圆与相似三角形复习知识点

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专题十三--相似三角形定理与圆幂定理

专题十三相似三角形定理与圆幂定理本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【知识要点】1．相似三角形概念相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形．相似比：相似三角形对应边的比．2．相似三角形的判定如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)．如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．3．直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4．相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例．相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．相关结论平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．6．弦切角定理弦切角定义：切线与弦所夹的角．弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．7．圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．8．圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有PA·PB＝PC·PD．【复习要求】1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．3．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【例题分析】例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AFDF AC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt △BAC ∽Rt △BDA ，得出=AC AB AD BD ，于是只需证出ADBD AF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可．证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴ADBD AC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，又∵∠F ＝∠F ，∴△FAD ∽△FDB ，∴DF BF AD BD =………②，由①②得⋅=DFBF AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21= 【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ．由已知易得21=AB AD ，于是只须证明,ABAD BC DE = 进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得．证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30° ∵AB AD 21=，AC AE 21=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A ∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==. 【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证BDFD AD CD =【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ， ∴⋅=BDFD AD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．小结为“横瞧竖看分配相似三角形”．例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF【分析】化求证的等积式为比例式：DE DF BC AB =，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式DEDF AD CD = 证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ，∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DE DF AD CD = ∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DE DF BC AB =即AB ·DE ＝BC ·DF ．【说明】DEDF BC AB =，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDF AD CD =，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形．(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1，.3,121===BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3．∵31+=+=CQ AC AQ ，,23121+==AQ AP ∴=-=AP AB BP 2332312-=+- 231+=-=AO AP PO 2131-=-， ∴3:=PO BP ．【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧．例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求BFBD AF AB =，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可．证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ．(2)在△DBF 与△BAF 中，∵∠FBD ＝∠FAB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，BFBD AF AB =，∴AB ·BF ＝BD ·AF ．又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ．例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D．求证：BC＝2DE【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由圆内接四边形性质可得∠B＝∠DEC，所以∠C＝∠DEC，所以DE＝CD，连结AD，可得AD⊥BC，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC＝2CD，即BC＝2DE．证明：连结AD∵AB是⊙O直径∴AD⊥BC∵AB＝AC∴BC＝2CD，∠B＝∠C∵⊙O内接四边形ABDE∴∠B＝∠DEC(四点共圆的一个内角等于对角的外角)∴∠C＝∠DEC∴DE＝DC∴BC＝2DE例8⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF＝FG．【分析】由于FG切圆O于G，则有FG2＝FB·FC，因此，只要证明FE2＝FB·FC成立即可．证明：∵在△BFE与△EFC中有∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，∴△BFE ∽△EFC ，FEFC FB FE ，∴FE 2＝FB ·FC ．又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．习题13一、选择题1．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（）A ．4aB ．3aC ．2aD ．43a 2．如图，AD 是△ABC 高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则(1)AD 2＝BD ·CD (2)AD 2＝AE ·AB (3)AD 2＝AF ·AC (4)AD 2＝AC 2－AC ·CF 中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )A ．135°B ．110°C ．145°D ．120°4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°B ．∠BAD ＞∠CADC ．∠BAD ＝∠CADD ．∠BAD ＜∠CAD二、填空题 5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝______，AD＝______．6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，S △ABC ＝4S △ABD ，则AB ∶BC ＝______．7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝，则tan 22______．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 与B ，CD 切⊙O 与D ，交BA 的延长线于E ．若AB ＝3，ED ＝2，则BC 的长为______．三、解答题9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点，(Ⅰ)求∠AOD的度数；(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．(1)求证：∠ACO ＝∠BCD ；(2)若BE ＝2，CD ＝8，求AB 和AC 的长．专题十三相似三角形定理与圆幂定理参考答案习题13一、选择题：1．A 2．C 3．D 4．C二、填空题5．3,3 6．1∶2 7．31 8．3 三、解答题9．(Ⅰ)∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵⊙O 内切于梯形ABCD ， ∴AO 平分∠BAD ，有∠DAO ＝21∠BAD ，又DO 平分∠ADC ，有∠ADO ＝21∠ADC ． ∴∠DAO ＋∠ADO ＝21(∠BAD ＋∠ADC )＝90°，∴∠AOD ＝180°－(∠DAO ＋∠ADO )＝90°．(Ⅱ)∵在Rt △AOD 中，AO ＝8cm ，DO ＝6cm ， ∴由勾股定理，得.cm 1022=+DO AO∵E 为切点，∴OE ⊥AD ．有∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠AOD ．又∠CAD 为公共角，∴△AEO ∽△AOD ． ∴cm 8.4,==∴=⋅ADOD AO OE AD AO OD OE . 10．(1)连接OD ．∵OA ＝OD ，AD 平分∠BAC ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∠OAD ＝∠CAD ．∴∠ODA ＝∠CAD ．∴OD ∥AC ．∴∠ODB ＝∠C ＝90°．∴BC 是⊙O 的切线．(2)过D 作DE ⊥AB 于E ．∴∠AED ＝∠C ＝90°．又∵AD ＝AD ，∠EAD ＝∠CAD ，∴△AED ≌△ACD ．∴AE ＝AC ，DE ＝DC ＝3．在Rt △BED 中，∠BED ＝90°，由勾股定理，得422=-=DE BD BE ，设AC ＝x (x ＞0)，则AE ＝x ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝BD ＋DC ＝8，AB ＝x ＋4，由勾股定理，得 x 2＋82＝(x ＋4)2．解得x ＝6．即AC ＝6．11．(1)连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴＝．∴∠1＝∠2．又∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A ．∴∠1＝∠2．即：∠ACO ＝∠BCD ．(2)由(1)问可知，∠A ＝∠2，∠AEC ＝∠CEB ．∴△ACE ∽△CBE ．∴CEAE BE CE =．∴CE 2＝BE ·AE ．又CD ＝8，∴CE ＝DE ＝4．∴AE ＝8．∴AB ＝10．∴AC ＝.548022==+CE AE。

