学生版高中数学技能特训：31 角的概念的推广与任意角的三角函数
角的概念的推广与任意角的三角函数
❖ 小于90°的角；锐角；第一象限的角； 0°～90°的角．
❖ 7．三角函数定义中，角α的三角函数值 仅仅与角α的终边位置有关，而与终边上 点P的位置无关．
❖ 一、构造思想
❖ [例1] 已知：α∈
，求证：
sinα<α<tanα.
❖ 分析：构造单位圆，利用单位圆中的三角 函数线及三角形和扇形的面积来证明．
时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一
条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
角．
原点
x轴的非负半
❖轴2．象限角 终边
❖ 使角的顶点与
重合，角的始边与
❖ 重合．角的
落在第几象限，就说这
❖ 3．象限界角(轴线角)
❖ 即终边落在坐标轴上
的角．
❖ 4．终边相同的角
❖ 所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合{β|β＝α＋k·360°，
三角函 数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z}
❖ 10.各象限内角的三角函数值的符号如下 图所示：
❖ 三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ 两切，Ⅳ余弦．
❖ 误区警示
❖ 1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧 度制，要么采用角度制，两者不可混用．
❖ 2．相等的角终边一定相同，但终边相同 的角却不一定相等，终边相同的角有无数 个，它们之间相差360°的整数倍．
k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用 角度制表示，后者α用弧度制表示．
❖ 5．弧度制 半径
❖ 把长度等于 长的弧所对的圆心角叫1
弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单
位制叫做弧度制，它的单位符号是rad，
第一讲 角的概念推广及任意角的三角函数(高一数学)
第一讲 角的概念推广及任意角的三角函数一、知识清单 1.角的概念：①正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 角，未作任何旋转所形成的角叫 角. ②象限角：（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的 半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.）③非象限角：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为 . ④讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？结论：与α角终边相同的角，都可用式子 （Z k ∈），表示，写成集合呢？ ⑤讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角 相等；但相等的角，终边 相同；终边相同的角有 个，它们 。
2. 弧度的意义：①定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 . 用 表示，读作 . ②讨论：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数= ？③规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数的绝对值为|α|＝lr. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制. ④由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？ 。
⑤=0180 rad? =0360 rad? 01= 弧度？1弧度= 度？ 3. 任意角的三角函数的定义：① 讨论：锐角α的终边交单位圆于点),(y x P 的坐标与α三角函数有何关系？ 定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点),(y x P ,则 .② 思考：已知角终边上任一点),(y x P ，如何求它的三角函数值呢?结论：先求22r x y =+；再按公式 .③ 例：已知角α的终边过点P(-2,-4)，求α的正弦、余弦和正切值.④ 讨论：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？结论(诱导公式一）： ，其中k Z ∈． 作用：把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题.⑤ 讨论：正弦、余弦、正切值在各个象限的符号情况？特殊角的三角函数值？4. 三角函数线概念：正弦线、余弦线、正切线二、随堂演练 1、设(,)63ππθ∈，且17θ的终边与θ角的终边相同，则tan θ等于 （ ） A1BC1D 12、与02002-终边相同的最小正角是_______________ 3、设θ是第三象限角，且coscos ,222θθθ=-则是（ ） A ．第一象限B ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限4、给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-917tancos 107sinπππ其中符号为负的有（ ） A ① B ②C ③D ④5、02120sin 等于（ ）A 23±B23C 23-D216、若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A 第一象限的角B 第二象限的角C 第三象限的角D 第四象限的角7、4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值（ ）A 小于0B 大于0C 等于0D 不存在8、设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________9、若角α和β的终边关于直线0x y +=对称，且3πα=-，则β角的集合是 ；10、设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是三、典例精讲1、求下列各角的三角函数的值（正弦、余弦、正切）：－2π、32π、750°、174π、－116π、－1020°。
课件1：角的概念的推广与任意角的三角函数
4.1角的概念的推广与任意角 的三角函数
1．角的概念 (1)分类按按终旋边转位方置向不不同同分分为为象正限角、角负和角轴、线.零角角.
