高中数学知识点精讲——极限和导数
极限与函数的导数
极限与函数的导数在微积分学中，极限和函数的导数是两个基础概念。
极限可以用来描述函数在某一点附近的行为，而导数则表示函数在某一点的变化率。
本文将探讨极限与函数的导数之间的关系以及它们在实际应用中的意义。
一、极限的概念极限是描述函数在某一点附近值的性质的概念。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值是否会趋近于某个确定的值。
数学上，我们用极限符号“lim”来表示某个函数在某一点附近的极限。
例如，当x趋近于a时，函数f(x)的极限可以表示为lim(x→a)f(x)。
二、导数的定义函数的导数表示函数在某一点的变化率，也可以看作是函数图像的切线斜率。
数学上，我们用dy/dx或f'(x)来表示函数f(x)的导数。
导数的计算可以通过求出函数在某一点的极限来实现。
函数f(x)在x=a处的导数可以表示为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h或f'(a)。
三、极限与导数的关系极限与导数之间有着密切的关系。
实际上，函数在某一点处可导，意味着该点的极限存在。
换句话说，如果函数在某一点可以取导数，那么该点的极限也必然存在。
这一点可以通过导数定义中求极限的过程来理解。
四、导数的应用导数在实际应用中有着广泛的应用。
以下是导数在几个领域的具体应用：1. 科学和工程学中的模型建立：通过利用导数来描述变化率和曲线的斜率，我们可以建立各种科学和工程中的模型，例如物理学中的运动学模型、化学中的反应速率模型等。
2. 经济学中的边际效应：在经济学中，导数用于计算边际效应，即某一决策在单个单位变化时产生的额外效果。
例如，成本函数的导数可以用于计算每一单位产品的成本变化。
3. 优化问题：导数可以用于解决优化问题，例如在工程设计中最小化材料使用量的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的最小值或最大值点。
4. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要量。
通过求取位移函数的导数，我们可以得到速度和通过速度的导数得到加速度。
高中数学-公式-极限与导数
极限与导数一、极限1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→nn ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1(0<1<q ); 2、函数的极限：(1)当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim (2)当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 00: 3、函数的连续性：(1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；(2)若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； (3)若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4、连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；二、导数1、导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000； 2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(x f x x f y -∆+=∆ (2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; (3)取极限,得导数x y x f x ∆∆='→∆0lim )(; 3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4、导数的几何意义：曲线y ＝f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5、导数的四则运算法则：v u v u '±'='±)( ///[()()]()()f x g x f x g x ±=± v u v u uv '+'=')( []()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 推论：[]()()cf x cf x ''=(C 为常数)2)(v v u v u v u '-'=' []2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 6、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' 7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
高中数学知识点总结三角函数的导数与极限
高中数学知识点总结三角函数的导数与极限高中数学知识点总结：三角函数的导数与极限一、三角函数的极限在高中数学中，我们经常遇到三角函数的极限问题。
三角函数的极限计算是求取无穷小量与无穷大量之间的关系，下面就来总结一些三角函数的极限。
1. 正弦函数的极限lim (x→0) sin(x) / x = 1这个极限可以通过泰勒级数展开或用几何图形说明来证明。
因为sin(x)的图像在x=0处有一条切线，斜率为1，所以极限值为1。
