第二章 点集

A B ' A ' B ' ， A B A B
B AB ， 证明： （1） 因为 A A B ， 由定理 2 知，A ' A B ' ， B ' A B '
从而 A ' B ' A B ' .另一方面，任取 P A B ' ，若 P A ' B ' ，则 P A ' 且
（3）（1） ： 0 ，存在自然数 k0 ，当 k k0 时，有 Pk U P0 , ，即 U P0 , E 为无限集，故 P0 E ' .
三、 开核、边界、导集之间的关系
定理2 定理 3 设A ⊂
B ，则 A ' B ' ， A0 B 0 ， A B ．
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第二章
点集 （总授课时数 8 学时）
教学目的： 欧氏空间 R n 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间
上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel集,Cantor 集 等常见的集,为后面的学习打下基础.






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1 P 1, P 0 , ，则 U P 1 E 且P 1 P 0 .令 1 min d P 2 E且 0 , 1 中至少有一点 P 2 1 P2 P0 ， P2 P 2,P 0 , ，则 U P 1 .令 2 min d P 3 E 且 0 , 2 中至少有一点 P 3 P3 Pi i 0,1, 2 .这样继续下去，便得到点列 Pk 且满足要求.
d A, B inf d P , Q
PA ,QB
如果 A, B 中至少有一个是空集，则规定 d A, B 0 ；若 B X ，则记
d A, B d A, X
显然，若 A B ，则 d A, B 0 。
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本章先介绍 R 中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、 聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最 后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.
n
§1 度量空间， n 维欧氏空间 教学目的 1、深刻理解 R n 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型
P B ' .于是 1 0 ，使
U P, P A ，
1
2 0 ，使
U P, P B ，
2
取 min 1 , 2 ，则
U P, P A B U P , P A U P , P B
1 x y 0 x y
Ca ,b 空间( Ca ,b 表示闭区间 a, b 上实值连续函数全体), 其中 d ( x, y ) max | x (t ) y (t ) |
a t b
二、 邻域
定义2： 称集合 {P | d ( P, P0 ) } 为 P0 的 邻域，并记为 U ( P0 , ) . P0 称为邻域的中 心， 称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为 P0 的邻域，并记为
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定义4：
一个非空的点集 E 的直径定义为：
E sup d P , Q
P ,QE
当 E 时，规定 0 。显然， E 0 E 至多只有一个元素。 若 E ，则称 E 为有界集。 定义5： 称
n 2 3 n n n
I I i , I i a i , bi ,称 I (b i a i ) 为区间 I 的“体积” ，即
i 1 i 1
n
n
பைடு நூலகம்
I I i .当然，这里约定 0 0 0 ，当 a 0时，a a .
1 2 0
成的. 2 设A ⊂
B ，证明 A ' B ' ， A0 B 0 ， A B ．
n
中的区间；如果所有 I i 都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称 I 是开(闭、左开右闭、 左闭右开)区间。如果所有的 I i 都是直线上的有界区间，则称 I 是 R 中的有界区间；如果至 少有一个 I i 是直线上的无界区间，则称 I 是 R 中的无界区间. 注： R 中的有界区间即矩形，R 中的区间即长方体， 因此 R 中的区间有时也称为 “长 方体”. 显然， E 为有界集的充要条件是存在有界区间 I E 或 E 为有界集的充要条件是存在 有界邻域 E0 U ( x0 , ) 定义7：
2、 理解并掌握开核、 导集、 闭包、 边界及孤立点集等概念， 对一个已知的点集 E ， 会求这些相关的点集.
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3、了解 Bolzano--Weierstrass 定理.
本节要点 内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概
的点及点集中的作用. 2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念， 理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念. 3、了解邻域的四条性质.
本节要点 度量空间的概念. 本节难点 度量空间的概念. 授课时数 2学时
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一、 度量空间
本章要点 由 R n 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义.
由开集生成一个 -代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别 的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的 直观,可以帮助理解本节的内容.
本章难点 Borel集、Cantor 集的性质. 授课时数 8学时
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则称 ( X , d ) 为度量空间. 例 1： （1） 欧氏空间 ( R , d ) ,其中 d ( x, y )
n
(x
i 1
n
i
yi ) 2
（2） 离散空间 ( X , d ) ，其中 d ( x, y ) （3）
A B .证毕
定理 4 （Bolzano-Weierstrass 定理） R 中的有界点列必有收敛子列．（证略）
n
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作业：P49
1 2
2,
3,
4,
5
练习题
1 E 是 R 与 R 上的全体有理点，在 R 与 R 中分别看 E 时， E , E , E , E 各是有哪些点构
' ' '
（2）令 E 1, , , , ,则 E ' {0} 点
1 1 2 3
1 k

