利用差分方程及微分方程计算概率

的随机现象有如下三个特点： （ １） 它们都取非负 整数值， 且在不重迭的时间间隔内取任何值都是 相互独立的； （ ２） 在极短的时间间隔内取值 １ 的 概率只与间隔的长短有关而与间隔的起点无关； （ ３） 在极短的时间间隔内取值 ２ 及 ２ 以上几乎是 不可能的。
参考文献： ［１］华东师大数学系编．概 率 论 与 数 理 统 计 习 题 集［Ｍ］．北 京： 人民教育出版社， １９８２． ［２］ Ａ．Ａ．史威斯尼柯〔苏联〕等著， 计度生等译．概 率 论 解 题指南［Ｍ］．上海： 上海科技出版社， １９６５． ［３］茆 诗 松 等 编 著．概 率 论 与 数 理 统 计 教 程［Ｍ］．北 京 ： 高 等教育出版社， ２００４．
独 立 的 ， 故 Ａｋ－１ 与 Ｈ 独 立 ， Ａｋ－１ 与 Ｈ 也 独 立 ， 故
Ｐ （Ａｋ） ＝Ｐ （Ａｋ－１） Ｐ （Ｈ） ＋Ｐ （Ａｋ－１） Ｐ （Ｈ） ＝ｐｋ－１ （１－ ｐ） ＋ （１－ ｐｋ－１） ｐ
即 ｐｋ＝ｐ＋ｐｋ－１ （１－ ２ｐ） ，ｋ＝１，２，…， ｎ 将上式变形为
ｐｋ－
１ ２
很多的， 有些可以通过直接的方法算出， 有一些
问题本身比较复杂， 但可以归结为求一个递推关
系式的解或归结为求一个级数的和， 或者归结为
一个微分方程的解。在这类问题中， 前者是有关
概率与各次试验有规则的依赖关系， 后者则具有
在直观上很明显的三个基本特征。
（ 一） 利用差分方程计算概率。
例 １．在 每 一 次 试 验 中 事 件 Ａ 出 现 的 概 率 为
当 ｐ≠１ 时，由等比级数求 前 有 限 项 和 的 公 式
得 Ｐｎ＝ （２ｐ－ １） ｎ－１ｐ１＋ （１－ ｐ）
１－ １－
（２ｐ－ １） ｎ－１ （２ｐ－ １）
＝ （２ｐ－ １） ｎ－１ｃ＋ １ ［１－ （２ｐ－ １） ｎ－１］ ２
当 ｐ＝１ 时， ｐｎ＝ｐ１＝ｃ．
当 ｐ＝０ 时，若 ｎ 为奇数，设 ｎ＝２ｍ－ １， 则 ｐｎ＝ｐ１＝ｃ
在不重迭的时间内停机的各个事件是彼此独立的，
假设在时刻 ｔ０ 机器在工作着， 试求机器在由时刻
ｔ０ 到 ｔ０＋ｔ 这段时间内不停止工作的概率 Ｐ （ｔ） （ 设 Ｐ （ｔ） 与初始时刻 ｔ０ 无关）
解： 在自动织布机工作稳定的情况下， 所求
的概率可以认为只与 〔ｔ０， ｔ０＋ｔ〕 这 段 时 间 的 长 短
则 ｆ （－ ｙ－ ｚ） ＝ｆ （－ !ｙ－ ｚ!２） ＝ｆ （－ ｙ!２－ ｚ!） ＝０
８３
关于求单侧导数的几点体会
湖南交通职业技术学院 龚平
（ 一） 引言。 关于单导数， 由于概念强、技巧高、易错。
ｆ／＋ （０） ＝ （ｅｘ＋ｘｅｘ） ｜ｘ－０＝１ 当 ｘ&０，ｆ （ｘ） ＝ｘ２ 在 （ － ∞，０） 内可导， ｆ／（ｘ） ＝２ｘ
有关， 而与时间的起点 ｔ０ 无关， 因而它只是 ｔ 的
