东北石油大学 线性代数期末考试题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
东北石油大学线性代数期末考试题
李哥话音刚落。夕郁在一边就又急眼了“王八蛋，王越，你凭什么管我。”说完了以后又冲着李哥说道“李哥，你们别听他的，他都不是人。” 我听完了以后转头看着夕郁“我怎么不是人了？我不是人是啥？” 夕郁撇了我一眼“天外飞仙。”接着李哥和王哥都笑了王哥在一边说道“那这小丫头要是跟我们急眼了咋弄，挺好一个姑娘。你们两个小屁孩，还挺有意思，人小鬼大的” 我看了眼夕郁，然后转头看着李哥“她要敢急，就该报老师报老师，该报主任报主任，反正也是你们正常的职责，该怎么处理就怎么处理，对别人怎么处理，就对她怎么处理。” 李哥楞了一下“这个合适么？”“报你妈，王八蛋”夕郁再一边骂道。 我继续无视她，看着李哥“没啥不合适的，放心，这样做谁也不能说什么。没问题吧。”李哥点了点头“那就这样吧？”接着我从兜里就把大中华掏了出来，伸手抓住了李哥的手，就把烟放到了手里“李哥，抽着。” 李哥瞪了我一眼“你这是什么意思？不用不用，你别这样，这样就太见外了。 ” 夕郁再一边继续说道“王八蛋。不是人”但是后面就没话了，我也听明白了，不就拿你的钱买烟，然后送人管着你了么，有啥的。这也叫事。我看着李哥拒绝，笑了笑“没事，我没把你当外人，这个也是她的意思。” “她的意思？”我点了点头“恩，她自己管不了自己，需要别人帮着管管，这个烟也是她的钱买的。就是给你的。”“那我也不要”王哥推脱道“但是有什么事，我会办的。答应你的，我会做呢” 我摇了摇头“王哥，你是看不起我不？”“不是，不是，这个烟，是真不能要” 接着又墨迹了好久，才让王哥把烟收下。最后王哥叹了口气“真是说不过你小子，算了，放心吧。这个烟，我们也不跟你客套了。”接着就把烟收了起来。 夕郁在旁边看着我“六儿，六儿”接着拍了派我的肩膀。我转头看着她“怎么了，你要干吗。”“你还是人么？”“我怎么了？”说完了以后我叹了口气“我这是为你好。” 夕郁冲着我就骂道“你个王八蛋，你疯了么，你管的着我么，你是有病，还是怎么周。臭流氓，你个混蛋，吃饱了撑着了你是怎么着。”夕郁在这骂着。王哥和李哥就在一边笑，而且还很无奈的摇头。 我也直接无视了夕郁，看着王哥“哥，你们这里就这一张床啊？” 王哥点了点头“恩，屋子里面就这一张。我们俩有一个人必须在外面站岗啊。所以里面就这一张。”说完了以后站了起来“你们俩呆着吧，我们俩出去站岗，聊会。”说完了以后，俩人站起来，就要往出走。 我一拉王哥“走，哥，我跟你们一起去值班，咱们3个聊。让她自己在这休息会”说完了以后，一推王哥，跟着他们俩就走了出去。 接着听见了夕郁在后面骂人“六儿你个王八蛋，给老娘回来，老娘跟你没完，你个混蛋。” 王哥笑了笑，指了指屋子里面。我摇了摇头“没事，不管她。” 我们三个就到了外面，王哥打开了大中华，我们几个一人一支，刚在外面做好了，我把烟点着，夕郁气烘烘的就把门打开，出来了。 夕郁走到了我的边上，一推我“你在无视老娘一个，给我看看，你还是人么？你怎么管的这么宽，管的这么多，这么讨厌。人家怎么着跟你有啥关系” “呦，你还会说人家呢。麻烦你别用人家这俩字行么。这个是淑女才能用的”“你管的着老娘么”夕郁继续说道。我听完了以后，笑了笑“恩，说老娘还可以理解下。行了，赶紧睡觉去，明天还要上学呢” 夕郁摇了摇头“我不去。”“那你明天上课怎么办？”“我们今年中考，就考语数外三门课。”我一听“为啥你们就考这三门，咋滴，你们就这么特殊。” 夕郁撇了我一眼“我们这是非典政策”很自豪的样子。我听完了以后，想了想“那个考几门，什么非典不非典的政策，跟你进太内晚上睡觉不睡觉，有啥关系？” “我天天听这三门课，要烦死了，腻了。而且很腻。我不要睡觉。”说完了以后，就坐到了我们边上“我也不想睡觉”接着转头看着我们“我一直想不通一个问题。”我看了一眼她“你想不通什么问题？” “难道这个烟，就有这么好抽么？天天抽，也不腻，也不烦。还这么上瘾。”我看了她一眼“你懂什么？”夕郁想了想“你管我懂什么。我就是懂，我以前也试着抽过，但是感觉一点都不好， 一点都不好抽，还呛人。” 王哥看着小夕郁，笑了笑“有这么句话，你听过没有？”“什么话呢。”“不抽烟，不喝酒，白在世上走。”夕郁听了以后无奈的笑了笑“哥，你这是听六儿说的吧，他都是歪理，他就会这一句，你们也听他的。” 我紧跟着说道“放屁，我会的多了。”“你还会啥？”“饭后一支烟，赛过活神仙。”我一说完，王哥和李哥也乐了。夕郁听完了以后沉默了会，继续说道”我们快该中考了呢。“ 我一听“中考好啊，考完了又有长假了，多好。”“你脑子里就知道放假。”夕郁说道。我乐了“放假是美好的事情。”“恩，放假开学了以后，我就该去一中报道了，就该去你们学校找你了，到时候，我看你怎么跑，再往哪跑。” 我转头看着夕郁“你考的上我们学校么？”“我怎么就考不上了。”我叹了口气“你难道不知道？我们学校是省级重点高中，里面都是学习好的尖子生，哪是人想去就去的。” 夕郁非常狠的鄙视了我一眼“有脸说，某些的人的脸皮真不是盖的。”“我怎么了？”“你说你怎么了？你也算尖子生？” 我点了点头“那是必须必的，我是尖子生中的陪衬，要是没有我，根本显不出来他们学习好，我们的作用不可忽视。” “你还挺会自我安慰的。” “我有什么不能安慰的”接着我抽了一口烟“你知道臣阳，辉旭他们都是啥水平么？” “啥水平？”夕郁再一边问道。 我很牛比的说道“ 他们每次考试，都是20多考场，最后一个考场的水平，竟跟一些子学习特别不好的人，一个考场。永远在那个考场里混。” 夕郁一听“怎么，难道你不是那个考场?” 我叹了口气“再怎么着，我也不能混到那个考场去吧，多丢人。” “那你是哪个考场呢。” “你别管，反正不能跟他们是一个水平线的。他们那帮不学习的完蛋孩子。”我笑了笑说道。 王哥听完了我的话，想了想”不是都说一中挺不错的么。“ “再好的学校，也得有学习不好的人啊，你说是不？” “恩，这到也是。” 夕郁再一边继续说道“反正我肯定能上。我要是考不够分数，夕阳说给我找他爸，让他爸给我找关系上。” 我听完了夕郁的话就笑了“夕阳他爸，不是你爸是咋滴？” “你管的着我么。我乐意这么说。” 我撇了她一眼“你别来一中了，对你没啥好处。” 夕郁转头看着我“咋就没好处了？” 我叹了口气“名义上一中是重点，其实好多好多不学习的学生，学校特别黑暗，动不动就收钱，干嘛都得要钱，而且，是个人给点钱，就能去，领导还特腐败，一个个的，全是大肚子，吃好的喝好的穿好的，开小车住高楼，他妈的。” 王哥听完了以后摸了摸我脑袋“你还挺能抱怨。” “恩，就是这么回事，说的都是实话。”李哥笑了笑“别说一中了，咱们这个学校，那李校长他们不也这样么，一中，那学校油水更多。” “就是，别去了，对你是真的没啥好处。”我看着夕郁闷闷的说道“破学校。” 夕郁瞪了我一眼“我说六儿，你至于么？” 我有点蒙“什么，我就至于不？” “我说你至于这么害怕么。” “我怕什么？” 夕郁很生气的说道“你个王八蛋，我又不是去找你，你管的着么，说这不好，说那不好的，老娘还骗去，你怎么着，你吃了我。”说完了以后还冲着我吐了吐舌头。 我叹了口气“哎，那你随便吧，我又管不了你。” 门卫也笑了“你们两个小孩子，还真有意思。”接着我们几个就坐在外面开始聊天。聊了没一个小时，小夕郁就不说话了。 我转头看了眼她，发现她已经睡着了，自己坐在那，趴在了桌子上，这个可爱，睡的这个香。我无奈的摇了摇头“你说她，就这点战斗力，还叫嚷着不睡觉。非要出来聊天，几句，就不行了吧” 王哥笑了笑“这小丫头挺好的，多可爱，又懂事。你就老惹人家。” 我叹了口气“你不懂呢。” “得了，我们俩在外面，你抱着她进去，让她睡会吧”李哥再一边点着了一支烟“轻点。抱她进去睡会吧。”
