0)，利用它的单调性来完善上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的补充. ●活动二 思考：函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值是不是2？如不是，应为多少？ 【解析】 不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1，但此式不成立.应用单调性求解：设t ＝x 2＋2(t ≥2)，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴最小值为2＋12＝322. ●活动三 思考：求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值. 【解析】 令t ＝sin x ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1].由例1(1)知函数f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,2]上是单调减函数，∴f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,1]上也单调递减.∴f (t )≥f (1)＝5，故y min ＝5.问题探究二 如何利用基本不等式求代数式的最值●活动一 思考：x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值. 【解析】 ∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·(x ＋2y )＝3＋x y ＋2y x ≥3＋2x y ·2yx ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y xx ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝2－1y ＝1－22时取等号.故1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.●活动二 思考：x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.方法一 【思路分析】 减少元素个数.根据条件1x ＋9y ＝1解出y ，用只含x 的代数式表示y ，代数式x ＋y 转化为只含x 的函数，再考虑利用基本不等式求出最值. 【解析】 由 1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.∵x >0，y >0，∴y >9. x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0， ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号. 又1x ＋9y ＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 【思路分析】 在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法.【解析】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x>0，y>0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号.又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.【点拨】(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小.多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值.(2)注意“1”的代换技巧.(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2 4.∴1x＋1y≥2xy≥82＝4 2.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立.●活动三及时回馈：(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值.【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋2 2.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.问题探究三●活动一思考：若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的范围；(2)a＋b的范围.【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3，即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号.(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.令t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 【点拨】利用方程的思想是解决此类问题的常规解法. 第②问也可用如下方法解之：由已知b ＝a ＋3a －1>0， ∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6. ●活动二 思考：正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________.【解析】 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18. 问题探究四 利用基本不等式证明不等式●活动一 思考：已知a,b,c,d 都是实数，且+=1,+=1,求证：≤1.【证明】 ∵a,b ，c ，d 都是实数，所以22222222222a cb d ac bd ac bd ac bd ++++++≤+≤+=又∵+=1,+=1,∴≤1.●活动二 思考：a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.【解析】 b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ). ∵a >0，b >0，c >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.同理，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2. ∴b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.【点拨】解题过程中，把数、式合理地分拆，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧.在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律.●活动三 思考：(1)已知a 、b 、c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc . (2)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】（1） 左边＝a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)≥a ·2bc ＋b ·2ca ＋c ·2ab ＝6abc ＝右边，∴不等式成立. （2）∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 3.课堂总结 【思维导图】【重难点突破】利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑. （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值. （3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”. 4.随堂检测1.下列函数中，最小值为4的函数是( )A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81 【知识点：基本不等式，取等条件】 解：C2.已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2则1x ＋13y 的最小值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3【知识点：基本不等式，对数运算性质】 解：C3. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C.5D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.4.已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：(－∞，94]5.