曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-微扰论】

第10章微扰论

10.1 设非简谐振子的Hamilton量表示为

为实数）

用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）．解：

能量的本征值和归一化本征态（无简并）为

利用Hermite多项式的递推关系

得

对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为

能量的二级修正值为

由式（6）可知，只当m取（n－3），（n－1），（n＋1），（n＋3）四个值时才有贡献，即

由此可得

在准确到二级近似下体系能量值为

在准确到一级近似下，能量本征函数为

10.2 考虑耦合谐振子

（λ为实常数，刻画耦合强度）．

（a）求出的本征值及能级简并度；

（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）；

（c）严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论，提示作坐标变换，令

称为简正坐标，则H可化为两个独立的谐振子。

【详细分析和解答见《量子力学》卷Ⅰ，518～521页】

答：Hamilton量为

其中与ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合项表示耦合的强度，设比较小，把H中的

看成微扰，而取为

它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为

令

则能量表示式可改为

由式（6）可以看出，对于情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?）以N=1为例，能级为二重简并，能量本征值为

相应的本征函数为与（或者它们的线性叠加）．为表示方便，

记

并选与为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰W=的矩阵元如下：

可得出能量的一级修正为

因此，原来二重简并的能级变成两条，能量分别为

能级简并被解除，类似还可以求其他能级的分裂，如下图所示．

本题还可以严格求解，作坐标变换，令

其逆变换为

容易证明

因此，Schrodinger方程

化为

令

即

于是方程（13）变为

是两个彼此独立的谐振子，其解可取为

相应的能量为

当时，由式（14），得

此时

例如，N=1的情况，（n1，n2）=（1，O）与（0，1），相应的能量分别为

能级分裂

这与微扰论计算结果式（8）一致．

10.3 一维无限深势阱（0

求基态能量的一级修正。

解：一维无限深势阱中，粒子的能量本征值为

相应的能量本征函数（不简并）为

按照非简并态微扰论，能量的一级修正值为

所以基态（n=1）能量的一级修正为