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
东北石油大学高数（上）期末试题
高等数学（上）期末试题一、选择题1、函数2221()11x x f x x x-=+-的间断点个数为( ).(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 0.2、 32lim 1knn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k =( ).(A)32； (B) 23； (C) 32-； (D) 23-. 3、设()()d f x g x dx =，2()h x x =, 则[()]df h x dx等于( ). (A) 2()g x ； (B) 2()xg x ； (C) 22()x g x ； (D) 22()xg x . 4、若230a b -<，则方程32()0f x x ax bx c =+++=( ).(A)无实根； (B)有唯一实根； (C)有三个实根； (D)有重实根. 二、填空题1、极限0(1)limcos 1x x x e x →-=- ． 2、若0()limx f x a x→=，(a 为常数)，则0lim ()x f x →=______________.3、设21()lim (1)t xx f t t x→∞=+，则 ()f t '= ． 4、若()d sin 2f x x x C =+⎰，则()f x = ．5、设210()0xx x f x ex -⎧+<=⎨≥⎩，31(2)f x dx -=⎰ . 三、计算题1、求下列隐函数的微分dy sin cos()0y x x y --=2、设2tt yx te e e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，求220t d y dx =.3、求极限3333lim ()x x x x x x →∞+--.四、计算题1、求arctan y x x =-的凹凸区间及拐点.2、已知012arctan ln1lim0kx xx x C x →+--=≠，求k 和C五、计算题1、计算11111xdxe-+⎰.2、设2(),2lkx xf xlc x l⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩求()()xx f t dtϕ=⎰.六、应用题1、求星形线33cossinx a ty a t⎧=⎪⎨=⎪⎩与坐标轴在第一象限所围成图形的面积.2、设有一半径为R ，长为L 的圆柱体，平放在深度为2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)，设圆柱体的密度是水密度的1ρ>倍，现将圆柱体平移出水面，需做多少功？七、证明题 1、证明极限222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=02、设(),()f x g x 在[],a b 上连续，证明至少存在一个(),a b ξ∈，使得()()()()b af g x dx g f x dx ξξξξ=⎰⎰.高等数学（上）期末试题答案二、选择题 CCDB 二、填空题 -2 0 2(12)t t e + 2cos 2x 173e -- 三、计算题 1、由s i n c o s s i n ()()d y x y x d x x y d x d y ++--=得：c o s s i n ()s i n ()s i ny x x y d y d xx y x +-=--． 2、解：由tx t e =得t t dx e te dt =+，由2t y e e += 对t 求导得0t y dye e dt+=得ty d y e d t e=- 从而得 1(1)tyt t ye dy e dx e te e t -==-++ 2222221(1)(1)1(1)(1)(1)(1)y y yy y yy y y dy e t e e t e d dy e e t dt dt dx e t e t e t -++++-++⎛⎫=== ⎪+++⎝⎭22221()(1)yt t y d y e e te e t dx-+=++，当0t =时，0,0x y ==. 2211(10)01t d y dx =-+=+=． 3、解：33332332211lim ()lim 11x x x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭ 2321l i m 11x x x →∞⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭2321l i m 11x x x →∞⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭221lim 3x x x →∞⎛⎫=⎪⎝⎭221lim 3x x x →∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭23=. 四、计算题1、解：2111y x '=-+，()2221xy x -''=+，令0y ''=得0x =. 在(),0-∞内0y ''>，∴在(),0-∞内为凹.在()0,+∞内0y ''<，∴在()0,+∞内为凸. 拐点为()0,0.2、解：21002112arctan ln(1)ln(1)111lim lim k k x x x x x x x x C x kx -→→---++-++-== 2413004411lim lim k k x x x x kx k x --→→--==-，所以 43,3k C ==-. 五、计算题 1、解：11111xdx e-+⎰=011111111xxdx dx ee-+++⎰⎰(令t x =-)011111111txdt dx e e-=-+++⎰⎰111101111txdt dx ee-=+++⎰⎰111011()11xxdx ee-=+++⎰11111011(1)(1)x x xxe edx ee --+++=++⎰1011dx ==⎰.2、解：当02l x ≤≤时，201(),2x x ktdt kx ϕ==⎰ 当2l x l <≤时，0()()x x f t dt ϕ=⎰2202182lx l l ktdt cdt kl c x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰.