离散数学-谓词逻辑-1-左孝凌
左孝凌离散数学1
4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）1.3命题
公式与翻译
• 联结词旳优先级：┐、∧、∨、→、。
则：
P∧Q→R 是合式公式
等价于Wff ： （（P∧Q）→R ）命题公式外层旳括号能够省略
等价于Wff ： （P∧Q）→R
不等价于Wff ： P∧（Q→R）
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）1.3命题
P Q ┐P∨Q
TT T TF F FT T
P→Q
T F T
FF T
T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表 与等价公式
1.4.2 等价公式
同理(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)与P↔ Q相应旳真值相同，如表1-4.6所示。
表1-4.6
P Q P↔Q TT T TF F FT F FF T
公式与翻译
• 1.3.2 复合命题旳符号化(翻译) • 自然语言旳语句用Wff 形式化：
① 要精确拟定原子命题，并将其形式化。 ② 要选用恰当旳联结词，尤其要善于辨认自然语言中旳联 结词（有时它们被省略），否定词旳位置要放精确。 ③ 必要时能够进行改述，即变化原来旳论述方式， 但要确保体现意思一致。 ④ 需要旳括号不能省略，而能够省略旳括号， 在需要提升公式可读性时亦可不省略。
例2：构造公式 (P Q) ∧R旳 真值表。
P Q R PQ (P Q) ∧R
00 0 00 1
01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1
20
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表 与等价公式
例2：构造公式 (P Q) ∧R旳 真值表。
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案(左孝凌版)1-1，1-2（1）解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。
左孝凌离散数学课件
组合数学的应用实例
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组合公式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表示阶乘。
组合数学的基本概念
C(n, k) = C(n, n-k)，C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)等。
组合数的性质
∑(k=0~n) C(n, k)x^(n-k)y^k = (x+y)^n。
帕斯卡恒等式
详细描述
图的应用实例
04
离散概率论
在离散随机试验中，每个样本点发生的可能性可以用一个实数表示，这个实数就是离散概率。
离散概率
由样本空间和概率函数组成，描述离散随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
离散概率空间
如果两个事件之间没有相互影响，则称这两个事件是独立的。
独立性
离散概率的基本概念
如果两个事件互斥，则它们同时发生的概率为各自概率的和。
02
集合论
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
集合是离散数学中的基本概念，它是由确定的、不同的元素所组成的。
集合是由确定的、不同的元素所组成的，这些元素之间具有某种共同特征或属性。例如，所有自然数可以组成一个集合，所有三角形也可以组成一个集合。
集合的表示方法通常使用大括号 {} 或方括号 []，例如 A = {1, 2, 3} 表示一个包含三个元素的集合。
抽样调查
通过抽样调查来估计总体特征时，可以使用离散概率来计算样本的代表性。
赌博游戏
在赌博游戏中，庄家和玩家各自有赢的概率，这些概率可以用离散概率来表示。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳术创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
离散数学课后习题答案.pdf
(7) 证明：
a) A→(B→A) ┐A∨(┐B∨A) A∨(┐A∨┐B) A∨(A→┐B) ┐A→(A→┐B)
离散数学课后习题答案
(左孝凌版)
不得不放弃、
1-1，1-2 （1） 解：
a) 是命题，真值为 T。 b) 不是命题。 c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。 e) 是命题，真值为 T。 f) 是命题，真值为 T。 g) 是命题，真值为 F。 h) 不是命题。 i) 不是命题。 （2） 解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解： a) (┓P ∧R)→Q b) Q→R c) ┓P d) P→┓Q （4） 解： a)设 Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设 R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设 Q:一个数是奇数。R:一个数不能被 2 除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被 2 整除并且一个数不能被 2 整除，则它是奇数。 (5) 解： a) 设 P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b) 设 P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 设 P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d) 设 P： a 和 b 是偶数。Q：a+b 是偶数。P→Q e) 设 P：四边形 ABCD 是平行四边形。Q ：四边形 ABCD 的对边平行。PQ f) 设 P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解：
Ｆ
ＦＦ
Ｆ
ＦＦ
Ｆ
ＦＦ
Ｆ
ＦＦ
Ｔ
ＦＦ
Ｆ
所以，P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R) ｄ）
《离散数学》(左孝凌 李为鉴 刘永才编著)课后习题答案 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课堂PPT(左孝凌版)
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1， P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则 称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q” 称为 P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结 词。 P Q P ∨Q T T T T F T F T T F F F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P 和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示 不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥 性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律
P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F
左孝凌离散数学课件第01章命题逻辑
第一章 命题逻辑
1.2 逻辑联接词
例4. 试生成下列命题的合取. (1) P: 我们在XNA303. Q: 今天是星期二. (2) S：李平在吃饭. R：张明在吃饭. 解: (1) P∧Q :我们在XNA303且今天是星期二. (2) S∧R:李平与张明在吃饭.