对一切
1 (k 1, 2,3, ) 均为 E 的孤立 k
二、 聚点的等价定义
定理1 下面三个陈述是等价的： （1） P0 E ' ； （2）对 0 ， U ( P0 , ) P0 E （3） E 中有各项互异的点列 Pk Pk P0 , k 1, 2,3, ，使 Pk P0 k 证明 （1） （2）是显然的． （2） （3）：因为 U P0 ,1 {P0 } E ，取 P 1 U P 0 ,1 {P 0 } E ，则
U 3 (P ) U1 (P ) U 2 (P )
3) 对于 Q U ( P) ，存在 U (Q ) U ( P ) ； 4) 对于 Q P ，存在 U (Q ) 和 U ( P ) 满足 U (Q ) U ( P ) 定义3： 两个非空的点集 A, B 间的距离定义为
X , X
1 n i 1 n
2
, , X n | X i Ai , i 1, 2, , n 为集合 Ai 的直积，记为
X 1 X 2 X n 或 Ai
定义6： 若 I
I
i 1
i
， 其中 I i ai , bi 为直线上的区间， 则称 I 为 n 维欧氏空间 R
i 1
注： R 中的区间体积即区间的长度， R 中的区间体积即矩形面积＝长×宽， R 中的 区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定 R 中的区间体积＝ n 个边长的乘积，既是 合理的又是自然.
n
1
2
3
§2、聚点、内点、界点 教学目的 1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.
这说明 P A B ' ，这与 P A B ' 矛盾.所以 P A ' B ' ，即 A B ' A ' B ' 综合以上两个方面，即有 A B ' A ' B ' . （2） A B A B A B ' A B A ' B ' A A ' B B '
念.
本节难点 对一个已知的点集 E ，求这些相关的点集. 授课时数 2学时
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一、 欧氏空间中各类点的定义
（1） P0 为 E 的内点： 0, 使得 U ( P0 , ) E ，记为 E
o
（2） P0 为 E 的外点： 0, 使得 U ( P0 , ) E ， E 的外点的全体记为 E .
定义 1：设 X 为一非空集合， d ： X X R 为一映射，且满足 （1） d ( x, y ) 0 ， d ( x, y ) 0 x y （正定性） （2） d ( x, y ) d ( y , x ) （对称性） （三角不等式）
（3） d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z , y )
U ( P0 ) .
不难看出：点列 {Pm } 收敛于 P0 的充分必要条件是对任意 0 ，存在 N ，当
m N 时有： Pm U ( P0 ) .
容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) P U (P ) ； 2) 对于 U1 (P ) 和 U 2 (P ) ， 如果存在 P U 1 (P ) U 2 (P ) ，则存在
c
（3） P0 为 E 的边界点： 0, 有 U ( P0 , ) E 且 U ( P0 , ) E ，记为 E
c
（4） P0 为 E 的聚点： 0, 有 U ( P0 , ) ( E { p0 }) ， E 的聚点的全体称为 E 的 导集，记为 E ' （5） P0 为 E 的孤立点： 0, 使得 U ( P0 , ) E { p0 } （6） P0 为 E 的接触点： 0, 有 U ( P0 , ) E 注： 聚点、边界点不一定属于 E ，内点、孤立点一定属于 E . 由定义可知 E E {E 的孤立点全体 } E E E E 例 1： （1）令 E Q ， 则 E E E R ， E