综上所述，221,022()1,822lkx x x l lkl c x x l ϕ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩六、应用题1、解：所求面积033242202sin (cos )sin cos aS ydx a td a t at tdt ππ===⎰⎰⎰2462220315313(sin sin )()422642232at t dt a a ππππ⋅⋅⋅=-=⋅-⋅=⋅⋅⋅⎰.2、解：建立坐标系：以任一铅直截面的圆心为原点，垂直向下的直线方向为x 轴正向，则功元素[](1)()2()22(21)dw R x yLdx R x yLdx yL R x dx ρρρ=-++-=--，所求功 []2232(21)(21)RRW L R x R x dx L R ρρπ-=---=-⎰八、证明题 1、证明：由于2222211111(2)(1)(2)n n n n n n n ++≤+++≤+ ，又2211limlim 0(2)4n n n n n n →∞→∞++==，根据夹逼准则 222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . 2、证明：作辅助函数()()()x baxF x f t dt g t dt =⎰⎰，由于(),()f x g x 在[],a b 上连续，所以()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，并有()()0F a F b ==，由罗尔定理有()()0,,F a b ξξ'=∈，即 [()()][()()()()]xb b xx x a xxaf t dtg t dt f x g t dt f t dt g x ξξ=='=-⋅⎰⎰⎰⎰()()()()0baf g x dx g f x dx ξξξξ=-=⎰⎰，亦即 ()()()()baf g x dx g f x dx ξξξξ=⎰⎰.。
线性代数期末考试题库资料大全
.-期末考试一试题线性代数 I一、填空 （ 15分，每 3 分）31、 (12 3) 2 =。
2、若(0,2,4,t )T ， ( 0,3, t,9) T ， (1, t,2,3)T 性有关， t =。
13、 A 是 2 方 ， B 是 3 方 ， | A| 2，|B| 4， ||A| 1B | =。
4、若 A 是 3 方 ，且 2IA ，I A ， IA 均不行逆，A 的特点。
5、二次型 fx 12 4x 22 4x 322 x 1 x 22x 1 x 34x 2 x 3 是正定二次型，的取 范 是。
二、 （ 15分，每3 分）1、已知 x n 列向量， x T x 1， Axx T ， In 位 ，。
A 、 A 2AB 、A 2IC 、A 2I D 、A 2A2、 A 是 4 方 ， A 的队列式 |A| 0， A 中。
A 、必有一列元素全 零B、必有两列元素 成比率C 、必有一列向量是其他列向量的 性 合D、任一列向量是其他列向量的 性 合3、 1 是 A 的特点 ， 。
A 、1是A 2的特点B 、2 是2A 的特点AAC 、2是A 2的特点 D、1 是2A 的特点AA4、 向量1，2，⋯ ,n 的秩 r， 此向量 中。
A 、随意 r 个向量 性没关B 、随意 r 个向量 性有关C 、随意 r1个向量 性有关D、随意 r1个向量 性有关5、二次型f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 12 4x 22 6x 32 4x 1 x 2 6x 2 x 3 的矩。
2 412 02 21 4 0 A 、 44 6 B 、 22 3C 、2 43D 、4260 66333666三、 算队列式： （ 16分，每8 分）41 2 312 3 ... n1 0 3 ... n1、 34 1 22 、120 ... n2 3 4 1123 4123 021 1 1 1 3 四、（10 分）求解矩 方程X 2 1 04 32 111.-五、（10 分）已知向量1 ，2 ,3， 4 性没关， 11t 1 2， 2 2t 2 3， 3 3 t 3 4 ，此中 t 1 ，t 2 ， t 3 是数， 向量 1 ， 2 ，3 性没关。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
2022年线性代数期末考试卷试题及答案2套
,考试作弊将带来严重后果！期末考试《 线性代数》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；单项选择题（每小题2分，共30分）。
．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. A=A -1B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=12-,则*A = 【 】 A. 14-B. 14C. 1-D. 1 设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D. 02131= b b a a 9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. 121{(,,,)|1}n a a a a = D. }1|),,,{(21∑=n inaa a a14. 下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. 1 -10 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1 00 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的秩为r(A)，则下列结论正确的是（）A. r(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数B. r(A) ≤ m，其中m是矩阵A的行数C. r(A) ≤ min(m, n)D. r(A) = max(m, n)答案：C2. 下列矩阵中，哪一个不是对称矩阵？（）A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &5 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &9 \end{pmatrix}\)答案：D3. 若向量组α1, α2, α3线性无关，则向量组（）A. α1 + α2, α2 +α3, α3 + α1 线性无关B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关答案：B4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵D. A的n次幂An也是可逆矩阵答案：D5. 若行列式D = |A|的值为0，则下列结论正确的是（）A. 方程组Ax = b有唯一解B. 方程组Ax = b无解C. 方程组Ax = 0有非零解D. 方程组Ax = b有无穷多解答案：C6. 若矩阵A是正交矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的行列式值为1B. A的行列式值为-1C. A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1D. A的平方等于单位矩阵E答案：CD二、填空题（每题5分，共30分）7. 若矩阵A的行列式值为3，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式值为________。