设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，对数运算性质】解：[6，＋∞)（三）课后作业基础型自主突破1.若x，y∈R，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值()A.10B.6 3C.4 6D.18 3 【知识点：基本不等式，指数式】解：D2.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）.A.－3B.2C.3D.8 【知识点：基本不等式，取等条件】解：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C3.若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为_____.【知识点：基本不等式】解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号.答案94.已知a>3，求a＋4a－3的最小值为.【知识点：基本不等式，配凑】解：75.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值.【知识点：基本不等式】 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立. 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 能力型 师生共研1. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.2.已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为（ ）A.72B.4C.16136D.172【知识点：基本不等式】解：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号.又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D3.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【知识点：基本不等式】解 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案：64.设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x ＝32，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫即x 2＝1＋y 22时，x 1＋y 2取得最大值324.探究型 多维突破1.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94 【知识点：基本不等式综合应用】解：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值. z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C2.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.1B.6C.9D.16【知识点：基本不等式综合应用】解：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1， 所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ， 所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B自助餐1.设0,0a b >>，若2是22a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为( )A.8B.4C.2D.1【知识点：基本不等式，等比数列】解：D2.（2013·重庆卷）(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92 C.3 D.3 22【知识点：基本不等式】解：B因为－6≤a≤3，所以(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时等号成立，故选B.3.设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为()A.3＋2 2B.6C.4 2D.2 2【知识点：基本不等式】解：A4.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n使得a m a n＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32 B.53 C.94 D.256【知识点：基本不等式，等比数列】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). 因为a m a n＝4a1，所以q m＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以1m＋4n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝32.当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值等于32.答案：A6.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.6，＋∞)【知识点：基本不等式，恒成立】解：D7.已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：由a ＋b 2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤ 2×(3x )2＋(2y )2＝2×3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号. 答案：2 58.若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：因为不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，所以16≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y min .令f (x )＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y (a >0)，则f (x )＝a ＋4＋ay x ＋4xy ≥a ＋4＋2ay x ·4xy ＝a ＋4＋4a ，当且仅当x y ＝a2时取等号，所以a ＋4a ＋4≥16，解得a ≥4， 因此正实数a 的最小值为4. 答案：49.下列命题中正确的是________(填序号). ①y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－43； ②y ＝sin 2x ＋4sin 2x 的最小值是4； ③y ＝2－3x －4x (x ＜0)的最小值是2－4 3. 【知识点：基本不等式综合应用】解：①正确，因为y ＝2－3x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x ＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立.②不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋4 t，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.③不正确，因为x＜0，所以－x＞0，最小值为2＋43，而不是2－4 3. 答案：①10.已知a>b>c，若1a－b＋1b－c≥na－c，求n的最大值.【知识点：基本不等式】解：方法一∵1a－b＋1b－c≥na－c，且a>b>c，∴n≤a－ca－b＋a－cb－c＝(a－c)2(a－b)(b－c).∵对a、b、c上式都成立，∴n≤[(a－c)2(a－b)(b－c)]min.又∵(a－c)2(a－b)(b－c)≥(a－c)2[(a－b)＋(b－c)2]2＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.方法二∵a>b>c，∴a－ca－b＋a－cb－c＝(a－b)＋(b－c)a－b＋(a－b)＋(b－c)b－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.11.（2015高考重庆）设,0,5a b a b>+=,.【知识点：基本不等式】解：23由222ab a b≤+两边同时加上22a b+得222()2()a b a b+≤+两边同时开方即得：a b+≤0,0a b>>且当且仅当a b=时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）. 12.为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10。
高中数学：基本不等式(二)教案新课标人教A版必修5