""与日常 语言中 与" " " 和"的不 同之处
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第一章 命题逻辑
1.2 逻辑联接词
注意：当P和Q客观上不能同时发生时，“P或Q” 可以符号化为“P ∨ Q”。 例如：小王现在在宿舍或在图书馆。 设 P：小王现在在宿舍。Q：小王现在在图书 馆。 则上述命题可符号化为：P ∨ Q。
""与日常 语言中"或" 的不 同之处
" 题 (1)逻辑学中允许 " 联结两个毫无关系的命 . 不同意义上使用联结词或" , " (2)自然语言中有时在各种 不能一概用 去翻译(如 : P6例3)
第一章 命题逻辑
1.1 命题及其表示方法
(11). 今天天气多好啊！ 感叹句，不是命题 (12). 请你关上门！ 祁使句，不是命题， (13). 别的星球上有生物。 是命题，客观上能判断真 假。 说明： （1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。一 切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子， 如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
第一章 命题逻辑
1.2 逻辑联接词
1.2.4. 条件联结词(蕴涵联结词)→ 定义1.2.4 设P,Q为二命题，复合命题“如果P则Q(若P则Q)” 称为P与Q的条件命题,记作P Q. P Q为假当且仅当P 为真且Q为假.称符号“”为条件联结词。并称P为前件， Q为后件. 联结词“”的定义真值表
左孝凌离散数学优秀PPT课件
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
CHENLI
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命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。
原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。 1.1.3 命题的分类： 简单/原子命题：不能分解为更简单的陈述语句的命题(如
1.2.1 否定联结词(Negation) ┐ 1.2.2 合取联结词(Conjunction)∧ 1.2.3 析取联结词(Disjunction)∨ 1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional)
CHENLI
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在命题逻辑中,主要研究的是复合命题,而复合命
CHENLI
3
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
CHENLI
4
2021/3/9
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
离散数学( ) Discrete Mathematics
CHENLI
1
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的哲 学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七世纪， 德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称 为数理逻辑(或符号逻辑)。
1.1.2 命题的表示方法
左孝凌离散数学课件
01
集合论
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念，它是由一组确定的、不同的、互不相同的元素所组成的 。
详细描述
集合是离散数学中一个最基本的概念，它是由一组确定的、不同的、互不相同的元素所 组成的。这些元素可以是数字、字母、图形等，它们在集合中表示不同的个体或对象。
集合的运算和性质
总结词
详细描述
邻接矩阵是一种常用的图表示方法，通过二维矩阵表示节点之间的关系，矩阵中的元素表示边的权重 或连接状态；邻接表是一种更有效的图表示方法，通过链表或数组等数据结构表示节点和其相邻节点 之间的关系。
图的连通性
总结词
图的连通性是指图中任意两个节点之间是否 存在路径。
详细描述
图的连通性分为强连通和弱连通两种情况。 强连通是指图中任意两个节点之间都存在有 向路径；弱连通是指图中任意两个节点之间 都存在无向路径。判断图的连通性是图论中 的重要问题之一。
左孝凌离散数学课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 逻辑学 • 离散概率论 • 离散统计学
目录CONTENTS
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
总结词
离散数学的起源可以追溯到古代数学，它与连续数学相对应，研究的是非连续的、分离的对象。
置信区间
置信区间是指根据样本数据估计 总体参数的可能范围，用于衡量 估计的准确性。
单侧检验和双侧检
验
单侧检验是指只检验一个方向的 假设，而双侧检验则是同时检验 两个方向的假设。
感谢观看
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳与创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
离散数学左孝陵版第二章答案
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
命题逻辑 ¬ ¬ ＰＰ Ｐ∨ＰＰ
. . Ｐ→Ｑ ¬ Ｑ→ ¬ Ｐ ＰＰ∨Ｑ ＰΛＱ Ｐ . . .