线性代数期末试题及答案
线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(2, 1, 0)，则α·β等于：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B3. 设A为n阶方阵，且A^2=I，则A的行列式|A|等于：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关？A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵B为2阶方阵，且B^2=0，则称矩阵B为______。
答案：幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B为______。
答案：可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2)，β=(3, 4)，则向量α和β的夹角的余弦值为______。
答案：3/54. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征值为1, 2, 3，则矩阵A的迹为______。
答案：6三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。
答案：矩阵A的转置矩阵记为A^T，其元素满足A^T_{ij}=A_{ji}，即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。
2. 什么是线性方程组的齐次解？答案：线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时，方程组的解，通常表示为零向量。
3. 说明矩阵的相似对角化的条件。
答案：矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵A的阶数。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为：\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。
线性代数期末考试考核试卷
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵
线性代数期末考试试卷+答案.pdf
一、填空题
1. 5
2.
1
3. s s ， n n
4. 相关
5. A 3E
二、判断正误
1. ×
2. √
3. √
4.
√
5. ×
三、单项选择题
1. ③
2. ③
3. ③ 4.
② 5.
①
四、计算题
1.
xa b
c
d
a xb c
d
a b xc d
a
b
c xd
1b
1 xb (x a b c d)
1b
1b
xabcd b
求 B。
解 . (A 2E)B A
( A 2E) 1
2 11
2 2 1，
11 1
B (A 2E) 1 A
5 22 4 32 22 3
1 10 0
3.
设B
01 00
1 0, 11
00 0 1
求 。 X (C B)' E,
2134
C
0 0
2 0
1 2
3 1
且矩阵
0002
满足关系式
4. 问 a 取 何 值 时 ， 下 列 向 量 组 线 性 相 关 ？
线性代数期末考试试卷 +答案
大学生校园网— 线性代数 综合测试题
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题
2
分，共 10 分）
1 31
1. 若 0 5 x 0 ，则
12 2
__________。
x1 x 2 x3 0
2．若齐次线性方程组 x1 x2 x3 0 只有零解，则 应
2 11
线性代数期末考试试卷(doc 6页)
D ．12.n ααα⋅⋅⋅中任一部分线性无关。
5．下列条件中不是n 阶方阵A 可逆的充要条件的是（ ）。
A ．0A ≠；B ．()R A n =；C ．A 是正定矩阵；D ．A 等价于n 阶单位矩阵。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．123212233031332x x x x x x x x x ------=+-的根的个数为 个。
7．20102009100110100001012010010101001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
8．010100002A x ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，当 时，矩阵A 为正交矩阵。
9．设A 为5阶方阵，且()3R A =，则()*R A = 。
10．设三阶方阵A 的特征值为1、2、2，则14A E --= 。
三、计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式ab ac ae bd cd de bfcf ef ---。
得分 得分12．已知111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -、()*1A -、1A -。
13．问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。
得分 得分14．设向量组()131T a α=，()223T b α=，()3121T α=，()4231T α=的秩为2，求,a b 。
15. 设n 维向量(),0,0,T a a α=⋅⋅⋅，0a <，且T A E αα=-⋅,11T A E a αα-=+⋅,求a 。
得分得分学院：专业：班级：四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为()1111TP=,,，求矩阵A。
得分五、证明题（每小题5分，共10分） 17．设A 、B 为两个n 阶方阵，且A 的n 个特征值互异，若A 的特征向量恒为B 的特征向量，证明AB BA =。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1.下列哪一个不是线性空间？A. 实数集RB. 矩阵的集合M(n,R)C. 正实数集R+D. 空集答案：C2.下列关于线性变换的叙述，正确的是（）A. 线性变换保持向量的长度不变B. 线性变换保持向量的方向不变C. 线性变换保持向量的数量积不变D. 线性变换保持向量的线性组合关系不变答案：D3.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）A. 2α1，3α2，4α3 线性相关B. 2α1+3α2，4α3 线性无关C. α1+α2，α2+α3，α3+α1 线性无关D. α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性相关答案：C4.设A是3阶矩阵，且|A|=5，则|2A|=（）A. 10B. 25C. 50D. 125答案：D5.下列关于线性方程组的叙述，正确的是（）A. 如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组一定有解B. 如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，则方程组一定有唯一解C. 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组一定有解D. 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组一定无解答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6.若向量组α1，α2，α3线性无关，则其极大线性无关组所含向量的个数为______。