函数， 设为 Ｐ （ｔ） ．
机 器 在 （ ｔ０， ｔ０＋ｔ＋△ｔ） 内 不 停 止 工 作 ， 必 须
在 （ ｔ０， ｔ０＋ｔ） 与 （ ｔ０＋ｔ， ｔ０＋ｔ＋△ｔ） 这两段时间内都
不停止工作， 由独立性得 Ｐ （ｔ＋△ｔ） ＝Ｐ （ｔ） Ｐ （△ｔ） ＝Ｐ （ｔ） ［１－ !△ｔ－ ｏ
（△ｔ）］ 故 Ｐ （ｔ＋△ｔ） － Ｐ （ｔ） ＝!Ｐ （ｔ） － ｏ （１） △ｔ 令△ｔ→０ 得微分方程 ｄＰ （ｔ） ＝ － !Ｐ （ｔ） ｄｔ 解 得 Ｐ （ｔ） ＝ｃｅ－ａｔ， 其 中 ｃ 为 常 数 ． 由 题 意 ， Ｐ
（０） ＝１ 故 ｃ＝１， 从而 Ｐ （ｔ） ＝ｅ－ａｔ。 注 ２： 本例是具有代表性的， 本例中所出现
＝ （１－ ２ｐ）
（ｐｋ－ １－
１ ２
）
，ｋ＝１，２，…，
ｎ
其中 ｐ０＝１ 将所有 ｎ 个等式的左、右端连乘， 得到
即
Ｐｎ＝
１ ２
［ １＋ （１－ ２ｐ） ｎ］
注 １： 上 面 得 到 的 递 推 关 系 式 ｐｋ＝ｐ＋ｐｋ－１ （１－ ２ｐ） ，ｋ＝１，２，… ， ｎ 称 为 差 分 方 程．在 此 方 程 中 ， ｐｋ 与 ｐｋ－１ 有关．原则上说， 由 ｋ＋１ 起， 逐次求解上述 方程就能得 ｐｎ 。
△ｙ 存在， 则称函数在 △ｘ
ｘ０ 可导”这个 ｘ’ｘ０，包括ｘ’ｘ０＋或 ｘ’ｘ０－ 都可 以 ，
故ｘ０ 必为这个邻域的内， 因而导数公式只能适用
于区间的内点， 而一般的高等数学教材都不过多
Ｐｎ＝ （２ｐ－ １） ｎ－１ｐ１＋ （１－ ｐ） ［ １＋ （２ｐ－ １） ＋ （２ｐ－ １） ２… ＋ （２ｐ－ １） ｎ－２］
ｐ， 问在 ｎ 次独立试验中 Ａ 出现偶数次的概率 Ｐｎ 是多少？
解 ： 设 Ａｋ 表 示 “在 ｋ 次 试 验 后 ， Ａ 出 现 偶 数次”， Ｈ 表示“Ａ 在 ｋ 次试验中出现”，
记 Ｐ （Ａｋ） ＝ｐｋ，Ｐ （Ｈ） ＝ｐ 则 Ａｋ＝Ａｋ－１Ｈ∪Ａｋ－１Ｈ ， 显然 Ａｋ－１Ｈ 与 Ａｋ－１Ｈ 互不相容， 故 Ｐ （Ａｘ） ＝Ｐ （Ａｋ－ １Ｈ） ＋ （Ａｋ－１Ｈ） 由于 Ａｋ－１， Ａｋ－１ 只与前 ｋ－ １ 次试验有 关 ， Ｈ，Ｈ 只 与 第 ｋ 次 试 验 有 关 ， 而 各 次 试 验 是
８４
利用差分方程及微分方程计算概率
学 习
探
究
河北省衡水学院数学与计算机科学系 包素华 任睿
［摘 要］ 在初等概率的计算中， 有些问题可以归结为求一个递推关系式的解或者归结为求一个级 数的和， 或者归结为一个微分方程的解．
［关键词］ 差分方程 微分方程 概率 独立
在初等概率论中， 计算事件的概率是很基本
的工作， 也是很重要的内容， 计算概率的类型是
；
若 ｎ 为偶数，
则
ｐｎ＝１－ ｃ ．这时，若
ｃ＝ １ ２
，
则 ｐｎ＝
１， ２
ｌｉｍＰｎ＝
１ ２
，
若
ｃ≠ １ ２
