福建省厦门第一中学2021届高三(10月月考)数学第一次质量检测试题
福建省厦门第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考英语试题
第一节(共15小题;每小题2.5分，满分37.5分)
阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳答案。
A
HANDSTITCHED WORLDS: THE CARTOGRAPHY OF QUILTS
Quilts(床罩) are a narrative art; with themes that are political, spiritual, munal, or memorative, they are infused with history and memory, mapping out intimate stories and legacies through a handcrafted language of design. Handstitched Worlds: The Cartography of Quilts is an invitation to read quilts as maps, tracing the paths of individual histories that illuminate larger historic events and cultural trends.
Spanning the nineteenth to twentyfirst centuries, this insightful and engaging exhibition brings together 18 quilts from the collection of the American Folk Art Museum, New York, representing a range of materials, motifs, and techniques from traditional earlyAmerican quilts to more contemporary sculptural assemblages. The quilts in Handstitched Worlds show us how this toooften overlooked medium balances creativity with tradition, individuality with collective zeitgeist. Like a road map, these unique works offer a path to a deeper understanding of the American cultural fabric.
福建省厦门第六中学2024-2025学年高二上学期10月月考生物试题(含答案)
厦门六中 2024-2025学年第一学期高二年10 月月考生物试卷考试时间: 75分钟满分: 100分命题时间2024.9一、选择题 (本题共15小题; 第1-10小题, 每小题2分; 第11-15 小题, 每小题4分，共40分。
每小题只有一个选项符合题目要求)人体细胞与外界环境进行物质交换需要“媒介”。
下列关于该“媒介”的叙述，错误的是( )A. 该“媒介”pH的相对稳定与HCO₃⁻、HPO₄²⁻等离子有关B. 葡萄糖、尿素、神经递质、胰岛素可存在于该“媒介”中C、维持该“媒介”的稳态需要人体多个器官和系统协调活动D. 人体所有细胞与外界环境进行物质交换都需要该“媒介”如图表示人体内的细胞与外界环境进行物质交换的过程，下列叙述正确的是 ( )A. 若某人患肾小球肾炎，将会导致②中蛋白质减少，形成组织水肿B. 从外界摄入的K⁺进入细胞的途径为：外界环境→消化系统→A→①→②→组织细胞C. ①中若 Ca²⁺浓度过高，易引起肌肉抽搐.D. 淋巴细胞生活的内环境只有③3. 下列事例能够说明神经系统高级中枢对低级中枢有控制作用的是 ( )A. 叩击膝盖下方的韧带能发生膝跳反射B. 学生通过对重点知识反复阅读来加强记忆C. 车祸中受害者大脑皮层言语V区受损而看不懂文字D. 体检过程中护士采血时，患者手未缩回4. 下图是某反射弧的局部结构示意图，其中a、d点均为电表两接线端之间的中点。
刺激某位点，检测各位点的电位变化。
下列说法正确的是 ( )A. 刺激a点，电表①和②均发生两次方向相反的偏转B. 刺激e点，在a、b、c、d点均可检测到电位变化C. 刺激d点，c、e点会发生膜电位的变化，但电表②不偏转D. 刺激b点，若电表①不偏转，电表②偏转1次，则说明兴奋在神经元之问是单向传递5.“杜冷丁”是一种止痛药，专门用于伤口止痛。
可以阻断兴奋在神经元之间的传递过程，但#不损伤神经元的结构。
在阻断神经冲动传导过程中，检测到突触间隙中神经递质(乙酰胆碱)的量不变，据此推测止痛药的作用机制是 ( )A. 与突触后膜的受体结合B. 与突触前膜释放的神经递质结合C. 抑制突触前膜神经递质的释放D. 抑制突触小体中神经递质的合成6. 如图表示某神经元一个动作电位传导示意图，据图分析下列说法正确的是( )A. 产生a段是钾离子外流造成的，不消耗ATPB. 动作电位传导是局部电流触发邻近细胞膜依次产生新的电位变化的过程C. 若将该神经纤维置于更高浓度的钠离子溶液中进行实验，d点将下移D. 图中a→b→c的过程是动作电位形成和恢复的过程7. 科学家给实验鼠静脉注射不同剂量的胰岛素，测得血糖的补充速率和消耗速率如下图所示。
精品解析：福建省厦门第一中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题(解析版)
∴ ．
∵AC为公共边，
∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．
5.如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=108°则∠BAE的度数为（ ）
即正方形A、B的面积之和为19.
故选C.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键.
10.如图，在 中， ， 平分 ，将 连续翻折两次，C点 对应点E点落在边 上，B点的对应点F点恰好落在边 上，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【详解】解：将这个工程总量看成“1”，
则建筑一队的施工效率为 ，建筑二队的施工效率为 ，
由题意可列方程为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出题干中的等量关系是解题关键．
7.如图， （ ）
A.180°B.360°C.270°D.300°
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形外角定理及三角形内角和公式求解即可．
【详解】解：要使式子 有意义，
则
故选B
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是“分母不为0”是解题的关键．
4.如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A.AB=CDB.∠B=∠DC.AD=CBD.∠BAC=∠DCA
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质可知 ，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可．
福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题
福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线:10l x my ++=的倾斜角为2π3，则实数m 值为（ ）AB ．CD ．2．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )A ．90%B ．95%C ．97．5%D ．99．5%3．在四棱锥S ABCD -中，若SA xSB ySC zSD =++u u r u u r u u u r u u u r，则实数组(),,x y z 可能为（ ）A ．()1,1,1-B ．()1,0,1-C ．()1,1,0-D ．()1,1,1--4．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（ ） A ．43B ．44C ．45D ．465．已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．47CB ．48CC ．49C D ．49A7．已知函数()f x 在R 上可导，且()()f x f x '<，若()()1e 1af f a ->成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()e,+∞8．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，A 是C 的右顶点，点P 在过点F 且斜率为22π3OAP ∠=且线段OP 的垂直平分线经过点A ，则C 的离心率为（ ）AB 1C D二、多选题9．为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（参考：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.5P X >>B ．( 1.9)0.2P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><10．已知抛物线22x py =（0p >）的焦点为F ，过点Fl 与该抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点（其中1>0x ），则下面说法正确的是（ ）A ．若2p =，则124x x =-B ．若121y y =，则2p =C ．若2p =，则OMN S =V D ．若2p =，则8MF =+11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当a<0时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．在二项式7x ⎛- ⎝的展开式中x 的系数为．13．已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线也是曲线()y g x =的切线．则a 的值是14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．若1ON DN ==，3MN =，4AB =，则 MA 的最小值为．四、解答题15．已知各项均为正数的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，248a a ⋅=，515S =； (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .16．已知四棱锥,,P ABCD E F -为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.(1)若AD DC =，证明：DE ∥平面PBC ；(2)若2AC BC ==，二面角A FC B --的大小为120︒，求PA .17．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长､短半轴长的乘积.已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 均在x 轴上，离心率等于45，面积为15π.(1)求C 的标准方程；(2)若()0,1Q ，过点()0,5P 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，求QAB V 面积的最大值.18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.其中()ln 2012i i t x =-，1110i i t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率. (2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=- 参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．已知函数()e cos xf x ax x =--，且()f x 在[)0,∞+上的最小值为0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=，若()()1x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立，则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S . （i ）求证：函数()f x 在 0,+∞ 上具有性质S ；（ii ）记()()()()112...ni p i p p p n ==∏，其中*N n ∈，求证：()111sin 1ni i i n n =>+∏.。