谓词逻辑 ¬ ¬ Ｐ(x)Ｐ(x) Ｐ(x)∨Ｐ(x)Ｐ(x)
. . Ｐ(x)→Ｑ(x) ¬ Ｑ(x)→ ¬ Ｐ(x) Ｐ(x)Ｐ(x)∨Ｑ(x) Ｐ(x)ΛＱ(x) Ｐ(x) . . .
§4变元的约束
（2）个体域不同，则表示同一命题的值不同。Q(x): x<5
xQ(x)
xQ(x)
{-1,0,3} T T
{-3,6,2} F T
{15,30} F F
（3）对于同一个体域，用不同的量词时，特性谓词 加入的方法不同。 对于全称量词，其特性谓词以前件的方式加入； 对于存在量词，其特性谓词以与的形式加入。
§3谓词公式与翻译
⑸只有按⑴-⑷所求得的那些公式才是谓词公式（谓词公式又 简称“公式”）。
例1：任何整数或是正的，或是负的。 解：设：I(x): x是整数； R1(x)：x是正数；R2(x)：x是负 数。 此句可写成：x(I(x)(R1(x) R2(x) )。 例2：试将苏格拉底论证符号化：“所有的人总是要死的。 因为苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。” 解：设M(x)：x是人；D(x)：x是要死的； M(s)：苏格拉底是人；D(s)：苏格拉底是要死的。
§4变元的约束
例： xP(x) yR(x,y)可改写成xP(x) zR(x,z) ，但不 能改成xP(x) xR(x,x) ， xR(x,x)中前面的x原为自由 变元，现在变为约束变元了。 4.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若在谓词公式中出现有自由变元，则该公式为命题 函数； （b）若在谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为 命题。 例： xP(x,y,z)是二元谓词， yxP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一 个命题。
离散数学左孝陵版第一章答案
P：地球外的星球上也有人； Q：小王是我的好朋友；
解
P、Q是命题
8
二、命题联结词
原子命题 ：由简单句形成的命题。
复合命题：由一个或几个原子命题通过联结词 的联接而构成的命题。
例3 A：李明既是三好学生又是足球队员。
B：张平或者正在钓鱼或者正在睡觉。 C：如果明天天气晴朗，那么我们举行运动会。
9
定义五种联结词（或称命题的五种运算）。
习，独立思考来真正获取知识。
3 注重抽象思维能力的培养。数学与其他学科相比较具有 较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它有着大 量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须具有较好的 抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
4
四、 离散数学课程的主要内容
离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 第一部分 集合论。包括集合、关系和函数。（教材的第一、 二、三章） 第二部分 代数系统。包括代数系统的一般概念，几类典型 的代数系统。（教材的第四、五、六、七章）
（5） 令P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家读书。
则命题可表示为（¬P → Q）∧（P→R）。
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练习7-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） 只有小孩才爱哭。
(是 假)
（2） X+6=Y
( 不是 )
（3） 银是白的。
(是 真)
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
1
课程说明
一、离散数学课程的地位和作用
离散数学是计算机专业的一门核心基础课程。 1 离散数学为计算机专业的后继课程如数据结构、操作系统、数 据库、编译原理、网络和算法设计等课程提供必要的数学基础。
离散数学 答案 左孝凌 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2①1①解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
