离散数学配套课件PPT(第5版)第六部分 形式语言与自动机形式语言和自动机初步
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离散数学(形式语言与自动机)
对每一个NFA M 都存在 都存在DFA M ′使得 定理 对每一个 L(M)=L(M ′)
用M′=〈Q′,Σ,δ′,q0′,F′ 〉 模拟 M=〈Q,Σ,δ,q0,F 〉 ′ 〈 ′ ′ ′ 〈 Q′=P(Q), q0′={q0} ′ F′={ A∈Q | A∩F≠∅} ′ ∈ ∅ ∀A∈Q 和 a∈Σ, ∈ ∈
7
例2 (续) 续
δ*(q0 ,w) w 1 {q0, q1} 10 {q0, q3} 101 {q0, q1} 1011 {q0, q1 , q2} 10110 {q0, q2 , q3} L(G) = { x00y, x11y | x,y∈{0,1}*} ∈
8
DFA与NFA的等价性 与 的等价性
∗ n
L(M)={a2k+1 | k∈N} ∈
4
非确定型有穷自动机
定义 非确定型有穷自动机 (NFA) M =〈 Q,Σ,δ,q0,F 〉, 〈 其中 Q,Σ, q0, F 的定义与 DFA 的相同 而 的相同, δ: Q ×Σ→P(Q)
5
实例
一台NFA 例2 一台 δ 0 1 →q0 {q0 , q3} {q0 , q1} q1 ∅ {q2} *q2 {q2} {q2} q3 {q4} ∅ *q4 {q4} {q4}
21
11.2 有穷自动机
确定型有穷自动机(DFA) 确定型有穷自动机 非确定型有穷自动机(NFA) 非确定型有穷自动机 转移的NFA(ε-NFA) 带ε转移的 转移的
1
确定型有穷自动机
确定型有穷自动机(DFA)是一个有序 元组 是一个有序5元组 定义 确定型有穷自动机 是一个有序 M = 〈Q,Σ,δ,q0,F 〉, 其中 状态集合Q: (1) 状态集合 非空有穷集合 (2) 输入字母表 非空有穷集合 输入字母表Σ: (3) 状态转移函数 状态转移函数δ:Q×Σ→Q × 控制器 (4) 初始状态 q0∈Q (5) 终结状态集 F⊆Q ⊆
用M′=〈Q′,Σ,δ′,q0′,F′ 〉 模拟 M=〈Q,Σ,δ,q0,F 〉 ′ 〈 ′ ′ ′ 〈 Q′=P(Q), q0′={q0} ′ F′={ A∈Q | A∩F≠∅} ′ ∈ ∅ ∀A∈Q 和 a∈Σ, ∈ ∈
7
例2 (续) 续
δ*(q0 ,w) w 1 {q0, q1} 10 {q0, q3} 101 {q0, q1} 1011 {q0, q1 , q2} 10110 {q0, q2 , q3} L(G) = { x00y, x11y | x,y∈{0,1}*} ∈
8
DFA与NFA的等价性 与 的等价性
∗ n
L(M)={a2k+1 | k∈N} ∈
4
非确定型有穷自动机
定义 非确定型有穷自动机 (NFA) M =〈 Q,Σ,δ,q0,F 〉, 〈 其中 Q,Σ, q0, F 的定义与 DFA 的相同 而 的相同, δ: Q ×Σ→P(Q)
5
实例
一台NFA 例2 一台 δ 0 1 →q0 {q0 , q3} {q0 , q1} q1 ∅ {q2} *q2 {q2} {q2} q3 {q4} ∅ *q4 {q4} {q4}
21
11.2 有穷自动机
确定型有穷自动机(DFA) 确定型有穷自动机 非确定型有穷自动机(NFA) 非确定型有穷自动机 转移的NFA(ε-NFA) 带ε转移的 转移的
1
确定型有穷自动机
确定型有穷自动机(DFA)是一个有序 元组 是一个有序5元组 定义 确定型有穷自动机 是一个有序 M = 〈Q,Σ,δ,q0,F 〉, 其中 状态集合Q: (1) 状态集合 非空有穷集合 (2) 输入字母表 非空有穷集合 输入字母表Σ: (3) 状态转移函数 状态转移函数δ:Q×Σ→Q × 控制器 (4) 初始状态 q0∈Q (5) 终结状态集 F⊆Q ⊆
离散数学 第六章的 ppt课件
符号化表示为：B A x ( xB xA ) B ⊈ A x ( xB xA )
例如N Z Q R C，但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作A＝B。 如果A与B不相等，则记作A≠B。
符号化表示为： A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B＝B A
(6.29)
(A B) C＝A (B C) A ＝A A A＝ A B＝A C B＝C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
25
书本88页
例6.5 设A＝{{a},{a,b}}
计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章－的 ∪∩A)＝b。
26
6.4 集合恒等式（P92）
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
例如N Z Q R C，但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作A＝B。 如果A与B不相等，则记作A≠B。
符号化表示为： A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B＝B A