2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三（上）期中数学试卷一、单选题1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．[﹣2．+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，﹣2]3．若“x−1x−3＜0”是“|x ﹣a |＜2”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ≤3C ．﹣1＜a ≤3D ．﹣1≤a ≤34．已知焦距为4的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 26=1C ．x 2−y 23=1D ．x 26−y 22=15．已知函数y ＝f （x ）在[﹣π，π]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）A ．y =cosxe x −e −xB ．y =cosxe x +e −xC ．y =sinxe x −e−xD ．y =e x −e −xsinx6．已知sin （π2−θ）﹣cos （π+θ）＝6sin （2π﹣θ），则sin θcos θ+cos 2θ等于（ ）A ．35B ．25C ．−35D ．−257．设a ＝0.01，b ＝ln 1.01，c ＝log 30.01，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x +2）＝f （x ）：（2）f （x ﹣2）为奇函数：（3）当x ∈[0，1)时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，(x 1≠x 2)恒成立，则f(−152)，f(4)，f(112)的大小关系正确的为（ ）A ．f(112)＞f(4)＞f(−152) B ．f(4)＞f(112)＞f(−152)C ．f(−152)＞f(4)＞f(112)D ．f(−152)＞f(112)＞f(4) 二、多选题9．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”的有（ ）A ．f （x ）＝﹣3x +1B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣x C ．f （x ）＝x 2+4x +3 D ．f(x)=2x10．已知复数z =−50i3+4i，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 B ．复数z 的虚部为﹣6 C ．复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6iD ．复数z 的模|z |＝1011．设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图像关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在(π2，π)单调递减12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，则（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{S n }是递增数列C ．S n 的最小值是S 2021D ．使得S n 取得最小正数的n ＝4042三、填空题13．若θ∈（0，π2），tan θ=13，则sin θ﹣cos θ＝ ．14．若直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切，则k 的值为 ．15．记函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T ．若f （T ）=√32，x =π9为f （x ）的零点，则ω的最小值为 ．16．已知函数f （x ）＝ln （x +a ）+x 2存在极值，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2+b 2＝c 2+√2ab ． （1）求C ；（2）若tanB tanC =2a−cc，求A ．18．（12分）设各项非负的数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=a n+12−n（n∈N*），且a2，a3，a5成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+12a n，数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB＝AD=12BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为60°，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知P为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为√2 2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆的两交点为A，B，线段AB的中点C在直线y=12x上，O为坐标原点，当三角形OAB的面积等于√2时，求直线l的方程．21．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2．（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果|p 1−p 2|≥√2|p 12−p 22|5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望． 22．（12分）已知函数f(x)=kx ，g(x)=lnxx． （1）若不等式f （x ）≥g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k 的取值范围； （2）求证：ln224+ln334+...+lnn n 4＜12e．（n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个解：∵M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，∴P ＝{1，3}， 故P 的真子集是{1}，{3}，∅共3个． 故选：B ．2．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．[﹣2．+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，﹣2]解：由题意可知f （x ）＝x 2﹣mx +10的对称轴为：x =m2， 故f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，m2]，又函数f （x ）在（﹣2，﹣1）上是减函数， 所有﹣1≤m2，得m ≥﹣2， 故选：B ．3．若“x−1x−3＜0”是“|x ﹣a |＜2”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ≤3C ．﹣1＜a ≤3D ．﹣1≤a ≤3解：因为x−1x−3＜0，所以（x ﹣1）（x ﹣3）＜0⇒1＜x ＜3，因为|x ﹣a |＜2，则﹣2＜x ﹣a ＜2⇒a ﹣2＜x ＜a +2， 即1＜x ＜3是a ﹣2＜x ＜a +2的充分而不必要条件， 所以{a −2≤1a +2≥3⇒1≤a ≤3．故选：B ．4．已知焦距为4的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 26=1C ．x 2−y 23=1D ．x 26−y 22=1解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，2c ＝4，即c ＝2，双曲线的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直， ∴b a=√3，∴b =√3a ， ∵c 2＝a 2+b 2， ∴a ＝1，b =√3， ∴双曲线的方程为：x 2−y 23=1． 故选：C ．5．已知函数y ＝f （x ）在[﹣π，π]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）A ．y =cosxe x −e −xB ．y =cosxe x +e −xC ．y =sinxe x −e −x D ．y =e x −e −xsinx解：由函数的图象可知，f(π2)＞0，对于选项A ，B 中的函数，当x =π2时，函数值均为0，故选项A 错误，选项B 错误；由图可知，f （π）＝0，对于选项D 中的函数，定义域中取不到x ＝π， 故选项D 错误，选项C 正确． 故选：C ．6．已知sin （π2−θ）﹣cos （π+θ）＝6sin （2π﹣θ），则sin θcos θ+cos 2θ等于（ ）A ．35B ．25C ．−35D ．−25解：由已知得cos θ+cos θ＝﹣6sin θ，则tanθ=−13，可得sinθcosθ+cos 2θ=sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tanθ+1tan 2θ+1=23109=35． 故选：A ．7．设a ＝0.01，b ＝ln 1.01，c ＝log 30.01，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a解：b ＝ln 1.01∈（0，1），令f （x ）＝ln （x +1）﹣x ，则f ′（x ）=−xx+1， 当f ′（x ）＞0时，即﹣1＜x ＜0，f （x ）单调递增，f ′（x ）＜0时，x ＞0，f （x ）单调递减， 则f （x ）≤f （0）＝0，故f （0.01）＝ln 1.01﹣0.01＜0，故0＜b ＜a ， 又log 30.01＜0， 则c ＜b ＜a ， 故选：D ．8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x +2）＝f （x ）：（2）f （x ﹣2）为奇函数：（3）当x ∈[0，1)时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，(x 1≠x 2)恒成立，则f(−152)，f(4)，f(112)的大小关系正确的为（ ）A ．f(112)＞f(4)＞f(−152) B ．f(4)＞f(112)＞f(−152)C ．f(−152)＞f(4)＞f(112)D ．f(−152)＞f(112)＞f(4) 解：根据（1）知f （x ）的周期为2，根据（2）知f （x ）为奇函数，根据（3）知f （x ）在[0，1）上单调递增，∴f （x ）在（﹣1，1）上单调递增， ∴f(−152)=f(12−2×8)=f(12)，f(4)=f(0)，f(112)=f(−12+2×6)=f(−12)， ∴f(−152)＞f(4)＞f(112)． 故选：C ． 二、多选题9．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”的有（ ）A ．f （x ）＝﹣3x +1B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣xC ．f （x ）＝x 2+4x +3D ．f(x)=2x解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，可知函数f （x ）在x ∈（0，+∞）时减函数．函数f （x ）＝﹣3x +1在x ∈（0，+∞）时为减函数，符合题意，故A 正确；函数y =−e −x =−(1e)x 在x ∈（0，+∞）时为增函数，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x 在x ∈（0，+∞）时为增函数，故B 错误；函数f （x ）＝x 2+4x +3图象的对称轴为x ＝﹣2，故在x ∈（0，+∞）时f （x ）＝x 2+4x +3为增函数，故C 错误；函数f(x)=2x在x ∈（0，+∞）时单调递减，符合题意，故D 正确．故选：AD ． 10．已知复数z =−50i3+4i，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 B ．复数z 的虚部为﹣6 C ．复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6iD ．复数z 的模|z |＝10解：因为z =−50i 3+4i =−50i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=−50i(3−4i)25=−8−6i ， 所以复数z 在复平面内对应的点（﹣8，﹣6）在第三象限，故A 错误； 虚部为﹣6，故B 正确；复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6i ，故C 正确；复数z 的模|z|=√(−8)2+(−6)2=10，故D 正确； 故选：BCD ．11．