①2①解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
①3①解：a)(┓P∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q ①4①解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q 1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a①A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案左孝凌版
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)^j)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：、-a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：&a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)<e)设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qf)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qg)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)\h)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Ri)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q 1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（d)）e)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）f)/g)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳地创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案 左孝凌版
离散数学课后习题答案(左孝凌版)1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
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用量词、谓词表示下列命题
例3 ① 所有大学生都热爱祖国；② 每个自然数都是实数； ③ 一些大学生有远大理想；④ 有的自然数是素数。 解：令 S(x):x是大学生；L(x):x热爱祖国； R(x):x是实数； N(x):x是自然数； I(x):x有远大理想；P(x):x是素数。
则 ① (x)L(x)//论域为大学生集合；(x)(S(x)→L(x))//全总论域 采用一个谓词如P(x)来限制个体变元x的取值范围，并把P(x)称 为特性谓词。 ② (x)R(x)//论域为实数集合； (x)(N(x)→R(x))//全总论域
论域 P(x) Q(x) P(x) 论域 Q(x)
自然语句的形式化
例2 “有的实数是有理数”的形式化 意思是说，存在一事物它是实数，而且是有理数。即有 一个x，x是实数并且是有理数。设： P(x)：x是有理数，Q(x)：x是实数， 这句话的形式描述应为 (x)(P(x)∧Q(x))
论域 P(x) Q(x)
说明
由定义可知，合式谓词公式是按上述规则由原子公式、 联结词、量词、圆括号和逗号所组成的符号串，而且命 题公式是它的一个特例。 以后为使用方便，称合式谓词公式为谓词公式；在不引 起混淆时，甚至可将合式谓词公式的括号同样省略，其 规则与命题公式的括号省略相同，即最外层括号可省略。 但是，量词后面的括号是不能省略的。
2-3 谓词公式