答案：37.设A是3阶矩阵，且|A|=4，则|A的逆矩阵|=______。
答案：1/48.若线性方程组Ax=b有解，则系数矩阵A的秩r(A)与增广矩阵B的秩r(B)满足关系______。
答案：r(A)=r(B)9.设A是n阶对称矩阵，则A的转置矩阵A^T______。
答案：等于A10.线性空间V的维数等于______。
答案：V中极大线性无关组所含向量的个数三、计算题（每题10分，共30分）11.已知向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，判断向量组是否线性相关，并说明理由。
答案：线性相关。
因为α3=α1+α2，所以向量组线性相关。
线性代数期末考试试卷合集(共十一套)
线性代数期末考试试卷合集（共十一套）目录线性代数期末试卷及参考答案（第一套） .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案（第二套） .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷（第一套） ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷（第二套） ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷（第三套） ........................................................................................ 30 线性代数 期末试卷（A 卷） .................................................................................................. 36 线性代数 期末试卷（B 卷） .................................................................................................. 41 线性代数 期末试卷（C 卷） .................................................................................................. 46 线性代数 期末试卷（D 卷） .................................................................................................. 51 线性代数 期末试卷（E 卷） .................................................................................................. 57 线性代数 期末试卷（F 卷） (62)线性代数期末试卷及参考答案（第一套）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =，则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ； (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11； (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ； (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .（21k k ,为任意常数） 2、设n 阶方阵A ，B 满足E AB =，则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ； (B )E B A =+ ； (C )1=A 或1=B ； (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2； (B ) 3； (C ) 4； (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示，则正确的是 ( )(A )当s r >时，向量组A 必线性相关； (B ) 当s r <时，向量组A 必线性相关； (C )当s r >时，向量组B 必线性相关； (D ) 当s r <时，向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵，0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解，则b x A =有唯一解；(B ) 若b x A =有无穷多解，则0=x A 有非零解；(C ) 若n m =，则b x A=有唯一解；(D ) 若A 的秩m A R <)(，则b x A=有无穷多解.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ，当c b a ,,满足 时，A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3，则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵，且秩2=)(A R ，则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1，则行列式1117110111------z y x = ． 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关，则常数x＝ .三、计算题（本题共6小题，共50分）1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、（8分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、（8分）设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、（10分）设向量组A ：.