(2)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做
第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题
有______个． 解析：－34π是第三象限角，故①错误；43π＝π＋π3，从而43π
是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③
正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
答案：3
2．终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α ＝kπ＋π3，k∈Z}．
解析：因为 sin α＝13，且 α∈π2，π，所以 cos α＝－ 1－91＝－232从而 tan α＝－ 42.
答案：－
2 4
再见
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应 用圆心角所在的三角形．
Hale Waihona Puke 针对训练]已知扇形的圆心角是 α＝120°，弦长 AB＝12 cm，求 弧长 l.
解：设扇形的半径为 r cm， 如图． 由 sin 60°＝6r， 得 r＝4 3 cm， ∴l＝|α|·r＝23π×4 3＝833π(cm)．
解析：∵cos α≤0，sin α>0， ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半 轴上．
∴3a＋a－2>9≤00，， ∴－2<a≤3. 答案：(－2,3]
4．在与 2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧 度数为________．
届高三数学角的概念的推广
h
19
【自主探究】 (1)因为点 P(sin θ·cos θ，2cos θ) 位 于 第 三 象 限 ， 所 以 sin θ·cos θ<0,2cos θ<0 ， 即
sin θ>0 cos θ<0 ，所以 θ 为第二象限角．
(2)∵2kπ＋π2 <θ<2kπ＋π(k∈Z)，
∴－1<cos θ<0， 4kπ＋π<2θ<4kπ＋2π，－1≤sin 2θ<0. ∴sin(cos θ)<0，cos(sin 2θ)>0，∴csoisn((scions 2θθ))<0.
∴csoisn((scions 2θθ))的符号是负号．
h
20
【方法点评】 1.熟记各个三角函数在每个象限内的 符号是关键．
2．判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限． 3．对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先 根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角 所在象限．
2．若 α 是第二象限角，试分别确定 2α、α2 、α3 的终边所在位 置． 【解析】 ∵α是第二象限角，
【思路点拨】 (1)由点P所在的象限，知道sinθ·cosθ， 2cosθ的符号，从而可求sinθ与cosθ的符号．
(2)由θ是第二象限角，可求cosθ，sin2θ的范围，进而把 cos θ，sin 2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所 在的象限，从而sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
∴当 l＝2时，Smax＝16，
C l2 此时 α＝R＝C－C2＝2.
2
C2 ∴当 α＝2 弧度时，扇形面积有最大值16.
【方法点评】 合理选择变量，把扇形面积表示出 来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不 同的方法求最值，这是解决问题的关键．
3.1角的概念的推广与任意角的三角函数
∴cos6－sin6>1，∴lg(cos6－sin6)>0. sincosθ sincosθ ∴ <0.∴ 的符号是负号． cossin2θ cossin2θ ∴lg(cos6－sin6)的符号为正号．
题型3.三角函数的定义 例5(1)已知角 的终边上一点 P (
且 sin 2 4 y , 求 cos
1 a
sin（ cos ）
cos sin 2 ） （
的符
（3）已知点P(sinα-cosα，tanα）在第一象限， 则在[0,2π）内α的取值范围。
cos （4）已知 sin ， ，若θ为第二象 1 a 1 a 限角，求实数a的取值范围。 3a 1
5、如果α是第三象限，那么-α， α/2,2 α的终边落在何 处？（用图表示）
练习： 已知α是第二象限的角 • (1)指出 所在的象限，并用图形表示其 变化范围． • (2)若α同时满足条件|α＋2|≤4，求α的取 值区间．
题型2.三角函数符号的判断
例4 sincosθ (1)若 θ 是第二象限角，判断 的符号； cossin2θ
(2)确定 lg(cos6－sin6)的符号．
3.1 角的概念的推广与 任意角的三角函数
一、知识点 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角的表示: k 360 0 (k Z ) (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 如：终边在x轴上的角 k ( k Z ) (4)有关对称角的关系 X 轴， y轴 ，原点 如：关于y 轴对称的角 2k ( k Z ) 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 180 180 ( 弧度 ) 1弧度 ( ) 57 1 8 (2)换算关系: (3)弧长公式:l r
高三数学任意角的三角函数知识精讲
高三数学任意角的三角函数【本讲主要内容】任意角的三角函数角的概念的推广、弧度制、六种三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式。
【知识掌握】【知识点精析】1、角的概念的推广：“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α，旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。
2、“正角”与“负角”“0角”：我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，角，如图，以OA特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫∠可以简记成α。
做零角。
记法：角α或α3、终边相同的角：β|＝与α角终边相同的角的集合，连同α角在内（而且只有这样的角），可以记为{βk·360°＋α，k∈Z}。
即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
4、“象限角”：角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）注意以下几点：k∈（1）Z（2）α是任意角；（3）k·360°与α之间是“+”号，如k·360°－30°，应看成k·360°+（－30°）；注意：终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。
5、区间角、区间角的集合：角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角。
由若干个区间构成的集合称为区间角的集合。
6、弧度制：定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