相似三角形与圆的关系

相似三角形与圆的关系相似三角形与圆的关系是几何学中十分重要的一个概念。

在这篇文章里，我们将探讨相似三角形与圆之间的关联以及应用。

一、相似三角形的基本概念相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。

其特点是对应角相等，对应边成比例。

我们用符号"∼"表示相似关系。

例如，三角形ABC与三角形DEF在形状上相似可以表示为：△ABC∼△DEF。

二、相似三角形与圆的内切关系当一个圆完全内切于一个三角形时，这个三角形与圆的关系是非常特殊的。

我们把这个圆称为三角形的内切圆。

内切圆与三角形的三边都相切，且各切点处的切线互相垂直。

三、相似三角形与圆的外切关系与内切圆相反，当一个三角形完全外切于一个圆时，这个圆称为三角形的外切圆。

外切圆与三角形的三边都有公切线，且切线相交于圆的圆心。

四、相似三角形与圆的面积关系利用相似三角形的性质，我们可以推导出相似三角形与圆的面积关系。

假设有两个相似的三角形，它们的对应边长比为k，那么它们的面积比就是k的平方。

同样地，如果一个小三角形与一个大三角形相似，那么它们的面积比就是两个三角形对应边长的比的平方。

五、相似三角形与圆的应用相似三角形与圆的关系在实际生活中有许多应用。

例如，通过利用相似三角形的特性，我们可以测量无法直接获取的高度，如高楼或者山脉。

通过测量一个影子与其高度的比例，利用相似三角形原理可以得到物体的实际高度。

此外，在工程设计中，相似三角形与圆的关系也有实际应用。

例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的比例。

圆的外切或内切关系也可以用于定位和绘图。

总结：相似三角形与圆的关系是几何学中重要的一个主题。

通过了解相似三角形的基本概念、内切关系和外切关系，我们可以更好地理解相似三角形与圆的联系。

此外，相似三角形与圆的面积关系以及实际应用也是我们需要探索和学习的内容。

相似三角形的研究对于几何学的发展具有重要的意义，并在实际中有广泛的应用。

第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)

在 Rt△ADC 中，∵∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝ 3， S 阴影＝S 梯形 OCDA－S 扇形 AOC＝12(1＋2)× 3－60·3π60·22＝ 323－2π3 .
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°，当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.