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x ， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设矩阵B A ,为3阶方阵，且42==B A ,，则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，且O A ≠，则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解，则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862，证明：(1)E A 3+是可逆矩阵，并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵．2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解，且,)(3-=n A R证明：030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系．参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2． 证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解，030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个； 下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关， 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案（第二套）一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ，则当k ＝ 时，.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322，则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ，则 =x ． 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ，多项式x x x f 2)(2+=，则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关，则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A ，B 是任意n 阶方阵(2≥n )，则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+； (B ) 22B A B A B A -=-⋅+； (C ) B A B A ⋅=； (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中，①A 可逆 ； ②A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）； ③A 的列向量组线性无关； ④ O A ≠ ；可使推理“ 若O AB =， 则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个 ； (B ) 2个； (C ) 3个； (D ) 4个.3、向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ ，，，21线性表示， 则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ，，，21线性无关；(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性相关；(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性无关；(D ) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ ，，，21等价. 4、设A ，B 均为3阶方阵, 3)(=A R ，2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1； (B ) 2； (C ) 3； (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵，r A R =)(，则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解； (B ) 当n m r == 时有唯一解；(C ) 当n m = 时有唯一解； (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题（本题共6小题，共54分）1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、（9分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、（8分）设3阶方阵C B A ，，满足方程 A B A C =-)2(，试求矩阵A ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、（10分）设向量组A ：.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1、若向量321,,ααα线性无关， 求证 2132αα +，324αα +，135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量，证明：(1) A A =2； (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-； 2. E A +2； 3. 3±； 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ； 5. 6 ； 6. n b A R A R <=),()(； 7. -1 ，-3 ，0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=-03039λλ，3=∴λ (2分)， 一个最高阶非零子式5221 ．2．解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系：,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系：,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 （初等变换步骤不一，请酌情给分）所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解：)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234＝xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a ， (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R ， 此时方程组有唯一解； (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ，此时方程组无解；(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=，022 可逆， 又321,,ααα线性无关，所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR ， 即 2132αα +，324αα +，135αα+ 也线性无关．