角的概念的推广与任意角的三角函数随堂练习(含答案)
角的概念的推广与任意角的三角函数基础巩固强化1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由sin A >0且tan A <0可知，cos A <0，所以角A 的终边一定落在第二象限．选B.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三角限角D ．第四象限角 [答案] C[解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可． 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．2．(文)(2011·杭州模拟)已知角α终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23πD.53π[答案] B[解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－12， ∴角α为第四象限角， ∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.(理)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( )A ．3B ．－3C ．3－π2 D.π2－3[答案] C[解析] ∵π2<3<π，∴cos3<0，∴点P 位于第一象限， ∴tan α＝－cos3sin3＝sin (3－π2)cos (3－π2)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3－π2， ∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝3－π2. 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋Rα＝12R 2α，即2＋α＝12Rα整理得R ＝2＋4α，由于4α≠0，∴R ≠2.4．已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．－16 B.16 C.718 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知tan α＝－43， ∴sin α＋cos α3sin α＋2cos α＝tan α＋13tan α＋2＝16. 5．(文)设0≤θ<2π，如果sin θ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( )A ．0<θ<3π4 B ．0<θ<π4或3π4<θ<π C.3π4<θ<π D.3π4<θ<5π4 [答案] B[解析] ∵0≤θ<2π，且sin θ>0，∴0<θ<π. 又由cos2θ>0得，2k π－π2<2θ<2k π＋π2， 即k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．∵0<θ<π， ∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(3π4，5π4)D ．(π4，π2)∪(π，5π4)[答案] D[解析] ∵P 点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，如图，使sin α>cos α的角α终边在直线y ＝x 上方，使tan α>0的角α终边位于第一、三象限，又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.6．(文)(2011·新课标全国理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝±2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.(理)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22 C ．－1 D ．1[答案] D[解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π2＋2k π，∴cos a ＋b 2＝cos2k π＝1.7．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.[答案] 25[解析] 由条件知x ＝－4m ，y ＝3m ，r ＝x 2＋y 2＝5|m |＝5m ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.8．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.[答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y2＝－255，解得y ＝±8，又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点， 可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.9．(文)(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值为________．[答案] －13[解析] cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13. (理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A cos α，35，则cos α－sin α＝________.[答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35， ∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75. 10.(2011·广州模拟)A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC |2的取值范围．[解析] (1)∵A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，∴tan α＝43，∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20. (2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)， ∵△AOB 为正三角形，∴B 点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π3))，且C (1,0)， ∴|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2(α＋π3)＝2－2cos(α＋π3)．而A 、B 分别在第一、二象限， ∴α∈(π6，π2)． ∴α＋π3∈(π2，5π6)， ∴cos(α＋π3)∈(－32，0)． ∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3).能力拓展提升11.(文)设α是第二象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] C[解析] ∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角， 又∵sin α2≤0，∴α2是第三象限角，故选C.