设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图像关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在(π2，π)单调递减解：函数f （x ﹣2π）＝cos （x +π3−2π）＝cos （x +π3）＝f （x ），故它的一个周期T ＝﹣2π，故A 正确；令x =8π3，求得f （x ）＝﹣1，为最小值，故f （x ）的图像关于直线x =8π3对称，故B 正确； 对于y ＝f （x +π）＝cos （x +π+π3）＝﹣cos （x +π3），令x =π6，可得f （x +π）＝0，故f （x +π） 的一个零点为x =π6，故C 正确；当x ∈（π2，π），x +π3∈（5π6，4π3），函数f （x ）不单调，故D 错误，故选：ABC ．12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，则（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{S n }是递增数列C ．S n 的最小值是S 2021D ．使得S n 取得最小正数的n ＝4042解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，对于A ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，即公差d ＞0，所以数列{a n }是递增数列，故A 正确； 对于B ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，所以数列{S n }是先减后增数列，故B 错误； 对于C ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，所以S n 的最小值是S 2021，故C 正确；对于D ，由S 4043=12（a 1+a 4043）×4043＝4043a 2022＞0，S 4042=12（a 1+a 4042）×4042＝2021（a 2021+a 2022）＜0，使得S n 取得最小正数的n ＝4043，故D 错误． 故选：AC ． 三、填空题13．若θ∈（0，π2），tan θ=13，则sin θ﹣cos θ＝ −√105 ．解：∵θ∈（0，π2），tan θ=13=yx ，∴令x ＝3，y ＝1，设θ终边上一点的坐标P （3，1）， 则r ＝|OP |=√32+12=√10， 则sin θ﹣cos θ=√10−√10=√10=−√105．故答案为：−√105．14．若直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切，则k 的值为 e 2 ． 解：直线y ＝k （x ﹣1）过点（1，0），设直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切于（t ，e t ），由y ＝e x ，得y ′＝e x ，则过切点的切线方程为y ﹣e t ＝e t （x ﹣t ）， 把（1，0）代入，可得﹣e t ＝e t （1﹣t ），解得t ＝2． ∴k ＝e t ＝e 2． 故答案为：e 2．15．记函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T ．若f （T ）=√32，x =π9为f （x ）的零点，则ω的最小值为 3 ．解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T =2πω， 若f （T ）＝cos （ω×2πω+φ）＝cos φ=√32，0＜φ＜π，则φ=π6， 所以f （x ）＝cos （ωx +π6）．因为x =π9为f （x ）的零点，所以cos （ωπ9+π6）＝0，故ωπ9+π6=k π+π2，k ∈Z ，所以ω＝9k +3，k ∈Z ，因为ω＞0，则ω的最小值为3． 故答案为：3．16．已知函数f （x ）＝ln （x +a ）+x 2存在极值，则实数a 的取值范围是 （√2，+∞） ． 解：f （x ）的定义域为（﹣a ，+∞）， f ′（x ）=2x 2+2ax+1x+a，方程2x 2+2ax +1＝0的判别式Δ＝4a 2﹣8， （ⅰ）若Δ＜0，即−√2＜a ＜√2，在f （x ）的定义域内f '（x ）＞0，故f （x ）无极值； （ⅱ）若Δ＝0，则a =√2或a =−√2，若a =√2，x ∈（−√2，+∞），f ′（x ）=(2−1)2x+√2，当x =−√22时，f '（x ）＝0，当x ∈（−√2，−√22）∪（−√22，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）无极值，若a =−√2，x ∈（√2，+∞），f ′（x ）=(√2x−1)2x−20，f （x ）也无极值，（ⅲ）若Δ＞0，即a ＞√2或a ＜−√2，则2x 2+2ax +1＝0有两个不同的实根x 1=−a−√a 2−22，x 2=−a+√a 2−22，当a ＜−√2时，x 1＜﹣a ，x 2＜﹣a ，从而f '（x ）在f （x ）的定义域内没有零点，故f （x ）无极值， 当a ＞√2时，x 1＞﹣a ，x 2＞﹣a ，f '（x ）在f （x ）的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知f （x ）在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值． 综上，f （x ）存在极值时，a 的取值范围为（√2，+∞）．故答案为：（√2，+∞）． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2+b 2＝c 2+√2ab ． （1）求C ；（2）若tanB tanC =2a−c c，求A ．解：（1）∵a 2+b 2＝c 2+√2ab ，∴a 2+b 2−c 22ab=√22， ∴cos C =√22，∴C ＝45°． （2）由正弦定理可得tanB tanC=2a−c c=2sinA−sinCsinC，∴sinBcosC cosBsinC=2sinA−sinCsinC∴sin B cos C ＝2sin A cos B ﹣sin C cos B ，∴sin B cos C +sin C cos B ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∴sin A ＝2sin A cos B ． ∵sin A ≠0，∴cos B =12，∴B ＝60°，A ＝180°﹣45°﹣60°＝75°．18．（12分）设各项非负的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =a n+12−n （n ∈N *），且a 2，a 3，a 5成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n =a n +12a n，数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（Ⅰ）当n ＝1时，2a 1=a 22−1， 当n ≥2时，2S n =a n+12−n ，① 2S n ﹣1=a n 2−（n ﹣1），②．①﹣②得2a n =a n+12−a n 2−1，即a n+12=a n 2+2a n +1=(a n +1)2，∵a n ≥0，∴a n +1＝a n +1，∴数列{a n }从第2项起是公差为1的等差数列， ∴a n ＝a 2+n ﹣2（n ≥2）又a 2，a 3，a 5成等比数列，∴a 32=a 2a 5，即(a2+1)2=a2(a2+3)，解得a2＝1，∴a n＝1+n﹣2＝n﹣1（n≥2），∵2a1=a22−1，∴a1＝0，适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n﹣1．（Ⅱ）∵b n=n2n−1，∴数列{b n}的前n项的和为：T n=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，③1 2T n=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，④③﹣④得，1 2T n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=1−(12)n1−12−n2n=2−12n−1−n2n=2−n+22n，∴T n=4−n+22n−1．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB＝AD=12BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为60°，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．证明：（1）取PB中点M，连接AM，EM，∵E为PC的中点，∴ME∥BC，ME=12BC，又∵AD∥BC，AD=12BC，∴ME∥AD，ME＝AD，∴四边形ADEM为平行四边形：∴DE∥AM，∵DE ⊄平面P AB ，AM ⊂平面P AB ， ∴DE ∥平面P AB ；解：（2）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面P AB ，取AB 中点G ，连接FG ，∴FG ∥AD ，FG ⊥平面P AB ，∴∠GPF ＝60°，GF ＝3， ∴tan60°=3PG⇒PG =√3，∴AG ＝GB ＝1，AB ＝2， 如图建系，∴P(0，0，√3)，C （1，4，0），D （﹣1，2，0），∴PC →=(1，4，−√3)，CD →=(−2，−2，0)，设平面PCD 的一个法向量n 1→=(x ，y ，z)，∴{n 1→⋅PC →=0n 1→⋅CD →=0⇒{x +4y −√3z =0−2x −2y =0⇒n 1→=(−1，1，√3)，平面P AB 的一个法向量n 2→=(0，1，0)，设平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角为θ， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→||=15=√55． 20．（12分）已知P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|+|PF 2|＝4，离心率为√22． （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m （m ≠0）与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线y =12x 上，O 为坐标原点，当三角形OAB 的面积等于√2时，求直线l 的方程．解：（1）由椭圆定义得2a ＝4，a ＝2，所以c =ae =√2，故b =√2， 所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y ＝kx +m 代入方程x 24+y 22=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4＝0．（*） 所以x C =x 1+x 22=−2km 1+2k 2，y C =kx C +m =m1+2k2， 所以m 1+2k 2=12⋅−2km1+2k 2，解得k ＝﹣1，则（*）式变为3x 2﹣4mx +2m 2﹣4＝0，则|AB|=√2|x 1−x 2|=4√6−m 23，△OAB 底边AB 上的距离ℎ=|m|√2，所以△OAB 的面形S =√2√(6−m 2)m 23，令√2√(6−m 2)m 23=√2，解得m =±√3，把k ＝﹣1，m =±√3代入（*）式，经检验，均满足Δ＞0， 此时直线l 的方程为x +y −√3=0或x +y +√3=0．21．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p 1，p 2．（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果|p 1−p 2|≥√2|p 12−p 22|5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望．解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A ，B ，C ， 则教师甲获得冠军的概率p 1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)＝0.4×0.5×0.75+0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.15+0.225+0.15+0.05＝0.575，则教室以获得冠军的概率p 2＝1﹣p 1＝0.425， 因为√2|p 12−p 22|5+0.1=√0.16=0.4，解得|p 1﹣p 2|＝0.15，又|p 1−p 2|＜√2|p 12−p 22|5+0.1， 所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别； （2）已知X 的所有取值为﹣15，0，15，30，此时P （X ＝﹣15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P （X ＝0）＝0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.425，P （X ＝15）＝0.4×0.5×0.25+0.6×0.5×0.25+0.6×0.5×0.75＝0.35，P （X ＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075， 则X 的分布列为：所以E （X ）＝﹣15×0.15+0×0.425+15×0.35+30×0.075＝5.25． 22．（12分）已知函数f(x)=kx ，g(x)=lnxx． （1）若不等式f （x ）≥g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k 的取值范围； （2）求证：ln224+ln334+...+lnn n 4＜12e．（n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）解：（1）因为x ＞0，kx ≥lnx x ，所以k ≥lnxx2， 令ℎ(x)=lnx x 2，又ℎ′(x)=1−2lnxx 3，令h ′（x ）＝0，解得x =√e ， 0＜x ＜√e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，x ＞√e 时，h '（x ）＜0，h （x ）递减， 所以当x =√e 时函数h （x ）有最大值，且最大值为12e，所以k ≥12e， 即k 的取值范围是[12e，+∞）．（2）证明：由（1）知lnx x 2≤12e ，所以lnx x 4≤12e ⋅1x 2，所以ln224+ln334+...+lnnn 4＜12e (122+132+...+1n2)， 又122+132+⋯+1n 2＜11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=(1−12)+(12−13)+...+(1n−1−1n )=1−1n＜1，所以ln224+ln334+...+lnnn4＜12e(122+132+...+1n2)＜12e，即ln224+ln334+...+lnnn4＜12e．。
