高三文科数学函数专题复习.docx
(word版)高中文科数学复习函数与导数知识点,文档
一函数与导数一．函数定义——知识点归纳1函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f〔x〕和它对应，那么就称f:A→B为从集合 A到集合B的一个函数，记作y=f〔x〕，x∈A两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法那么f映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应〔包括集合A 、B，以及集合A到集合B的对应关系f〕叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集4映射的概念中象、原象的理解：(1)A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一二．函数解析式——知识点归纳函数的三种表示法〔1〕解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式2〕列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系3〕图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系求函数解析式的题型有：1〕函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2〕f(x)求f[g(x)]或f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；3〕函数图像，求函数解析式；〔4〕f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组〔5〕应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解（1〕（（2〕f(x1)x31，求f(x)；x x3f(21) lgx，求f(x)；x〔3〕f(x)是一次函数，且满足3f(x 1) 2f(x 1) 2x17，求f(x)；1〔4〕f(x)满足2f(x)f( ) 3x ，求f(x)x解：〔1〕∵f(x1 ) x 3 1 (x 1 )3 3(x 1 )，x x 3 x x∴f(x)x 3 3x 〔x2或x2〕〔2〕令21 t 〔t1〕，x那么x2 ，∴f(t)lg 2 ，∴f(x)lg 2(x1)t 1t1x 1〔3〕设f(x) axb(a0)，那么3f(x 1)2f(x 1) 3ax 3a 3b2ax 2a 2bax b5a 2x17，∴a2，b 7，∴f(x)2x7〔4〕2f(x)f(1) 3x①，x把①中的x 换成1，得2f(1)f(x) 3②，xxx ①2②得3f(x)6x 3，∴f(x)2x1xx注：第〔1〕题用配凑法；第〔 2〕题用换元法；第〔 3〕题一次函数，可用待定系数法；第〔4〕题用方程组法三．定义域和值域——知识点归纳求函数解析式的题型有：同上 求函数定义域一般有三类问题：〔1〕给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；〔2〕实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外， 应考虑使实际问题有意义；〔3〕f(x)的定义域求 f[g(x)]的定义域或 f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域：①掌握根本初等函数〔尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数〕的定义域；②假设 f(x)的定义域 a,b ，其复合函数 f g(x)的定义域应由 a g(x) b 解出 求函数值域的各种方法函数的值域可分三类：(1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算〞而得函数的值域①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数y k(k0)的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；x二次函数f()ax2bx(0)的定义域为R，x ca当a>0时，值域为{y|y(4ac b2)}；4a当a<0时，值域为{y|y(4ac b2)}4a②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f(x)ax2bx c,x(m,n)的形式；③分式转化法〔或改为“别离常数法〞〕④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥根本不等式法：转化成型如：y xk(k0)，利用平均值不等式公式来求值域；x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法〔反求法〕：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y axb,x(m,n)cx d四．单调性——知识点归纳函数单调性的定义：证明函数单调性的一般方法:①定义法：设x1,x2A且x1x2；作差f(x1)f(x2)〔一般结果要分解为假设干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出〕；判断正负号②用导数证明：假设f(x)在某个区间A内有导数，那么’f(x)0，〔xA)f(x)在A内为增函数；f’(x)0，〔xA)f(x)在A内为减函数求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法3复合函数yfg(x)在公共定义域上的单调性：①假设f与g的单调性相同，那么fg(x)为增函数；②假设f与g的单调性相反，那么fg(x)为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数f(x)增函数f(x)增函数g(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)增函数g(x)是减函数；是减函数④函数y ax b(a0,b0)在,b或b,上单调递增；在x a ab,0或0，b上是单调递减a a五．奇偶性——知识点归纳函数的奇偶性的定义；奇偶函数的性质：1〕定义域关于原点对称；〔2〕偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3f(x)为偶函数f(x)f(|x|)4假设奇函数f(x)的定义域包含0，那么f(0)0判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)1f(x)f(x)0，f(x)8设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)= f(x) f(x)f(x)=0；讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；假设奇函数的定义域包含0，那么f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数〞是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性5假设存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，那么称T为函数f(x)的周期，〔5〕函数的周期性定义：假设T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x T) f(x)恒成立那么f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期六．反函数——知识点归纳反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，假设y f(x)与y f1(x)互为反函数，函数y f(x)的定义域为A、值域为B，那么f[f1(x)]x(xB)，f1[f(x)]x(x A)；3单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x对称求反函数的一般方法：〔1〕由y f(x)解出x f1(y)，〔2〕将x f1(y)中的x,y互换位置，得y f1(x)，〔3〕求y f(x)的值域得y f1(x)的定义域七．二次函数——知识点归纳1二次函数的图象及性质:二次函数yax2bx c的图象的对称轴方程是x b，顶2ab 4ac b2点坐标是，2a4a二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f x ax2bxc〔一般式〕，f(x)a(xx1)(xx2〔)零点式〕和()f(x)a(xm)2n〔顶点式〕3根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(a>0)00(1)x1<α,x2<α那么,b/(2a);(2)x1>α,x2>α,那么b/(2a)af()0af()0f()0 (3)α12,那么12(α<),那么f()0<x,α<x f()0(4)x<α,x>f()0b/(2a)(5〕假设f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，那么有f()f)04最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;②0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;③0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根一、关于二次函数6.韦达定理：方程ax2bxc0〔a0〕的二实根为x1、x2，x1bb2x2那么4ac0且acx1x2a①两个正根，那么需满足x1x20，x1x20②两个负根，那么需满足x1x20，x1x20③一正根和一负根，那么需满足ax2+bx+c>0(<0)的解集为(,)() 0x1x2或者是(,)U(,)八．指数对数函数——知识点归纳1根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(n a)n=a②当n为奇数时，n a n=a；当n为偶数时，n a n=|a|=a(a0)a(a0)⑶根式的根本性质：np a mp n a m，〔a0〕2分数指数幂的运算性质：a m a nm n (a )a mn(m,n Q) a mn(m,n Q) a n b n(n Q)3y a x(a 0且a1)的图象和性质a>10<a<1y y图象11o x o x定义域：R性〔2〕值域：〔0，+∞〕质〔3〕过点〔0，1〕，即x=0时，y=1〔4〕在R上是增函数〔4〕在R上是减函数4指数式与对数式的互化：a b N log a Nb5重要公式：log a10，log a a1对数恒等式a log a N N 对数的运算法那么如果a0,a1,N0,M0有log a(MN)log a M log a Nlog a Mlog a M log a N N mlog a Mlog a n M mn 对数换底公式：log a N log m N1，m>0,m1,N>0)(a>0,alog m a8两个常用的推论:①log a blog b a1，log a blog b clog c a1②log a m b nnlog a b〔a,b>0且均不为1〕m对数函数的性质：a>10<a<1y y图象o1x o 1x定义域：〔0，+∞〕值域：R性过点〔1，0〕，即当x1时，y0质x(0,1)时y0x(0,1)时y0x (1, )时y 0x (1, )时y0在〔0，+∞〕上是增函数在〔0，+∞〕上是减函数10同底的指数函数ya x与对数函数y log a x互为反函数指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1)a f(x)=bf(x)=log a b,log a f(x)=b f(x)=a b;〔定义法〕(2)a f(x)=a g(x)f(x)=g(x),log a f(x)=log a g(x)f(x)=g(x)>0〔转化法〕(3)a f(x)=b g(x)f(x)log m a=g(x)log m b(取对数法)(4)logf(x)=logb g(x)logaf(x)=logag(x)/log b(换底法)a a九．