2. 余弦函数的极限lim (x→0) (cos(x) - 1) / x = 0余弦函数的图像在x=0处有一条切线，斜率为0，所以极限值为0。
3. 正切函数的极限lim (x→0) tan(x) / x = 1正切函数在x=0时，正切线斜率为1，因此极限值为1。
4. 余切函数的极限lim (x→0) csc(x) = ∞余切函数在x=0时趋于无穷大。
5. sec(x)与cot(x)的极限lim (x→0) sec(x) = 1lim (x→0) cot(x) = ∞在x=0处，sec(x)为1，cot(x)为无穷大。
二、三角函数的导数导数是函数在某一点上的变化率，下面我们来总结一下常见三角函数的导数。
1. 正弦函数的导数d/dx sin(x) = cos(x)2. 余弦函数的导数d/dx cos(x) = -sin(x)3. 正切函数的导数d/dx tan(x) = sec^2(x)4. 余切函数的导数d/dx cot(x) = -csc^2(x)5. 正割函数的导数d/dx sec(x) = sec(x) * tan(x)6. 余割函数的导数d/dx csc(x) = -csc(x) * cot(x)三、三角函数的导数与极限的应用三角函数的导数与极限在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。
下面举几个例子说明其应用。
1. 物理学中的振动问题物理学中很多振动问题涉及到角度的变化，而角度变化与三角函数有密切关系，通过计算三角函数的导数和极限，可以得到振动过程中的速度和加速度等相关信息。
导数与函数的极限关系归纳
导数与函数的极限关系归纳在微积分领域中，导数与函数的极限是两个核心概念。
它们之间有着密切的关系，相互之间可以通过数学定理和公式进行转化和推导。
本文将对导数与函数的极限关系进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、导数的定义与函数的极限导数是描述函数变化率的工具，它代表了函数在某一点的瞬时变化速率。
函数的极限则是描述函数在无穷接近某一点时的值趋势。
导数和函数的极限之间的关系可以通过导数的定义和极限的计算来确定。
二、导数与函数极限的关联定理1. 函数在某一点可导，则在该点必定存在极限。
这是因为导数的存在要求函数在该点的斜率存在，而斜率的存在又要求函数在该点必须是连续的，即函数在该点存在极限。
2. 函数在某一点不可导，则在该点的极限未必存在。
这是因为函数不可导说明在该点的斜率不存在，而不存在的斜率会导致函数在该点的极限未必存在。
三、导数和函数极限的计算方法1. 利用导数计算函数在某一点的极限。
当函数在某一点可导时，可以通过导数公式来计算函数在该点的极限。
2. 利用极限计算函数的导数。
当函数在某一点存在极限时，可以利用求极限的方法来计算函数在该点的导数。
这两种方法的应用范围不同，但都是导数与函数极限关系的重要表现形式。
四、导数和函数极限的性质1. 函数在连续的区间上可导，则在该区间上函数的极限存在。
这是因为可导性要求函数在该区间上连续，而连续函数的极限存在。
2. 函数在某一点可导，则在该点的左极限和右极限存在且相等。
这些性质反映了导数与函数极限之间的密切关系，同时也为我们研究函数的性质提供了有效的工具。
五、导数与函数极限的应用导数和函数极限是微积分理论的基础，也是应用于实际问题解决中的重要工具。
它们可以用来求解函数的最值、优化问题、判断函数的增减性等等。
在自然科学、工程技术和经济管理等领域中都有广泛的应用。
综上所述，导数与函数的极限是微积分中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
导数和极限的计算方法、关联定理、性质和应用，都为我们探索和应用微积分提供了有力的工具和理论基础。
高中数学——2、极限、导数(研究函数最重要的工具)
极限、导数函数的极限1、0x x lim →f （x ）=a ⇔左极限-0x x lim →f （x ）=右极限+→0x x lim f （x ）=a 例：0x lim →|x |=0，因为左极限-0x lim →|x |=右极限+→0x lim |x |=0 2、运算法则：0x x lim →f （x ）=a ，0x x lim →g （x ）=b 0x x lim →【f （x ）+g （x ）】=a+b ，0x x lim →【f （x ）-g （x ）】=a-b 0x x lim →【f （x ）•g （x ）】=ab ，0x x lim →【）（）（x g x f 】=ba （b ≠0） 3、2个重要极限0x lim →x sinx =1，∞→x lim （1+x 1）x =e 或0x lim →x 1x 1）（+=e （e 为自然常数） 4、求极限的常用方法（1）直接代入：例：3x lim →（x 2-x ）=9-3=6 （2）分解因式例：3x lim →3-x 9-x 2=3x lim →3-x 3-x 3x ））（（+=3x lim →（x+3）=6 （3）化∞为无穷小例：∞→x lim cosx -x sinx x +=∞→x lim xcosx -1x sinx1+=∞→x lim 0-101+=1 （4）分子有理化 例：∞→x lim （x -x x 2+）=∞→x lim x x +++++222x x x x x -x x ））（（=∞→x lim x x x x 2++=∞→x lim x 1x x x++）（=∞→x lim x x x +=21 （5）分母有理化例：0x lim →x -1-x 1x +=0x lim →））（（）（x -1x 