【高考】数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆适考素能特训理

【高考】数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆适考素能特训理一、选择题1．[2015·湖南岳阳一模]已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0 答案 B解析 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.2．[2016·重庆测试]已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( )A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 5答案 D解析 本题考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．依题意圆心C 的坐标为(1,2)，则圆心C 到y 轴的距离为1，由圆的对称性可知，若直线2x －y ＋b ＝0分得圆C 内部的一部分面积也为S ，则圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离等于1，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，故选D. 3．[2016·南昌一模]已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 答案 D解析 本题考查点到直线的距离、直线的斜率．由题意得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，整理得x 0＋3y 0＋2＝0.又y 0<x 0＋2，设y 0x 0＝k OM ，如图，当点位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点位于射线BN (不包括端点B )上时，k OM <－13，所以y 0x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)，故选D.4．[2016·金版原创四]倾斜角互补的直线l 1：m 1x －y ＋1－m 1＝0，l 2：m 2x －y ＋1－m 2＝0分别被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长之比为62，则m 1m 2＝( ) A ．－9或－19B ．9或19C ．－9D ．－19答案 A解析 本题考查直线与圆的位置关系．由题可知两条直线斜率分别为m 1，m 2，又两直线的倾斜角互补，所以斜率互为相反数，即m 1＋m 2＝0，被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长之比为24－1－m 12m 21＋124－1＋m 12m 21＋1＝62，化简得3m 21－10m 1＋3＝0，解得m 1＝13或3，所以m 1m 2＝－m 21＝－19或－9，故选A.5．[2016·广东综合测试]已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22) D ．[3，22]答案 C解析 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，|AB →|≤23|OD →|，又因为|OD →|2＋14|AB →|2＝4，所以|OD →|≥1.因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点，所以|OD →|<2，所以1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪|－k |2<2，解得2≤k <22，故选C. 6．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为( )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．5答案 C解析 解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋22，△ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋a ＋2， 当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1； 当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解； 当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5.解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ， 两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离， 即|m －2|2＝|±2－a －2|2， (S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|.当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1. 当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5. 二、填空题7．[2015·福建厦门一模]已知a >0，b >0，若直线l 1：x ＋a 2y ＋2＝0与直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0互相垂直，则ab 的最小值是________．答案 2解析 依题意可得，1×(a 2＋1)＋a 2·(－b )＝0，a 2－a 2b ＋1＝0，∴b ＝a 2＋1a 2，∴ab ＝a 2＋1a＝a ＋1a≥2.当且仅当a ＝1a，即a ＝1，b ＝2时，ab 取到最小值2.8．[2015·云南统考]已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________.答案 －7解析 由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3， 又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点P (1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0， ∴|3＋a ×2＋4－a －5|3＋a 2＋12＝5⇒a ＝－52， ∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7.9．[2015·山东青岛质检]在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点．若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________．答案 (3－27，3－23]∪[3＋23，3＋27)解析 由题意得圆心C (m,2)，半径r ＝4 2.因为点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，所以32＋0－6m －0＋m 2－28<0，解得3－27<m <3＋27.设圆心C 到直线AB 的距离为d ，则d ≤|CP |.又S △ABC ＝12d ·|AB |＝12d ·2r 2－d2≤d 2＋r 2－d 22＝r 22＝16，当且仅当d 2＝r 2－d 2，即d 2＝16，d ＝4时取等号，因此|CP |≥4,m －32＋22≥4，即m ≥3＋23或m ≤3－2 3.综上，实数m 的取值范围为(3－27，3－23]∪[3＋23，3＋27)．三、解答题10．[2015·河北唐山调研]已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． 解 (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.11．[2016·江西九江三模]已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得|HK |＝|KQ |，连接AQ 并延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解 (1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4>|F 1F 2|＝23，∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a ＝4，焦距2c ＝23， 则短半轴长b ＝a 2－c 2＝4－3＝1， ∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，设K (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.∵|HK |＝|KQ |， ∴Q (x 0,2y 0)． ∴|OQ |＝x 20＋2y 02＝2，∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．又A (－2,0)， ∴直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)． 令x ＝2，得D ⎝⎛⎭⎪⎫2，8y 0x 0＋2. 又B (2,0)，N 为DB 的中点， ∴N ⎝⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2. ∴OQ →＝(x 0,2y 0)，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2，2x 0y 0x 0＋2.∴OQ →·NQ →＝x 0(x 0－2)＋2y 0·2x 0y 0x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋4x 0y 2x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 04－x 20x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0(2－x 0)＝0. ∴OQ →⊥NQ →.∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．12．[2015·福建高考]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．解 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝(my 0＋54)2＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝x 1－x 22＋y 1－y 224＝1＋m2y 1－y 224＝1＋m2[y 1＋y 22－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m22m 2＋2－31＋m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216m 2＋2>0， 所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．。