则 ｌｉｍＰｎ 不存在．
当 ０＜ｐ＜１ 时，
易见
ｌｉｍＰｎ＝
１ ２
（ 三） 利用微分方ห้องสมุดไป่ตู้的解计算概率。
例 ３．已知自动织布机在 ｔ 这段时 间 内 因 故 障
而停机的概率为 !△ｔ＋ｏ（△ｔ）（ ! 为常数） ， 并设机器
例 １：
设 ｆ （ｘ） ＝ｓｉｎｌｎ （ｘ２ ＋３） ，ｘ∈ ［０，１］ ，
求
ｆ
／ －
（０） ， ｆ／＋ （０）
∴ｆ／＋ （ｘ） ＝
２ｘ
或者干脆这样做 ｆ／＋ （０） ＝ ２ｘ｜ｘ ＝０
例 ２：
在没有理论根据之前， 上述做法是欠妥的， 有的
高等数学书导数的定义是：
若用单侧导数定义解， 例 １ 显然是很麻烦，
“设函数 ｙ＝ｆ （ｘ） 在邻域内有定义， 若极限
有的同学这样解， 但不明其理。
解 ： 当 ｘ%０，ｆ （ｘ） ＝ｘｅｘ 在 （ ０ ＋∞） 内 可
导。因而 ｆ／（ｘ） ＝ｅｘ＋ｘｅｘ
∴ｆ／＋ （ｘ） ＝
（ｅｘ＋ｘｅｘ） ＝ｅ０＋０×ｅ０＝１＝０
或者的的同学干脆以 ｘ＝０ 代入
＝ ｆ （ｘ－ ｆ （ｘ０）） ＝ ｘ－ ｘ０
将 上 述 ｎ－ １ 个 等 式 两 边 相 加 ， 约 去 ｐ２ 至 ｐｎ－１ 的各项后得到
解法 ８： 利用复数 由于 １＝ｃｏｓ ０＋ｉ ｓｉｎ ０ 于 是
故 ｆ （ｘ） 含 （ｘ＋ｙ＋ｚ）， （ ｘ＋ｙ!＋ｚ!２） ， （ｘ＋ｙ!２＋ｚ!）
职
１ 的立方根是
三因式令 ｆ （ｘ） ＝ｋ （ｘ＋ｙ＋ｚ） （ ｘ＋ｙ!＋ｚ!２） （ｘ＋ｙ!２＋
Ｐ （Ａｉ〗Ａｉ－１） ＝ｐ， Ｐ （Ａｉ〗Ａｉ－１） ＝ｐ 于是 Ｐ （Ａｉ〗Ａｉ－１） ＝１－ ｐ， Ｐ （Ａｉ〗Ａｉ－１） ＝１－ ｐ 由全概率公式得
Ｐｉ ＝Ｐ （ Ａｉ） ＝Ｐ （ Ａｉ －１） Ｐ （ Ａｉ〗Ａｉ －１） ＋ Ｐ （ Ａｉ －１） Ｐ （Ａｉ〗Ａｉ－ １）
＝ （１－ ｐ） ＋ （２ｐ－ １） ｐｉ－１，１≤ｉ≤ｎ 从 而 ｐｎ－ｋ （２ｐ－ １） ｋ＝ （１－ ｐ） （２ｐ－ １） ｋ＋Ｐｎ－ｋ－１ （２ｐ－ １） ｋ＋１，ｋ＝２，３…
业 教
ｚ!）， 比较两边 ｘ３ 的系数得 Ｋ＝１， 则
育
即 １ 的立方是： １，
ｘ３＋ｙ３＋ｚ３－ ３ｘｙｚ＝ （ｘ＋ｙ＋ｚ） （ ｘ＋ｙ!＋ｚ!２） （ｘ＋ｙ!２＋ｚ!）
２００７ ．７
＝ （ｘ＋ｙ＋ｚ） （ｘ２＋ｙ２＋ｚ２－ ｘｙ－ ｙｚ－ ｚｘ）
令
则
!３＝１，
设 ｆ （ｘ） ＝ｘ３＋ｙ３＋ｚ３－ ３ｘｙｚ，
（ 二） 利用求级数的和计算概率。
例 ２．抛 ｎ 次硬币， 第一次出现正面的概率为
ｃ ， 从第二次开始， 出现与第一次相同的概率为
ｐ ， 求第 ｎ 次时出现正面的概率， 并讨论当 ｎ"
∞ 时的情形。
解： 设 Ａｉ 表 示 “第 ｉ 次 出 现 正 面 ”， Ｐ （Ａｉ） ＝ｐｉ， ｉ＞１，Ｐ （Ａ１） ＝ｃ．由题意