圆中的相似三角形

【学习课题】第10课时圆中的相似三角形【学习目标】1通过探究圆中的相似三角形获得相交弦定理，切割线定理，割割线定理；2能运用相交弦定理，切割线定理，割割线定理解决简单的数学问题。

【学习重点】1探究圆中的相似三角形，掌握重要的比例线段；2利用相交弦定理，切割线定理，割割线定理解决简单的数学问题。

【候课朗读】四点共圆定理；切线判定定理；弦切角定理。

一.学习准备1相似三角形中常见的二级图图图3⑴根据图1添加一个条件_____________;使得△APD与△CPB相似;⑵根据图2添加一个条件_____________;使得△PCB与△PAC相似;⑶根据图3添加一个条件_____________;使得△APC与△DPB相似;二.解读教材2探索圆中的相似三角形根据基本图形,完成下表:圆幂定理⑴相交弦定理：圆的弦相交于圆内的一点，各弦被这点内分成的两线段长的乘积相等；⑵切割线定理：圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.-⑶割割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.三.挖掘教材4 圆幂定理的运用例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12和16两段，第二条弦的长为32，求第二条弦被交点分成的两段的长。

解：设第二条弦被交点分成的一段长为x，则另一段长为__________.根据相交弦定理可得:___________________ 解得x=______________,则另一段长为_______________.因此另一条弦被交点分成的两段长分别为_______,_______._P例2 如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，P A=10，PB=5，求⊙O 的半径解:设⊙O 的半径为x,则BC=____,PC=_____. ∵PA 是⊙O 的切线 ∴2PA=_________（切割线定理）即__________________. 解得x=____. 因此，⊙O 的半径是_____.例3 如图,已知 ⊙O 的割线PAB 交⊙O 于点A 和B ，PA=6,AB=8,PO=10,求⊙O 的半径.解:设⊙O 的半径为x,则PC=______,PD=_______. 根据切割线定理的推论可得:________PA PB ∙=.即 ________________. 解得x=____.因此，⊙O 的半径是_____.四.反思小结【达标检测】1.如图，⊙O 的两条弦AB,CD 相交于点E ，AC 和DB 的延长线交于点P A.BD PB CA PC∙=∙ B.ED B AE CE ∙=∙C.BA BE CD CE ∙=∙D.PA PC PD PB ∙=∙2.如图，已知BC 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，若52=AB AD ,AC=6，求⊙O3.如图,已知⊙O 于⊙1O 都经过点A 和B ，点P 在BA 的延长线上，过P 作⊙O 的割线PCD 交⊙O 于C,D ，作⊙1O 的切线PE 切⊙1O 于E 。

九年级圆与相似三角形专题复习

九年级圆中三角形相似复习专题1、黄金分割点：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

其中AB AC 215-=≈AB 。

2、黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.作法：（1）过点B 作BD⊥AB，使BD=；（2）连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；（3）在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点。

（4）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形 3、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 4、性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

5、相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。

相似比为k 。

6、判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

圆内的相似三角形

于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。
求证：AB2= BG·BC
A
通过角的转化寻找相等的角，从而找到或构造有共角的两个相似三角形。
D
基本图形：
C
H
数学思想：转化、构造
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巩固应用，深化认知
练一练：如图，在⊙O中，弦AB，CE交于D，点C是弧的中点。
（1）若CD·CE=16,则CB=___4____。
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课后练习
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复习回顾，形成通法
问题：
（1）如图1，在ΔABC中，点D是AB上的一点，连结CD，请你添加一个条件，使△BCD∽△BAC，你的添加条件是_________________________。
（2）画一画：如图2，ΔABC的外接圆为⊙O，尝试根据圆的基本性质在边AB上作出点D，使∠A=∠DCB。
————— 高斯
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课后练习
练习1：已知如图，△ABC内接于圆O，AB为直径， ∠CBA的平分线交AC于点F，交圆O于点D，DE⊥AB 于点E，且交AC于点P，连结AD。（1）求证：∠DAC=∠DBA。（2）求证：点P是线段AF的中点。（3）若圆O的半径为5，AF= ，求的值。
复习回顾，形成通法
问题：
（2）画一画：如图，ΔABC的外接圆为⊙O，尝试根据圆的基本性质在边AB上作出点D，使得∠A=∠DCB。
D EF
D E
D E
在圆中，证有公共角的两个三角形相似：方法一是证一组角相等。证等角常利用圆的基本性质。
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巩固应用，深化ห้องสมุดไป่ตู้知
问题一：如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交AC