(6.29)
(A B) C＝A (B C) A ＝A A A＝ A B＝A C B＝C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
25
书本88页
例6.5 设A＝{{a},{a,b}}
计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章－的 ∪∩A)＝b。
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6.4 集合恒等式（P92）
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
离散数学 第五、六、七讲 群、环、域共51页PPT
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
离散数学 第五、六、七讲 群、环、域6、露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
离散数学6(共15张PPT)
例2：下图所示的两个格都不是分配格。
1
a
bc
0
∵在左图中，
a∧ (b∨c)=a∧1=a
(a∧b) ∨(a∧c)=0∨0=0 a∧ (b∨c)≠(a∧b) ∨(a∧c) ∴左图不是分配格
1 b
a c∧1=b (b∧a) ∨(b∧c)=0∨c=c
b∧ (a∨c)≠(b∧a) ∨(b∧c) 右图不是分配格
第1页，共15页。
1
注意：按照定义证明某个格是分配格不容易，但要证明一个格 不是分配格，只要找出一组元素不满足某一分配式即可。上例 中的两个五元格可用来判断某格是否是分配格。
定理1：一个格是分配格的充要条件是在该格中没有任何子格与这
两个五元格中的任一个同构。
例3：右图所示的两个格都不是分配格
第2页，共15页。
(1) 设 b≤a且c≤a，∴a∧b = b，a∧c = c ∴ (a∧b)∨(a∧c) = b∨c 又∵ b∨c≤a，∴ a∧(b∨c) = b∨c
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
(2) 设 a≤b或a≤c，不论b≤c还是c≤b ，都有a≤b∨c
∴ a ∧( b∨c) = a，(a∧b)∨(a∧c)=a
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) 由定理1，有a∨ (b∧c) = (a ∨ b) ∧(a∨c)
因此<A, ≤>是分配格。
第4页，共15页。
4
定理4：设<A, ≤>是分配格，则对a,b,cA， 若有 a∧b = a∧c且a∨b = a∨c ，则必有b = c 。
证明：∵a∧b≤b b = b∨(a∧b) = b∨(a∧c) = (b∨a)∧(b∨c) = (a∨c)∧(b∨c)
1
a
bc
0
∵在左图中，
a∧ (b∨c)=a∧1=a
(a∧b) ∨(a∧c)=0∨0=0 a∧ (b∨c)≠(a∧b) ∨(a∧c) ∴左图不是分配格
1 b
a c∧1=b (b∧a) ∨(b∧c)=0∨c=c
b∧ (a∨c)≠(b∧a) ∨(b∧c) 右图不是分配格
第1页，共15页。
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注意：按照定义证明某个格是分配格不容易，但要证明一个格 不是分配格，只要找出一组元素不满足某一分配式即可。上例 中的两个五元格可用来判断某格是否是分配格。
定理1：一个格是分配格的充要条件是在该格中没有任何子格与这
两个五元格中的任一个同构。
例3：右图所示的两个格都不是分配格
第2页，共15页。
(1) 设 b≤a且c≤a，∴a∧b = b，a∧c = c ∴ (a∧b)∨(a∧c) = b∨c 又∵ b∨c≤a，∴ a∧(b∨c) = b∨c
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
(2) 设 a≤b或a≤c，不论b≤c还是c≤b ，都有a≤b∨c
∴ a ∧( b∨c) = a，(a∧b)∨(a∧c)=a
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) 由定理1，有a∨ (b∧c) = (a ∨ b) ∧(a∨c)
因此<A, ≤>是分配格。
第4页，共15页。
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定理4：设<A, ≤>是分配格，则对a,b,cA， 若有 a∧b = a∧c且a∨b = a∨c ，则必有b = c 。
证明：∵a∧b≤b b = b∨(a∧b) = b∨(a∧c) = (b∨a)∧(b∨c) = (a∨c)∧(b∨c)
武汉大学《离散数学》课件-第10章
{q0} {q0} {q0}
33
模拟实例 (续)
不可达状态:从初始状态出发永远不可能达到的状态 删去所有的不可达状态, 不会改变FA接受的语言. 如M中的{q1},{q2},{q0,q2},{q1,q2}和都是不可达状态, 删去这些状态得到M
δ
0
1
→{q0} {q0, q1} {q0} {q0,q1} {q0,q1,q2} {q0} *{q0,q1,q2} {q0,q1,q2} {q0}
形如, 其中, ∈(V∪T)*且≠.