(理)若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2 [答案] A[解析] ∵α为第三象限角，∴α2为第二、四象限角 当α2为第二象限角时，y ＝1－1＝0，当α2为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0.12．(文)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析]解法1：如图，由单位圆中三角函数线可知，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应点在第二象限．解法2：∵cos θ＋sin θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4.∴π<θ＋π4<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4<0. ∵π2<θ－π4<π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4>0， ∴当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.故选B.(理)(2011·绵阳二诊)记a ＝sin(cos2010°)，b ＝sin(sin2010°)，c ＝cos(sin2010°)，d ＝cos(cos2010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] C[解析] 注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin 32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝cos(－12)＝cos 12>0，d ＝cos(－32)＝cos 32>0，∴c >d ，因此选C.[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练．13．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m 的值为________．[答案] －4[解析] r ＝32＋m 2＝m 2＋9， 依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15.即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去． 故m ＝－4.14．(文)已知下列四个命题(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255； (2)若α>β且α、β都是第一象限角，则tan α>tan β； (3)若θ是第二象限角，则sin θ2cos θ2>0； (4)若sin x ＋cos x ＝－75，则tan x <0. 其中正确命题的序号为________． [答案] (3)[解析] (1)取a ＝1，则r ＝5，sin α＝25＝255； 再取a ＝－1，r ＝5，sin α＝－25＝－255，故(1)错误．(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tan α＝tan π6＝33，tan β＝3，故tan α>tan β不成立，(2)错误．(3)∵θ是第二象限角，∴sin θ2cos θ2＝12sin θ>0，∴(3)正确． (4)由sin x ＋cos x ＝－75<－1可知x 为第三象限角，故tan x >0，(4)不正确．(理)直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案] －45[解析] 将y ＝2x ＋1代入x 2＋y 2＝1中得，5x 2＋4x ＝0，∴x ＝0或－45，∴A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，故sin α＝1，cos α＝0，sin β＝－35，cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－45. [点评] 也可以由A (0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝cos β＝－45. 15．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12， 所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 16．周长为20cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积．[解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r ，S ＝12rl ＝12(20－2r )·r ＝(10－r )·r ， ∴当r ＝5时，S 取最大值．此时l ＝10，设卷成圆锥的底半径为R ，则2πR ＝10， ∴R ＝5π， ∴圆锥的高h ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝5π2－1π， V ＝13πR 2h ＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2·5π2－1π＝125π2－12.1．(2011·深圳一调、山东济宁一模)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] D[解析] 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4. 2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3D. 2 [答案] C[解析] 设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR ＝ 3.3．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°＝sin65°>sin25°>0，y ＝log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A ．1B ．2680C ．2010D ．1340 [答案] C[解析] ∵f (n )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3＋π2＋1＝2cos n π3＋1.由S ＝S ＋f (n )及n ＝n ＋1知此程序框图是计算数列a n ＝2cos n π3＋1的前2010项的和．即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 3π3＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2010π3＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋…＋cos 2010π3＋2010＝2×335×cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＋cos 6π3＋2010＝2010.5．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．[解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x .∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.。
角的概念的推广,弧度制,任意角的三角函数
角的概念的推广，弧度制，任意角的三角函数[本周教学重点]理解角的定义，掌握正角、负角、零角以及象限角、终边相同角的概念，会写出各个象限角及终边相同角的集合的表达式。