专题37 圆中的三角形相似问题(解析版)

专题37 圆中的三角形相似问题1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD延长线于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．解：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，延长BC交AE的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CFD∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AD＝．2、如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；（2）求⊙P的半径．（1）证明：连接CP，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA，∵AC平分∠OAB，∴∠PAC＝∠EAC，∴∠PCA＝∠EAC，∴PC∥AE，∵CE⊥AB，∴CP⊥EF，即EF是⊙P的切线；（2）∵AC平分∠OAB，∴∠BAC＝∠OAC，∵PA＝PC，∴∠PCA＝∠PAC，∴∠BAC＝∠ACP，∴PC∥AB，∴△OPC∽△OAB，∴＝，∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，∴AB＝，∴＝，∴PC＝5，∴⊙P的半径为5．3、如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM的值．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．4、如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．6、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．（1）证明：连接OC，∵∠A＝∠CBD，∴＝，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°，∵∠ABC＝∠CBF，∴∠A＝∠BCF，∵∠A＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD，∴CG＝BG；（3）解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°，∵＝，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∴＝tan30°＝，∵CE∥BD，∴∠E＝∠DBA＝30°，∴AC＝CE，∴＝，∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝30°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC，∴△CGB∽△CBE，∴＝＝，∵CG＝8，∴BC＝8，∴BE＝8．7、如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）已知∠A＝30°．①若BE＝3，求BD的长；②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，则∠GEB＝90°，∴∠G+∠GBE＝90°，∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，∴∠EBD+∠GBE＝90°，∴∠GBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接AG，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，∴∠GBA＝∠CBD，又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，∴＝＝tan30°＝，又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，∴BG＝2BE＝6，∴BD＝6×＝2；（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下，由（2）知＝，＝，∴＝，∵B，E为定点，BE为定值，∴BD为定值，D为定点，∵∠BCD＝90°，∴点C在以BD为直径的⊙M上运动，∴当点C在线段OM上时，OC最小，此时在Rt△OBM中，＝＝，∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠BDC+∠ACD＝180°，∴AC∥BD，∴四边形ABCD为平行四边形．8、如图，AB、CE是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，AD⊥PC于D，连接AC、OD、PE．（1）求证：AC是∠DAP的角平分线；（2）求证：PC2＝P A•PB；（3）若AD＝3，PE＝2DO，求⊙O的半径．证明：（1）∵PC是圆的切线，AD⊥PD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC是∠DAP的平分线；（2）如右图，连接BC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠OBC＝90°，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCB+∠BCP＝90°，∴∠CAB＝∠BCP，又∵∠CPB＝∠APC，∴△CPB∽△APC，∴＝，∴PC2＝P A•PB；（3）设半径为r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2+PC2＝4r2+PC2，∵PE＝2DO，∴4DO2＝4r2+PC2，∴4（DO2﹣r2）＝PC2，∴4DC2＝PC2，∴PC＝2CD，∵AD∥OC，∴△PCO∽△PDA，∴＝，∴＝，∴r＝2．9、如图，AB是直经，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．（3）若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．（1）证明：如图1，连接OC，OD，BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AC于E，∴∠E＝90°，∴∠ACB＝∠E，∴BC∥DE，∵点D是的中点，∴，∴∠COD＝∠BOD，又∵OC＝OB，∴OD垂直平分BC，∵BC∥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）AD2＝AE•AB，理由如下：如图2，连接BD，由（1）知，，∴∠EAD＝∠DAB，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠E＝90°，∴△AED∽△ADB，∴＝，即AD2＝AE•AB；（3）由（1）知，∠E＝∠ECH＝∠CHD＝90°，∴四边形CHDE为矩形，∴ED＝CH＝BH＝3，∴OH＝＝＝4，∴CE＝HD＝OD﹣OH＝5﹣4＝1，AC＝＝＝8，∴AE＝AC+CE＝9，∵BF是⊙O的切线，∴∠FBA＝∠E＝90°，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△BAF，∴＝，即＝，∴BF＝．10、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．（1）证明：∵EF⊥OG，BC是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠EFC＝90°，∴∠EOF＋∠FEB＝90°，∠BOC＋∠BCO＝90°，∵∠EOF＝∠COB，∴∠FEB＝∠BCO，∵CB，CD是⊙O的切线，∴∠ECF＝∠BCO，∴∠FEB＝∠ECF；（2）解：如解图，连接OD，则OD⊥CE，∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.11、如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．（1）证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.如解图，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°.即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA；（3）解：∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在等腰直角三角形BDC中，DC＝DB＝5 2.∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDCA，即PB ＝DC·BD CA ＝52×528＝254. 12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .（1）若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；（2）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE 2＝AB ·EF .（1）解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，∴OB ＝5，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；（2）解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 中点，∴DE ＝12AC ＝EC ，在△DOE 与△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，∴△DOE ≌△COE (SSS)．∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；（3）证明：由（2）知，△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， ∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .。