2． 证明: (1) η为单位向量，1=∴ηηT ，A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知，A A =2， 即 O E A A =-)(，3)()(≤-+∴E A R A R ，η为单位向量，O E A T ≠-=-∴ηη ， 1)(≥-E A R ，从而32)(<≤A R ， 所以0=A ， 故A 不可逆.另一证法： 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ，的非零解，为线性方程组0=∴ηηA所以0=A ， 故A 不可逆.南京工程学院期末试卷（第一套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷（第二套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院期末试卷（第三套）共6 页第1页课程所属部门：数理部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科线性代数 期末试卷（A 卷）一、（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设B A ,均为n 阶方阵，则下面各式正确的是----------------------------------（ C ） (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) 若02=A ，则0=A (B) 若A A =2，则0=A 或E A = (C) 若E A =，则E A n = (D) 若E A =2，则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ） (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321，则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------（ B ） (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零，则该方程组------------------------------（ D ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6．已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的，则t =-----（ B ）(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵，则下列说法中正确的是--------------------------------------（ B ） (A) 若A 可对角化，则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵，则A 可对角化 (C) 若A 可对角化，则A 必可逆 (D) 若A 可逆，则A 可对角化二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
第2版《线性代数》基础卷2期末考试习题及参考答案
《线性代数》期末试卷 (基础卷)一、填空题（本题满分24分，每空3分）1.排列632514与排列153642的逆序数之和为 .2.已知ab c d b a c dD b d c a dacb=，则11213141A A A A +++= . 3.已知100110011-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则()()122-+-=A E A E .4．已知222abca b c b c c a a b=+++ . 5．设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，12-=-B E A ，其中1-A 是A 的逆矩阵，则矩阵B 的特征值为 .6．若n 元齐次线性方程组有解，其系数矩阵A 的秩()R r =A ，则当 时，方程组只有零解；当 时，方程组有非零解.7. 设矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，其中()0,1,2,,i j a b i j n ≠=，则()R =A .二、判断题（本题满分15分，每小题3分）8.已知,A B 为n 阶方阵，则222()2+=++A B A AB B . （ ） 9.设A 与B 为同阶可逆阵，则必有()111---+=+A B A B . （ ）10.若方阵A 的行列式0=A ，则必有=0A . （ ） 11.设A 与B 为同阶对角阵，则必有()()22+-=-A B A B A B . （ ） 12. 若方阵A 满足2=A A ，则必有=0A 或=A E . （ ）三、（本题满分8分）设1211⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭α是4维实向量空间4中一个固定向量，4中所有与α正交的向量构成4的一个子空间，求这个子空间的一个基.四、（本题满分12分）设201030102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，100010000-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，若X 满足22+=+AX B BA X ，求4X .五、（本题满分14分）k 取何值时，线性方程组1232123123424x x k x x k x x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有惟一解？有无穷多个解？无解？在有无穷多解时给出通解.六、（本题满分13分）设二次型2221231231213(,,)32222f x x x x x x x x x x =++++，（1）求该二次型的矩阵A ；（2）求一个正交变换=X PY ，将此二次型化为标准形.七、（本题满分14分）设V 是全部2阶实方阵所构成的线性空间. 定义V 上线性变换T 为：对任意V ∈A ，T A 为A 的转置矩阵，()T T =-A A A . 求线性变换T 在基111000⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，120100⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，210010⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，0011⎛⎫= ⎪⎝⎭M 下的矩阵.