材料力学-扭转变形
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外力偶矩： m 9549 P (N m) n
2、已知：功率 P马力(Ps)，转速 n转／分(r／min；rpm)。
外力偶矩： m 7024 P (N m) n
8
二、内力：T（扭矩）
1、内力的大小：（截面法） m
m
mx 0 T m 0
T m
x
T
2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
三、公式的使用条件：
max
T ( Wp
)max
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
19
四、薄壁圆管（圆筒）扭转切应力
dA r
A
0
r0
dA
A
r0
(2π
r0
t)
T
T 2πr02
t
T 2 πR0 2
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，
指向与扭矩的转向一致.
13
14
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。
4、定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
（2） 0 0
F F
M
M M
3
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4
5
6
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用 面垂直杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 轴：主要发生扭转变形的杆。
7
§4—2 外力偶矩、扭矩
一、外力：m （外力偶矩） 1、已知：功率 P千瓦(KW），转速 n转／分(r／min； rpm)。
（空心截面）
17
三）静力关系：
A dA dA dA
T A dA
A G 2
d
dx
dA
A τ ρ dA
O
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
T
GI
p
d
dx
d
dx
T GI p
代入物理关系式
G
d
dx
得：
6.37(kN.m)
②求扭矩（扭矩按正方向设） 11
mx 0 ,
T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m T2 m2 m3 0 , T2 m2 m3 (4.78 4.78)
9.56kN m
T3 m4 0 , T3 m4 6.37kN m
1
第四章 扭转
§4—1 工程实例、概念 §4—2 外力偶矩、扭矩 §4—3 圆轴扭转时的应力、强度计算 §4—4 圆轴扭转时的变形、刚度计算 §4—5 等直圆杆的扭转超静定问题 §4—6 非圆截面杆的扭转 §4—7 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力
扭转变形小结
2
§4—1 工程实例、概念
一、工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
+
T
9
3、注意的问题
（1）、截开面上设正值的扭矩方向。 （2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 作法：同轴力图：
[例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
n
10
A
B
C
D
[例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m 9549 P n
T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。 18
二、圆轴中τmax的确定
横截面上——
max
Tmax
IP
IP
T
max
T Wp
Ip—截面的极惯性矩，单位： m4 mm4
Wp (WT ) —抗扭截面模量，单位：m3 mm3 。
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm ax Wp
变直杆：
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
τ τ2
τ
1
A
O
15
5、切应变的变化规律：
d
dx
二）物理关系：弹性范围内工作时 max P
G
→
G →
G
d
dx
方向垂直于半径。
16
应力分布
（实心截面）
2
2
3d
1
32
(D4
d
4)
1 D4 (1 4 )
d
32
Wp
IP
D
1 D3(1 4 )
16
2
d
D
O
d
O
D
D
21
六、切应力互等定理
1、在单元体左、右面（杆的横截面）上 只有切应力，其方向与 y 轴平行. 由平衡方程
Fy 0
可知，两侧面的内力元素 dy dz
大小相等，方向相反，将组成 z
一个力偶。
m1
9549
P1 n
9549
500 300
15.9103(N m)
15.9(kN.m)
m2
m3
9549
P2 n
9549 150 300
4.78 103
(N m)
Baidu Nhomakorabea
4.78(kN.m)
m4
9549
P4 n
9549
200 300
6.37 103(N m)
τ T
τ
20
五、Ip, Wp 的确定 ：
d
Ip A 2dA
1、实心圆截面——
IP
2dA
A
2 2d
A
D
2 2 3d
1
D4
0
32
Wp IP max
IP
D
1 D3
16
2
2、空心圆截面——
IP
2dA
A
D
2 d
③绘制扭矩图
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
m2 T1
T3 m4
m2
m3 T2
T（kN.m）
–
4.78
– 9.56
6.37
x
12
§4—3 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验：
2、已知：功率 P马力(Ps)，转速 n转／分(r／min；rpm)。
外力偶矩： m 7024 P (N m) n
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二、内力：T（扭矩）
1、内力的大小：（截面法） m
m
mx 0 T m 0
T m
x
T
2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
三、公式的使用条件：
max
T ( Wp
)max
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
19
四、薄壁圆管（圆筒）扭转切应力
dA r
A
0
r0
dA
A
r0
(2π
r0
t)
T
T 2πr02
t
T 2 πR0 2
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，
指向与扭矩的转向一致.
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14
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。
4、定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
（2） 0 0
F F
M
M M
3
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4
5
6
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用 面垂直杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 轴：主要发生扭转变形的杆。
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§4—2 外力偶矩、扭矩
一、外力：m （外力偶矩） 1、已知：功率 P千瓦(KW），转速 n转／分(r／min； rpm)。
（空心截面）
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三）静力关系：
A dA dA dA
T A dA
A G 2
d
dx
dA
A τ ρ dA
O
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
T
GI
p
d
dx
d
dx
T GI p
代入物理关系式
G
d
dx
得：
6.37(kN.m)
②求扭矩（扭矩按正方向设） 11
mx 0 ,
T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m T2 m2 m3 0 , T2 m2 m3 (4.78 4.78)
9.56kN m
T3 m4 0 , T3 m4 6.37kN m
1
第四章 扭转
§4—1 工程实例、概念 §4—2 外力偶矩、扭矩 §4—3 圆轴扭转时的应力、强度计算 §4—4 圆轴扭转时的变形、刚度计算 §4—5 等直圆杆的扭转超静定问题 §4—6 非圆截面杆的扭转 §4—7 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力
扭转变形小结
2
§4—1 工程实例、概念
一、工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
+
T
9
3、注意的问题
（1）、截开面上设正值的扭矩方向。 （2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 作法：同轴力图：
[例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
n
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A
B
C
D
[例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m 9549 P n
T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。 18
二、圆轴中τmax的确定
横截面上——
max
Tmax
IP
IP
T
max
T Wp
Ip—截面的极惯性矩，单位： m4 mm4
Wp (WT ) —抗扭截面模量，单位：m3 mm3 。
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm ax Wp
变直杆：
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
τ τ2
τ
1
A
O
15
5、切应变的变化规律：
d
dx
二）物理关系：弹性范围内工作时 max P
G
→
G →
G
d
dx
方向垂直于半径。
16
应力分布
（实心截面）
2
2
3d
1
32
(D4
d
4)
1 D4 (1 4 )
d
32
Wp
IP
D
1 D3(1 4 )
16
2
d
D
O
d
O
D
D
21
六、切应力互等定理
1、在单元体左、右面（杆的横截面）上 只有切应力，其方向与 y 轴平行. 由平衡方程
Fy 0
可知，两侧面的内力元素 dy dz
大小相等，方向相反，将组成 z
一个力偶。
m1
9549
P1 n
9549
500 300
15.9103(N m)
15.9(kN.m)
m2
m3
9549
P2 n
9549 150 300
4.78 103
(N m)
Baidu Nhomakorabea
4.78(kN.m)
m4
9549
P4 n
9549
200 300
6.37 103(N m)
τ T
τ
20
五、Ip, Wp 的确定 ：
d
Ip A 2dA
1、实心圆截面——
IP
2dA
A
2 2d
A
D
2 2 3d
1
D4
0
32
Wp IP max
IP
D
1 D3
16
2
2、空心圆截面——
IP
2dA
A
D
2 d
③绘制扭矩图
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
m2 T1
T3 m4
m2
m3 T2
T（kN.m）
–
4.78
– 9.56
6.37
x
12
§4—3 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验：