函数图象变换——知识点归纳作图方法：描点法和利用根本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值〔甚至变化趋势〕；④描点连线，画出函数的图象三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：〔1〕水平平移：函数y f(xa)的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可得到；〔2〕竖直平移：函数y f(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位即可得到左移h右移h①y=f(x)y=f(x+h);②y=f(x)y=f(x h);上移h下移h③y=f(x)y=f(x)+h;④y=f(x)y=f(x)h51y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于y轴对称即可对称变换：〔〕函数〔2〕函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于x轴对称即可得到；〔3〕函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于原点对称即可得到；〔4〕函数y f1(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于直线yx对称得到x轴y轴直线x a①y=f(x)y=f(x);②y=f(x)y=f(x);③y=f(x)y=f(2a x);④y=f(x)直线yx原点y=f1(x);⑤y=f(x)y=f(x)6翻折变换：〔1〕函数y|f(x)|的图像可以将函数yf(x)的图像的x轴下方局部沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方局部，并保存y f(x)的x轴上方局部即可得到；〔2〕函数y f(|x|)的图像可以将函数y f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边局部并保存y f(x)在y轴右边局部即可得到y y yy=f(x)y=|f(x)|y=f(|x|)a obc x a o bc x a o b c x7伸缩变换：〔1〕函数y af(x)(a0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a1)或压缩〔0a1〕为原来的a倍得到；〔2〕函数y f(ax)(a0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a1)或压缩〔0a1〕为原来的1倍得到x x ya①y=f(x)y=f(y=ωf(x));②y=f(x)十．导数知识点1.导数〔导函数的简称〕的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数值y也引起相应的增量y f(x0x)f(x0)；比值y f(x0x)f(x0)称为函数y f(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限x xlim y lim f(x0x)f(x0)存在，那么称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做x xx0x0y f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即f'(x0)=lim y lim f(x0x)f(x0).x0x x0x注：①x是增量，我们也称为“改变量〞，因为x可正，可负，但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A，y f'(x)的定义域为B，那么A与B关系为A B.2.函数y f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数y f(x)在点x0处连续是y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0x，那么x x0相当于x0.于是lim f(x)lim f(x0x)lim[f(x x0)f(x0)f(x0)]x x0x0x0lim[f(x0x)f(x0)xf(x0)]lim f(x0x)f(x0)lim lim f(x0)f'(x0)0f(x0)f(x0).x0x x0x x0x0⑵如果y f(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为y|x|，当x＞0时，x xy1；当x＜0时，y1，故lim y不存在.x x x0x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为yy0f'(x)(xx0).求导数的四那么运算法那么：(u v)'u'v'y f1(x) f2(x) ... f n(x)y'f1'(x) f2'(x) ...f n'(x)(uv)'vu'v'u(cv)'c'vcv'cv'〔c为常数〕''v'u(vu vu0)v v2注：①u,v必须是可导函数.②假设两个函数可导，那么它们和、差、积、商必可导；假设两个函数均不可导，那么它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f(x)2sinx2，g(x)cosx2，那么f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和x x f(x)g(x)sinx cosx在x0处均可导.5.复合函数的求导法那么：f x'((x))f'(u)'(x)或y'x y'u u'x复合函数的求导法那么可推广到多个中间变量的情形.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，那么y f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，那么yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，那么y f(x)为常数.注：①f(x)0是f〔x〕递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f〔x〕=0，同样f(x)0是f〔x〕递减的充分非必要条件.②一般地，如果f〔x〕在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正〔或负〕，那么f〔x〕在该区间上仍旧是单调增加〔或单调减少〕的.7.极值的判别方法：〔极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理〕当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是①.此外，函数不可x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小〔函数在某一点附近的点不同〕.注①：假设点x0是可导函数f(x)的极值点，那么f'(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是假设函数在该点可导，那么导数值为零.例如：函数y f(x)x3，x0使f'(x)=0，但x0不是极值点.②例如：函数y f(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比拟，最值是在整体区间上对函数值进行比拟.注：函数的极值点一定有意义.几种常见的函数导数：I.C'0〔C为常数〕(sinx)'cosx(arcsinx)'1x21(x n)'nx n1〔n R〕(cosx)'sinx(arccosx)'1x21II.(lnx)'1(log a x)'1log a e(arctanx)'1 21x x x(e x)'e x(a x)'a x lna(arccotx)'11x2求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)'1.x②形如y(x a)(x a)...(x a)或y(x a1)(x a2)...(xa n)两边同取自然对数，可转化12n(x b1)(x b2)...(x b n)求代数和形式.③无理函数或形如y x x这类函数，如y x x取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边求导可得y'lnx x1y'ylnx yy'x x lnxx x. y x。
【精品】高中数学函数专题(文科)
专题1 函数（文科）一、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
高三文科第一轮复习函数
第一轮复习函数函数、导数与不等式是高中数学中最重要的知识板块，它是贯穿于高中数学的一条主线，它的知识点多，覆盖面广，综合性强，应用广泛，与其他知识联系紧密；导数是研究函数的工具，有了导数，函数显得更加丰富多彩．2008年高考中，这三部分内容在选择、填空、解答三种题型中都有考题，分值30分以上，占全卷的20﹪以上，在高考中占有重一．函数的有关概念1.映射的定义、一一映射的定义、函数的定义一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A→B 中的任意一个元素x，在集合B中有一个且仅有一个．．．．．．．．元素y与x对应，那么就称对应f：A为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：A→B”。
设f是A到B的映射，并且对于B中的每一个元素，在A中都有唯一的一个原象，则称这个映射是从A到B的一一映射.设A是一个非空的数集，对A中的任意一个数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的（即有且仅有一个）数y 和它对应，则这种对应关系就称为集合A 上的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A 。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。
映射f ：A →B 是建立在两个非空集合之间的一种对应关系，映射定义中元素的对应形式只有“一对一”和“多对一”两种形式，B 中元素可无原象。
函数实际是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集间的一种对应。
例：设M ={x |－2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ B ）选题目的：理解函数的概念例. 已知映射:f A B →，其中A B R ==，对应法则2:2f x y x x →=-+ (1).对于实数k B ∈,在集合A 中存在不同的两个原象，求k 的取值范围. (2).若对于实数B ∈p ,在A 中不存在原象，求p 的取值范围.解：（1）解法一： 因为222(1)11y x x x =-+=--+≤，映射x x x f 2:2+-→的象的集合为(]1,∞-对于k B ∈，若在集合A 中存在两个不同的原象，则()1,∞-∈k ，即函数的图像与222(1)1y x x x =-+=--+与直线k y =有两个交点，所以可得1k <.解法二：令y k =得220x x k -+=，此方程有两个不同的解，需2(2)40k ∆=-->，解之得1k <.（2）.解法一：由222(1)11y x x x =-+=--+≤可知，映射x x x f 2:2+-→的象的集合为(]1,∞-，对于实数B ∈p ,在A 中不存在原象，(]1,∞-∉p ，所以p 的取值范围为1p >.解法二：令y p =,得220x x p -+=，此方程没有实数解⇔2(2)40p ∆=--<，解得1p >.选题目的：进一步让学生体会函数是特殊的映射，将问题转化为一元二次方程解的问题，体现了函数与方程的联系，解法一利用了数形结合的思想方法解决函数问题。