项的定义：项由下列规则形成： ① 个体常元和个体变元是项； ② 若f是n元函数，且t1,…,tn是项，则f(t1,…,tn)是 项； ③ 所有项都是有限次的使用①和②生成。 有了项的定义，函数就可用来表示个体常元和个体变元。 原子公式的定义：若P(x1,…,xn)是n元谓词，t1,…,tn是 项，则称P(t1,…,tn)为原子谓词公式，简称原子公式。
自然语句的形式化（翻译）
使用计算机来处理由自然语句或非形式化陈述的问题，首 要的是工作是问题本身的形式描述。 命题逻辑的表达问题的能力,仅限于联结词的使用。而谓 词逻辑由于变元、谓词、量词和函数的引入具有强得多的 表达问题的能力,已成为描述计算机所处理的知识的有力 工具。人工智能学科将谓词逻辑看作是一种基本的知识表 示方法和推理方法。 使用谓词逻辑描述以自然语句表达的问题，首先要将问题 分解成一些原子谓词，引入谓词符号，进而使用量词、函 数、联结词来构成合式公式。这种形式描述是进行推理的 先决条件，所以十分重要。
2-1 谓词的概念与表示
例2 张三是学生。 李四是学生。
在命题逻辑里，这是两个不同的命题，只能分别以两个 不同的符号如p、q表示了。 这两个命题的共同点，它们都有主词（客体）和谓词， 不同的是主词“张三”和“李四”，而谓词“是学生” 是相同的。 若以大写符号P表示“是学生”，这样两个命题的共同 性就可由P来体现出来了，这两个命题可以分别写成 P(张三)和 P(李四)
实例
例1 指出下列公式中的量词辖域、个体变元的约束出现和自 由出现。 ① (x)(P(x)→(y)Q(x,y)) ② (x)H(x)∧L(x,y) ③ (x)(y)(P(x,y)∨Q(y,z))∧(x)R(x,y) 解:① x的辖域为:(P(x)→(y)Q(x,y)),y的辖域 为:Q(x,y),x和y都是约束出现。 ② x是约束出现,又是自由出现,约束出现的x辖域 为:H(x),y是约束出现。 ③ x是约束出现,(x)的辖域 为:(y)(P(x,y)∨Q(y,z)),(x)的辖域为:R(x,y),y是 约束出现,又是自由出现,y的辖域为: (P(x,y)∨Q(y,z))
自然语句的形式化
例3 “没有无理数是有理数”的形式化 这句话有否定词，意思是不存在无理数是有理数，即不 存在x，x是无理数，又是有理数。设： A(x)：x是无理数，B(x)：x是有理数。 这句话的形式描述为： ┐(x)(A(x)∧B(x)) 这句话还可以表述为，对任一x而言，如果x是无理数， 那么x不是有理数。即可以形式描述为： (x)(A(x) → ┐B(x)) 同理有：(x)(B(x) → ┐A(x))
改名规则、代入规则
在一公式中，有的个体变元既可以是约束出现，又可以 是自由出现，这就容易产生混淆。为了避免混淆，采用 下面两个规则： ① 约束变元改名规则，将量词辖域中某个约束出现的个体 变元及相应指导变元，改成本辖域中未曾出现过的个体 变元，其余不变。改名后的公式与原公式等价。 ② 自由变元代入规则，对某自由出现的个体变元可用个体 常元或用与原子公式中所有个体变元不同的个体变元去 代入，且处处代入。
③ (x)I(x)//论域为大学生集合；(x)(S(x)∧I(x))//全总论域 ④ (x)P(x)//论域为自然数集合；(x)(N(x)∧P(x))//全总论域
谓词与量词的关系
量词与特性谓词的搭配还有一定规律，即全称量词 后跟一个条件式，而特性谓词作为其前件出现；存 在量词后跟一个合取式，特性谓词作为一个合取项 出现。 谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若一个谓词 中所有个体变元都量化了，则该谓词就变成了命题。 这是因为在谓词被量化后，可以在整个个体域中考 虑命题的真值了。
自然语句的形式化
例1 “所有的有理数都是实数”的形式化。 其意思是说，对任一事物而言，如果它是有理数，那么它是 实数。即对任一x而言，如果x是有理数，那么x是实数。设， P(x)：x是有理数，Q(x)：x是实数， 这句话的形式描述应为：(x)(P(x)→Q(x)) 因为x的论域是一切事物的集合, 所以x是有理数是一个条件。 需注意的是这句话不能形式化为：(x)(P(x)∧Q(x)) 这公式的意思是说，对所有的x，x是有理数而且又是实数。
约定函数符号用小写字母表示，如f, g, father, …。这不会与以小写字母表示的命题 相混的。
量词