福建省福州第一中学2023届高三上学期第一次调研测试数学试题(含答案解析)
福建省福州第一中学2023届高三上学期第一次调研测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){|lg 3}A x y x ==+,{|2}B x x =≥，则下列结论正确的是A ．3A-∈B ．3B∉C ．A B B= D ．A B B ⋃=2．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（）A ．0B ．2C ．0或3D ．2或33．若函数()f x 同时满足：(1)对于定义域内的任意x ，有()()0f x f x +-=；(2)对于定义域内的任意12,x x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数：①()2f x x =；②()3f x x =-；③()1f x x x =-；④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩.其中是“理想函数”的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④4．已知函数()cos()f x x ωϕ=-(04,0)ωϕπ<<<<的部分图象如图所示，(0)cos2f =，则下列判断正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为4B ．函数()f x 的图象关于直线61x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(1,0)4π+对称D ．函数()f x 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象5．设a b c ､､都是正数，且469a b c ==，则下列结论错误的是（）A ．c b a<<B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-6．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面ABOD ，//AB OD ，OB OD ⊥，且212AB OD ==，A D=CD 与AB 所成角为30︒，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．21πB ．42πC ．48πD ．84π7．已知()sin 23sin αββ-=-，且ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，其中Z k ∈，则()tan tan αβα-=（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,2B ．[)4,+∞C ．(],2∞-D ．(]0,3二、多选题9．已知,R a b ∈，则下列不等式成立的是（）A．2a b+≥B．2a b +≤C ．22ab a ba b +≤+D ．222a b ab +≤10．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 是其三内角，则下列一定成立的有（）A ．()sin sin sin AB A B +>+B ．sin cos A B >C ．sin cos B A>D ．sin sin 2cos A B C+<11．在ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，能确定C 为锐角的有（）A ．0AC CB ⋅> B ．222a b c +>C ．A 、B 均为锐角，且sin cos A B>D ．tan tan tan 0A B C ++>12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（）A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn +三、填空题13．如图，直三棱柱111ABC A B C -，60ABC ∠=︒，2AC =P 是侧面1ACCA 内一点．当AB BC +最大时，过B 、1B 、P 三点的截面面积的最小值为______．14．若函数y ＝12sin ωx 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是________.15．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为_________.16．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩在函数[]()1y f f x =+的零点个数__________.四、解答题17．在△ABC 中，根据下列条件，解三角形．（1）A ＝60°，c，a；（2）ab，B ＝45°.18．已知函数()22sin cos f x x x x =-．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象右移6π个单位得到()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间．19．如图，要在一块矩形空地ABCD 上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，且点E ､F ､G ､H 都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知(2)AB a a =>，2BC =，且AE AH CF CG ===.设AE x =，绿地EFGH 的面积为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式()y f x =，并写出这个函数的定义域；（2）记()y f x =的最大值为()g a ，求()g a 的表达式.20．在多面体111ABCC A B 中，四边形11ABB A 为菱形，160B BA ∠=o，平面11ABB A ⊥平面ABC ，1112BC B C =，AC BC ⊥，1AB B C ⊥.（1）若O 是线段AB 的中点，证明：平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）求二面角1C AC B --的正弦值.21．已知各项均为正数的两个数列{},{}n n a b 满足22112,n n n a a a +-=+2212log log 1,n n n a b b +=++且11 1.a b ==（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,,n n S T 求使得等式：236m m i S a T +-=成立的有序数对*(,)(,).m i m i N ∈22．已知函数()32f x ax bx =++在2x =-处取得极值-14.(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(3)求函数()f x 在[]3,3-上的最值.参考答案：1．C【分析】求出集合A ，再根据集合的交集运算，并集运算以及元素与集合的关系即可解出．【详解】因为{}{|lg(3)}|30(3,)A x y x x x ==+=+>=-+∞，{|2}B x x =≥，显然，3A -∉，3B ∈，所以,B A A B B ⊆= ．故选：C.2．A【分析】由纯虚数的概念求得m 值，注意虚部不能为0．【详解】根据纯虚数的概念可知:230m m -=且2560m m -+≠，解230m m -=，得0m =或3m =；当0m =时，2566m m -+=符合题意，当3m =时，2560m m -+=（舍），所以0m =.故选：A.3．C【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．【详解】解： 函数()f x 同时满足①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”，∴“理想函数”既是奇函数，又是减函数，①()2f x x =是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；②()3f x x =-是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；③()1f x x x =-是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．故选C【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．4．C【详解】根据函数()cos()(04f x x ωϕω=-<<，0)ϕπ<<的部分图象，(0)cos 2f = ，cos cos 2ϕ∴=，2ϕ∴=．再根据五点法作图可得120ω⨯-=，2ω∴=，()cos(22)f x x =-．故它的周期为22ππ=，故A 不对．令61x π=-，22124x π-=-，()f x 的值不是最值，故B 不对．令14x π=+，222x π-=，()f x 的值为零，故函数()f x 的图象关于点(14π+，0)对称，故C 正确．把函数()f x 的图象向左平移2个单位，可得cos(22)y x =+的图象，显然所得函数不是偶函数，故D 错误，故选：C ．故选C.5．B【分析】首先根据指对运算，利用对数表示,,a b c ，再利用换底公式和对数运算，判断选项.【详解】设4691a b c k ===>，所以41log log 4k a k ==，61log log 6k b k ==，91log log 9k c k ==，A.由对数函数的单调性可知，0log 4log 6log 9k k k <<<，可知c b a <<，故A 正确；B.()log 362log 611111log 6log 4log 9log 6log 4log 9log 6log 4log 9k k k k k k k k k k k b a c ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⋅⋅⎝⎭22log 4log 9k k ac ==⋅，故B 错误；C.()()2496364949ba cb b b b ⋅===⋅=⋅，故C 正确.D.112log 4log 9log 362log 6k k k k a c b+=+===，则121c b a =-，故D 正确.故选：B 6．D【分析】由题意可得6OB =，30CDO ∠= ，可得CO 的长，结合,,OC OD OC OB OD OB ⊥⊥⊥可得三棱锥O BCD -外接球半径R 的值，可得其表面积.【详解】解：如图，过点D 作DE AB ⊥，由//AB OD ，OB OD ⊥，且212AB OD ==，可得四边形DEBO 为矩形，6BE DO ==，6OB DE ==，由6OD =，由于//AB OD ，异面直线CD 与AB 所成角为30 ，CO ⊥平面ABOD ，故30CDO ∠= ，则tan 30CO OD =⨯= 设三棱锥O BCD -外接球半径为R ，结合,,OC OD OC OB OD OB ⊥⊥⊥，可将以OC 、OB 、OD 为相邻三条棱补成一个长方体，可得：()222222844R OB OC OD R =++==，该球的表面积为：2484S R ππ==.故选：D.【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，以及球的表面公式，转化为长方体的外接球是解题的关键.7．