1x -1-x 1x -1x 1x +++++= 0x lim →x2x -1x 1x ）（++=0x lim →2x -1x 1++=211+=1（6）利用重要极限例1：求极限0x lim →（x •tanx ） 原式=0x lim →（x •cosx sinx ），变形，利用重要极限，=0x lim →（xsinx •cosx x 2），根据极限乘法运算法则，=0x lim →x sinx •0x lim →cosx x 2=1×0cos 0=0 例2：求极限0x lim →x1x 2-1）（ 变形，利用重要极限，原式=0x lim →2-x2-1x 2-1】）【（=e -2=e 1 导数1、可导必连续，连续未必可导函数y=f （x ）在x=x 0处可导是函数y=f （x ）在x=x 0处连续的充分不必要条件 例：y=|x|在x=0处连续，但不可导2、运算法则【f （x ）+g （x ）】´=f ´（x ）+g ´（x ）【f （x ）-g （x ）】´=f ´（x ）-g ´（x ）【f （x ）•g （x ）】´=f ´（x ）•g （x ）+f （x ）•g ´（x ） 【）（）（x g x f 】´=）（x g ）x ′（g ）x （f -）x （g ）x ′（f 2⨯⨯（g （x ）≠0） 3、常用导数公式常数C ´=0，（e x ）´=e x ，（a x ）´=a x lna ，（x n ）´=nx n-1（lnx ）´=x 1，（log a x ）´=lnax 1⨯，（sinx ）´=cosx ，（cosx ）´=-sinx 4、复合函数求导先对整体求导，再对部分求导例：求函数y=x sinx 的导数两边取自然对数，lny=sinx •lnx ，由复合函数求导法则及常用导数公式，两边对x 求导，y 1•y ´=cosx •lnx+sinx •x 1，y ´=y （cosxlnx+sinx •x 1）=x sinx （cosxlnx+xsinx ） 5、利用导数研究函数（注：一般考一阶导数，如果一阶导数仍然复杂，再求二阶导数研究）（1）f（x）在x=x0处的导数f´（x0）即f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率（2）取极值、最值处的导数一般=0，且左右的单调性相反例：研究三次函数f（x）=-x3+9x的单调性求导，f´（x）=-3x2+9=-3（x+3）（x-3），∵f´（x）在区间（-∞，-3）、（-3，3）、（3，+∞）上分别＜0、＞0、＜0，∴f（x）分别递减、递增、递减，∵f´（x）在±3处均=0，∴根据极值左右的单调性，f（x）分别在-3、3处取得极小值、极大值6、根据导函数构造原函数例：已知函数f（x）（x>0），f´（x）为f（x）的导函数，f（x）<-xf´（x），解不等式f（x+1）>（x-1）f（x2-1）根据f（x）<-xf´（x）构造原函数g（x）=xf（x），∴g´（x）<0，g（x）（x>0）单调递减，为利用g（x），变形不等式，得到（x+1）f（x+1）>（x+1）（x-1）f（x2-1），即g（x+1）>g（x2-1），∴x2-1>0（满足定义域）、x+1<x2-1（单调递减），x∈（2，+∞）。
高中数学知识点全总结(电子版)
高中数学知识点全总结（电子版）高中数学知识点全一、求导数的(1)基本求导公式(2)导数的四则运算(3)复合函数的导数设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即_二、关于极限1、数列的极限：粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。
记作：=A。
如：2、函数的极限：当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是，记作三、导数的概念1、在处的导数。
2、在的导数。
3、函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，即k=，相应的切线方程是_注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。
例、若=2，则=()A—1B—2C1D四、导数的综合运用(一)曲线的切线函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程。
具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率k=_(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为x。
如何学好高中数学方法1、上课认真听、仔细做笔记学习新的知识首先得通过老师的讲解，然后自己理解，这样才能通过做题巩固，不然上课不认真听的话，下课自己做题也不会，即使自己参照例题做出来了，也会有很多地方不理解，而且自己学还很浪费时间。
所以高中的学生们一定不能轻视了上课老师讲的内容。
再有一点就是数学也是需要记笔记的，上课的时候把老师讲的书上没有的步骤都记一下，重点的内容该画的画，改写的写，千万不要觉得现在看了一眼就记住了，要知道数学的知识从高一到高三会越来越难，前面的知识相当于为后面做铺垫，尤其是高三复习的时候。
所以同学们在高一高二的时候老师讲的重点的内容一定要整理在笔记上，不然到了高三复习的时候忘记了又得浪费时间重新做笔记。
2、以课本为主，把握课本去理解提高数学成绩主要是靠听课和做题来提高。
极限与导数的关系详解
极限与导数的关系详解
1.导数的定义是由极限形式表示，求导的本质可以认为是求极限