全称量词：符号 称为全称量词符，x称为全称量 词，称x为指导变元，用来表达“对所有的”、“每一 个”、“对任何一个”、“一切”等词语。 存在量词：符号 称为存在量词符，x称为存在量 词，x称为指导变元，用来表达“存在一些”、 至少有 一个”、“对于一些”、“某个”等词语。 存在惟一量词：符号 ! 称为存在惟一量词符， !x称 为存在惟一量词，称x为指导变元，用来表达“恰有一 个”、“存在惟一”等词语。
改名规则与代入规则的共同点都是不能改变约束关系,而不 同点是： ① 施行的对象不同。改名是对约束变元施行,代入是对自由变 元施行。 ② 施行的范围不同。改名可以只对公式中一个量词及其辖域 内施行,即只对公式的一个子公式施行；而代入必须对整个 公式同一个自由变元的所有自由出现同时施行,即必须对整 个公式施行。 ③ 施行后的结果不同。改名后,公式含义不变,因为约束变元 只改名为另一个个体变元,约束关系不改变。约束变元不能 改名为个体常元；代入,不仅可用另一个个体变元进行代入, 并且也可用个体常元去代入,从而使公式由具有普遍意义变 为仅对该个体常元有意义,即公式的含义改变了。
2-1 谓词的概念与表示
一般地可引入变量x来表示主词，于是符号P(x) 就表示“x是学生”。通常把P(x)称作谓词。 在一个命题里，如果主词只有一个，这时表示该 主词性质或属性的词便称为谓词。这是一元(目) 谓词，以P(x), Q(x)…表示。 在一个命题里，如果主词多于一个，那么表示这 几个主词间的关系的词称作谓词。这是多元谓 词，以P(x,y),Q(x,y),R(x,y,z),…表示。
改名规则、代入规则
例3 将公式(x)(P(x)→Q(x，y))∧R(x，y)中的 约束变元改名。 解： (z)(P(z)→Q(z，y))∧R(x，y) 例4 对公式(x)(P(y)→Q(x，y))∧R(x，y)中的 自由变元代入。 解： (x)(P(y)→Q(x，y))∧R(c，y)
改名与代入规则的异同
第2章 谓词逻辑
谓词的概念与表示 命题函数与量词 谓词公式与翻译 变元的约束 谓词演算的等价式和蕴含式 前束范式 谓词演算的推理理论
2-1 谓词的概念与表示
例1 考察如下推理： 凡有理数都是实数。 2/7是有理数， 所以，2/7是实数。 直观上看这样的推理应该是正确的。然而在命题逻辑里 就不能描述这种推理，设这三个命题分别以p, q, r表示，相 应的推理形式为： (p∧q)→r 由于对任意的p,q,r来说这推理形式并非重言式,也就是 说这个推理形式不是正确的。对这样的人们熟知的推理关系 在命题逻辑中得不到正确的描述,自然是命题逻辑的局限性。
合式谓词公式的归纳定义
合式谓词公式当且仅当由下列规则形成的符号串： ① 原子公式是合式谓词公式； ② 若A是合式谓词公式，则(┐A)是合式谓词公式； ③ 若A，B是合式谓词公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)和 (A B)都是合式谓词公式； ④ 若A是合式谓词公式，x是个体变元，则(x)A、(x)A 都是合式谓词公式； ⑤ 仅有有限项次使用①、②、③和④形成的才是合式谓词 公式。
函数
在谓词逻辑中出现变量, 自然也会考虑引入函 数。表示某个体域（不必是实数）到另一个体 域的映射。 例1 函数father(x)表x的父亲，若P(x)表x是教 师， 则P(father(x))就表示x的父亲是教师。 当x的取值确定后，P(father (x))的值或为真 或为假。
函数
例2 “张三的父亲和母亲是夫妻”可描述成: MARRIED(father (张三), mother(张三)) 其中谓词MARRIED(x, y)表示x和y是夫妻, 而 father(x)、mother(x)是函数。
2-2 命题函数（变项）、函数与量词
将个体变项的变化范围称为个体域或论域，以D 表示。并约定谓词逻辑的个体域除明确指明 外，都认为是包括一切事物的一个最广的集 合，称为全总论域 。 论域是重要的概念，同一谓词在不同论域 下的描述形式可能不同，所取的真假值也可能 不同。命 Nhomakorabea函数（变项）
一般说来，谓词P(x),Q(x,y)是命题形式而不是命题。 因为这里没有指定谓词符号P,Q的含义，即它们是谓词 变项，再者，个体词x,y也是个体变项。从而不可能确 定P(x),Q(x,y)的真值是取真还是取假。仅当谓词变项 取定为某个谓词常项，并且个体词取定为个体常项时， 命题形式才化为命题。如P(x)表示x是有理数，那么P(3) 是命题，真值为T，Q(x,y)表示x大于y，那么Q(2,3)是 命题，真值为F。 谓词的真值依赖于个体变元的论域。