如何构造定值并保证利用基本不等式求最值时能满足三个条件.
教学过程
设计意图
一、情景引入：货物运输问题
进货结束后装车运回。所购大米需装3辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？
分层作业考虑学生的差异性，让各个阶段的学生学有所获。
层次分明
三、练习巩固：
三、小结
基本不等式的三个条件:
(1)不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；
(2)不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；
（构造：积为定值或和为定值）
(3)不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；
四பைடு நூலகம்布置作业
校本教材（同步训练） P35页练习
板书设计：
3.4基本不等式（二）
基本不等式（二）教案
课题
3.4基本不等式（二）
课型
习题课
授课教师
时间
教学目标
1、知识目标：进一步理解基本不等式成立的三个条件.
2、能力目标：熟练构造定值利用基本不等式求定值。.
3、德育目标：通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题。
教学重点
利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等.
函数模型为：
二、例题讲解：
例1：
激发学生学习的积极性，在复习旧知识的基础上为新课教学做好必要的铺垫。
通过例1探索：
运用不等式“正值”的条件和“积为定值”的构造。
变式一、二引导学生完成，进一步理解一正二定的前提条件，通过学生反馈学生理解知识过程中出现的问题，强化学生对基本不等式成立条件的认识。
2.2基本不等式(第二课时)教学设计
2.2基本不等式（第二课时）教学设计一、教材分析本节课是人教A版数学必修第一册第二章第二节《基本不等式》，共2课时，本节为第二课时。
本节课是在上一节学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单的应用基础上进行的，进一步学习基本不等式的应用，包括数学中的应用与实际中的应用，利用基本不等式解决简单的最值问题。
二、学情分析本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。
学生在上一节学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，运用基本不等式解决生活中的应用问题，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。
三、教学目标1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题四、教学重点、难点重点：用基本不等式解决简单的最大(小)值问题难点：运用基本不等式解决生活中的应用问题五、教法与学法分析1.教法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的变式教学方法。
课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，加强引导学生通过自己的观察、思考等活动自主构建知识，引导学生自己归纳出本节课的核心：求和的最小值，要构造积为定值，积定和最小；求积的最大值，要构造和为定值，和定积最大。
同时通过例题引导学生归纳出利用基本不等式解决实际问题的步骤。
以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思考，倡导合作学习与独立思考相结合，有效地调动学生思维。
2.学法指导启发学生学会配凑项、配凑系数、“1”的代换等等价变形，构造和是定值或者积是定值，利用不等式求最值，体会转化化归的数学思想，体会利用基本不等式求最值体现的是和积互化的过程。
六、课型课时、教学准备1.课型：新授课2.课时：1课时3.教学准备：多媒体、实物投影、展台、话筒等七、教学流程图引出课题（复习导入）知识链接（知识储备）探究一（例1（1）（2））探究二（例2（1）（2）、例3）当堂检测（变式、拓展提升）反思小结（课堂小结）3分钟5分钟10分15分7分钟5分钟八、教学内容及过程（一）引出课题多媒体动态展示思维导图：上一节课我们学习了基本不等式的定义、几何解释、证明方法以及简单的应用，这一节课我们进一步学习基本不等式的应用，基本不等式的应用包括数学中的应用与实际中的应用，这两种应用都是利用基本不等式解决简单的最值问题。
高中数学基本不等式(二)教案新课标人教A版必修5
小结：
通过例2及变式一、二阐明解决函数最值问题可以转化为二次函数解决，也可以通过基本不等式解决。例2构造和为定值而并非积为定值，强调如何构造定值要根据题设决定，从而使学生对不等式成立的条件有更深刻的认识。
小组讨论、合作交流促进学生积极地思考，体验构造定值的思维过程。
理清本节课的学习重点，养成归纳总结的学习习惯，为后续学习打下良好的基础。
教学难点
如何构造定值并保证利用基本不等式求最值时能满足三个条件.
教学过程
设计意图
一、情景引入：货物运输问题
进货结束后装车运回。所购大米需装3辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？
函数模型为：
二、例题讲解：
例1：
激发学生学习的积极性，在复习旧知识的基础上为新课教学做好必要的铺垫。
通过例1探索：
运用不等式“正值”的条件和“积为定值”的构造。
变式一、二引导学生完成，进一步理解一正二定的前提条件，通过学生反馈学生理解知识过程中出现的问题，强化学生对基本不等式成立条件的认识。
。
例2：
基本不等式（二）教案
课题
3.4基本不等式（二）
课型
习题课
授课教师
时间
教学目标
1、知识目标：进一步理解基本不等式成立的三个条件.
2、能力目标：熟练构造定值利用基本不等式求定值。.
3、德育目标：通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题。
教学重点
利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等.
三、练习巩固：
基本不等式第二课时参考教学方案
1．运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；
2．能将某些生活中的最值问题转化为基本不等式两种最值模型中的一种，提高用模型思想解决问题的能力．
教学重点：用基本不等式解决生活中的最值问题．
教学难：判断生活中的最值问题是否属于能够用基本不等式最值模型解决的两类最值问题．
预设学生回答：基本不等式能解决以下两类最值问题：（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果正数x，y的和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．
设计意图：本节课的重点是用基本不等式解决生活中的最值问题．通过回顾知识，初步了解解决问题的思路和方向．有助于学生严密的逻辑思维、良好的认知结构的建立和完善．
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：（1）水池的总造价和什么有关？（2）怎样设元，得到水池的总造价表达式？学生合作进行讨论，得到总造价的表达式．
预设的答案：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元，则 ．
追问1：此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？
3．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得2（a+b）=36，即a+b=18．
因为旋转形成的圆柱的侧面积为：2πab，所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，由基本不等式得： ，当且仅当a=b=9时取等号．
故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
师生活动：学生自主反思总结，并回答问题，教师帮助梳理：先从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；然后，根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解；最后，用求得的结果解释实际问题．
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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合作探究 提素养
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(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
《基本不等式》第二课时精品教案
教学重点难点应用理解基本不等式，学会用基本不等式 求函数最值及求最值应注意的条件。
教学过程
设计意图
活动一:知识回顾
（1）重要不等式_________________
（2）基本不等式__________________