10
文法生成的语言
设文法 G = <V,T,S,P>, ,∈(V∪T)*, : 存在∈P和,∈(V∪T)*, 使得
=, = 称直接派生出. * : 存在1, 2, … , m, 使得 = 1 2 … m= 称 派生出 . 恒有 * (当m=1时)
13
举例 (续)
例4 G= <V,T,S,P>,其中V={S,A,B,C,D,E}, T={a},
P: (1) S→ACaB (2) Ca→aaC (3) CB→DB
(4) CB→E (5) aD→Da (6) AD→AC
(7) aE→Ea (8) AE→
试证明: i 1, S * a2i
证: a2 和 a4 的派生过程
L(G) = { x00y, x11y | x,y{0,1}*}
31
DFA与NFA的等价性
定理 对每一个NFA M 都存在DFA M 使得 L(M)=L(M )
用M=Q,, ,q0,F 模拟 M=Q,,,q0,F
Q=P(Q), q0={q0} F={ AQ | A∩F≠} AQ 和 aΣ,
( A, a) ( p, a)
28
33
模拟实例 (续)
不可达状态:从初始状态出发永远不可能达到的状态 删去所有的不可达状态, 不会改变FA接受的语言. 如M中的{q1},{q2},{q0,q2},{q1,q2}和都是不可达状态, 删去这些状态得到M
δ
0
1
→{q0} {q0, q1} {q0} {q0,q1} {q0,q1,q2} {q0} *{q0,q1,q2} {q0,q1,q2} {q0}
形如, 其中, ∈(V∪T)*且≠.
10
文法生成的语言
设文法 G = <V,T,S,P>, ,∈(V∪T)*, : 存在∈P和,∈(V∪T)*, 使得
=, = 称直接派生出. * : 存在1, 2, … , m, 使得 = 1 2 … m= 称 派生出 . 恒有 * (当m=1时)
13
举例 (续)
例4 G= <V,T,S,P>,其中V={S,A,B,C,D,E}, T={a},
P: (1) S→ACaB (2) Ca→aaC (3) CB→DB
(4) CB→E (5) aD→Da (6) AD→AC
(7) aE→Ea (8) AE→
试证明: i 1, S * a2i
证: a2 和 a4 的派生过程
L(G) = { x00y, x11y | x,y{0,1}*}
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DFA与NFA的等价性
定理 对每一个NFA M 都存在DFA M 使得 L(M)=L(M )
用M=Q,, ,q0,F 模拟 M=Q,,,q0,F
Q=P(Q), q0={q0} F={ AQ | A∩F≠} AQ 和 aΣ,
( A, a) ( p, a)
28
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
形式语言与自动机理论FormalLanguagesandAutomataTheory
2020/7/10
14
笛卡儿积(Cartesian product)
❖ A与B的笛卡儿积(Cartesian product)是一个集合， 该集合是由所有这样的有序对(a，b)组成的：其中 a∈A，b∈B ，记作A× B。
A× B={(a，b)|a∈A& b∈B }。
❖ “× ”为笛卡儿乘运算符。A× B读作A叉乘B。
❖ A与B的并(union)是一个集合，该集合中的元素要么 是A的元素，要么是B的元素，记作A∪B。
A∪B={a|a∈A或者a∈B}
A1∪A2∪…∪An={a|i，1≤i≤n，使得a∈Ai} A1∪A2∪…∪An ∪…={a|i，i∈N,使得a∈Ai}
Ai
i 1
A {a | A S, a A}
2020/7/10
7
1.1.2 集合之间的关系
❖集合相等
如果集合A，B含有的元素完全相同，则称集合 A与集合B相等(equivalence)，记作A=B。
❖对任意集合A、B、C： ⑴ A=B iff AB且BA。 ⑵ 如果AB，则|A|≤|B|。 ⑶ 如果AB，则|A|≤|B|。 ⑷ 2020/7/10 如果A是有穷集，且AB，则|B|>|A|。 8
❖ 计算思维能力
逻辑思维能力和抽象思维能力
构造模型对问题进行形式化描述
理解和处理形式模型
2020/7/10
2
课程目的和基本要求
❖ 知识
掌握正则语言、下文无关语言的文法、识别模型 及其基本性质、图灵机的基本知识。
❖ 能力
培养学生的形式化描述和抽象思维能力。
使学生了解和初步掌握“问题、形式化描述、自 动化（计算机化）”这一最典型的计算机问题求 解思路。
2019离散数学-耿素云PPT(第5版)1.1-2.ppt
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
18
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价联结词“” 定义 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当q”称 作p与q的等价式，记作pq. 称作等价联结词. 并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为 假. 说明: (1) pq 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件
解令 (1) (2) (3) p：王晓用功，q：王晓聪明，则 p∧ q p∧ q p∧ q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是 一个简单命题.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q 为二命题，复合命题 “如果 p, 则 q”
称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 pq ，并称 p 是蕴涵式
的前件， q 为蕴涵式的后件 . 称作蕴涵联结词，
并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
6
命题与真值
命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是 命题
7
例 下列句子中那些是命题？
(1)