2.导数是极限,但极限不一定是导数
可导极限一定存在；极限不存在一定不可导
若函数f(x)在点x0可导，那么函数一定在该点连续
若函数f(x)在点x0连续，那么函数在该点极限一定存在
3.导数是由极限推出来的导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限
4.导数全称是导函数（函数你懂得强调的是对应关系）极限是能取到的一个值（函数的值）也就是导数值。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
极限与导数的基础知识与运用
极限与导数的基础知识与运用极限和导数是高等数学中重要的概念，也是计算机科学、物理学等多个领域中必不可少的数学工具。
本文旨在系统地介绍极限和导数的概念，以及它们的应用。
一、极限1.1 极限的定义极限是研究函数变化趋势的一种方法。
给定一个函数 $f(x)$，当自变量 $x$ 越来越接近某个特定的值 $a$ 时，如果函数值 $f(x)$ 也越来越接近某个常数 $L$，则称 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限，记作$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$$其中，$x$ 可以从左侧或右侧趋近于 $a$。
1.2 夹逼定理夹逼定理是极限的一个重要定理，它有助于我们判断一些函数的极限是否存在。
设 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$，当 $x\rightarrow a$ 时，$f(x)$ 和 $h(x)$ 的极限都等于 $L$，则 $g(x)$ 的极限也等于 $L$。
即$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a}h(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L$$1.3 极限的计算计算极限的方法有很多，以下是一些典型的极限计算方法：1.3.1 基本极限$$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$$$ \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e $$1.3.2 无穷小与无穷大当 $x\rightarrow 0$ 时，如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 是一个无穷小。
当 $x\rightarrow \infty$ 时，如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$，则称 $f(x)$ 是一个无穷大。
高中数学学习中的函数极限与导数求解
高中数学学习中的函数极限与导数求解函数极限与导数求解在高中数学学习中扮演着重要的角色。
这些概念和技巧不仅对数学学科本身至关重要，而且还在很多其他学科和实际生活中发挥着作用。
本文将探讨高中数学学习中的函数极限与导数求解的相关内容，包括定义、性质以及应用。
首先，我们来讨论函数极限。
函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数的取值会趋向于一个确定的值。
通过函数极限的概念，我们可以研究函数在某个点的趋势，并进一步推测函数的整体行为。
在高中数学课程中，我们学习了四则运算、指数函数、对数函数和三角函数等各种类型的函数，而函数极限的计算和性质可以帮助我们更好地理解这些函数的行为。
例如，通过计算函数在某个点的极限，我们可以判断函数在该点处是否存在间断点或者连续性。
此外，函数极限的性质还可以帮助我们解决一些实际问题，例如计算物体的速度、加速度等。
其次，我们来探讨导数的求解。
导数是函数在某一点的变化率，可以帮助我们研究函数的增减性、极值、拐点等性质。
在高中数学课程中，我们学习了常用函数的导数求解规则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
通过熟练掌握这些规则，我们可以求解各种类型函数的导数，从而研究函数的性质。
例如，通过求解函数的导数，我们可以判断函数的单调性，从而解决一些优化问题，如找到函数在某一区间内的极小值或极大值。
此外，导数还可以帮助我们研究函数图像的形状和曲率，进一步理解函数的行为特征。
在实际应用中，函数极限与导数求解的知识也有着广泛的应用。
例如，在经济学中，函数的极限和导数可以帮助我们研究市场需求和供给的变化趋势。
而在物理学中，函数极限和导数可以帮助我们分析和计算物体的加速度、速度、位移等物理量。
另外，在工程学和自然科学领域，函数极限和导数的应用也非常广泛。
通过研究函数的极限和导数，我们可以优化系统的控制和设计，解决各种实际问题。
在学习函数极限和导数的过程中，我们需要掌握一些基本的思维方法和技巧。
数学知识-函数极限及导数微积分.ppt
v u ( x ) ( x ) u ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 . 2 v ( x ) v( x )
/ /
/
3 2 x 例： f ( x ) x 3 x cos x e
类似可定义三阶导数、四阶导数……n阶导数。二阶以上导 数统称为高阶导数。 大学物理学中，一般只用到二阶导数。
六、利用导数求极值和极值 设右图为函数f(x)在oxy坐标 上的曲线。
曲线上，A、B点的函数值要 比它邻近点的函数值要大， 点A、B称为f(x)的极大值点，函数值f(xA),f(xB)称为极大值。