理解弧度制的定义，正确进行角度制与弧度制之间的换算，清楚用弧度制度量角，使角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系。
熟记任意角的六个三角函数值的定义，会确定三角函数的定义域，掌握各象限角的三角函数值的符号结论，能正确作出已知角的正弦线，余弦线，正切线。
1. 角的概念的推广①角的定义：一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形叫做角。
射线的端点叫角的顶点，旋转开始时的射线叫角的始边，旋转结束时的射线叫角的终边。
②正角，负角，零角正角：射线按逆时针方向旋转所成的角叫正角。
负角：射线按顺时针方向旋转所成的角叫负角。
零角：射线不作任何方向的旋转，称它形成一个零角。
③象限角：让角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限的角。
第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合轴上角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，终边在坐标轴上的角叫轴上角。
轴上角的集合象限角与轴上角是对角的集合的一种划分{角}={象限角}∪{轴上角}④终边相同的角的集合2. 弧度制①定义：弧长等于半径长时弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
②弧度与角度的互化360°=2弧度，180°=弧度，③弧度制下弧长公式与扇形面积公式设圆半径长为r，弧所对圆心角(或扇形)弧度数为，弧长为，扇形面积为S，则3. 任意角三角函数①定义：设是一个任意角，P是终边上除顶点外任意一点，其坐标为(x，y)，它与原点间距离为比值比值比值比值比值比值②三角函数定义域正弦函数定义域为R余弦函数定义域为R正切函数③三角函数值的符号④单位圆中三角函数线角终边依次在四个象限内时有向线段MP，OM，AT依次叫角的正弦线，余弦线，正切线即[本周教学例题]例1.判断下列各命题的真假(1)第一象限角是锐角，第二象限角是钝角；(2)小于90°的角是锐角，大于90°的角是钝角；(3)第二象限的角大于第一象限的角；(4)大于0°且小于180°的角是第一象限或第二象限的角。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
高考数学31角的概念与弧度制及任意角的三角函数课件 理课件
考点探究
考点2 象限角的确定
α 【例 2】 (1)若角 α 是第二象限角， 则： ① 是第几象限角？②2α 是第几象限角？ 2
栏 目 思路点拨：对于(1)，由角 α 是第二象限角，可得到角 α 的范围，即 k×360°＋ 链 接
α (2)已知 α 是第三象限角，则 是第几象限角？ 3 90° <α<k×360°＋180°(k∈Z)，进而可得到
________________ 360 °＋180° ，k∈Z} {α |α ＝k×
k×360 °＋90° ，k∈Z} {α |α ＝________________
________________
栏 目 链 接
y轴
坐标轴
，k∈Z} {α |α ＝k×360 °＋270°
k×180 °，k∈Z} {α |α ＝________________
α
2
，2α的取值范围，再根据范围确定其
象限；对于(2)，同理由角 α 是第三象限角，可得到角 α 的范围，进而可得到 的取值 3 范围，再根据范围确定其所在象限．此外本题也可用几何法来确定
α
α α
2
， 所在的象限． 3
考点探究
自主解答：
点评：(1)已知角 α 的范围或所在的象限，求 所在的象限是常考题型 n 之一，一般解法有直接法和几何法． 若 α 是第 k(k 取 1，2，3，4 之一)象限的角，利用单位圆判断
课前自修
3 10 3 10 ( a ＞ 0 时 ) 或－ (a＜0 时) ____________________________ ，tan α＝________ ． 3 10 10
4 ． 已 知 角 α 的 终 边 过 点 (a ， 3a)(a≠0) ， 则 sin α ＝
角的概念的推广、弧度制及任意角的三角函数
m 0, m 5 故角θ是第二或第三象限角．
3 m2
=
2 m, 4
m=- 5时，r=2 2，点P的坐标为( 3，5)
cos = -
6 15 6 15 tan = ，或cos = tan = 4 3 4 3
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【方法锦囊】
B (1)引进弧度制后，
设扇形的半径为R，如图
【例 2】►(1)已知 cos θ· θ<0，那么角 θ 是( sin )． (1)由cos θ· θ<0 sin A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 可得 sin 0 C．第二或第四象限角 D．第一或第四象限角 cos 0 sin 0 (2)如果点 P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角 或 cos 0 θ 是第________象限． 从而确定θ所在象限 sin θ>0， 此时， sin θ>0 (2)由点P所在的象 由 因为 cos θ· θ<0， ② sin 解析（1） cos θ<0， 限得到sin θ与cos θ sin θ<0， 判断 θ 在第一或第二象限 的符号，从而确定 所以有： ① cos θ>0， 或 y 轴正半轴， cos θ<0 θ所在的象限． 由 此时，由 sin θ<0 判断，θ 在第二或第三象 【方法锦囊】 判断 θ 在第三或第四象限或 (1)熟练掌握三角函 限或 x 轴负半轴，故 θ y 轴负半轴，由 cos>0 判断 数的符号法则是解 所以角 θ 是第 决此类题目的关键 θ 在第一或第四象限或 x 轴正 在 第二象限， (2)由三角函数符 故 θ 在第四象限． 半轴， 二或第四象限角．
高考数学总复习 31 角的概念推广、弧度制及任意角的三
()
π A.3 C. 3
2π B. 3 D．2
解析：设圆半径为 R，则其内接正三角形的边长为 3R，于是圆
心角的弧度数为 R3R＝ 3. 答案：C
4．弧长为 3π，圆心角为 135°的扇形半径为______，面积为 ______．
解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝34π， 由弧长公式 l＝α·r 得 r＝αl ＝33π＝4，
B．k·360°＋250°，k∈Z
C．k·360°＋70°，k∈Z
D．k·360°＋270°，k∈Z
解析：由于 610°＝360°＋250°，所以 610°与 250°角的终边相同．
答案：B
2．如果角 α 是第三象限角，则-α，πα，π＋α 角的终边分别落 在第______，______，______象限．
\\\\\\方法规律\\\\\ (1)利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个
角 β 所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后判断角 α 的象限．
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对 k 赋值来 求得所需角．
第一节 角的概念推广、弧度制及任意角的三角函数
目标定位
学习指向
1.主要考查对三角函数定义的理解和 1.了解任意角的概念．
运用，如三角函数值符号的选取及基 2.了解弧度制的概念，能
本运算能力． 进行弧度与角度的互化．
2.在高考中会结合三角函数的其他知 3.理解任意角三角函数(正
识进行考查，一般不会单独命题． 弦、余弦、正切)的定义.