圆形相似知识点

圆形相似知识点
圆形相似是几何学中的一个重要概念，它在解决各种几何问题中起着关键作用。

本文将从基本定义、性质和应用三个方面来介绍圆形相似的知识点。

一、基本定义 1. 相似三角形：两个三角形如果对应的角相等，那么它们就是相
似的。

类似地，对于圆形，如果两个圆的半径之比相等，那么它们就是相似的。

简而言之，两个圆形相似意味着它们的半径之比相等。

二、性质 1. 长度比例：如果两个圆形相似，那么它们的半径之比等于它们的周
长之比，也等于它们的面积之比。

例如，如果半径比为2:3，那么它们的周长比也
是2:3，面积比也是2:3。

2. 弧度比例：相似圆形的弧度比等于它们的半径比。

这
个性质在解决扇形角度问题时非常有用。

三、应用 1. 长度问题：通过圆形相似可以解决一些关于长度的问题。

例如，已
知一个圆的半径为r，现在需要计算一个相似圆的半径，可以利用半径比例关系来
求解。

2. 面积问题：同样地，圆形相似也可以用于解决面积问题。

例如，已知一
个圆的面积为A，需要计算一个相似圆的面积，同样可以利用面积比例关系来求解。

3. 角度问题：圆形相似还可以用于解决一些角度问题。

例如，已知一个扇形的圆心角度为θ，那么对应的相似圆的圆心角度就是θ乘以圆形相似的弧度比。

总结起来，圆形相似是几何学中一种重要的概念，它可以用于解决长度、面积
和角度等各种问题。

在应用中，我们可以利用圆形相似的性质和公式，通过简单的计算来求解相关的几何量。

初中数学知识点(圆,相似,三角函数)

第十二次课托勒密定理：四边形 ABCD内接于圆，求证 AC*BD=AD*BC+AB*CD 复习：全等，相似，圆，四边形，三角函数 1.三角形：三角形模型（A字型，8字型，燕尾型，外角平分线）内心：三角形内接圆的圆心重心：三角形中线的交点外心：三角形外接圆的圆心垂心：三角形高的交点
2.全等判定方法：SSS,SAS,ASA,HL,AAS
弦切角定理弦切角的度数等于它所加的弧的圆心角度数的一半，等于它所加弧所对的圆
周角度数
圆幂定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两
条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点 P引两条割线与圆分别交于 A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD
这两个集合有包含关系，称为集合 A为集合 B的子集。用平面上闭合曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn图如果集合 A为集合 B的子集，且集合 B为集合 A的子集，此时集合 A与
集合 B中的元素是一样的，因此集合 A与集合 B相等，记作 A=B，如果集合 A 包含于集合 B如果集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素,我们就说 A ⊆ B(读作 A包含于 B),或 B ⊇ A(读作 B包含 A),称集合 A是集合 B的子集.如果 A
A={x∈I|p}，其中 x叫做代表元素，I是代表元素 x的取值范围，p是个元素的共同特征。开区间：{x|1<x<2}等价于 x∈（1,2）左闭右开区间：{x|1《x<2}等价于 x∈[1,2）闭区间：{x|1《x《2}等价于 x∈[1,2] {x|x>1}等价于 x∈（1，+∞） {x|x《2}等价于 x∈（-∞，2）