等于函数 y 曲 f (x ) 线 在点 x 的切 0 线的斜率。
从导数的几何意义知：导数反 映了函数的变化快慢。
A
o
x0
x
4）基本求导公式：
1 . y c y 0
/
/ 1 2 . y x y x ( 1 的任意实数）
/ / 5 . y sin x y cos x 6 . y cos x y sin x
( x x ) f ( x ) / y f 0 0 或 ： f ( x ) lim lim y ( x ) 0 0 x 0 x 0 x x
/
2 例求： f( x ) ax bx c 在 x x 处得导数 0
解：x由x0→x0+Δx时，
x 0 x 2
2 x 9 f (x ) (x3 ) x 3
( x 3 )( x 3 ) lim f ( x ) lim lim ( x 3 ) 6 x 3 3 x 3 x x 3
高中数学竞赛标准讲义：第十四章：极限与导数
第十四章 极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。
《导数定义与极限》课件
利用导数求函数的极值
总结词
利用导数等于0的点，确定函数的极值点。
详细描述
如果函数在某点的导数等于0，且该点两侧 的导数符号相反，则该点为函数的极值点。
利用导数求曲线的切线方程
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用导数求曲线在某点的切线斜率。
函数在某点的导数值即为该点处切线的斜率。再根据点斜 式方程，结合切点坐标，即可求出切线方程。
详细描述
在物理学中，导数常用于描述物体的运动状态和变化规律。例如，物体的速度和加速度可以通过对时间求导来获 得。导数在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
02 导数的计算
导数的四则运算
总结词
掌握导数的四则运算规则，包括加、减、乘、除等运算。
详细描述
导数的四则运算法则是导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。这些运算法则可以帮 助我们简化复杂的导数表达式，从而更好地理解和分析函数的单调性、极值等性质。
详细描述
极限是研究函数的重要工具，通过研究函数在不同点处的极限行为，我们可以了解函数的性质，如连 续性、可导性、单调性等。例如，利用极限研究函数的连续性和间断点，或者利用极限研究函数的极 值和最值等。
谢谢聆听
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的反义词，两者在一定条件 下可以相互转化。
06 极限的应用
利用极限证明等式或不等式
总结词
通过极限，我们可以证明一些数学中的等式或不等式 。
详细描述
在数学中，有些等式或不等式可能难以直接证明，但通 过求极限，我们可以得到一些有用的性质和结论，从而 证明这些等式或不等式。例如，利用极限证明一些函数 的等价无穷小关系，或者利用极限证明函数的单调性等 。
第64讲_极限和导数
极限和导数相关知识1.导数的有关概念。
(1)定义：函数y=f(x)的导数f /(x)，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(limlim)(00/。
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。
(3)几何意义：函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率。
2． 求导的方法： (1)常用的导数公式：C /=0（C 为常数）； (x m )/=mx m-1(m ∈Q); (sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (e x )/=e x ; (a x )/=a xlnax x 1)(ln /=; e x x a a log 1)(log /=.(2)两个函数的四则运算的导数：).0(;)(;)(2/////////≠-=⎪⎭⎫⎝⎛+=±=±v v uv v u v u uv v u uv v u v u(3)复合函数的导数：x u xu y y ///⋅=3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f /(x)>0，则f(x)为增函数；如果f /(x)<0，则f(x)为减函数。
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f(x)<f(x 0)（或f(x)>f(x 0)）,我们就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
A 类例题例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )说明 本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错例2．观察1)(-='n n nxx ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
高中极限导数积分知识总结
csc′x=-cscxcotx
cos′x=-sinxsec′x=secxtanxtan′x=sec2x
cot′x=-csc2x
arcsin′x=
arctan′x=
arccos′x=-
arccot′x=-
③高阶导数：
1.微分导数定义：