B【分析】将角度拆则分()2αβαβα-=-+，()βααβ=--，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得.【详解】解：∵()sin 23sin αββ-=-∴()()sin 3sin αβαααβ-+=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin αβααβαααβααβ-+-=--+-整理得：()()2cos sin cos sin αβαααβ-=-，由于ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，所以sin 0α≠，()cos 0αβ-≠则()()cos sin 2cos sin ααβαβα-=-，即()tan 2tan αβα-=.故选：B.8．A【分析】利用()f x 的导函数()'f x ，结合()f x 在区间[1,1]a a -+上的单调性列不等式组求得a 的取值范围.【详解】由()219ln ,(0)2f x x x x =->，则()299,(0)x f x x x x x'-=-=>，当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当(3,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增，又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以101311a a a a ->⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩，解得12a <≤，故选：A.9．BD【分析】利用作差法与基本不等式，分别判断各不等式.【详解】A 选项：由选项可知a 与b 同号，当0a >且0b >时，由基本不等式可知2a b+≥恒成立，当a<0且0b <时，02a b+<0>时，该不等式不成立，故A 选项错误；B 选项：当0a b +>时，02a b+>，则()2222222220244a b a b a b ab a b --+++--⎛⎫-==≤ ⎪⎝⎭恒成立，即2a b +≤恒成立，当0a b +<时，原不等式恒成立，故B 选项正确；C 选项：当0a b +>时，()()222022a b a b ab +---=≤，即()222a b ab +≤，22ab a b a b +≤+恒成立，当0a b +<时，()()222022a b a b ab +---=≤，即()222a b ab +≤，22ab a b a b +≥+，故C 选项错误；D 选项：由重要不等式可知，,R a b ∈，222a b ab +≤恒成立，故D 选项正确；故选：BD.10．BC【解析】由正弦定理可判断A ；由90A B +>︒结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断BC ；由BC 结论可判断D.【详解】对于A ，在三角形中，两边之和大于第三边，则a b c +>，由正弦定理得()sin sin sin sin A B C A B +>=+，故A 错误.因为ABC 是锐角三角形，所以()90sin sin 90cos A B A B B +>︒⇒>︒-=所以B 对，同理C 对；对于D ，由于sin cos A C >，sin cos sin sin 2cos B C A B C >⇒+>，所以D 错.故选：BC.【点睛】本题考查三角形中角对应的正弦余弦大小关系，属于基础题.11．BCD【分析】判断出cos C 的符号，可判断AB 选项；判断A B +与2π的大小关系，可判断C 选项；判断tan C 的符号，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，cos 0A CA CB CA C C B C CB =-⋅-⋅⋅=>，可得cos 0C <，则C 为钝角，A 选项不满足条件；对于B 选项，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=>，则C 为锐角，B 选项满足条件；对于C 选项，因为B 为锐角，则2B π-也为锐角，因为sin cos sin 2A B B π⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，且函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，A 、2B π-均为锐角，所以，2A B π>-，则2A B π+>，所以，()02C A B ππ<=-+<，C 选项满足条件；对于D 选项，若ABC 为直角三角形，则tan A 、tan B 、tan C 中有一个无意义，不合乎题意.A B C π++= ，则A B C π+=-，()()tan tan tan A B C C π∴+=-=-，由两角和的正切公式可得()tan tan tan 1tan tan A BA B A B++=-，则()()tan tan tan 1tan tan A B A B A B +=+-，所以，()()tan tan ta tan 1tan tan t n n a A B B A CA CB ++=+-+()tan tan 1tan tan tan tan tan 0C C A B A B C =--=>，由于ABC 中至少有两个锐角，则tan A 、tan B 、tan C 中至少有两个正数，进而可知tan A 、tan B 、tan C 均为正数，从而C 为锐角，D 选项满足条件.故选：BCD.【点睛】方法点睛：判断ABC 的内角C 为锐角，可从以下方面来进行分析；（1）三角函数值符号：cos 0C >或tan 0C >；（2）平面向量数量积：0CA CB ⋅>.12．BCD【解析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确；所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确；对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭()611132322324n nn n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.13．3【分析】设,AB c BC a ==由余弦定理结合均值不等式可得当且仅当2a c ==时，AB BC +取得最大值，得到此时三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，过点P 作11//DD AA ,连接11,B D BD ，可得过B 、1B 、P 三点的截面即为平面11BB D D ，由111BB D D S BB BD =⨯=，求出BD 最小值，即可得到答案.【详解】在ABC 中，设,AB c BC a ==，2AC =,60ABC ∠=︒，由余弦定理可得：2242cos 60a c ac =+-︒，即224a c ac +-=，即()234a c ac +-=，由0,0a c >>,则22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时等号成立），所以()()()()2222314344a c ac a c a c a c =+-≥+-+=+，所以()216a c +≤即4a c +≤（当且仅当2a c ==时等号成立），即当2AB BC ==时，AB BC +取得最大值4.此时三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，过点P 作11//DD AA ,则11//DD BB ,连接11,B D BD ，过B 、1B 、P 三点的截面即为平面11BB D D .，由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，则1BB ⊥平面ABC ，所以1AA BD ⊥,由11//DD AA ，则1DD BD ⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，则111BB D D S BB BD =⨯=，当BD 最小时，11BB D D S 最小.当BD ⊥平面11ACC A 时，即BD AC ⊥，BD 最小.此时BD =所以11BB D D S 3=，14．[－4,0)【分析】根据题意可得0ω<，函数1sin()2y x ω=-在区间[8π-，]12π上单调递增，可得·()82·122ππωππω⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ ，由此求得ω的范围．【详解】解： 函数1sin 2ω=y x 在区间[8π-，]12π上单调递减，∴当0ω>时，这不可能．0ω∴<，函数11sin sin()22y x x ωω==--在区间[8π-，]12π上单调递减，故函数1sin()2y x ω=-在区间[8π-，]12π上单调递增，∴·()82·122ππωππω⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ ，求得04ω>- ，故答案为：[4-，0)．15．1【分析】首先求导的ay x'=，再假设切点为()00,x y ，根据斜率1k =，得01a x =，再将()00,x y 分别代入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数a 【详解】已知ln 2y a x =+，得ay x'=，设切点为()00,x y ，已知直线斜率1k =，得01ax =，再将()00,x y 分别代入直线与曲线中可得000001,1,2,a x y x y alnx ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩解得00112a x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩.16．4【分析】直接解方程[()]10y f f x =+=即可得，注意首先把()f x 作为整体求解，即相当于解方程()10f t +=，设其解为0t （可能多于一个），然后再解方程0()f x t =．【详解】当()10y f t =+=时，110t ++=，2t =-，2log 10t +=，12t =，当()2f x =-时，由12x +=-，得3x =-；由2log 2x =-，得14x =，同理当1()2f x =时，12x =-或x 4个，故答案为：4.【点睛】本题考查求函数零点个数，解题方法是解方程法．直接解方程0y =即可得．注意分段函数需要分段求解．17．（1）30,90,C B b =︒=︒=（2）60,75,A C c =︒=︒=120,15,A C c =︒=︒【解析】利用正弦定理、余弦定理，即可求解三角形.【详解】（1）由正弦定理可得sin sin a cA C=,所以sin 12sin 2c AC a==，c a < ，C A∴<30C ∴=︒,90B =︒b ∴===（2） a b B ＝45°sin sin a bA B∴=，sin2sin 2a BA b∴==，0180A <<︒60A ∴=︒,75C =°或120,15A C =︒=︒,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即22322c=+-，整理得：210c+=，解得c=c=所以60,75,2A C c=︒=︒=或120,15,2A C c=︒=︒【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，分类讨论的思想，属于中档题. 18．（1）π；（2）()7,1212k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x=的解析式为()2sin23f x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭利用正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x=的最小正周期；（2）利用三角函数图象变换规律得出()22sin23g x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭，然后解不等式()2222232k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈，可得函数()y g x=的单调递增区间．【详解】（1）())22sin cos sin2cos21f x x x x x x=-=-+sin222sin23x x xπ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以，函数()y f x=的最小正周期为22Tππ==；（2）将函数()y f x=的图象右移6π个单位，得到函数()22sin22sin2633g x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-----⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由()2222232k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈，解得：()71212k x k k Zππππ+≤≤+∈．