文科高考函数复习精编版
1、函数概念和性质2、函数应用【考点一】求函数定义域 [例1]设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 --[解题思路]要求复合函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。
[解析]由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩解得()()4,11,4x ∈--。
故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. [练习1]1、（2013年高考重庆卷（文））函数21log (2)y x =-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)+∞D ．(2,4)(4,)+∞【答案】C2、（2013年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-的定义域为M , 则C M R 为（ ）A ．(-∞,1)B ．(1, + ∞)C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】B考试要求典题精讲文科函数高考专题3、（2013年高考广东卷（文））函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 【答案】C4、（2013年高考山东卷（文））函数1()123xf x x =-++的定义域为 （ ）A ．(-3,0]B ．(-3,1]C ．(,3)(3,0]-∞-- D ．(,3)(3,1]-∞--【答案】A5、（2013年高考安徽（文））函数21ln(1)1y x x=++-的定义域为_____________.【答案】(]0,1【考点二】求函数的值域[例2]已知函数)(6242R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域[解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162≤+-=∆a a ，解得231≤≤-a ， 所以417)23()3(2)(2++-=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，419)23()(min -==f a f ，所以)(a f 的值域是]4,419[-[练习2]（2013年高考北京卷（文））函数f(x)=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________. 【答案】(-∞,2)【考点三】函数的单调性、奇偶性[例3]已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。
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函数与导数知识点复习测试卷(文)一、映射与函数1、映射f： A-B概念(1)A屮元素必须都有 ________ 且唯一；(2)B中元素不一定都有原彖，且原彖不一定唯一。
2、函数f： A-B是特殊的映射⑴、特殊在定义域A和值域B都是非空数集。
函数y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，其中x 是自变量，y是自变量x的函数，f是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x轴的直线 ____________________________________________ 公共点，但与垂直y轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。
(即一个x只能对应一个y,但一个y可以对应多个x。
)(2)、函数三要素是_________ , _________ 和________ ,而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.二、函数的单调性在函数./U)的定义域内的一个_________ 上，如果对于任意两数七，x2eA c当兀］时，都有_________________ ，那么，就称函数人力在区间A上是增加的，当Q5时，都有______________ ,那么，就称函数人兀)在区间A上是减少的判断方法如下：1、作差(商)法(定义法)2、导数法3、复合函数单调性判别方法(同增异减)函数的最值函数y=Ax)的定义域为D,⑴存在使得心⑵对于任意炸D,都有___________________________________ . M为最大值(3)_______________________________________________ 存在x()er>,使得幷屯)=胚(4)对于任意用D,都有. M为最小值求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.三、函数的奇偶性⑴偶函数：f(-x) = f(x)设(⑦方)为偶函数上一点，则____________ 也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y轴对称，例如：y = 在U,_i)上不是偶函数.②满足 ______ ，或/(-X)-/(兀)=0,若/(兀)工0时，丄凶■ =(2)奇函数:f(-x) = -f(x)设(a,b)为奇函数上一点，则_____________ 也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：)匸戏在上不是奇函数.②满足 _______ ，或/(-兀) + /(兀) = 0,若/(X)工0时，-^- = -1周期性(1)周期函数：对于函数y=./U),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有 ______________________ ,那么就称函数y=/U)为周期函数，称厂为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数夬兀)的所有周期中_________ 的正数，那么这个最小正数就叫做/U)的最小正周期.※(“函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.(2)函数周期性的三个常用结论：①若J(x+a)=~fix)，则T=2a,②若J(x+a)=^-f则T=2a f③若人兀+^)=—右，则T=2a (a>0).J\x) J\x)※(“关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.⑵掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①/⑷为偶函数o/u)=/(ki).②若奇函数在x=o处有意义，则y(o)=o.四.二次函数幕函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：ZU)=处2+加+ c(dH0).②顶点式:夬兀)= _____________________ ③零点式：/x)= __________________(2)二次函数的图像和性质2.幕函数(1)定义：形如_______ (uWR)的函数称为幕函数，其中尤是自变量，u是常数.(2)幕函数的性质①幕函数在 _______ 上都有定义；②幕函数的图像过定点___________ ；③当Q0吋，幕函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0, +<-)上单调_______________ ；④当avO吋，幕函数的图像都过点(1,1),且在(0, +8)上单调______________ .※(“二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a濒兀)恒成立Oa >y(x)max, a WAx)恒成立O Q冬/(劝血.(3)幕函数的形式是y=x a(a^R)f其中只有一个参数u,因此只需一个条件即可确定其解析式.(4)在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1, +8)上，幕函数中指数越大，函数图像越远离兀轴.五. 函数的变换①〉，=/(x) =>y = /(-x):将函数y = /(x)的图象关于y 轴对称得到的新的图像就是J = /(-x)的图像;②y = /(x)二> y = -/(x):将函数y = f(x)的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是y = -/(x)的图像;③y = f(x)=>y=\f(x)\：将函数y = f(x)的图象在x 轴下方的部分对称到x 轴的上方，连同函数y = /(兀)的图象在x 轴上方的部分得到的新的图像就是y =| /(x) |的图像;④歹二/(x) => J' = /(|x|)：将函数y = /O)的图象在y 轴左侧的部分去掉，函数y = /(兀)的图象在y 轴右侧的部分对称到y 轴的左侧，连同函数y = /(x)的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是y = f(\ x |)函数y=f (x)y=f (x+a) a>0时，向左平移a 个单位；8〈0吋，向右平移|a|个单位. y 二f (x) +a a>0时，向上平移a 个单位；a 〈0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y 二f (-x)与y 二f (x)的图象关于y 轴对称. y=-f(x) y=-f (x)与y=f (x)的图象关于x 轴对称. y=-f(-x)y=-f (-x)与尸f(x)的图象关于原点轴对称.=^>的图像.y=f(x) >0与y=f (x)<0图象的组合.y=/_1U)y= /_，(x)与尸f (x)的图象关于直线y=x 对称.注：(1) 若对任意实数x,都有f (a+x) =f (a-x)成立，则x=8是函数f (x)的对称轴;⑵若对任意实数X,都有f(a+g(-)成立，则沪字是fg 的对称轴※(“利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周 期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.⑵利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程yu )=g (x )的根就是函数/U )与gm 图像交点的横坐标; 不等式>U)vg ⑴的解集是函数夬兀)的图像位于疏兀)图像下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想. 六、指数函数与对数函数的图像和性质 一.指数函数 (一) 指数与指数幕的运算1. 根式的概念：一般地，如果那么兀叫做d 的〃次方根，其中〃 >1, 且nW Nl 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作Vo =0o正数的分数指数幕的意义，规定:m __________ m |a H = (a > 0,m,z? G > 1) a n0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义 3. 