《线性代数》期末试卷 (基础卷)一、填空题（本题满分24分，每空3分）1.排列632514与排列153642的逆序数之和为 17 .2.已知ab c d b a c dD b d c a dacb=，则11213141A A A A +++= 0 . 3.已知100110011-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则()()122-+-=A E A E 300430443-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭.4．已知222abca b c b c c a a b=+++ ()()()333a c b b a c c b a -+-+- . 5．设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，12-=-B E A ，其中1-A 是A 的逆矩阵，则矩阵B 的特征值为3,1,0- .6．若n 元齐次线性方程组有解，其系数矩阵A 的秩()R r =A ，则当 r n = 时，方程组只有零解；当 r n < 时，方程组有非零解.7. 设矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，其中()0,1,2,,i j a b i j n ≠=，则()R =A 1 .二、判断题（本题满分15分，每小题3分）8.已知,A B 为n 阶方阵，则222()2+=++A B A AB B . （ ╳ ） 9.设A 与B 为同阶可逆阵，则必有()111---+=+A B A B . （ ╳ ）10.若方阵A 的行列式0=A ，则必有=0A . （ ╳ ） 11.设A 与B 为同阶对角阵，则必有()()22+-=-A B A B A B . （ √ ） 12. 若方阵A 满足2=A A ，则必有=0A 或=A E . （ ╳ ）三、（本题满分8分）设1211⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭α是4维实向量空间4中一个固定向量，4中所有与α正交的向量构成4的一个子空间，求这个子空间的一个基.解 这个子空间的一个基即为方程组T =0x α的基础解系。
地大期末考试 线性代数答案
线性代数答案一、选择题1、C2、C3、A4、A5、C 二、填空题 1、122、入≠-2且入≠13、k=44、245、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23234252251三、计算题1、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=300020001,313211212B A ，求1)(-AB 。
解：因为111)(---=A B AB ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-230002100011B , ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=------51515252512595151520111000100010210111002100011120210115002101130021010920210211100001010313212211100010001313211212I A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----51515252512591011A ，所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==---103103535156109011)(111A B AB2．求向量组),0,2,1,1(),6,1,7,1(),2,1,2,1(321-=-==ααα)6,5,2,4(4=α的极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。
解： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00007100301060010000710041104111 00011204110411122401120635041116062521121724111A ，因此，极大无关组为321,,ααα 且 3214736αααα++-=。
3、方程组4、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A ，求正交矩阵T 使得AT T 1-为对角矩阵。
解：1) 首先求其特征值：0)1)(4(211121112||2=--=---------=-λλλλλλA I ，其特征根为：.4,1321===λλλ2) 求各特征值的特征向量，当121==λλ时求得特征向量为TT)1,0,1(,)0,1,1(--，将其正交化得TT)1,21,21(,)0,1,1(---， 再将其单位化得 TT )22,61,61(,)0,21,21(---当43=λ时特征向量为T)1,1,1(，将其单位化得T)31,31,31(.3）所得正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=31620316121316121T ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4111AT T 为对角矩阵.5、解原式=0321402143014321------ = 4000830086204321 =1ⅹ2ⅹ3ⅹ4=24 所以原式D=24四、证明题设n 阶方阵A 满足032=--I A A ，求证A-2I 和A +I 都可逆。
东北石油大学大一下期末数学试卷
2011 —2012 学年第 3、4 学期高等数学（下）课程期末考试试卷（A 卷）
注：2011 级本科（B96 学时），考试时间为 120 分钟，试卷共 4 页，共六道大题。
四、（本大题 21 分，每小题 7 分）
得分：
1. 设有界闭区域 由曲面 z 4 ( x2 y2 ) 及 z x2 y2 围成，求 的体积.
I r3drddz
2
d
1 r3dr
1
dz
0
0
r2
……………………4 分
2
d
1 r3 (1 r2 )dr
0
0
6
……………………2 分
3. 计算曲面 z x2 y2 ,介于平面 z 0 和平面 z 2 之间部分的面积 A .
答案、评分标准
一、填空题（本大题 20 分，每空 4 分）
1. 设 z exy ，则 dz
.
得分：
2. 设 L 为连接点 O(0, 0), A(1, 0), B(0,1) 的三角形围线，则 ( x y)ds
.
L
3. 已知向量 a (1,1,1) ，则与 a 平行但方向相反的单位向量是 ．
答案、评分标准
P 2xy 4 y,Q x2, Q P 2x (2x 4) 4. L 所围区域 D {(x, y) | x2 y2 2} x y
由格林公式有
I
D
( Q x
P )d y
4d
D
8
3.求过点（0, 2,4）且与两平面 x 2y 1, x y 3z 2 0 都平行的直线方程.