l r
.
3．角度与弧度的换算
任意角和弧度制、三角函数的概念课件-2025届高三数学一轮复习
=
− = − + = −( − ) + ,当 = 时,
= , = − × = , = = ,所以的最大值是
,此时扇形的半径是 ,圆心角 = .
方法二: =
+ ≤≤+
2.若 是第二象限角,则(
)
A.− 是第一象限角
B. 是第三象限角
C. + 是第二象限角
D.
√
是第三或第四象限角或在轴的负半轴上
解析：选D.由
是第二象限角,可得
可得− − < − <
对于B,可得
+ <
−
+ < < + , ∈ .对于A,
所以 =
+
+
= − + − = −.
−
=____.
三角函数值符号的判断方法
要判断三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，
再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确
定所在象限，那就要分类讨论进行求解.
1.已知点
A.
,
是角 的终边上一点，则 =(
B.−
√
C.
解析：选B.依题意，点的坐标为
为坐标原点）,故 =
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．αx α第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在轴上的角的集合为x {}180,k k αα=⋅∈Z 终边在轴上的角的集合为y {}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角相同的角的集合为α{}360,k k ββα=⋅+∈Z(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是r αl αl rα=④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，()αα为弧度制r l C S l r α=，．2C r l =+21122S lr r α== 2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、(r r =正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、y r x r yx 四余弦）3．特殊角的三角函数值角度函数030456090120135150180270360角a 的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina1/2√2/2√3/21√3/2√2/21/2-1cosa 1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tana√3/31√3-√3-1-√3/3二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：＝tan α. （3）倒数关系：sin αcos α1cot tan =⋅αα2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α， 其中k ∈Z .απαtan )2tan(=+k 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，． ()tan tan παα-=-公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.()tan tan αα-=-公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sin α.(π2－α)(π2－α)公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.(π2＋α)(π2＋α)诱导公式可概括为k ·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇π2π2数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k ·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后π2作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．sin αcos α(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）ααcos sin +ααcos sin -ααcos sin (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin＝tan 2ππ4（4）齐次式化切法：已知，则k =αtan nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。
1 角的概念的推广和任意角的三角函数
解法二： 将单位圆平均分成 2×4＝8 份 (如图)， 按一、 二、 三、 四且是逆时针顺序标号，得到的 “一 ”所在的阴影部分所示的象 α α 限就是 所在象限，即 为第一、三象限角． 2 2
[点评 ]
利用终边相同角的表示， 可以由角 α 所在的象限， 判
α α α 断 ， ， 等所在的象限． 2 3 4 (1)解法一 (范围限定法 )：将 α 的范围用式子表示出来，然后 α α α 求出 ， ， 等角的范围．根据此范围进行判断．此时需要进行分 2 3 4 类讨论．
[解析 ]
(1)设弧长为 ＝ ， R＝ 10，∴ l＝ π(cm)， 3 3 1 10 1 2 S 弓＝ S 扇－ S△＝ · π·10－ · 10 · sin60° 2 3 2
π ＝ 50 － 3
3 (cm2) 2
C (2)∵扇形周长 C＝ 2R＋ l＝ 2R＋ αR，∴ R＝ ， 2＋ α 1 2 1 C 2 ∴ S 扇＝ α· R ＝ α 2 2 2＋ α C2 1 C2 1 C2 ＝ α· ＝ · ≤ . 2 4＋ 4α＋ α2 2 4 16 4＋ α＋ α 4 C2 ∴当 α＝ ，即 α＝ 2(α＝－ 2 舍去 )时，扇形面积有最大值 . 16 α
• 【典例3】 解答下列问题： (1) 若 θ 在第四象限，试判断 sin(cosθ)· cos(sinθ) 的符号； (2)若tan(cosθ)· tan(sinθ)＞0，试指出θ所在象限． • [分析] 显然要用到三角函数在各象限内取值符号的结论， 其中还应注意cosθ、sinθ本身的取值限制．
π 解析：α∈ 2k， 2kπ＋ ，k∈ Z，则 2
2α∈ (4kπ，4kπ＋ π)，必有
sin2α＞ 0，若 2α 在第三象限，则 cos2α＜ 0 α π α α α 又 ∈ kπ， kπ＋ .若 在第三象限，则 sin ＜ 0， cos ＜ 0. 2 4 2 2 2
(浙江)高考数学一轮复习 31 任意角 弧度制及任意角的三角函数 文PPT课件
位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类按按旋终转边方位向置不不同同分分为为
正角 、 负角 、 象限角和轴线角.