实数指数幕的运算性质(1) N • a' = a'+s(a >0,r,$ w 7?); (2)(°)(« > 0,r.s G R):(二) 指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 _______________________________ 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R.注：指数函数的底数的取值范围 ______________________________ ・2、指数函数的图象和性质a>10<a<1///■ ・•一 r 「 1丿— ----------- al------1|…I--定义域R 定义域R 值域y>0 值域y>0 在R 上单调增 在R 上单调减 非奇非偶函数非奇非偶函数 函数图象都过 定点(0, 1)函数图象都过 定点(0, 1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看岀：(1)在［a, b ］上，f(x)=八@ >0且a 工1)值域是 ____________________ 或 ___________当几是奇数时，历=a,2.分数指数幕[-a (a > 0) (a < 0).——(a > 0, m, n G > 1) ^a m当兀是偶数时,(2) 若XHO,则f(x )Hl; f (x)取遍所有正数当且仅当xeR : (3) 对于指数函数f(x) = a x (a>OKa^l)，总有f(l) = a;※指数函数的性质及应用问题解题策略 ⑴比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2) 简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数°的取值范围， 并在必要时进行分类讨论.(3) 解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论. 二、对数函数 (一)对数1・对数的概念：一般地，如果心>0, aHl)的b 次幕等于N,即a b =N,那么数b 叫作以a 为底N 的对数,记作\og“N=b,其屮 ______________ 叫作对数的底数， _____________ 叫作真数.说明：①注意底数的限制0>0,且GH1； 0.. 6/： =log. N = x ；(3)注意对数的书写格式. W&N两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数 ___________________ ;@自然对数：以无理数e = 2.71828-••为底的对数的对数 ______________________指数式与对数式的互化 幕值 真数底数指数对数(二)对数的运算性质如果a 〉0,且GH1, M>0, N>0,那么：① log'M - N)= _____________________________ : ② log a — = ___________ ;①alog“N= _____ ；②log^v = ______ (a>0 且 G H 1).N③ log “ M n 二 ____________ (7? G R)・注意：换底公式利用换底公式推导下面的结论(1 ) log b n = — log “ b : (2) lo 艮 b = ----------- •m log 方 a(三) 对数函数1 >对数函数的概念：函数y = \og a x(a > 0 ,且<7工1)叫做对数函数，其中兀是自变 量，函数的定义域是(0, +8).注：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
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高三数学文科函数专题一．选择题 (本大题共12 小题，每小题 5 分，60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.已知函数 f ( x)log2 x( x 0), 则f [ f (1）3x (x0))] 的值是（41B.－ 9C.1D.9A.992.已知函数 y x23x 3(x0) 的值域是1,7 ，则x的取值范围是（）A. (0, 4]B.[1,4]C. [1,2]D.(0,1] U [2,4]3.设函数 f ( x) 满足：① y f ( x1) 是偶函数；②在 [1,) 上为增函数。
则 f (1) 与 f (2)的大小关系是（）A. f (1) > f (2)B. f (1) < f (2)C. f (1) = f (2)D. 无法确定4. f (x)ax33x2x2在R上是减函数，则 a 的取值范围是已知函数A ．(, 3)B．(, 3]C．(3,0)D．[3,0)5.函数f ( x)1x 2（）的图象关于xA ． y 轴对称B．直线 y=— x 对称C．坐标原点对称D．直线 y=x 对称6.已知函数 f (x) 1log a x(a0且 a1), f1( x) 是 f ( x) 的反函数，若f1 ( x) 的图象经过（ 3,4），则a =()A. 2B.3C. 33D. 27.函数 f（ x） =log 2（ x2+1）（ x<0）的反函数是()A． f－1（ x）=x 2+1 （ x<0）B． f－1（x） = 2 x1（ x>0）C． f －1（x） = 2 x 1 （ x>0 ）D．f －1（ x）=－ 2 x 1 （ x>0 ）8.函数 f ( x)lg 1x 2的定义域为 ()A．［0，1］B．（-1， 1）C．［-1， 1］D．（ -∞，-1）∪（ 1， +∞）9.若f ( x)是偶函数，且当x0 ,时， f ( x)x1，则不等式f (x1) 0 的解集是()A ．x 0 x 2B．x x 0或1 x 2C．x 1 x 0D．x 1 x 210 函数 y = log 2 ( x2–5x –6 )单调递减区间是（）A ．, 5B．5,C．, 1D．(6,) 2211.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A ．y x3 , x R B．C．y lg x, x 0D．y sin x, x R y3xR2, x12.定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数又是以 2 为周期的周期函数，那么 ()f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) f (6) f (7)A ． 6B． 5C． 7D． 0二．填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 )13. 函数y log a ( x 2)2(a 0, a 1) 的图象恒过定点 A ,且点 A 在曲线y2mx n上，其中 mn0，则43的最小值为 ___________________. m n14．若函数y = f ( x ) ( x∈ R ) 满足 f ( x + 2 ) = f ( x )，且 x∈ [ –1， 1]时， f ( x ) = | x |，函数 y =g ( x )是偶函数，且 x∈ ( 0 , +∞ )时，g ( x ) = | log3 x |。
高三函数一轮复习(史上最全)
函 数一、函数及其表示自主梳理1．函数的基本概念 (1)函数定义设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．(2)函数的三要素__________、________和____________． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________. (4)函数相等如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据． (5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________． 2．映射的概念 (1)映射的定义设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B中 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的 .（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.自我检测1．(2011·佛山模拟)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．(2010·湖北)函数y ＝1log 0.5x －的定义域为( )A ．(34，1)B ．(34，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(34，1)∪(1，＋∞)3．(2010·湖北)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x， x ≤0，则f(f (19))等于( )A ．4 B.14C ．－4D ．－144．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x )2C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x5．(2011·衡水月考)函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 (教材改编)下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；（2）P ={-1,1,-2,2}，Q ={1，4}，对应关系:f :x →y =x 2,x ∈P ,y ∈Q ;(3)P ={三角形}，Q ={x |x >0}，对应关系f :对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应.变式迁移1 已知映射f :A →B .其中B ．其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1 探究点二 求函数的定义域例2 (1)求函数y ＝x ＋1＋x －0－x的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f x 21＋x ＋的定义域是________________________________________________________________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )．变式迁移3 (2011·武汉模拟)给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围是________________．1．与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )(1)y 1＝x ＋3x －5x ＋3，y 2＝x －5；(2)y 1＝x ＋1x －1，y 2＝x ＋1x －1；(3)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(4)f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1；(5)f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(4)D ．(3)(5)2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是 ( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．(2011·洛阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ≤－，x 2－1<x，2x x，若f (x )＝3，则x 的值是 ( )A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D. 34．