数学史与数学教育

古埃及的几何学
? 古埃及人在建筑规模宏大的教堂、金字塔和修建复杂的灌溉系统时，都 需要测量；尼罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记，洪水退后也需要重 新勘测土地的界线;……所有这一切，为他们认识基本几何形状和形成几 何概念提供了实际背景．因此，古埃及人的几何学知识较为丰富.
? 在上述两种纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是 计算土地的面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关．例如，古埃及 人知道，任何三角形的面积均为底与高的乘积的一半；圆的面积等于直 径的8/9 的平方，由此可知，他们把圆周率近似地取为3.16；直圆柱的 体积为底面积与高的乘积．
胡夫金字塔（公元前 2500年左右）
? 流传至今的古埃及文献，大部分是以僧侣文书பைடு நூலகம்在纸草上保存下 来的，人们通常称其为纸草书.
? 保存至今有关数学的纸草书主要有两种，都是公元前2000年前后 的作品。 一种是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸 草书，这是由英国人兰德1858年搜集到的；兰德纸草书长544cm, 宽33cm,共载有85个问题。 另一种收藏于俄国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书， 这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的.莫斯科纸草书长 544cm,宽8cm，共载有25个问题.
x
古埃及的代数
? 古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，
其解法是试位法．
? 例如对于方程 x ? x ? 24 ，先给 x 选定一个数值，譬如说7，于是
?
7 7? ?8
7
7
，而不是24，因为8必须乘以3才是24，故 x 的正确的值
一定是7乘以3即21．
? 古埃及人还用它来解二次甚至更高次的方程．例如在卡洪(Kahun)发现
1/7:
2/3:
? 古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的． ? 例如计算： 26×33．他们先将 33的倍数列表，然后从左边一列中选取出和为 26的数 2，8
和16，再将右边一列中它们各自对应的数相加，即将 66，264 ，528 相加得到 858 即为所 求．
? 又如计算： 19÷8 ．他们将 8的倍数与部分列表，再从右边一列中选取出其和为 19的16， 2，1这三个数，并将其对应的左边一列中的三个数 2，1/4,1/8 相加即为所求。
的取值需修正．事实上，只需将原数值加倍，即可得方程的解
x =8, y =6
? 在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载．如兰德纸草书 中有这样一个问题：今将10斗麦子分给10个人，每人依次递 降l／8斗，问各得多少?这是已知一个等差数列的前若干项 和、项数以及公差求其各项的问题．
? 兰德纸草书中给出一个阶梯图形(如图)，对此，数学史家康托尔是这样 解释的：在一个人的财产中，有七间房子，每间房子里七只猫，每只猫 能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麦，而每穗大麦又能长出七俄斗大 麦，问这份财产中房子、猫、老鼠、麦穗和麦子总共有多少?按照这样的 解释，显然是一个公比为7的等比数列求和问题，阶梯图形给出的是这个 数列中的各项．
第一讲：数学的起源与早期发展
数概念的形成 :
大约300,000年前
一定物群之间的一一对应关系
从计数到记数 :
刻痕记数等(30000年前) 书写记数(5000年前)
捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）
甲骨文数字
(1600 B.C.)
形的抽象
古埃及陶罐 3500B.C.
半坡遗址陶器残片 (5000年前)
? 在兰德纸草书中有这样一个问题： “已知金字塔的陡度为每肘五手又一指(一肘为七手，一手为五指)，
几何学的不同文化起源
? 古代埃及—土地丈量 ? 古代中国—天文观测 ? 古代印度—宗教礼仪
河谷文明与数学的起源
? 尼罗河 ? 两河流域—幼发拉底河与底格里斯河 ? 恒河与印度河 ? 长江与黄河
古埃及的数学
? 非洲的尼罗河是世界上最长的河流之一．早在公元前3000年 左右，在这条河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隶制 国家，其地理位置与现在的埃及区别不大．打猎、渔业及畜 牧业是古埃及人最初的谋生方式．一年一度的尼罗河的洪水 给这片谷地带来了肥沃的淤泥，那些以游牧为生的古埃及人 便在这里定居下来，由狩猎转向耕种．在发展农业的同时， 手工业与贸易也随之迅速发展起来，这些都推动了自然科学 各学科知识的积累．
法老时代的尼罗河流域图
? 作为世界七大奇迹之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔， 大约建于公元前2500年左右．该金字塔呈正四棱锥形，底面正方 形面向东西南北四个正方向，边长230.5m，塔高146.6m(现高约 137m)．
? 近年来，科学家们通过使用精密的仪器对这一金字塔进行了测量， 惊奇地发现，其底基正方形边长的相对误差不超过 1：14 000， 即不超过2cm；四底角的相对误差不超过1：27 000，即不超过 12″，四个方向的误差也仅在2′～5′之间，这些都说明当时的 测量水平已相当高.
古埃及的记数制与算术
? 古埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号.在 当一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写 若干次，即遵守加法的法则。
古埃及的记数制与算术
? 古埃及人已有了分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分 子为1的分数。在整数上方简单地画一个长椭圆，就表示该整 数的倒数。只有2/3 是一个例外.
的一份大约是公元前1950年的纸草书中记载了下列问题：将给定的100
单位的面积分为两个正方形，使二者的边长之比为4:3．设此二正方形
的边长分别为
，且 4 y ? 3x ，由题设 x 2 ? y 2 ? 100 首先
取 x ? 4 ,则 y ? 3 ， 此时 x2 ? y2 ? 25 而不是100，因此 x , y
莱茵德纸草书 (1650 B.C.) 大英博物馆
莫斯科纸草书 (1890 B.C.) 莫斯科普希金博物馆
罗赛塔石碑 (1799 发现)
1799年，拿破仑远征军的士兵在距离亚历山大城不远的 记述的古港口罗赛塔地方发现一块石碑，碑上刻有三种 文字——希腊文、埃及僧侣文和象形文记述的同一铭文。
19世纪初，法国文字学家商博良和英国物理学家托马 斯·杨 利用这块碑文，破译了古埃及文字。