2 是无理数.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
离散数学第六章课件
2018/11/12 4
2.格
定义6-1.1格：设<A,≤>是一个偏序集，如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界，则称<A，≤>是格。
以上5个图中，任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格？
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界：设<A,≤>为一偏序集且BA，a为 B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B
最大下界：若b为B的任一下界，若对B的所有 下界z，均有z≤b,则称b为B的最大下界（下确 界），记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界（最大 下界）称为元素a,b的最小上界（最大下界）
2018/11/12 15
6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A，≤>，对于任意的a,b 结论很有用！！！ A，都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明： a和b的并是a、b的最小上界，所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理： a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4：<s,≤>是一个格，任取a s,构造s的 子集：T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明：对于任意的x,yT，必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT， x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
2.格
定义6-1.1格：设<A,≤>是一个偏序集，如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界，则称<A，≤>是格。
以上5个图中，任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格？
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界：设<A,≤>为一偏序集且BA，a为 B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B
最大下界：若b为B的任一下界，若对B的所有 下界z，均有z≤b,则称b为B的最大下界（下确 界），记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界（最大 下界）称为元素a,b的最小上界（最大下界）
2018/11/12 15
6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A，≤>，对于任意的a,b 结论很有用！！！ A，都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明： a和b的并是a、b的最小上界，所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理： a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4：<s,≤>是一个格，任取a s,构造s的 子集：T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明：对于任意的x,yT，必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT， x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
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(2) = = 即, 空串是连接运算的单位元
n个的连接记作n 如 (ab)3= ababab, 0=
7
形式语言
定义: Σ*的子集称作字母表Σ上的形式语言, 简称 语言
例如 Σ={a,b} A={a,b,aa,bb} B={an | n∈N} C={anbm | n,m≥1}
(3) 2次(5)
(6) 2次(2)
(4) 4次(7)
(8)
15
例4(续)
先用归纳法证明 i 1, S * Aa2iCB
当 i=1 时结论成立, 假设对i 结论成立,
S * Aa2iCB
Aa2i DB * ADa 2i B
ACa2i B
* Aa2i1CB
(3) 2i 次(5)
(6) 2i 次(2)
F:因子, a:数或变量 P: E → E+T | E-T | T
T → T*F | T/F | F F → (E) | a 这是上下文无关文法
21
左、右线性文法的等价性
定理 设G是右(左)线性文法,则存在左(右)线性文法
G 使得L(G )=L(G).
证明: G用模拟G
G= <V,T,S,P >
如 |a|=1, |aab|=3 空字符串ε: 长度为0, 即不含任何符号的字符串 an : n个a组成的字符串 Σ*: Σ上字符串的全体
5
子字符串(子串): 字符串中若干连续符号组成的字符串
前缀: 最左端的子串 后缀: 最右端的子串
例如 =abbaab a,ab,abb是的前缀 aab,ab,b是的后缀 ba是的子串, 但既不是前缀, 也不是后缀 本身也是的子串, 且既是前缀, 也是后缀 也是的子串, 且既是前缀, 也是后缀
9
形式文法的定义
定义 形式文法是一个有序4元组G=<V,T,S,P >, 其中 (1) V是非空有穷集合, V 的元素称作变元或非终极符 (2) T是非空有穷集合且V∩T =Ø, T 的元素称作终极符 (3) S∈V 称作起始符 (4) P是非空有穷集合, P的元素称作产生式或改写规则,
形如, 其中, ∈(V∪T)*且≠.