活动二：问题探索
《基本不等式》应用教学设计
课型：新授课授课人：张露授课班级：高二（3）班
教学目标
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照提出问题→剖析归纳证明→应用（最值的求法）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
小结：一般地，型如
活动三：课堂合作学习
活动四：能力训练
活动五：课后练习
总结：（1）从特殊到一般，总结方法，举一反三，提高能力。
（2）掌握配凑法
（3）基本不等式求最值条件：一正，二定，三等
活动六：作业书P100A组B组
活动一的设计意图让同学们快速进入课堂，复习均值不等式，特别注意等号
探究1设计意图:
通过类比，引导学生对均值不等式求最值应该注意哪些条件。
探究2设计意图
给出函数形式求最值，
掌握用不等式求函数最值中的拼凑技巧,意在介绍求最值中的“定掌握一定的技巧，让学生学会用均值不等式求解。同时意在介绍求最值中的“等”。
基本不等式(第2课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
学习目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
核心素养1. 通过实例，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养；2. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；3. 会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养。
重点：利用基本不等式求最值；利用基本不等式解决实际应用问题．难点：基本不等式的应用；基本不等式求最值．学生在上一节学习了基本不等式的定义及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，解决求最值过程中的易犯错误的处理方法，并求解了实际应用问题中的最值，所以学生学习本节内容还是比较有兴趣的，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。
根据上一节课的知识，我们了解了基本不等式与最值的关系，如下：已知x，y都是正数，则xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．2.若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．【想一想】下面这些结论是否正确？ (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( )(2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( )(3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2.( )（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题当且仅当a ＝2b ＝15时取等号．故当矩形的长为15 m ，宽为7.5 m 时，菜园的面积最大，最大面积为112.5 m 2．解：设底面的长为a ，宽为b ，则由题意得2ab ＝32，即ab ＝16．所以用纸面积为S ＝2ab ＋4a ＋4b ＝32＋4（a ＋b ）≥当且仅当a ＝b ＝4时取等号．即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．解：设矩形的长为a ，宽为b ，则由题意得2（a ＋b ）＝36，即a ＋b ＝18．因为旋转形成的圆柱的侧面积为： ，所以要求侧面积最大，即求ab 的最大值，由基本不等式得当且仅当a ＝b ＝9时取等号．故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．的能力，感悟其 中蕴含的数学思 想，增强学生的 应用意识。
高中数学《基本不等式》(2课时)教学设计
基本不等式（2课时）教学设计一、内容和内容解析1•内容：基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.2.内容解析：相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础•基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关.从数与运算的角度，•”是两个正数a,b的"算术平均数”,忘是两个正数a,b,的"几何平均数”•因此,不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算.从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”，等等，都是基本不等式的直观理解.其次,基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源•利用分析法,从数量关系的角度,利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等.这些方法也是代数证明和推导的典型方法此外，基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值.同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题.本单元教学建议课时数：2课时.二、目标和目标解析1•目标：(1)理解基本不等式：f以‘丿，发展逻辑推理素养.(2)结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.2.目标解析：达成上述目标的标志是：(1)知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.(2)能结合具体实例,明确基本不等式的使用条件和注意事项,即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验,所以基本不等式的证明是本节课的一个难点•基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立,甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题,这也是学生思维不够严谨的表现,因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.四、教学支持条件分析在进行基本不等式的几何解释的教学时,为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解.五、教学过程设计第一课时(一)课时教学内容本节课的主要教学内容有：基本不等式的定义；基本不等式的证明；基本不等式的几何解释；运用基本不等式求最值；基本不等式求最值的两种模型.（二）课时教学目标Jab<"+"仏“>研1•理解基本不等式-，发展逻辑推理素养；2.了解基本不等式的几何解释；3.结合具体实例,用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题,发展数学运算和数学建模素养.（三）教学重点与难点教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点为：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.（四）教学过程设计1•基本不等式的定义导入语：我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用•那么,是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题.问题1:提到两个数的乘法，在上一节我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式中含有ab乘法，是什么不等式？师虫活动一学生回忆*表述，对于任意实数M乩有冷如乳当且■仅当尸&时，等号成立一^追画不等式中戸』的取值范围是什么？特别地，如果口>IX b〉a我们用拓，血分别代替上式中的G孙可以得到怎样的式子丁师生活动’学生独立计算后回答•教师总结;对于任意实数QO,Q0,得到H b>2屈,:变形为应畔©当且仅当4时，等号成立」环等式中渉圧的是代数中的“基本•量"和最基本的运算，诵常我们称不等式①为基本不等式.其中空叫做正数G b的算术.2•平均数，極叫做①p的几何平均数一基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设计意图’通过取上一节课得到的不等式^+^>2ab的特殊形式，得到基本不等式.屁冬字的定义「同日捲两个不等式之间建立联系.诵过分析基本不等式的代数结构特征;得到基本环等式的代数解释，初步加洙对基林等式的认识.2•基本不等式的证明问题2:上节课我们看到,证明不等关系,还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？预设方案一：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明•教师给予肯定,是否还有其它证法?