(2009·江西)函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为 ( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]5.（2011·台州模拟）设f :x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ={1，2}，则A ∩B 为 ( )A ．∅B ．{1} C6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1 xx 2x，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2x x，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.三、解答题(共38分)9．(12分)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式； (3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋2x －3，用图象法表示函数g (x )＝f x ＋|f x2，并写出g (x )的解析式．11．(14分)(2011·湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律： (1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？一、函数及其表示答案 自主梳理 1．(1)数集 任意一个数x 都有唯一确定的数f(x)和它对应 定义域 函数值的集合{f(x)|x∈A} (2)定义域 值域 对应关系 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应关系 (5)定义域 对应关系 并集 并集 2.(1)都有唯一 一个映射 (2)函数 非空自我检测1．B [对于题图(1)：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图(2)：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图(3)：符合M 到N 的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．]2．A 3.B 4.C5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．(2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 A [由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．]例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)， ∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋x ＋得－1<x ≤2且x ≠－910. 即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①把①中的x 换成1x，得学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．(4)函数y ＝x ＋a x(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x(a <0)在______________上单调递增．2．最值 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．自我检测1．(2011·杭州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)>f (a )3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( ) A ．y ＝1－2x B ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2x D ．y ＝54．(2011·合肥月考)设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是 ( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为 ( )A ．[c,55＋c ]B ．[－43＋c ，c ]C ．[－43＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ]探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f x，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二 函数的单调性与最值例2 (2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三 抽象函数的单调性例3 (2011·厦门模拟)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (12分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1) 当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[3分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[6分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[9分](4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. 综上，(1)当a <0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；(2)当0≤a <1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；(3)当1<a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； (4)当a >2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1.[12分] 【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x ＝a ，而a 的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a <0,0≤a ≤2，a >2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f (0)，也有可能是f (2)．1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．2．若函数f (x )，g (x )在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )＋C 具有相同的单调性．(2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <0时，具有相反的单调性．(3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与1f x具有相反的单调性．(4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·泉州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2009·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．(2009·宁夏，海南)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．(2011·丹东月考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．(2011·葫芦岛模拟)已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)(2011·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.最大(小)值自我检测 1．B [由已知得a <0，b <0.所以二次函数对称轴为直线x ＝－b2a<0，且图象开口向下．]2．D [∵a 2＋1>a ，f (x )在R 上单调递增，∴f (a 2＋1)>f (a )．]3．C [常数函数不具有单调性．]4．D [在本题中，x 1，x 2不在同一单调区间内，故无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小．]5．C [∵f (x )＝3(x －23)2－43＋c ，x ∈[0,5]，∴当x ＝23时，f (x )min ＝－43＋c ；当x ＝5时，f (x )max ＝55＋c .]课堂活动区例1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解 在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝x 2＋a x 1＋b －x 2＋b x 1＋a x 1＋b x 2＋b＝b －a x 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0， 又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即Δy <0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1 解 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)>f (x 1)，F (x 2)－F (x 1)＝[f (x 2)＋1f x 2]－[f (x 1)＋1f x 1]＝[f (x 2)－f (x 1)][1－1f x 1f x 2]，∵f (x )是R 上的增函数，且f (5)＝1，∴当x <5时，0<f (x )<1，而当x >5时f (x )>1； ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1，∴0<f (x 1)f (x 2)<1，∴1－1f x 1f x 2<0，∴F (x 2)<F (x 1)；②若x 2>x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1，∴f (x 1)·f (x 2)>1，∴1－1f x 1f x 2>0，∴F (x 2)>F (x 1)．综上，F (x )在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．例2 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，设x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵1<x 1<x 2，∴1－12x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2) ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)方法一 在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)， y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立， 故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3.