函数()y g x=的单调递增区间为()7,1212k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查正弦型三角函数的最小正周期、单调区间的求解，同时也考查了利用三角恒等变换思想化简三角函数解析式以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19．（1）2()2(2)f x x a x=-++，其定义域为{|02}x x<≤；（2）2(2),26()824,6a ag aa a⎧+<<⎪=⎨⎪-≥⎩.【分析】（1）由题意可知212AEH CFGS S x==△△，1()(2)2BEF DGHS S a x x==--△△，而绿地EFGH的面积等于矩形空地ABCD 的面积减去,,,AEH CFG BEF DGH 的面积，从而可得()y f x =的函数关系式；（2）由于2()2(2)f x x a x =-++的对称轴为24a x +=，所以分224a +<和224a +≥两种情况讨论求函数的最值【详解】（1）212AEH CFG S S x ==△△，1()(2)2BEF DGH S S a x x ==--△△.22222()(2)2(2)ABCD AEH BEF y S S S a x a x x x a x ∴=--=----=-++△△.2()2(2)f x x a x ∴=-++，其定义域为{|02}x x <≤.（2）当224a +<即6a <时，则24a x +=时，y 取最大值2(2)8a +.当224a +≥即6a ≥时，()f x 在(0,2]上是增函数，则2x =时，y 取最大值24a -.综上所述，2(2),26()824,6a a g a a a ⎧+<<⎪=⎨⎪-≥⎩20．（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）连接1AB 、1OB 、OC ，可知1ABB 为等边三角形，利用三线合一的性质可得1B O AB ⊥，利用面面垂直的性质定理可得出1B O ⊥平面ABC ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）证明出AB OC ⊥，然后设2AB =，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角1C AC B --的余弦值，结合同角三角函数的基本关系可求得二面角1C AC B --的正弦值.【详解】（1）连接1AB 、1OB 、OC ，如图所示：四边形11ABB A 为菱形，1AB BB ∴=，160B BA ∠= ，则1ABB 为等边三角形，O 为AB 的中点，1B O AB ∴⊥，平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，1B O ⊂平面11ABB A ，1B O ∴⊥平面ABC ，1B O ⊂ 平面1B OC ，因此，平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）由（1）可知，1B O AB ⊥，1AB B C ⊥ ，111B O B C B = ，AB ∴⊥平面1B OC ，OC ⊂Q 平面1B OC ，OC AB ∴⊥，O 为AB 的中点，则AC BC =，AC BC ⊥Q ，则ABC 是等腰直角三角形，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()1,0,0A -、()1,0,0B 、()0,1,0C、(1B ，()1,1,0BC =-uu u r，则()1122,2,0B C BC ==-，(1AB =，(11111,AC AB B C =+=- ，()1,1,0AC =，设平面1ACC 的法向量为(),,m x y z =，由100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x y x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，可得1y =-，z =，所以，平面1ACC的一个法向量为(1,m =-，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设二面角1C AC B --的平面角为θ，则θ为钝角，cos ,m n m n m n⋅<>==⋅cos θ=，sin θ=因此，二面角1C AC B --的正弦值为5.【点睛】本题考查面面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．（1）证明见解析（2）12n n b -=（3）(9,6)【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s不成立，从而得到4s =，9m =，6l =．【详解】（1）由22112,n n n a a a +-=+即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=，故数列{}n a 是公差为1的等差数列．（2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=，所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n n b -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m i S a T +-=，得(1)236212i m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2i m m +-=．则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s，则221220t s =- ，故5t ．又因为s t >，所以12222232s t t t t +--= ．这与2212s t -=矛盾，所以4s．由于2212s t -=，则只能4s =，2t =此时9m =，6i =．满足题意数对为(9,6).【点睛】关键点点睛：通过递推关系的变形化简证明数列为等差等比数列，要注意变形的方向性，24n nb b +=这种类型的递推关系，注意要分奇偶项分析，探索性问题要注意利用问题的特殊化，特殊性，提供方向.22．(1)1,12a b =-=(2)940x y -+=(3)函数()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)14f -=-，最大值为(2)18f =.【分析】(1)求导，利用在2x =-处的导数值为0，并且(2)14f -=-，解之检验即可求解；(2)结合（1）的结果，求出函数在1x =处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；(3)结合（1）的结果，列出在[3,3]x ∈-时，随x 的变化，(),()f x f x '的变化情况，进而即可求解.【详解】（1）因为函数()32f x ax bx =++，所以2()3f x ax b '=+，又函数()f x 在2x =-处取得极值14-.则有(2)14(2)0f f -=-⎧⎨-='⎩，即82214120a b a b --+=-⎧⎨+=⎩，解得：112a b =-⎧⎨=⎩，经检验，1,12a b =-=时，符合题意，故1,12a b =-=.（2）由（1）知：函数3()122f x x x =-++，则2()312f x x '=-+，所以(1)9f '=，又因为(1)112213f =-++=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为139(1)y x -=-，也即940x y -+=.（3）由（1）知：函数3()122f x x x =-++，则2()312f x x '=-+，令()0f x '=，解得：122,2x x =-=，在[3,3]x ∈-时，随x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表所示：x3-(3,2)--2-(2,2)-2(2,3)3()f x '-+-()f x 7-单调递减14-单调递增18单调递减11由表可知：当2x =-时，函数()f x 有极小值(2)14f -=-；当2x =时，函数()f x 有极大值(2)18f =；因为(2)14(3)11f f -=-<=，(2)18(3)7f f =>-=-，故函数()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)14f -=-，最大值为(2)18f =.。
厦门市2020—2021学年第一学期高一年级质量检测数学试题附答案
厦门市2020—2021学年第一学期高一年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3A x N x =∈<，则（） A. 0A ∉B.1A -∈C. {}0A ⊆D.{}1A -⊆2. 设命题p ：0x ∃>，x x e ≥，则p 的否定为（） A. 0x ∀≤，x x e ≥ B. 0x ∀>，x x e ≥ C. 0x ∀≤，e x x <D. 0x ∀>，e x x <3. 已知0.62a =， 1.82b =，0.6log 1.8c =，则（） A. c a b <<B. a b c <<C. b a c <<D.c b a <<4. 已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（） A. 45-B.35C.35D.455. 长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+⎪⎝⎭.若火箭的最大速度为11.2/km s ，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：0.0056 1.0056e ≈）（） A. 1.0056B. 0.5028C. 0.0056D. 0.00286. 若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（） A. (],2-∞B. (],1-∞C. [)1,+∞D. [)2,+∞7. 在ABC 中，cos 2A =-，1tan 3B =，则()tan A B -=（）A. 2-B. 12-C.12D. 28. 某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A. 甲B. 乙C. 甲、乙一样D. 无法确定二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5外，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9. 已知()tan 3sin θθπ=-，则cos θ=（） A. 1-B. 13-C.13D. 110. 使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（）A. 1a b >-B.11a b< C.> D.10.30.3a b -<11. 关于x 的一元二次不等式220x x a --≤的解集中有且仅有5个整数，则实数a 的值可以是（） A. 2B. 4C. 6D. 812. 已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A. ()f x 的值域为()1,-+∞B. 当0a ≤时，()()21f x f x >+C. 当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D. 函数()()g x f x a =+可能有三个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2),则(4)f =_______．14. 已知某扇形的圆心角为3π，半径为3，则该扇形的弧长为______.15. 某班有50名学生，其中参加关爱老人活动的学生有40名，参加洁净家园活动的学生有32名，则同时参加两项活动的学生最多有______名；最少有______名.16. 2020年是苏颂诞辰1000周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟.如图，当点P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P 至少经过______分钟（结果取整数）进入水中.（参考数据：cos0.9815π≈，2cos0.9115π≈，cos0.815π≈）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()2f x x bx c =++，且()()2g x f x x =+为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求()f x 的解析式.条件①：函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为5； 条件②：函数()0f x ≤的解集为{}1；条件③：方程()0f x =有两根1x ，2x ，且221210x x +=.18. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象求方程()12g x =在[]0,π的实数解. 19. 已知函数()112xf x =+.（1）判断()f x 的单调性并用定义证明； （2）若()1log 23a f >，求实数a 的取值范围. 