集合中的数学思想

集合中的数学思想

数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍应用的意义，是历年高考的重点．其包括:数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．下面通过例题透视集合中的数学思想．

一、数形结合思想

数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通，使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象，以期达到化难为易的目的．

【例1】已知}{10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=I 为全集，集合B A ,为I 的子集，且)(B C A I ⋂=}{

7,4,1，}{3,2)(=⋂B A C I ，}{10,9,8,6)()(=⋂B C A C I I ，那么集合A 等于( )

A }{10,9,8,7,6,5,4,1

B }{,7,4,1

C }{,7,5,4,1

D }{,7,5,4,3,2,1

解:由于集合B A ,将全集I 划分为四个子集: )()(B C A C I I ⋂、)(B C A I ⋂、B A C I ⋂)(、B A ⋂．所以借助于文氏图，可迅速做出判断，如图，易知

I =()()(B C A C I I ⋂)⋃()(B C A I ⋂)⋃(B A C I ⋂)()I ⋃(B A ⋂)．将已知元素填入相应的集合，易知B A ⋂∈5．即A ∈5，且B ∈5．故应

二、等价转化思想

等价转化思想就是在解答问题时，需要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能以有效利用．

例2已知集合{}{}01,0652=+==+-=mx x B x x x A ，且A B A =⋃，则实数m 组成

的集合是_______．

解:{}}{3,20652==+-=x x x A

B 是A 的子集 又

B ∴是A 的真子集 Φ=∴B 或}{2=B 或}{3=B

当Φ=B 时，0=m

当}{2=B 时，012=+m 解得

21-=m 当}{3=B 时，013=+m 解得31

-=m

m ∴的值组成的集合是{}31,21,0--

三、分类讨论思想

分类讨论的思想就是整体问题化为部分问题来解决，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用．

例3设集合{}0232=+-=x x x A ，集合{}0432222=+-+-=p p px x x B ．若B 是A 的子集，求实数p 的取值范围．

解:{}}{2,10232==+-=x x x A

是A 的子集

∴B 可能为Φ、{}1、{}2或{}2,1

方程0432222=+-+-p p px x 中， )4)(2(4---=∆p p

⑴若2

p ，则0<∆，Φ=∴B 为A 的子集

⑵若2=p ，原方程为02422=+-x x ，}{

1=∴B 为A 的子集 ⑶若4=p ，原方程为08822=+-x x ，}{2=∴B 为A 的子集

⑷若42<

∆，原方程有两个相异实根

由B 是A 的子集得}{

2,1=B ，解得3=p 综上得，当}{),4[3]2,(+∞⋃⋃-∞∈p 时， B 是A 的子集

四、函数与方程思想

函数与方程思想就是将函数问题转化为方程问题，借助于二次方程的判别式列式求解．

例4设{}01),(2=--=x y y x A ，{}05224),(2=--+=y x x y x B ，=C {}b kx y y x +=),(，

是否存在N b k ∈,，使得Φ=⋂⋃C B A )(，证明此结论．

解:

Φ=⋂∴C A 且Φ=⋂C B

0)1(4)12(2221<---=∆∴b k bk

,01442<+-∴bk k 此不等式有解，其充要条件是016162>-b ，即12>b ①

0)25(16)1(422<---=∆∴b k

019822<-+-∴b k k 从而208

即5.2

由①②及N b ∈，得2=b 代入由01<∆和02<∆组成的不等式组，

得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032018422k k k k 1=∴k

故存在自然数,1=k 2=b ，使得Φ=⋂⋃C B A )(