方法三 在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值．∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解 设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．(1)证明 设x 1>x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9； 当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}． 课后练习区1．A [f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]2．C [由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1.]3．C [由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．]4．D [f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.]5．A [∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.]6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －x xx －x x.画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析 举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确． 8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x －x ，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………………………………………………………(6分)(2)解 由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………………………………………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分) 故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分) 10．解 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．……………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分) (3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(12分) 11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分) (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1分∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2.……………………………………………………(14分) 2f (1x )＋f (x )＝3x， ②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系． ③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．C [方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b －＋c ＝c ，－2＋b －＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．]变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0，解得－1<x <2－1.课后练习区1．C [(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关系相同；(5)定义域不同．]2．C [有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．]3．D [该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.]4．C5．D [由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}．] 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 31168．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f x －f －x ＝x ＋12f －x －f x ＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b －1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，…(10分)又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 函数f (x )的图象如图所示，……………………………………(6分) g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3 x ≤－3或x 0 －3<x …………………………………………………(12分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.………………………………………………………………(8分) 当x >5时，有8.2－x >0， 得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．……………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(12分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R4＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14分)学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____； f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于_____ ___ 对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性． 3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝________，则称f (x )为________函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2)．②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2011·茂名月考)如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是 ( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－53．函数y ＝x －1x的图象 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称4．(2009·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25．(2011·开封模拟)设函数f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，则a ＝________.探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋12)； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．变式迁移2 (2011·承德模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三 函数性质的综合应用例3 (2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例 (12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 【答题模板】解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.[4分]令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[7分] ∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)[8分] ∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[10分]又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D. ∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.[11分]解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[12分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·吉林模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为( )A ．－13 B.13C.12 D ．－122．(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f xx<0的解集为 ( ) A ．(－3,0)∪(0,3) B ．(－∞，－3)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－3,0)∪(3，＋∞)3．(2011·鞍山月考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)等于 ( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.54．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于 ( )A ．3B ．1C ．－1D ．－35．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系是 ( )A ．f (－1)>f (2)B ．f (－1)<f (2)C6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．(2011·咸阳月考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3) (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案 自主梳理1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f(x ) 2．(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反3．(1)f(x ) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测1．