①导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0取得该变量△x(x≠0)时，相应地函数y=f(x)也有改变量，△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果 存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0的导数。其几何意义是x0点的斜率。
②微分定义：设函数y=f(x)在区间I上有定义，x0,x0+△x∈I，如果函数的改变量△y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+0(△x)，其中A是不依赖△x常数，而0(△x)是比△x高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x0可微：dy=Adx。其几何意义是△y线性部分。
③可导与连续性：如果函数y=f(x)在点x0可导，则函数在该点x0连续。一个函数在点x0连续却不一定可导。
2.计算方法原则：
①四则运算：
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
y=f(u)，u=g(x)→y′=f′(u)·g′(x)
②常用导数：
C′=0
(xa)′=axa-1
(ax)′=axlna
(ex)′=ex
(logax)′=
(lnx)′=
导数和极限的关系和区别
导数和极限的关系和区别
导数和极限之间存在紧密的关系，可以说导数是极限的一种特殊形式。
导数是描述函数在某一点上的局部变化率的概念。
在数学中，如果函数$f(x)$在$x=a$的某个邻域内有定义，那么函数在点$a$处的导数定义为：
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}$$
这里的极限$\lim_{h \to 0}$表示当$h$无限接近于0时，函数的变化率的极限。
可以说，导数就是用极限来描述函数在某一点上的变化率。
它告诉我们在给定点上函数的斜率。
导数可以用于求解切线、近似计算等问题。
而极限则是一种更一般的概念，用于描述一个函数在某一点或者在无穷远处的趋势。
在数学中，如果一个函数$f(x)$在$x=a$处无论怎样接近某个数$L$，那么我们称函数$f(x)$在$x=a$处的极
限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
这个定义说明了函数在某一点的某种趋势，而不仅仅
局限于函数的变化率。
总的来说，导数是一种特殊的极限，用于描述函数在某一点上的变化率；而极限则是一种更一般的概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
导数及极限知识点总结
导数及极限知识点总结一、导数的定义和计算导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，它描述了函数在某一点附近的变化率，是函数的重要特征之一。
导数的定义是通过极限来进行表述的，下面我们就来看一下导数的定义以及如何计算导数。
1. 导数的定义在数学上，对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以用以下极限的形式进行定义：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这个极限描述的是当自变量x的增量Δx趋于0时，函数值的增量与自变量增量的比值的极限值。
这个极限存在时，我们就称函数在点x处可导，也就是存在导数。
导数也可以看作是函数在某一点处的切线的斜率。
2. 导数的计算在实际计算导数的过程中，我们可以通过一些常见的函数的导数公式来进行计算。
例如，对于常数函数y=c，它的导数就是0；对于幂函数y=x^n，它的导数是nx^(n-1)；对于指数函数y=a^x，它的导数是a^x*ln(a)；对于对数函数y=log_ax，它的导数是1/(x*ln(a))等等。
此外，还可以通过导数的性质和运算法则来计算复合函数、反函数、参数方程等的导数。
3. 导数的几何意义导数的几何意义是描述函数图像在某一点处的切线斜率，也就是函数在这一点的变化率。
导数大于0表示函数在这一点上升，导数小于0表示函数在这一点下降，导数等于0表示函数在这一点达到极值点。
通过导数，我们可以了解函数在不同点上的变化趋势和性质。
二、导数的性质和应用导数作为研究函数变化率的工具，具有一些重要的性质和应用，下面我们来看一下这些内容。
1. 导数的性质导数具有一系列的性质，包括可导性、可导函数的性质、导数与函数的性质等。
其中最重要的是可导函数的性质，通过导数的定义和计算可以得到函数在某一点可导的判定条件。
导数还具有加法、数乘、乘法和除法等运算法则，这些性质为导数的计算和应用提供了便利。
高中数学知识点精讲——极限和导数
[证明] 令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0，即
15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 。（1）若 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若 ，则f(x)在x0处取得极大值。
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极大值。
⑥ 已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则 =.