10
文法生成的语言
设文法 G = <V,T,S,P>, ,∈(V∪T)*, : 存在∈P和,∈(V∪T)*, 使得
=, = 称直接派生出. * : 存在1, 2, … , m, 使得 = 1 2 … m= 称 派生出 . 恒有 * (当m=1时)
得证对 i +1 结论成立, 故对所有的 i 成立.
16
例4 (续)
于是, i 1,
S * Aa2iCB
Aa2i E * AEa2i
(4) 2i 次(7)
a2i
(8)
可以证明:
L(G) = { a2i | i 1}
17
形式文法的分类 —Chomsky谱系
0型文法(短语结构文法,无限制文法) 1型文法(上下文有关文法):
(4) CB→E (5) aD→Da (6) AD→AC
(7) aE→Ea (8) AE→
试证明: i 1, S * a2i
证: a2 和 a4 的派生过程
S ACaB
(1)
AaaCB
(2)
AaaE * AEaa
(4) 2次 (7)
a2
(8)
14
例4 (续)
S * AaaCB AaaDB * ADaaB ACaaB * AaaaaCB AaaaaE * AEaaaa a4
A→A0 A→A1 B→A0
S→B0 S→
可删去G2中的S, 这实际上就是G3 23
P: A→B A→
G= <V∪{S},T,S,P>
P: B→A S→A S→
22
一个实例——模拟例2中的G2
G2= <V,T,S,P > V={A,B,S} T={0,1} P: S→1A A→0A A→1A A→0B B→0
G2 = <V ,T ,S ,P >
V ={A,B,S,S } T ={0,1} P: A→S1
D={ }
空语言Ø
8
形式文法
一个例子——标识符 <标识符> : <字母> | <下划线> | <标识符> <字母> |
<标识符> <下划线>| <标识符><数字> <字母> : a | b | … | z | A | B | … | Z <下划线> : _ <数字> : 0 | 1 | … | 9
3
语言的基本要素
汉语 字符:汉字和标点符号 字符集:合法字符的全体 句子:一串汉字和标点符号 语法:形成句子的规则
形式语言 字符 字母表 字符串 形式文法
4
字符串Байду номын сангаас
字母表Σ: 非空的有穷集合 字符串: Σ中符号的有穷序列
如 Σ ={a,b} a, b, aab, babb
字符串的长度||: 中的字符个数
例1 文法G1= <V,T,S,P>,其中V={S}, T={a,b}, P: S→aSb | ab L(G1)={anbn | n>0}
例2 文法G2= <V,T,S,P>,其中V={A,B,S}, T={0,1}, P: S→1A, A→0A | 1A | 0B, B→0 L(G2)={1x00 | x{0, 1}*}
6
字符串的连接运算
设 =a1a2 … an, = b1b2 … bm, =a1a2 … anb1b2 … bm称作与 作的连接
如 =ab, =baa, =abbaa, =baaab 对任意的字符串, ,
(1) ( )γ= ()
即, 连接运算满足结合律
如 {1x00 | x{0, 1}*} 是正则语言 (例1) {anbn | n>0} 是上下文无关语言 (例2,3) { a2i | i 1} 是 0 型语言 (例4)
定理 0型语言1型语言2型语言3型语言
20
描述算术表达式的文法
G={{E,T,F},{a,+.-.*,/,(,)},E,P} 其中E:算术表达式, T:项,
形式语言和 自动机初步
1
第10章 形式语言和自动机初步
10.1 形式语言和形式文法 10.2 有穷自动机 10.3 有穷自动机和正则文法的等价性 10.4 图灵机
2
10.1 形式语言与形式文法
字符串和形式语言 形式文法 形式文法的分类
0型文法 1型文法 或上下文有关文法 2型文法 或上下文无关文法 3型文法 或正则文法
例3 文法G3= <V,T,S,P>,其中V={A,B,S}, T={0,1}, P: S→B0, B→A0, A→A1 | A0, A→1 L(G3)= L(G2), G3与G2等价
13
举例 (续)
例4 G= <V,T,S,P>,其中V={S,A,B,C,D,E}, T={a},
P: (1) S→ACaB (2) Ca→aaC (3) CB→DB
A→B 或 A→
左线性文法: 所有的产生式形如
A→B 或 A→ 其中A,BV,T*
例1是上下文无关文法 例2是右线性文法,例3是左线性文法,都是正则文法 例4是0型文法
19
Chomsky谱系
0型语言: 0 型文法生成的语言
1型语言(上下文有关语言): 如果L-{ }可由1型文法
生成, 则称 L 是1型语言 2型语言(上下文无关语言) : 2 型文法生成的语言 3型语言(正则语言): 3 型文法生成的语言
* 是 的自反传递闭包
11
文法生成的语言
定义 设文法G= <V,T,S,P >, G生成的语言
L(G)={∈T* ∣S * }
L(G)由所有满足下述条件的字符串组成: (1) 仅含终结符; (2) 可由起始符派生出来.