中考数学相似形和圆考点分析及复习教案

相似形和圆考点分析及复习研究【考点链接】（一）比例基本性质及运用1．线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a 、b 的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b=m ：n ，或写成a m=bn，和数的一样，两条线段的比a 、b 中，a 叫做比的前项 b 叫做比的后项．注意：（1）针对两条线段，（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；（3）其比值为一个不带单位的正数．2．线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a c =b d或a ：b=c ：d ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、d 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项，当比例内项相同时，即争a b bc或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项． 3．比例的性质要注意灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，即由a c =bd推出b d =ac等，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc 的基本性质不变．4．黄金分割：在线段AB 上有一点C ，若AC ：AB=BC ：AC ，则C 点就是AB 的黄金分割点．（二）相似三角形的性质和判定1．相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形的对应边的比叫做相似比．2．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．注：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．②在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．（三）相似多边及位似图形1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形． 2．相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比． 3．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．【例题评析】例1．如图l ，D 、E 两点分别在△CAB 上，且 DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．解：∠1=∠B 或∠2=∠C 或AE ：AC=AD ：AB 例2．如图2，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加的条件是___________解：∠CDC=∠ACB 或∠ACD=∠ABC 或AD ：AC =AC ：AB ．图1 图2例3．在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm ，它的实际长度约为（）A ．320cmB ．320mC ．2000cmD ．2000m 解：设它的实际长度约为xcm ，则1：8000=25：x ．解得x=200000，200000cm=2000m ．故它的实际长度为2000m ．故选D ．例4．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度是1.5m ，那么旗杆的高度是___________m.解：设旗杆的高度为xm ，由于在同一时刻旗杆的高度与其影长的比等于人的眼部高度与其影长的比，可列出x 1.5 = 402 解得x=30（m ）【当堂反馈】1、已知 x y =3，那么x-yy的值是____________-2、在Rt △ABC 中，∠BAC ＝900，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝，AD ＝。

