非正弦周期电流电路

T 2
–Em
T 2
<t<T
解：奇函数
ak=0
bk=
1
2
f(t)sinktdt
0
bk=
1
0
Emsinktdt
–
1
2
Emsinktdt
=
2
0
Emsinktdt
=
–
2Em k
coskt
0
4Em = k
0
k=1、3、5、 ‥ k=2、4、6、 ‥
f(t)=
4Em
(sint+
1 3
sin3t+
1 5
I0=
1 T
T
i
0
dt
注意： 例： i = 2 Icost
平均值Iav与恒定分量I0的区别。
i
恒定分量
t I0=0
平均值： i
Iav=
1 T
T
|
0
2 Icost |dt =0.989I
平均值的几何意义——全 Iav 波整流后的平均值。 t 在测量非正弦周期电流和电
压时，要注意选择合适的仪表。 15
三、平均功率
U(4)=I(4)Z(4)=
3.7 2
–90ºV
4、瞬时式相加：
0ºV
u=0.66+2750cost+18cos(2t–89.8º)+3.7cos(4t–90º)V
从所得结果可以看出：响应中只保留了基波 信号，该电路具有滤波的作用。
22
例： i
u
已知：u(t)=10+50cos(1000t–
4
)+30cos(2000t+
i(1)=5cos(t+36.8º)A
US(2) =
2.5 2
60ºV
Z(2)=8
–j4
U(2) 3.13 I(2)= Z(2) = 2
60ºA
4、叠加：
i(2)=3.13cos(2t+60º)A
i =I(0)+i(1)+i(2)= 5cos(t+36.8º)+ 3.13cos(2t+60º)A
18
非正弦周期电流(电压)的有效值等于恒定分量 的平方与各次谐波有效值的平方和再开平方。
13
思考：
有效值相等的非正弦量(电流或电压)其波形是否相同？
i1=Imsint+
1 3
Imsin3t
i2=Imsint+
1 3
Imsin(3t–)
I1=I2=
1 2
2
Im+
1 2
(
1 3
Im )2
i1
i2
t
t
14
二、平均值 定义： Iav= T1 0T| i |dt
注意事项：
1、电源电压或电流的恒定分量单独作用时，把 电容看作开路，把电感看作短路。
2、电源电压或电流的各次谐波分量单独作用时， 感抗、容抗的值随各次谐波的频率变化。
3、最后结果是做时域叠加，即：瞬时式相加。 电压、电流的各次谐波的相量直接相加是没 有意义的
19
例：
20
iS
1000PF 1mH
已知：T=6.2810–6S u 求： u=?
20
T=6.2810–6S
=
2 T
=106rad/s
iS
u 2、计算电路对各次
1000PF 1mH
谐波的输入复阻抗
直流： Z(0)=R=20
基波： XL=L=1K
XC=
1 C
=1K
R<<L
电路可近似认为对基波发生并联谐振。Z(1)= CLR=50K
二次谐波： Z(2)=
(R+j2L) R+j2L
(–j –j
)
7
波形对称性与系数的关系：
1、f(t)=f(– t)
u
偶函数 t
bk=0
u
2、f(t)= – f(– t)
t 奇函数 ak=0
u
3、f(t)=
–
f(
t+
2
)
奇谐波函数 t （镜对称函数）
偶次谐波为零
8
例： f(t)
Em
–Em
求：图示周期信号f(t)的傅里叶级数展开式。
t
f(t)=
Em
0<t<
Z()=8+j(2–8)。 求：i =?
1、直流分量作用：
I(i0) R U(u0)
L C
I(0)=0
17
2、基波作用：
I(1)
U(1)
8 j2
US(1) =
50 2
0ºV
Z(1)=8+j(2–8)
–j8
U(1) I(1)= Z(1) =
5 2
36.8ºA
3、二次谐波作用：
I(2) U(2)
8 j4
2
本章作业 13—6、13—7 、13—8、13—9
3
§ 13 — 1 非正弦周期信号
iR
u
C
若：
L
Uu
t
若： u 若： u
正弦交流电路 t
u
u
直流电路 U
I= R
I
=
U Z
t 全波整流波形
t 方波
t 锯齿波
非正弦周期信号
4
谐波分析法：
非正弦周 傅里叶级数展开 期激励信号
不同频率 的正弦激励
求
f(t)=a0+a1cost+a2cos2t+a3cos3t+‥‥‥+akcoskt+ ‥
+b1sint+b2sin2t+b3sin3t+‥‥‥+bksinkt+ ‥
或： f(t)=A恒0定+A1mc一o次s(谐t波+1)+A2mcos(二2次t谐+波2)+ ‥‥
(直流)
(基波)
+Akmcos(kt+k)+ ‥‥
3 5 7
k
11
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
21 C) 1 2C
=0.667 –89.8ºK
四次谐波： Z(4)=0.267 –90ºK
21
3、求各分量作用下的电压响应。
U(0)=I(0)Z(0)=3.3310–320=0.66V
U(1)=I(1)Z(1)=
55 2
0º10–350103 =
2750 2
U(2)=I(2)Z(2)=
18 2
–89.8ºV
Tk=
1 3
T
iS
100mA
T
解:1、将iS分解(教科书P322表13—1)
iS=100[
1 3
+
2
(sin
1 3
cost
t
+ 1 sin 2 cos2t 23
Tk
+ 1 sin 3 cos3t
23
+ 1 sin 4 cos4t+‥‥)]mA 23
iS=33.3+55cost+27.6cos2t–13.8cos4t+‥‥(mA) 20
第十三章 非正弦周期电流电路
内容提要
本章主要介绍非正弦周期电流电路的一种分析 方法——谐波分析法，它是正弦电流电路分析方法 的推广。主要内容有：周期函数分解为傅里叶级数， 周期量的有效值、平均值，非正弦周期电流电路的 计算和平均功率，滤波器的概念。
1
目录
§ 13 — 1 非正弦周期信号 § 13 — 2 周期函数分解为傅里叶级数 § 13 — 3 有效值、平均值和平均功率 § 13 — 4 非正弦周期电流电路的计算
i =I0+ 2 Ikcos(kt+k i )
k=1
u =U0+ 2 Ukcos(kt+ku )
k=1
P=
1 T
T
uidt
0
=
1 T
T
[
0
I0+
k=1
2
Ikcos(kt+k i )]
[ U0+ 2 Ukcos(kt+ku )] dt
k=1
=U0I0+U1I1cos1+U2I2cos2+‥‥+UkIkcos k+ ‥‥
恒定分 一次谐波 二次谐波 量功率 平均功率 平均功率
k次谐波 平均功率
1、k= ku – k i 同次谐波电压与电流的相位差。 2、不同频率的电压、电流不产生平均功率。
16
§ 13 — 4 非正弦周期电流电路的计算
例：
iR L
已知：
uS=10+50cost+25cos(2t+60º)V,
u
C R、L、C电路对基波的复阻抗
sin5t+ ‥‥‥ )
9
f(t)=
4Em
(sint+
1 3
sin3t+
1 5
sin5t+ ‥‥‥ )
f(t)
Em
傅里叶分解
的几何意义：
t
–Em
f(t)