20. 已知函数()23sin cos cos f x x x x m =++的最小值为3-. （1）求m 的值及()f x 的单调递减区间； （2）()0,x π∀∈，sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 21. 人类已经进入大数据时代，数据量从TB （1TB =1024GB ）级别跃升到PB （1PB =1024TB ），EB （1EB =1024PB ）乃至ZB （1ZB =1024EB ）级别，国际数据公司（IDC ）统计2016-2019年全球年产生的数据量如下：研究发现，从2016年起，可选择函数()()1tf t a p =+来近似刻画全球年产生数据量随时间变化的规律.其中a 表示2016年的数据量，p 表示2017-2019年年增长率的平均值.（第t 年增长率=（第t 年数据量÷第()1t -年数据量）-1，*t N ∈）（1）分别计算2017-2019各年的年增长率，并求()f t .（精确到0.01）.（2）已知2020年中国的数据总量约占全球数据总量的20%，成为数据量最大、数据类型最丰富的国家之一.近年来中国的数据总量年均增长率约为50%，按照这样的增长速度，估计到哪一年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%？参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈，lg1.320.121≈22. 已知函数()()11xf x a a x=-> （1）若()f x 在[]1,2上的最大值为72，求a 的值；（2）若0x 为()f x 的零点，求证：()02000log 220xa x x x a -+-<.厦门市2020—2021学年第一学期高一年级质量检测数学试题（答案）满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3A x N x =∈<，则（） A. 0A ∉B.1A -∈C. {}0A ⊆D.{}1A -⊆【答案】C2. 设命题p ：0x ∃>，x x e ≥，则p 的否定为（） A. 0x ∀≤，x x e ≥ B. 0x ∀>，x x e ≥ C. 0x ∀≤，e x x < D. 0x ∀>，e x x <【答案】D3. 已知0.62a =， 1.82b =，0.6log 1.8c =，则（） A. c a b <<B. a b c <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】A4. 已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（） A. 45-B.35C.35D.45【答案】B5. 长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1Mv m ⎛⎫=+⎪⎝⎭.若火箭的最大速度为11.2/km s ，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：0.0056 1.0056e ≈）（） A. 1.0056 B. 0.5028C. 0.0056D. 0.0028【答案】C6. 若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（） A. (],2-∞ B. (],1-∞C. [)1,+∞D. [)2,+∞【答案】B7. 在ABC 中，cos A =1tan 3B =，则()tan A B -=（）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】A8. 某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A. 甲B. 乙C. 甲、乙一样D. 无法确定【答案】B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5外，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9. 已知()tan 3sin θθπ=-，则cos θ=（） A. 1- B. 13-C.13D. 1【答案】ABD10. 使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（）A. 1a b >-B. 11a b< C.> D.10.30.3a b -<【答案】CD11. 关于x 的一元二次不等式220x x a --≤的解集中有且仅有5个整数，则实数a 的值可以是（） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】BC12. 已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A. ()f x 的值域为()1,-+∞B. 当0a ≤时，()()21f x f x >+C. 当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D. 函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2),则(4)f =_______． 【答案】214. 已知某扇形的圆心角为3π，半径为3，则该扇形的弧长为______.【答案】π15. 某班有50名学生，其中参加关爱老人活动的学生有40名，参加洁净家园活动的学生有32名，则同时参加两项活动的学生最多有______名；最少有______名. 【答案】 (1). 32 (2). 2216. 2020年是苏颂诞辰1000周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟.如图，当点P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P 至少经过______分钟（结果取整数）进入水中.（参考数据：cos0.9815π≈，2cos0.9115π≈，cos0.815π≈）【答案】13四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()2f x x bx c =++，且()()2g x f x x =+为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求()f x 的解析式.条件①：函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为5； 条件②：函数()0f x ≤的解集为{}1；条件③：方程()0f x =有两根1x ，2x ，且221210x x +=.【答案】答案见解析18. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象求方程()12g x =在[]0,π的实数解.【答案】（1）()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）0或3π或π 19. 已知函数()112xf x =+. （1）判断()f x 的单调性并用定义证明； （2）若()1log 23a f >，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数是R 上的减函数，证明见解析；（2）01a <<或2a >．20. 已知函数()2cos cos f x x x x m =++的最小值为3-. （1）求m 的值及()f x 的单调递减区间； （2）()0,x π∀∈，sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【答案】（1）52m =-，单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(,-∞. 21. 人类已经进入大数据时代，数据量从TB （1TB =1024GB ）级别跃升到PB （1PB =1024TB ），EB （1EB =1024PB ）乃至ZB （1ZB =1024EB ）级别，国际数据公司（IDC ）统计2016-2019年全球年产生的数据量如下：研究发现，从2016年起，可选择函数()()1tf t a p =+来近似刻画全球年产生数据量随时间变化规律.其中a 表示2016年的数据量，p 表示2017-2019年年增长率的平均值.（第t 年增长率=（第t 年数据量÷第()1t -年数据量）-1，*t N ∈）（1）分别计算2017-2019各年的年增长率，并求()f t .（精确到0.01）.（2）已知2020年中国的数据总量约占全球数据总量的20%，成为数据量最大、数据类型最丰富的国家之一.近年来中国的数据总量年均增长率约为50%，按照这样的增长速度，估计到哪一年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%？参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈，lg1.320.121≈【答案】（1）2017的增长率为0.44，2018的增长率为0.27，2019的增长率为0.24，()18 1.32t f t ⨯=；（2）估计到2024年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%.22. 已知函数()()11xf x a a x=-> （1）若()f x 在[]1,2上的最大值为72，求a 的值； （2）若0x 为()f x 的零点，求证：()02000log 220xa x x x a -+-<. 【答案】（1）2；（2）详见解析.。
多面体的内切球外接球问题求解策略(原卷版)
专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。
福建省厦门第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考物理试题(解析版)
厦门一中2024届高三年物理10月月考卷考试时间75min满分100分一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1.双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F ，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN 。
v M 与v N 正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的（）A.F 1B.F 2C.F 3D.F 4【答案】C 【解析】【详解】根据图示物体由M 向N 做曲线运动，物体向上的速度减小，同时向右的速度增大，故合外力的方向指向图F 2水平线下方，故F 3的方向可能是正确的。
故选C 。
2.“长征七号”A 运载火箭于2023年1月9日在中国文昌航天发射场点火升空，托举“实践二十三号”卫星直冲云霄，随后卫星进入预定轨道，发射取得圆满成功。
已知地球表面的重力加速度大小为g ，地球的半径为R ，“实践二十三号”卫星距地面的高度为h （h 小于同步卫星距地面的高度），入轨后绕地球做匀速圆周运动，则（）A.该卫星的线速度大小大于7.9km/sB.该卫星的动能大于同步卫星的动能C.该卫星的加速度大小等于gD.该卫星的角速度大小大于同步卫星的角速度【答案】D 【解析】【详解】A ．地球第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动时的最大运行速度，可知该卫星的线速度小于7.9km/s ，故A 错误；BD ．根据万有引力提供向心力可得222GMm v m m r r rω==解得v =，ω=由于该卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，则该卫星的线速度大于同步卫星的线速度，该卫星的角速度大于同步卫星的角速度，但由于不清楚该卫星与同步卫星的质量关系，所以无法确定该卫星的动能与同步卫星的动能关系，故B 错误，D 正确；C ．对该卫星，根据牛顿第二定律可得2GMmma r=解得22GM GMa g r R=<=可知该卫星的加速度大小小于地面重力加速度g ，故C 错误。
福建省厦门第一中学一中2021-2022学年高一上学期(10月)第一次月考英语试卷.docx
福建省厦门第一中学一中2021-2022学年高一上学期（10月）第一次月考英语试卷I.课文句子翻译。
（15分）1.作为高中生我得更加努力地学习，学会习惯承担更多责任。
ril have to study harder as a senior high school student and get used to a lot more.【答案】being responsible for【详解】考查动名词和固定短语。
根据句意可知，设空处为承担责任，英文表达为be responsible for, get used to为习惯于，后面接动名词作宾语，故填being responsible for o2.我真想对他说，请安静点，别打扰我。
I really wanted to tell him to be quiet and.【答案】leave me alone【详解】考查固定短语。
表示“不打扰某人”短语为leave sb. alone,此处为短语tell sb. to do sth. o 故填leave me alone o3.导师建议Adam报名参加高级文学班。
