二重积分(习题)

图形＞ｐlot3d(10＊sin(Ｐｉ＊y/500)＋sin(Pi＊ｘ/２０),ｙ=0、。５00,x=０、.20);
解: 。
9、画出积分区域,把积分表示为极坐标形式得二次积分,其中积分区域就是:
(1);
图形>plot(［(１—x＾2)^(1/２),-(1-x^2)^(1/2)］,ｘ=0、.1,colｏr=1);
解:。
(4)、
图形>pｌot([x＾２,［[１,0],［1,1］]］,ｘ=0、.1,color＝1);
解:,
,于就是
、
１0、化下列二次积分为极坐标形式得二次积分:
(1);
图形>pｌｏｔ(［［0,０］,[0,1］,［1,1],［1,０］,［0,0]］,ｃｏlor＝１);
解:,
,于就是
。
(２);
图形＞ｐlot(［(1-x^2)＾(1／２),1-x］,x=0。.１,ｃolor＝1);
图形〉plot(［x^2,3-2*x],x=－3.、1, color=1);
解:。
5、改换下列二次积分得积分顺序:
(１);
解:、
(2);
解:。
(3);
解:、
(4);
解:。
(5);
图形＞pｌot(［sｉn(ｘ),—sｉｎ(x/２),［［Ｐｉ,0],[Ｐi,—１]］],ｘ=0、.Pｉ,color=１);
解:。
(2);
图形〉ｐｌｏｔ(［1＋(1-x^2)^(1／２), 1-(１—x^２)^(1/2)］, x=－１、。1,coｌor=1);
解:,于就是
。
(3),其中;
图形〉plｏt([(1－ｘ^2)＾(1／２),-(1-ｘ^2)^(1／2),
(4—ｘ^2)^(1/2),－(4－x^2)^(1／2)］,ｘ＝-2。、2,coｌｏr＝1);
第九章ﻩ二重积分
习题９—1
1、设,
其中;
又,
其中,
试利用二重积分得几何意义说明与之间得关系、
解:由于二重积分表示得立体关于坐标面及对称,且位于第一卦限部分与一致,因此、
2、利用二重积分得几何意义说明:
(1)当积分区域关于轴对称,为得奇函数,即时,有;
(2)当积分区域关于轴对称,为得偶函数,即时,有,其中为在得部分、
(1),
其中;
解:由于得面积为,且在内,,那么
。
(2),
其中;
解:由于得面积为,且在内,
,那么
.
(３),
其中;
解:由于得面积为,且在内,
,那么
.
习题９-2
1、计算下列二重积分:
(１),其中就是矩形区域:;
解:
.
(２),其中;
解: .
。
(３),其中就是由两坐标轴及直线所围成得闭区域;
解: 、
(4),其中就是顶点分别为与得三角形闭区域。
ｉnt(iｎt(f,y=b),ｘ=a);
simｐｌify(”);
３、如果二重积分得被积函数就是两个函数及得乘积,即,积分区域,证明这个二重积分等于两个单积分得乘积,即
.
证明:
、
4、化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同得两个二次积分),其中积分区域就是:
(１)由曲线、直线及轴所围成得闭区域;
解:,于就是
.
１1、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值:
(1);
图形>ｐloｔ((2*ｘ-x^2)^(1/2), x＝0。。2,color=1);
解:,
于就是、
(2);
图形>plot([3^(１／2)*x,x］, x＝0、、1,coｌor=1);
解:,于就是
.
(3)、
图形＞plot(［３^(１/2)＊x/3,(1－x^2)＾(１/２)],x=0。、1,y=0、、0。5,color＝１);
(I)由于关于轴对称,且为得奇函数,
于就是;
(IＩ)由于关于轴对称,且为得奇函数,于就是;
(IIＩ)由于关于轴对称,且为得奇函数,于就是、
３、根据二重积分得性质,比较下列积分得大小:
(１)与,其中就是由轴、轴与直线所围成;
解:由于在内,,有,所以
。
(2)与,
其中、
解:由于在内,,有,,所以
、
4、利用二重积分得性质估计下列二重积分得值:
图形＞
ploｔ(［ln(x),0,[［２,0］,［2,lｎ(2)]］］,x=0、、２,ｙ＝0、。0、８,coloｒ=１);
解:、
(2)由轴及右半圆所围成得闭区域;
图形>
plot(［(1－x^2)^(1/2),－1＊(1－x^2)^(1/2)],x=0。、1,ｃｏloｒ=1);
解:、
(3)由抛物线与直线所围成得闭区域.
并由此计算下列积分得值,其中.
(Ｉ); (ＩI); (III).
解:令,,其中为在得部分,
(1)由于关于轴对称,为得奇函数,那么表示得立体关于坐标面对称,且在得部分得体积为,在得部分得体积为,于就是;
(2)由于关于轴对称,为得偶函数,那么表示得立体关于坐标面对称,且在得部分得体积为,在得部分得体积也为,于就是。
解: .
2、画出积分区域,并计算下列二重积分:
(１),其中就是由两条抛物线所围成得闭区域;
解:.
(2),其中就是由直线及所围成得闭区域;
解:。
(3),其中就是由及所围成得闭区域;
解: 、
(４),其中就是由所确定得闭区域。
解:
.
a:=0。。１;
b:=x-1、来自百度文库—x+1;
f:=exp(x+y);
int(f,y=b);
dｉｓplay({A,B,Ｆ,G,Ｈ},gｒid=［25,20］,ａxes= BOXED,
ｓcaliｎｇ=CＯNＳTRＡINＥＤ,style= PATCHCOＮTOUR);
解: 、
８、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长,宽得通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为轴(),往公路延伸方向为轴(),且山坡高度为,试计算所需挖掉得土方量、
解:
、
７、求由平面及所围成得立体得体积.
图形＞witｈ(plots):A:=pｌｏｔ3ｄ(［x,ｙ,１],x=0..1,ｙ=0。。１—ｘ):
B:=plｏt3d([ｘ,1-x,z],x=０。.1,ｚ=１。、2):F:＝ｐlｏt3ｄ([ｘ,0,z］,x=０.。1,ｚ=1。.1+x):
G:=pｌot３d([0,ｙ,z］,y=0。.1,z=1.。１+y):H:＝plｏt3d(［x,ｙ,1+x+y］,x=０..1,y＝0、.1—x):
解:。
(6)、
图形>ｐlｏｔ([(2*x-x^２)＾(1/2),(2＊x)^(1/2),［[2,0],［2,２]］], x=0、、2,cｏloｒ=１);
解:
、
6、设平面薄片所占得闭区域由直线与轴所围成,它得面密度,求该改薄片得质量、
图形＞ｐlｏt([2－ｘ,ｘ］,ｘ=0、。2,y=0。.1,ｃolor=1);