零角
.
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在
内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
3
基考课础点堂诊突总断破结
• 2．弧度制的定义和公式
• (1)定义：把长度半径等长于
18
基考课础点堂诊突总断破结
【训练 1】
(1)设 θ 是第三象限角，且cos
θ2＝－cos
2θ，则2θ是
A．第一象限角 B．第二象限角
()
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)sin 2·cos 3·tan 4 的值
() A．小于 0 B．大于 0 C．等于 0 D．不存在
19
基考课础点堂诊突总断破结
【例 2】 (2014·宁波高三考试)已知角 θ 的终边经过点 P(－ 3，
解析 (1)∵α 是第二象限角， 深度思考 象限角的判定
∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时，α2是第一象限角；
有两种方法，请你阅读规 律方法，其中角α2的判断结 论为：
当 k 为奇数时，α2是第三象限角．
16
基考课础点堂诊突总断破结
【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角，则α2是
A．第一象限角
B．第二象限角
()
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
14
基考课础点堂诊突总断破结
(2)若 sin α·tan α＜0，且tcaonsαα ＜0，则角 α 是
A．第一象限角 C．第三象限角
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3-1角的概念的推广与任意角的三角函数
基础巩固强化
1.(文)(2012·潍坊模拟)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－4
5，则m 等于( )
A ．－114 B.11
4
C ．－4
D ．4
(理)(2012·济南一模)已知α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )
2．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z } D ．∅ 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( ) A ．5 B ．2 C ．3 D ．4
4．(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos α
tan α<0，则角α是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三角限角
D ．第四象限角 5．已知cos θ＝1
2，角α的终边经过点P (sin2θ，sin4θ)，则6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．7
D.7
5
6．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b
2＝( )
A ．0 B.
2
2
C ．－1
D ．1 7．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y
x
的值为________．
8．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.
9．(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12
)的值为________．
10．(2011·绍兴月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
能力拓展提升
11.(文)(2011·山东济宁一模)已知点P (sin 3π4，cos 3π
4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.π4
B.3π4
C.5π
4
D.7π
4
(理)(2011·新课标全国理，5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )
A ．－45
B ．－35 C.35
D.4
5
12．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 9＋a 17＝π，则cos(a 2＋a 16)的值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12
D.
3
2
[答案] A 13．在(0,2π)内使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______．
14．直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)的值为________．
15．(文)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α
的值．
(理)已知sin θ、cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根． (1)求m 的值；(2)求sin θ1－cot θ＋cos θ
1－tan θ的值
．
16．周长为20cm的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积．
1．记a＝sin(cos2010°)，b＝sin(sin2010°)，c＝cos(sin2010°)，d＝cos(cos2010°)，
则a、b、c、d中最大的是()
A．a B．b C．c D．d
2．如图所示的程序框图，运行后输出结果为()
A．2017 B．4028
C．2014 D．2011
3．已知M(1－cos20°，sin20°)为角α的终边上一点，则锐角α等于()
A．10°B．20°
C．70°D．80°
4．已知△ABC是锐角三角形，则点P(cos B－sin A，tan B－cot C)，在第________象限．。