预设方案二：由于没有已知条件,学生不知从何入手追问1=你能否寻找一下此不等式成立的充分条件？也就是要证屈空爭，只需要证明件么，从而形成证明思路-师生活动’学生思考分析，要证極乞字①，只需证逅3旦②,从而霊要证2屈-疽-比0③，只要证—（需-靠）它00只要证祐-屈2乏0⑤即可.教师指出@—品心显然咸立，如果我们从此式出发，把上述过程倒过来，就直接推岀基本不等式了一追问2:上述证明中，每一步推理的依据是什么？师生活动：学生分别回答由⑤f④，由④f③，由③f②，由②f①的依据.追问3上述证明叫做“分析法"•你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗?师生活动：学生讨论后回答•教师总结：分析法是一种"执果索因”的证明方法，即从要证明的纟吉论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.追问4:你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？师生活动：学生思考后回答•教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件,所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用"要证……只要证……”的格式,当推导到一个明显成立的条件之后,指出"显然xxx成立”.追问5:基本不等式成立的条件是什么?如果a<0或bvO基本不等式是否成立？师生活动：学生通过证明发现，a,b均为非负数，如果a,b存在负数时，该不等式不成立•教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数.设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.3•基本不等式的几何解释问题土在图1中,酸是圆的直径，点匸是血上一点迟0=乩过点U作垂直于抠的弦DE,连接血加•你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗1师生活动：学生思考后回答，教师引导学生点结：从条件和基林等式出发，发现圆的半径长等于学，仞=姮•教师操作课件，点D在圆周上运动，学生观察QD杲弦DE的一半，CZ）的长一定小于等于半径，即CD—皿也就是基本不等式可以利用^圆中直径不小于任意一条弦"得到解释.当且仅2当弦门宜过圆心时，二者相等.设计意图’让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图形，弓|导学生将应和学与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变J H化中表现的知b 关系的规律，从而获得基本不等式的几何：F)@1追间缶在上述解答过程中，杲否必须说明血当且仅当*,即亍7—1时，等号成立疳？师生活动=学生讨论石回答.教师总結：这是为了说明V是代数式J.=X+1（A->O）X的一个取值，代数式的最小值必须是代数式能取到的值.请同学们想一想，当％V2时.，卄二土％成立吗？迦犠说卄是偲J｛式Q0）的最才信3?X JC追问4:通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？师生活动：学生讨论后回答•教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”.设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范•同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件.例2已知x,y都是正数，求证：(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；-S2(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值'•师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充元善.追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答,教师总结:满足“两个正数的积为定值,当这两个数取什么值时,求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值,当这两个数取什么值时,求它们的积的最大值”的问题,能够用基本不等式解决•设计意图：在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.（五）目标检测设计1. 仃）；已知无>0,耒心十丄的最丿］谑及相应的工值；x⑵已知O GX I,^,<1-X）的最大值及相应的.T值.设计塾=考查学生利用基本不等式解决简单的最值I鱷的能力.2. 已知兀」都是正数，且工U中求证：⑴3—v耳设计意图：考查学生对基本不等式的理解,及运用“分析法”证明问题的能力.第二课时（一）课时教学内容利用基本不等式解决实际问题中最值问题.（二）课时教学目标1•运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；2.理解基本不等式的数学模型，提高学生模型思想解决问题的能力.（三）教学重点与难点教学重点：运用基本不等式的模型思想解决生活中的最值问题.教学难点：应用基本不等式解决实际问题.(四)教学过程设计1•复习引入问题1:基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？师生活动：学生根据教师提出的问题梳理上节课的知识，教师对学生遇到的困难给予帮助•特别是强调利用基本不等式求最值的方法，即两个变量均为正数是前提,发现“定值”是关键,验证等号成立是求最值的必要条件,即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.2•利用基本不等式解决生活问题导入语：运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值•基本不等式是求最值的工具,特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.问题2:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大？最大面积是多少？追问1:前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题本例的两个问题分别属于哪类问题吗？师生活动：学生思考后回答：属于。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式(第2课时)教案
3.4.2 基本不等式（第2课时）一、教学目标知识与技能1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.二、教学重点与难点:重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.三、教学模式与教法教学模式：根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺四、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念一、创设情景，提出问题;前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式2baab+≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.让学生明确学习任务由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
3.4基本不等式第2课时精品教案
3.42a b+≤【课题】3.4.22a b+≤的应用 【教学目标】12a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题22a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】2a b+≤的应用 【教学难点】2a b+≤求最大值、最小值。