圆与相似三角形综合题解题技巧

圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形的综合题是高中数学中的重点难点之一。

一般来说，这类题目需要我们掌握以下的解题技巧：
一、圆相关定理
1.圆的性质：圆周上任意两点距离相等，圆心到圆周上任意一点的距离相等。

2.圆心角定理：圆周上两点的连线所对的圆心角是不变量。

3.圆的切线定理：切线与半径垂直，切点在圆心角的平分线上。

二、相似三角形相关定理
1.角度相等定理：若两个角分别相等，则两个三角形相似。

2.比例定理：若两个角分别相等，则两个三角形对应边的长度成比例。

3.三角形内角和定理：一个三角形内角的度数和是180度。

基于以上的定理，我们可以通过以下步骤解决圆与相似三角形的综合题：
1.根据圆心角定理，求出圆心角。

2.根据角度相等定理或比例定理，确定相似三角形的相似比例。

3.利用三角形内角和定理，求出三角形另一个角的度数。

4.根据三角形内角和定理和已知角度，求出第三个角的度数。

5.利用已知角度和比例定理，求出相似三角形的边长。

6.应用圆的切线定理、圆心角定理或其他定理，求出需要求解的量。

需要注意的是，在解题过程中，我们需要注意角度单位是否一致，如角度一般用度数表示，而弧度制需要换算。

同时，我们还需要注意图形的几何位置关系，如切线与圆周、圆心角的平分线等。

综上所述，圆与相似三角形的综合题需要我们掌握相关的定理和解题技巧，同时需要注意单位和几何位置关系。

中考复习圆中相似三角形的常见模型

圆中相似三角形的常见模型针对训练1．（2018•广元）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．2．（2018•柳州）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：△DAC∽△DBA；（2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE＝AD；（3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．3．（2018•通辽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．4．（2018•广西）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切；（2）若＝，求的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD＝OD，求OE的长．5．（2018•宁波）如图1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA 上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE＝EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．6．（2018•台州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC＝CE；（2）求证：BC2﹣AC2＝AB•AC；（3）已知⊙O的半径为3．①若＝，求BC的长；②当为何值时，AB•AC的值最大？7．（2018•株洲）如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE．（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，①△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值．8．（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2＝CE•DE；（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．9．（2018•盐城）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．（1）试说明点D在⊙O上；（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC•AE．求证：BE为⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．。

初高中知识衔接第三章《相似形、三角形与圆》

初高中知识衔接第三章《相似形、三角形与圆》【本讲教育信息】一. 教学内容1、平行线分线段成比例定理与三角形相似2、三角形的“四心”3、直线与圆，圆与圆的位置关系4、点的轨迹二. 基础概念回顾（一）平行线分线段成比例定理与相似形在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，123////l l l ，有AB DEBC EF=.当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.【典例分析】例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 解 1232////,,3AB DE l l l BC EF \==Q 28312,.235235DE DF EF DF ====++例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 证明（1）//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ADE ∴∽ABC ，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2）如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC图3.1-1图3.1-2AD AEAB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ，因而.DE BF =//,.AE BF DEEF AB AC BC BC∴==.AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BDAC DC=. 证明过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.【练习1】1．如图3.1-6，123////l l l ，下列比例式正确的是（）A ．ADCE DF BC = B ．ADBCBE AF = C ．CEAD DF BC = D.AFBEDF CE=2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .图3.1-3图3.1-63．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.【练习2】1．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:ADE BCDE S S V 四边形等于（）A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:21 2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4. 如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .（二）三角形“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.图3.1-8图3.1-7图3.1-15图3.1-20例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 ABC V 中，,AD BC D BE AC E ^^于于，AD 与BE 交于H 点. 求证 C H A B ^.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.【练习3】1．已知：在ABC 中，AB =AC ，120,o BAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（） A．AD AB =B ．12AD AB =C ．AD BD = D．2AD BD =图3.2-8图3.2-5图3.2-32．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（） A ．6 B ．4.5 C ．2.4 D ．83．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________. 4．已知：,,a b c 是ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。

圆与相似三角形-垂直定理

网络课程内部讲义垂径定理垂径定理一、知识要点垂径定理及推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.（当以①、③为题设时，“弦”不能是直径.）二、典型例题1、利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系例1.（重庆市）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°,则∠DCF等于（）A.80°B. 50°C. 40°D. 20°2、利用垂径垂直平分弦，证相有关线段相等例2.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM ⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．变式一：变式二：例3. （南京市）如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .变式一：圆内两条互相平行的弦AB 、CD ，其中AB =16cm ，CD =12cm ，圆的半径为10，求AB 、CD 间的距离.变式二：如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝30o ，求：（1）CD 的长；（2）DH CG −.变式三：如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（） A ．28 B ．26 C ．18D ．35变式四：如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，那么⊙O 的半径OA 的长（）A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm3、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理解题例4.（长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．例5.有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB 宽7.2m ，拱顶CD 高出水面2.4m.现有一艘宽EF 为3m ，船舱顶部为长方形并高出水面2m 的船要经过这里，此船能顺利通过这座桥吗?ABC DEF三、强化训练1、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有条.2、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为.3、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120o ，BC ＝10cm ，则△ABC 的外接圆半径为 .4、圆内一弦与直径相交成30o 的角，且分直径为1cm 和5cm 两段，则此弦长为 .5、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长.6、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值.7、如图，AB 、AC 为⊙O 的两条弦，D 、E 分别为p AB 、pAC 中点，求证：AM =AN .四、中考试题满分解答欣赏（试题选自各省市中考试题及模拟试题的解答题部分，属综合题型，可能包含目前未学过的内容） 2009北京中考20．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过B 、M 两点的⊙O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为⊙O 的直径．（1）求证：AE 与⊙O 相切；（2）当BC ＝4，31cos =C 时，求⊙O 的半径．满分解答：（1）证明：连结OM ，则OM ＝OB ． ∴∠1＝∠2．∵BM 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠3． ∴∠2＝∠3． ∴OM ∥BC ．∴∠AMO ＝∠AEB ．在△ABC 中AB ＝AC ，AE 是角平分线， ∴AE ⊥BC ．∴∠AEB ＝90°．∴∠AMO ＝90°．∴OM ⊥AE ． ∴AE 与⊙O 相切．（2）解：在△ABC 中，AB ＝AC ，AE 是角平分线，BC BE 21=∴，∠ABC ＝∠C ． ∵BC ＝4，31cos =C ，∴BE ＝2，31cos =∠ABC ．在△ABE 中，∠AEB ＝90°，∴6cos =∠=ABC BE AB ．设⊙O 的半径为r ，则AO ＝6－r ． ∵OM ∥BC ，∴△AOM ∽△ABE ．ABAO BEOM =∴．662r r −=∴．解得23=r ．3．∴⊙O的半径为2。