B [因为f(x )为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，m ＝2.] 2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．] 3．A [由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．C [f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.] 5．－1解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.代入检验f(x)＝xx 12-是奇函数，故a ＝－1.课堂活动区例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x )为偶函数． (3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求xx+-11≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x )是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x )＝－x )21121(+--x＝－x )21212(+-x x ＝)21122(--x x x ＝)21121(+-xx ＝f(x)． ∴f(x )是偶函数． (3)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1) ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x 2x，f (－x )＝－4－x2x∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数．例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反． 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12xx －12即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.。
[原创]高考数学文科考点专题复习11函数综合应用
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关知识和方法把问题转化为混合组处理，
尤其函注数意方程
的分类思讨想论方法；对数形于结函合数与
不等等价式转的化 综合问题，要注意用运动变化的
观点去观察、分析问题．
思想
、
思想、
思想及
思想是解决这类综合问题的关键；对于函
• 二、解决应用问题是新教材所要求的一 个重要能力，而函数型的应用问题是应 用问题的主要题型之一，在学习中应抓 住以下一些能力的训练：
• 解得
，
• ∴y＝－10x＋9000，由400＝－10x＋ 9000，得x＝860(元)．
• 答案：C
• 3．生产一定数量商品的全部费用称为生
产成本，它可以表示为商品数量的函数
，现知一企业生产某种商品的数量为x件 时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋ x2(万元 )，若售出一件商品收入是20万元，那么
• [答案] B
• (2008·湖北八校第一次联考)定义在R上
的函数f(x)的图象关于点(－ ，0)成中心 对称，对任意的实数x都有f(x)＝－f(x＋ )，且f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2) ＋f(3)＋…＋f(2008)的值为
()
• A．－2 D．1
B．－1
C．0
• 命题意图：考查抽象函数的对称性与周
，然后在广告中写上“大酬宾，八折优 惠”，结果是彩电平均每台比原价高了 270元，那么每台彩电原价是________ 元．
• 四、在建立数学模型过程中，未过好事 理关或文理关或数理关失误．
• 4．下图是一份统计表，根据此图表得到 的以下说法中，正确的是________．
• (1)这几年人民生活水平逐年得到提高； • (2)人民生活费收入增长最快的一年是
函数专题(文科)
第二课时 函数一、 经典例题剖析考点一：函数的性质与图象例1设a ＞0，求函数)ln()(a x x x f +-=（x ∈(0，＋∞)）的单调区间． 分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式()0f x '≥（递增）及()0f x '<（递减）。
解：)0(121)(>+-='x ax x x f ． 当a ＞0，x ＞0时f '(x )＞0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，f '(x )＜0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2＜0．（ⅰ）当a ＞ 1时，对所有x ＞ 0，有x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，即f '(x )＞0，此时f (x )在（0，＋∞）内单调递增．（ⅱ）当a ＝1时，对x ≠1，有x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，即f '(x )＞0，此时f (x )在（0，1）内单调递增，在（1，＋∞）内单调递增． 又知函数f (x )在x ＝1处连续，因此，函数f (x )在（0，＋∞）内单调递增． （ⅲ）当0＜a ＜1时，令f '(x )＞0，即x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0， 解得a a x ---<122，或a a x -+->122．因此，函数f (x )在区间），a a ---1220(内单调递增，在区间），∞+-+-a a 122(内也单调递增．令f'(x)＜0，即x2＋(2a－4)x＋a2 ＜0，解得--1-212．<22xa<aaa-+-因此，函数f(x)在区间）2-122-2(内单调递减．1a-a，a-a+-点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．例 2 已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=x x ax x f 。
设ax 201<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。
高中文科函数一轮复习资料
高中文科函数一轮复习资料1．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系kx by e+=（ 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）（A ）16小时 （B ）20小时 （C ）24小时 （D ）21小时2．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ ）（A ）252（B ）492 （C ）12 （D ）143．已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ） A 、d ac = B 、a cd = C 、c ad = D 、d a c =+ 4．（5分）设函数（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））=b 成立，则a 的取值范围是（ ）A ． [1，e]B ． [1，1+e]C ． [e ，1+e]D ． [0，1] 5．函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是6．已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14- 7．设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 8．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）10．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数11．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞- 12．奇函数f （x ）的定义域为R ，若f(x+2)为偶函数，则f(1)=1,则f(8)+f(9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 113．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ）A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件14．已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]- 15．已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中错误的是（ ）（A ）∃0x R ∈, f(0x )=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, 0x ）单调递减 （D ）若0x 是f （x ）的极值点，则 'f (0x )=016．若存在正数x 使2x（x-a ）＜1成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）（-∞，+∞） （B ）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞） 17．已知曲线421y x ax =++在点()-12a +，处切线的斜率为8，=a （ ）（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 18．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 19．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是 （A ）(0，2) （B ）(2，1) （C ）(1) （D ），2) 20．设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)1221．已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是 （A ）(1,)+∞ （B ）[1,)+∞（C ）(2,)+∞ （D ）[2,)+∞22．已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（A）4-+ （B）3-+ （C）4-+ （D）3-+ 23．若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为（ ） AB 、2C 、D 、424．已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 AC ．[1,3]D ．(1,3)25．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．426．定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。
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高三文科数学函数专题复习：函数小题的猜测与研究(2016.4.27) 问题一：冏函数问题研究
探究1：我们把形如(。
>0,方>0)的函数因其图像类似于汉字“冏”字,
x ~ a
故生动地称为“冏函数”，请研究这个函数的性质。
探究2：画出函数y二丿一的大致图像并求单调区间？
厂-1
探究3：画出函数尸右的大致图像?