定义 如果L(G1)= L(G2), 则称文法G1与G2等价.
12
举例
所有产生式→, 满足 | || |
另一个等价的定义: 所有的产生式形如
A→ 其中AV, ,,(V∪T)*,且
2型文法(上下文无关文法):
所有的产生式形如 A→ 其中AV,(V∪T)*,
18
形式文法的分类 (续)
3型文法(正则文法): 右线性文法和左线性文法的统称 右线性文法: 所有的产生式形如
n个的连接记作n 如 (ab)3= ababab, 0=
7
形式语言
定义: Σ*的子集称作字母表Σ上的形式语言, 简称 语言
例如 Σ={a,b} A={a,b,aa,bb} B={an | n∈N} C={anbm | n,m≥1}
(3) 2次(5)
(6) 2次(2)
(4) 4次(7)
(8)
15
例4(续)
先用归纳法证明 i 1, S * Aa2iCB
当 i=1 时结论成立, 假设对i 结论成立,
S * Aa2iCB
Aa2i DB * ADa 2i B
ACa2i B
* Aa2i1CB
(3) 2i 次(5)
(6) 2i 次(2)
F:因子, a:数或变量 P: E → E+T | E-T | T
T → T*F | T/F | F F → (E) | a 这是上下文无关文法
21
左、右线性文法的等价性
定理 设G是右(左)线性文法,则存在左(右)线性文法
G 使得L(G )=L(G).
证明: G用模拟G
G= <V,T,S,P >
如 |a|=1, |aab|=3 空字符串ε: 长度为0, 即不含任何符号的字符串 an : n个a组成的字符串 Σ*: Σ上字符串的全体
5
子字符串(子串): 字符串中若干连续符号组成的字符串
前缀: 最左端的子串 后缀: 最右端的子串
例如 =abbaab a,ab,abb是的前缀 aab,ab,b是的后缀 ba是的子串, 但既不是前缀, 也不是后缀 本身也是的子串, 且既是前缀, 也是后缀 也是的子串, 且既是前缀, 也是后缀
9
形式文法的定义
定义 形式文法是一个有序4元组G=<V,T,S,P >, 其中 (1) V是非空有穷集合, V 的元素称作变元或非终极符 (2) T是非空有穷集合且V∩T =Ø, T 的元素称作终极符 (3) S∈V 称作起始符 (4) P是非空有穷集合, P的元素称作产生式或改写规则,
形如, 其中, ∈(V∪T)*且≠.
10
文法生成的语言
设文法 G = <V,T,S,P>, ,∈(V∪T)*, : 存在∈P和,∈(V∪T)*, 使得
=, = 称直接派生出. * : 存在1, 2, … , m, 使得 = 1 2 … m= 称 派生出 . 恒有 * (当m=1时)
得证对 i +1 结论成立, 故对所有的 i 成立.