圆与相似三角形综合问题

NMEDCBAEDCBAE DCBA学生：科目：数学教师：谭前富知识框架相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.1、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法（1）三边对应成比例的两个三角形相似（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似（3）两组角对应相等的两个三角形相似.3、相似三角形中几个的基本图形4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.如图，若DE∥BC,则AD AE DEAB AC BC,或AD BDAE CE.定理2 平行切割定理如图，,D E分别是ABC的边,AB AC上的点，过点A的直线交,DE BC于,M N,若DE∥MN,则DM BNME NC定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.EDCBAl 3l 2l 1C /B /A /CBA l 3l 2l 1C /B /A /CB A如图，若1l ∥2l ∥3l ，则 AB BC ACA B B C A C,定理4（角平分线性质定理）如图，,AD AE 分别是ABC 的内角平分线与外角平分线，则DB EB AB DC EC AC.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

相似三角形与圆的面积比例

相似三角形与圆的面积比例相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在数学中，我们常常会遇到需要计算相似三角形的面积比例的问题。

而在这些问题中，如果结合了圆形，便会产生一些有趣的性质和定理。

一、相似三角形的面积比例给定两个相似三角形，假设它们的边长比例为a:b，那么它们的面积比例为(a^2):(b^2)。

这个结论可以通过几何推导或者利用面积的性质来证明。

我们先来看一个简单的例子。

假设有两个相似三角形，它们的两条边的长度比例为2:3，求它们的面积比例。

设相似三角形的面积分别为S1和S2，根据面积的性质，我们有S1/S2=(边长比例)^2=(2/3)^2=4/9。

所以，这两个相似三角形的面积比例为4:9。

二、现在，我们来探讨一下相似三角形和圆的面积比例。

假设有一个固定大小的圆和一个相似于它的三角形，我们想要知道它们的面积比例。

首先，我们需要知道相似三角形的面积比例可以表示为边长比例的平方。

因此，如果可以将这个相似三角形转化为一个带有圆形的问题，我们就可以得到相似三角形与圆的面积比例。

考虑一个等腰直角三角形，它的两条直角边长度为a。

我们可以将这个等腰直角三角形每个直角顶点到斜边的距离定义为圆的半径。

那么，这个等腰直角三角形将与半径为a的圆相似。

根据相似三角形的面积比例定理，这个等腰直角三角形的面积与半径为a的圆的面积的比例为(斜边长度/半径)^2=(a/a)^2=1:1。

这意味着，无论这个等腰直角三角形的大小如何变化，它的面积与半径为a的圆的面积始终保持相等。

三、应用举例在实际问题中，我们可以利用相似三角形与圆的面积比例来解决一些有关面积或者比例的题目。

例1：已知一个半径为4的圆与一个相似三角形的面积比例为1:4，求该相似三角形的面积。

解：根据相似三角形与圆的面积比例，我们可以得到(圆的面积/相似三角形的面积)=1/4。

而已知圆的半径为4，代入圆的面积公式S=πr^2，我们可以得到(π*4^2)/(相似三角形的面积)=1/4。