问题二：取整函数(高斯函数)问题研究探究：画出函数/(X)= ［x］的图象并讨论函数性质.
示不超过X的最大整数，若函数f(x)二回•・d(d? 0)有且
问题：已知xl R,符号［引表
X
仅有3个零点，则。
的取值范围是_______
三、折线函数的问题研究
探究：画出函数y = k\x- a\+h的图象并讨论函数性质.
问题：设函数f(x)=\2x- 4|+1,若不等式/(X)£Q的解集非空，则实数d范围是
变式1：函数y--k\x- a\+b的图象与函数y = k\x- c\+d的图象伙>0,k?丄)交
与两点(2,5) , (&3),贝Ijo+c的值为______ •
变式2：已知不等式P/-3x|>2x- 1对任意的兀？［1,2］恒成立，贝仏的取值范围____ .
变式3：对任意X? (0, ?),不等式| JV・G|+*?*恒成立，则实数°的取值范围是______________ ・变式4：若关于x的不等式x2 <2-卜-r|至少有一个负数解，则实数r的取值范围是 ________ .变式5：设集合A = {x\x2- \x+a\ +2a <0, a? R} , B = {x| x<2}.若A蛊且A\ B ,则实数G的取值范围是 _____ •
变式6：函数/(兀)是定义在R上的奇函数，当兀3()时，
f(x)=-(\x -a2\+\x・2/|・3/),若” x? R, f(x- 1)? /(x),则实数a 的取值范围为
四、双勾(耐克)函数的问题研究
探究：fM = x+-型函数的图象和性质如何？
问题：函数/(x)=x+|的定义域是(0,+?),若对任意的辺N*,都有/(无)3 /(2),
则实数c的取值范圉是__________
变式1：已知函数/U) = |e v+4| (XR)在区间［0,1］上单调递增，则实数日的取值范I詞是
(_、
4
变式2：己知函数/(x) = x・o+—(d?R).
x
(1)若0=0,求不等式/(兀)3 0的解集；n
(2)当方程/(x) = 2恰有两个实数根时，求G的值；
(3)若对于一切%? (0, ?)，不等式/(x)3 1恒成立，求Q的取值范围.
五、分式(反比例)型函数的问题研究
探究：/(兀)二竺辿(加构be,ad 0)的图象，并研究它的相关性质？
cx+d
2%. 3
问题：函数y二一「的单调增区间为_________________
兀+1
变式1：已知函数y二f 在区间(・？ , 1)上是增函数，则实数Q的収值范围是 ___________ X I 1
变式2：若函数y二口在卜"+4)0<・2)上的值域为(2,+¥),则/二__________________
x + 2
六、指数型函数的问题研究
X - x
探究：y/M (d〉0,a? 1)的定义域、值域、奇偶性和单调性怎么研究？
a +a
变式1：函数土二的图象大致为______________ ・
e —e
变式2：已知函数f(Q二—A (。
>0且0? 1)
a x +1
(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数/(兀)的值域；(3)判断并证明函数子(x)的单调性
七、对数型两数的问题研究
问题：设自>1,函数y = |log a x|定义域O, /?],〃/</?,值域[0,1],定义：区间S,门]的长 度等于w 若区间[刃，刀]长度的最小值为丄，则实数日的值为—
6
变式 1：函数/(x) =|ln(x+l)|,若・ 1 VQ v/?H/(d) =/(/?)，贝9a+b 的范围是 ______________ . 变式2：已知函数/(x)=|log 2x|,正实数加,斤满足m<n 且=
若/(兀)在区间上的最大值为2,则777+77的值为 _________________ .
八、嵌套函数的问题研究
12sinx,0 #x p 、
问题：函数/(x) =} 7 ,则函数y = f[fMY 1零点个数为— fx 2,x<0 '
变式1：对于函数/(无)，若存在无R ，使f(x 0)=x
o 成立,则称珀)为/(兀)的不动点• 已知函数/(兀)二处2 +("+])兀・1,(°?()).若对任意实数b,函数/(X )恒有 两个相异的不动点，求Q 的取值范围.
变式2：己知函数y = /(无)和y = g(x)在[-2,2]的图象如下图表示：
英屮正确命题的是 __________ (注：把你认为是正确的序号都填上).
变式3：己知函数/(x)=|x| - 1,关于x 的方程f 2(x)-\f(x)\+k=0f 给出下列四个命题:
① 存在实数比，使得方程恰有2个不同的实根;
② 存在实数使得方程恰有4个不同的实根;
③ 存在实数使得方程恰有5个不同的实根;
④ 存在实数使得方程恰有8个不同的实根.
其中真命题的序号为 _____ ①②③④ _______•
给出下列四个命题：
① 方程f[gM]= 0有且仅有6个根; ③方程= 0有且仅有5个根;
② 方程g[fM] = 0有且仅有3个根;
④方程g[g(x)] = 0有且仅有4个根；
[2015\2016年浙江省数学（理科）参考试卷】
8.如图，函数y 二/（兀）的图象为折线ABC ,设/（%） = /（%）, 则函数y
= f 4M 的图象为
十、函数凹凸性问题研究
问题：设 a>b> \, P 二 Jlgd?lgb , Q 二丄（lga+lgb ）, 7? = lg "
十",
2 2
则P,Q, R 的大小关系为 ____________________
A 定义1：定义在区间/上
的函数y = /（x ）满足：如果任意的x p x 2I /, 都有/（土竺）£ 丁（西）+/（勺）成立，则称函数y 二/（兀）是/上的凹函数; 2 2
定义2：定义在区间/上的函数y = /（x ）满足：如果任意的x p x 2I /,都有
/（土乞）3 成立,贝称函数y 二/（兀）是/上的凸函数。
九⑴= /[£（"）]"? N。