值是A.233 cm 2B.4 cm 2C.32 cm 2D.23 cm 2解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ） cm ，则S =43（3x ）2+43（312x -）2=183（x 2－12x +72）=183［（x －6）2+36］≥23. 答案：D 2． 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解析：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000xx l ++=29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元答案：当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元3一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解析：法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2答案：菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 24.建筑一个容积为8000 m 3、深6 m 的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元／米2，池底造价为2a 元／米2，把总造价y 元表示为底的一边长x m 的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m 时总造价最低是___________元.解析：设池底一边长x （m ），则其邻边长为x 68000（m ），池壁面积为2·6·x ＋2·6·x68000＝12（x ＋x 68000）（m 2），池底面积为x ·x 68000＝68000（m 2），根据题意可知蓄水池的总造价y （元）与池底一边长x （m ）之间的函数关系式为y ＝12a （x ＋x 68000）＋38000a .定义域为（0，＋∞）.x ＋x 68000≥2x x 68000⋅＝34030（当且仅当x =x 68000即x =32030时取“=”）.∴当底边长为32030 m 时造价最低，最低造价为（16030a ＋38000a ）元. 答案：y =12a （x +x 68000）+38000a （0，+∞） 32030 16030a +38000a5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x （x ∈N ）的关系为y =－x 2+12x －25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.A.2B.4C.5D.6解析：设年平均利润为g （x ），则g （x ）=x x x 25122-+-=12－（x +x 25）.∵x +x25≥2x x 25⋅=10，∴当x =x25，即x =5时，g （x ）max =2. 答案：C6如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比现有制箱材料60平方米，问a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A 、B 孔面积忽略不计)解析：法一：设y 为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数依题意要使y 最小，只需求ab 的最大值由题设得：4b ＋2ab ＋2a ＝６0 （a ＞0，b ＞0） 即a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0)∵a ＋2b ≥2ab 2 ∴2ab ⋅2＋ab ≤30 当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 有最大值∴当a ＝2b 时有2ab ⋅2＋ab ＝30,即b 2＋2b －1５＝0解之得：b 1＝3，b 2＝－５（舍去)∴a ＝2b ＝６故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少解析：法二：设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0）∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝aa+-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 ∴y ＝264322302+-+-=+-=a a ka a a k ab k ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k≥18264)2(234k a a k=+⨯+- ∴当且仅当a ＋2＝264+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18 故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少答案：当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。
基本不等式教案
【课时安排】
3 课时
【第一课时】
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中 的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
2 特别的，如果 a>0，b>0，我们用分别代替 a．b，可得 a b 2 ab ， 通常我们把上式写作： ab a b (a>0,b>0)
2 （2）从不等式的性质推导基本不等式 ab a b
2 用分析法证明： 要证 a b ab （1）
2 只要证 a+b _____（2） 要证（2），只要证 a+b-_____ 0（3） 要证（3），只要证（_____-_____） 2 （4）
国古代
数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国
人民热
情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
二、讲授新课。
1．探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两
解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得 l 240000 720(x 1600 )
x 240000 720 2 x 1600
x 240000 720 2 40 297600 当 x 1600 ,即x 40时,l有最小值2976000.
x 因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元． 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是 不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
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§3.42a b +≤
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
12
a b +≤
；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
22a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
2a b +≤
的应用 【教学难点】
2a b +≤
求最大值、最小值。
【教学过程】
1.课题导入
1．重要不等式：
如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么
).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2
为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，
而后者要求a,b 都是正数。
2.讲授新课
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ）
m 。
由2
x y +≥
可得x y +≥ 2()40x y +≥。
等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤212
2236236()28
x x +-=当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2
解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园
的面积为xy m 218922
x y +≤==，可得 81xy ≤ 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a
＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤4
2
M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且
ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得
)1600(720240000x
x l ++= 297600
4027202400001600
2720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥x
x 当.2976000,40,1600有最小值时即l x x x ==
因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
3.随堂练习
已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋
281x 的值最小?最小值是多少? 4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
5.评价设计。