2、函数极限：
（1）公式： （C为常数）； （p>0）；
导数极限知识总结
导数极限知识总结——仅作了解切忌深究一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
在导数问题的3）问中通常会出现形似f(x)g(x)的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。
引入：试求lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1试求 xx xx x sin sin lim+-∞→显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是00式，一个则是∞∞，无法求导，这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。
1.使用条件定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。
简而言之，当满足00或 ∞∞的不定式时，A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000PS ：一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解例一．lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1 = lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x−2=2例二．1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x (此为错解)事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x （正解），这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。
极限与导数知识点总结
极限与导数知识点总结极限与导数是微积分学中非常重要的内容，它们是我们理解函数性质和计算函数变化率的基础。
在这篇总结中，我将从定义、性质和常见计算方法等方面对极限与导数进行详细的介绍和解析。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
如果一个函数$f(x)$在$x=a$附近的取值随着$x$的逼近$a$而无限接近某一值$A$，那么我们就说当$x$趋近$a$时$f(x)$的极限为$A$，记作$\lim_{x\to a}f(x)=A$。
2. 极限的性质（1）唯一性：若$\lim_{x\to a}f(x)$存在，则其极限唯一。
（2）局部有界性：如果$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在，则存在一个$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)$有界。
（3）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在且$A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。
（4）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$\lim_{x\to a}f(x)=A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。
3. 极限存在的条件函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在的条件有：（1）情况一：$\lim_{x\to a}f(x)$存在且有限。
（2）情况二：$\lim_{x\to a^+}f(x)$和$\lim_{x\to a^-}f(x)$均存在且相等。
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第十二章 极限和导数一、数学归纳法：1、数学归纳法的步骤：“两步一结论”.2、数学归纳法的应用：主要用于证明与自然数有关的恒等式和不等式.3、重要的数学思想和方法：“归纳—猜想—证明”. 习题：① 用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++. ② 用数学归纳法证明：1111122334(1)n n n +++<⋅⋅⋅+. *(N )n ∈③ 已知数列{}n a 满足2n n S n a =-，求n a .二、极限1、数列极限：（1）公式：lim n C C →∞=（C为常数）；1lim0pn n →∞=（p>0）；0 1lim 1 111n n q q q q q →∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或. （2）运算法则：若数列{}n a 和{}n b 的极限都存在，则{}n a 和{}n b 的和、差、积、商的极限等于{}n a 和{}n b 的极限的和、差、积、商.例题：① 将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞= .② 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→ ．习题：① 135(21)lim(21)n n n n →∞++++-=+ .② 设0<a <b ，则4lim nn nn b a b →∞-=_ ____.③ 若(1)1lim2n a n n a∞++=+→，则a．④ 221lim2(11)n n n n →∞+--等于 ．⑤ 数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞＝________.⑥ 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim nn na S →∞= .2、函数极限：（1）公式：lim x C C →∞= （C 为常数）；1lim0px n →∞= （p>0）；0 1lim 1 111x x a a a a a →+∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或；0 1lim 1 1 11x x a a a a a →-∞⎧>⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或. （2）运算法则：若函数()f x 和)(x g 的极限都存在，则函数)(x f 和)(x g 的和、差、积、商的极限等于)(x f 和)(x g 的极限的和、差、积、商.习题：① 211lim______34x x x x →-=+-；2241lim()42x x x→--=-+ . ② 已知22lim7x ax cx bx c →∞+=+，lim 5x bx c cx a→∞+=+，且0bc ≠，则22lim x ax bx ccx ax b →∞++=++ . ③ 222sin lim(tan )cos x xx xπ→-= .3、函数的连续性：函数)(x f 在0x x =处连续的充要条件是00lim ()()x x f x f x →=.习题：① 已知函数2 3 ( 0 )() (0 )x x f x a x +≠⎧=⎨=⎩在x =0处连续，则a = .② 已知2 3 , 1() 2 , 1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是 （ ）（A ）()f x 在1x 处连续 （B ）(1)5f（C ） 1lim ()2x f x -→= （D ） 1lim ()2x f x →= ③ 若21lim()111x a bx x→-=--，则常数b a ,的值分别为 .三、导数1、导数的概念：（1）导数的定义：函数()y f x =在0xx 处的导数/0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆.（2）导数的几何意义：曲线()y f x =上点00(,())x f x 处的切线的斜率为/0()f x .因此曲线()y f x =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为/000()()()y f x f x x x -=-.（3）导数的物理意义：若质点运动的位移函数为S =s (t ),则0t t 时质点运动的瞬时速度是0'()s t .例题：① 若000(2)()lim 13x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0'()f x 等于 .② 若曲线12y x-=在点12(,)a a-处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = .③ 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()y S t '=的图像大致为④ 已知曲线314()33f x x =+. (1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； (2) 求曲线过点(2,4)P 的切线方程. ⑤ 求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值.习题：① 若000()()lim1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则0'()f x 等于 .② 运动曲线方程为2212t S t t-=+，则t=3时的速度是 .