16
例4 (续)
于是, i 1,
S * Aa2iCB
Aa2i E * AEa2i
(4) 2i 次(7)
a2i
(8)
可以证明:
L(G) = { a2i | i 1}
17
形式文法的分类 —Chomsky谱系
0型文法(短语结构文法,无限制文法) 1型文法(上下文有关文法):
(4) CB→E (5) aD→Da (6) AD→AC
(7) aE→Ea (8) AE→
试证明: i 1, S * a2i
证: a2 和 a4 的派生过程
S ACaB
(1)
AaaCB
(2)
AaaE * AEaa
(4) 2次 (7)
a2
(8)
14
例4 (续)
S * AaaCB AaaDB * ADaaB ACaaB * AaaaaCB AaaaaE * AEaaaa a4
A→A0 A→A1 B→A0
S→B0 S→
可删去G2中的S, 这实际上就是G3 23
P: A→B A→
G= <V∪{S},T,S,P>
P: B→A S→A S→
22
一个实例——模拟例2中的G2
G2= <V,T,S,P > V={A,B,S} T={0,1} P: S→1A A→0A A→1A A→0B B→0
G2 = <V ,T ,S ,P >
V ={A,B,S,S } T ={0,1} P: A→S1
D={ }
空语言Ø
8
形式文法
一个例子——标识符 <标识符> : <字母> | <下划线> | <标识符> <字母> |
<标识符> <下划线>| <标识符><数字> <字母> : a | b | … | z | A | B | … | Z <下划线> : _ <数字> : 0 | 1 | … | 9
3
语言的基本要素
汉语 字符:汉字和标点符号 字符集:合法字符的全体 句子:一串汉字和标点符号 语法:形成句子的规则
形式语言 字符 字母表 字符串 形式文法
4
字符串Байду номын сангаас
字母表Σ: 非空的有穷集合 字符串: Σ中符号的有穷序列
如 Σ ={a,b} a, b, aab, babb
字符串的长度||: 中的字符个数
例1 文法G1= <V,T,S,P>,其中V={S}, T={a,b}, P: S→aSb | ab L(G1)={anbn | n>0}
例2 文法G2= <V,T,S,P>,其中V={A,B,S}, T={0,1}, P: S→1A, A→0A | 1A | 0B, B→0 L(G2)={1x00 | x{0, 1}*}
6
字符串的连接运算
设 =a1a2 … an, = b1b2 … bm, =a1a2 … anb1b2 … bm称作与 作的连接
如 =ab, =baa, =abbaa, =baaab 对任意的字符串, ,
(1) ( )γ= ()
即, 连接运算满足结合律
如 {1x00 | x{0, 1}*} 是正则语言 (例1) {anbn | n>0} 是上下文无关语言 (例2,3) { a2i | i 1} 是 0 型语言 (例4)
定理 0型语言1型语言2型语言3型语言
20
描述算术表达式的文法
G={{E,T,F},{a,+.-.*,/,(,)},E,P} 其中E:算术表达式, T:项,
形式语言和 自动机初步
1
第10章 形式语言和自动机初步
10.1 形式语言和形式文法 10.2 有穷自动机 10.3 有穷自动机和正则文法的等价性 10.4 图灵机
2
10.1 形式语言与形式文法
字符串和形式语言 形式文法 形式文法的分类
0型文法 1型文法 或上下文有关文法 2型文法 或上下文无关文法 3型文法 或正则文法
例3 文法G3= <V,T,S,P>,其中V={A,B,S}, T={0,1}, P: S→B0, B→A0, A→A1 | A0, A→1 L(G3)= L(G2), G3与G2等价
13
举例 (续)
例4 G= <V,T,S,P>,其中V={S,A,B,C,D,E}, T={a},
P: (1) S→ACaB (2) Ca→aaC (3) CB→DB
A→B 或 A→
左线性文法: 所有的产生式形如
A→B 或 A→ 其中A,BV,T*
例1是上下文无关文法 例2是右线性文法,例3是左线性文法,都是正则文法 例4是0型文法
19
Chomsky谱系
0型语言: 0 型文法生成的语言
1型语言(上下文有关语言): 如果L-{ }可由1型文法
生成, 则称 L 是1型语言 2型语言(上下文无关语言) : 2 型文法生成的语言 3型语言(正则语言): 3 型文法生成的语言
* 是 的自反传递闭包
11
文法生成的语言
定义 设文法G= <V,T,S,P >, G生成的语言
L(G)={∈T* ∣S * }
L(G)由所有满足下述条件的字符串组成: (1) 仅含终结符; (2) 可由起始符派生出来.
定义 如果L(G1)= L(G2), 则称文法G1与G2等价.
12
举例
所有产生式→, 满足 | || |
另一个等价的定义: 所有的产生式形如
A→ 其中AV, ,,(V∪T)*,且
2型文法(上下文无关文法):
所有的产生式形如 A→ 其中AV,(V∪T)*,
18
形式文法的分类 (续)
3型文法(正则文法): 右线性文法和左线性文法的统称 右线性文法: 所有的产生式形如