The adviser recommended that Adam advanced literature.【答案】（should） sign up for【详解】考查固定短语和虚拟语气。
表示“报名参加”短语为sign叩for,且recommend表示建议所接的宾语从句一般用虚拟语气，其虚拟语气的结构为：（should）+动词原形，should 可省略。
故填（should） sign up for o4.印加的建筑工人将石头切割成精确的尺寸，仅仅凭着石头间的完美契合即可稳固墙体。
Inca builders cut stone to exact sizes so that nothing was needed to hold walls togetherthe perfect fit of the stones.【答案】other than【详解】考查固定搭配。
福建省厦门第一中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题
福建省厦门第一中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．x44415．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE V 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为.三、双空题16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫做图形C （注：不含AB 线段）．已知(1,0),(1,0)A B -，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．①当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围为； ②已知平行四边形AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，则点M 的横坐标x 的取值范围为．四、解答题方案二：圆心O 1、O 2分别在CD 、AB 上，半径分别是O 1C 、O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三： 沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．(1)写出方案一中圆的半径；(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？(3)在方案四中，设CE =x （0＜x ＜1），圆的半径为y ．①求y 关于x 的函数解析式；②当x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．21．已知：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠AOC =90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ，E ，连结AD ，BD ，BE .(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. (2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点.①求抛物线的解析式.②在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 作PN ⊥x 轴于N ，使得△P AN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22．如图，在矩形ABCD 中，46AB AD E ==，，是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC D E ''，连接AC AD ''，.。
精品解析：福建省厦门第一中学2020-2021学年九年级10月月考物理试题(解析版)
2. 煤炭是一种重要能源。为判断煤炭品质的优劣，最科学的方法是检验煤炭的（ ）
A. 比热容
B. 密度
C. 热值
D. 温度
【答案】C
【解析】 【分析】 【详解】热值是燃料的一种特性，单位质量的煤完全燃烧时所释放出的热量越大，说明该煤的热值越大，
即是优质煤炭，故 ABD 不符合题意，C 符合题意。 故选 C。
8. 古语道∶“人要实，火要虚”。此话的意思是说做人要脚踏实地，才能事业有成：可燃物要架空一些，
才能燃烧更旺。“火要虚”的目的是（ ） A. 增大可燃物物的热值 B. 降低可燃物的着火点 C. 能使可燃物完全燃烧 D. 提高了可燃物的利用率
【答案】D
【解析】 【分析】 【详解】可燃物要架空一些，才能燃烧更旺。“火要虚”的目的是增大了可燃物与空气的接触面积，燃烧 更旺，尽可能的使可燃物燃烧，提高可燃物的利用率，故 D 正确，ABC 错误。 故选 D。
4. 下列物态变化现象中需要吸收热量的是（ ）
A. 初春，湖面上冰化成水 C. 深秋，枫叶上形成霜
B. 盛夏，草叶上形成露珠 D. 严冬，树枝上形成雾凇
【答案】A
【解析】 【分析】 【详解】A．湖面上冰化成水是熔化现象，需要吸热，故 A 符合题意； B．草叶上形成露珠是液化现象，需要放热，故 B 不符合题意； C．枫叶上形成霜是凝华现象，需要放热，故 C 不符合题意； D．树枝上形成雾凇是液化现象，需要放热，故 D 不符合题意。 故选 A。
14. .经常下厨的小关发现，同时用相同的煤和燃气灶加热质量相等、初温相同的水和食用油，油的温度总 是升高得快些．这是因为 A. 水的比热容小，吸热后温度升高得慢 B. 油的比热容小，吸热后温度升高得快 C. 在相同的时间内，水吸收的热量较多 D. 在相同的时间内，油吸收的热量较多 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】用相同的燃气灶加热，相同时间内水和食用油吸收的热量相同，故 CD 错误； 质量相等、初温相同的水和食用油，相同时间内吸收的热量相同，因为水的比热容大于食用油的比热容， 根据 Q=cm△t 知，油的温度升高得快些，故 A 错误、B 正确． 15. 为了探究热传递过程中高温物体、低温物体温度变化的特点，小明做了如下实验，将盛有 30℃冷水的 小烧杯放入盛有 70℃热水的大烧杯中，分别用温度传感器测量两杯水的温度变化情况，绘制成如图所示的 图像。下列说法错误的是（ ）
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16．已知三棱锥 的四个顶点都在球O的表面上， 平面 ， ， ， ， ，则球O的表面积为________；若D是 的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的范围是________．
五、解答题
17．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，当 时，求函数 的值域．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
（1）求方案甲化验次数X的分布列；
（2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由.
21．已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 为椭圆 的右焦点，直线 的斜率为 .
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，在 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ，且当 时， ，证明： ．
18．在① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在△ 中，内角A，B，C所对的边分别为 .且满足_________.
（1）求 ；
（2）已知 ，△ 的外接圆半径为 ，求△ 的边AB上的高 .
19．如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为2的等边三角形， ， 分别为 ， 的中点，过 的平面与侧面 交于 .
福建省厦门第一中学2021届高三（10月月考）数学第一次质量检测试题
学校:___________姓名：___ห้องสมุดไป่ตู้_______班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 (其中 为虚数单位)，则复数 的虚部为（）
参考答案
1．B
【分析】
先求出集合 ，再利用 可以求出 的值，即可求出集合 ，进行并集计算即可.
【详解】
,
因为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
解方程 得： 或 ，
所以 ，
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，涉及利用单调性解指数不等式，属于基础题.
2．A
【分析】
由题目条件可得 ，即 ，然后利用复数的运算法则化简.
本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.
4．D
【分析】
利用基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】
解：实数 ， 满足 ，则 ，
所以 .可得 .
当且仅当 时，等号成立，
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5．C
【详解】
因为 ，所以 ，
则
故复数 的虚部为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.
3．D
【分析】
根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题 ：“ ， ”的否定形式 为： ， ，
故选：D.
【点睛】
A． B． C． D．
11．如图，一个水轮的半径为 ，水轮轴心 距离水面的高度为 ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动 圈，当水轮上点 从水中浮现时的起始(图中点 )开始计时，记 为点 距离水面的高度关于时间 的函数，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．若 ，则
D．不论 为何值， 是定值
12．若存在实常数k和b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数x都满足： 和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔离直线”，已知函数 ， ， （e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）
A． B． C． D． 或
7．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
8．已知 ， ，在函数 ， 的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，当 时，函数 的图象恒在x轴的上方，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、多选题
9． 的充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
10．已知实数a，b，c满足 ，则下列关系式中可能成立的是（）
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为 .
设点 、 ，则 ， ，
，可得 ，解得 ，
由抛物线的定义可得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．C
【分析】
根据函数为非奇非偶函数，可排除B,D，再根据 且 函数值的正负，即可得答案；
【分析】
利用 可得 ，再利用二倍角公式可以求 ，进而可得 的值.
【详解】
因为 为锐角，即 ，所以
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系，考查了正弦的二倍角公式，以及诱导公式，属于基础题.
6．B
【分析】
设点 ，利用 求得点 的横坐标，利用抛物线的定义可求得 .
A． B． C． D．
3．命题 ：“ ， ”的否定形式 为（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．已知 ，且 为锐角，则 （）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ，则 （）
A． 在 内单调递增
B． 和 之间存在“隔离直线，且b的最小值为4
C． 和 间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D． 和 之间存在唯一的“隔离直线”
三、填空题
13．若实数 ，则 ________.
14．若x，y满足约束条件 ，则 的最大值是________．
15．已知双曲线C的焦点为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若 ， ，则C的方程为________．