③ 已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是④ 曲线221xy x =+在点（1，1）处的切线方程是 . ⑤ 已知点P 在曲线y=41x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .2、导数的运算：（1）常见函数的导数：'0C =；1()'n n x nx -=；(sin )'cos x x =；(cos )'sin x x =-.1(ln )'x x =；1(log )'log a a x e x=；()'x x e e =；()'ln x xa a a =. （2）导数的四则运算法则： '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()C u x C u x '⋅=⋅；'2()'()()()'()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦.（3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y =f (μ)，μ=f (x )；然后将已知函数对中间变量求导(')y μ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求''x y μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数习题：① 若42()f x ax bx c 满足(1)2f '=，则(1)f '-= .② 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，()128()()()f x x x a x a x a =---，则()0f '= .③ 求下列函数的导数：（1）1ln 1x y x -=+ (1)x（2）42ln1x y x =+.3、导数的应用：（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求()f x '；()f x '>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；()f x '<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.例题：① 函数2()xf x x e -=的单调递增区间为 . ② 已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥，求f (x )的单调区间. ③ 若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.④已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.习题：① 函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . ② 若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是 .③ 已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 .④ 求函数3211()(1)32f x x a x ax b =-+++（,R a b ∈）的单调性. ⑤ 是否存在这样的k 值，使函数243221()232f x k x x kx x =--++在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增（2）求函数的极值：求导数()f x '；求方程()f x '=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值.例题：① 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值，求f （x ）的极大值和极小值. ② 函数f （x ）=x 3－6bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围为 . ③ 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x 处取得极大值，在2x x 处取得极小值，且1212x x ．（1）证明0a ；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围.习题：① 已知函数()f x =x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则(2)f =______② 设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+，求()f x 的极值. ③ 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的极值.（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求()f x 在(,)a b 内的极值；将()f x 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数()f x 在,a b 上的最值.例题：① 函数32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 .② 求抛物线212y x =上与点)0,6(A 距离最近的点. ③ 设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若当0x ≥时，()0f x 恒成立，求a 的取值范围.习题：① 用总长148 m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.②设1()1xxa f x a +=-(a >0且1)a ≠，g (x )是f (x )的反函数.当[2,6]x ∈时，恒有2()log (1)(7)a tg x x x >--成立，求t 的取值范围.（4）证明不等式： 例题：① 当0＜x ＜2π时，证明： 2πx ＜sin x ＜x . ② 设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R .求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+.习题：求证不等式：)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x .（5）讨论方程的根的情况：利用数形结合法，方程()0f x 的根就是函数()y f x 和x 轴的图象交点的横坐标.例题：① 函数432()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间［1，2］上的根有 个. ② 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； （2）设0a ，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．习题：设函数329()62f x x x x a =-+-，且方程()0f x 有且仅有一个实根，求a 的取值范围．第十三章 复 数一、复数的有关概念1、复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部. 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.2、复数的分类：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数.3、共轭复数：复数z =a +b i 和z =a －b i(a 、b ∈R )互为共轭复数.4、复数相等的充要条件：a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d .5、复数的几何意义：复数和复平面内的点一一对应.二、复数的运算1、复数的加法：(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、复数的减法：(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3、复数的乘法：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . （类似两个多项式相乘.）4、复数的除法：()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++-2222ac bd bc ad i c d c d +-=+++.（分母实数化.） 5、运算性质：（1）i 幂的周期性：i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i,，i 4n =1.（2）22()()a bi a bi a b +-=+.（3）22(1)2; (1)2i i i i +=-=.习题：1、计算(2+i)+(3+i 3)+(4+i 5)+(5+i 7)(其中i 为虚数单位)的值是 .2、复数3223i i +=- ；41i ()1i+-= . 3、在复平面内，复数21i i -对应的点的坐标为 . 4、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z =_______.5、已知复数23(13)i z i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= . 6、设x 、y ∈R ，且i 1-x －i 21-y =i315-，则x +y =________. 7、在复平面内，若i i m i m z 6)4()1(2-+-+=所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 .8、设a ∈R ，z ∈C ，且2222z a z a -+是纯虚数，则x 、y 应满足的关系是 . 9、设z 是虚数，ω=z +z1是实数，且－1＜ω＜2. （1）求z 的实部的取值范围；（2）设u =zz +-11，求证：u 为纯虚数； （3）求ω－u 2的最小值.。