完全平方公式变形的应用练习题_2
完全平方公式的综合应用
完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。
根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。
所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。
例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。
解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。
将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。
所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。
解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。
根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。
无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。
在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。
因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。
完全平方公式变形的应用练习题_2
完全平方公式变形的应用练习题_2(共11页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c cb b a -+-+-的值是⑵1=+y x ，则222121y xy x ++=⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式组合例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=⑶若()()x y x y a-=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2222d c b a ++（三）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。
例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求ba ba -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=xb ，20082005+=xc ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ． （五）分类配方例题：已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
(完整word版)完全平方公式变形的应用练习题2
乘法公式的拓展及常见题型整理一.公式拓展:拓展一：a 2 b 2 =(a b)2_2aba 2 1 = (a —)2- 2a a拓展二：(a b)2一(a _b)2=4ab(a b)2 = (a -b)24ab2 2 2a b =(a -b) 2ab a 2 4 = (a _丄)2 2 a a2 2 2 2 a b ］亠［a 「b 2a2b(a -b)2 = (a b)2 -4ab拓展三：a 2• b 2c 2=(a b c)2_2ab _2ac _2bc 拓展四：杨辉三角形(a b)‘ 二 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 (a b)4 二 a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4拓展五： 立方和与立方差(一) 公式倍比(1) ________________________________________________________ 如果 a - b=3, a - c = 1，那么 a - b i 亠 lb - c i 亠 i.c - a 的值是 __________________ — 1⑵ x y =1，则一 x 2 xy y 2=2 22 + 2⑶已知口 X(X_1) _(x 2_y) = -2,贝y -L _xy= __________2(二) 公式组合例题：已知(a+b) 2=7,(a-b) 2=3, 求值：(1)a 2+b 2(2)ab例题：已知a b =4,求ab 。
a 3b 3 = (a b)(a 2 _ab b 2) a 3 _b 3 二(a _b)(a 2 ab b 2).常见题型:⑴若(a —b)2=7, (a+b)2 =13,则a 2+b 2= ___________________ , ab = ________⑵设(5a + 3b ) 2= (5a — 3b ) 2+ A ，贝U A= __________ ⑶若(x _ y)2= (x • y)2a ，贝H a 为 __________⑷如果(x-y)2• M ^(x y)2，那么M 等于 ________________⑸已知(a+b) 2=m (a — b) 2=n ,贝U ab 等于 ________2 2⑹若(2a-3b) =(2a3b) N，则N 的代数式是 _________________⑺已知(a ，b)2=7,(a-b)2 =3,求 a 2 b 2 ab 的值为 _______________ 。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛，下面结合例题，介绍完全平方公式的变形“公式”及其应用。
一、变式1：2a ＋2b ＝()2a b +－2ab这样因为：由()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ，移项，得2a ＋2b ＝()2a b +－2ab 。
例1 已知x ＋y ＝5，xy ＝2，求下列各式的值：（1）2x ＋2y ；（2）4x ＋4y . 解 由变式1，得（1）2x ＋2y ＝()2x y +－2xy ＝25－2×2＝21.（2）4x ＋4y ＝()222x y +－222x y ＝221－2×4＝433. 二、变式2：2a ＋2b ＝()2a b -＋2ab这是因为：由()2a b -＝2a －2ab ＋2b ，移项，得2a ＋2b ＝()2a b -＋2ab 。
例2 已知a －1a ＝5，求2a ＋21a的值。
解 由变式2，得2a ＋21a ＝21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2＝25＋2＝27. 三、变式3：ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦ 这是因为：由()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ，得2ab ＝()2a b +－（2a ＋2b ），两边同除以2，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦。
例3 已知a ＋b ＝7，2a ＋2b ＝29，求ab 的值。
解 由变式3，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦＝12[27－29]＝10. 四、变式4：ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦ 这是因为：由()2a b -＝2a －2ab ＋2b ，移项得2ab ＝（2a ＋2b ）－()2a b -，两边同除以2，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦。
例4 已知a －b ＝3，2a ＋2b ＝5，求ab 的值。
解 由变式4，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦＝12[5－23]＝－2.五、变式5：()2a b +＝()2a b -＋4ab这是因为：()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ＝（2a ＋2b －2ab ）＋4ab ＝()2a b -＋4ab 。
八上完全平方公式练习题及答案
八上完全平方公式练习题及答案一．选择题 1．图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：2 =a+2ab+b．你根据图乙能得到的数学公式是223．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是4．如图，是一个长为2a宽为2b的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是5．如图的图形面积由以下哪个公式表示2二．填空题7．如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a、b的正方形．这个矩形的面积为 _________228．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是 _________ ．9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 _________ ．10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a=a+ab成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_________ ．211．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为 _________ 平方米．的环形小12．如图，请写出三个代数式、、ab之间的等量关系是 _________ ．2213．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a= _________ ，b= _________ ．三．解答题 14．阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示=m+3mn+2n，22观察图2，请你写出，，ab之间的关系 _________ ．小明用8个一样大的长方形，，拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．①a﹣4ab+4b= _________②ab= _________ ．222215．我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积++正方形MHFD222的面积．即：=a+2ab+b．还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣ _________ 的面积，即：= _________ ．计算= _________ ．仿照上述方法，画图并说明．16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图221可以得到=a+3ab+2b．请解答下列问题：写出图2中所表示的数学等式 _________ ；利用中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a+b+c的值；图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给22的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a+5ab+2b=．22217．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．图2的空白部分的边长是多少？若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．22观察图2，用等式表示出，ab和的数量关系．18．动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；22请写出三个代数式，，ab之间的一个等量关系．问题解决：根据上述中得到的等量关系，解决下列问题：已知：x+y=6，xy=3．求：的值．2第1课时完全平方公式要点感知 =______.即两个数的和的平方，等于它们的_____加上_____.222预习练习1-1 计算：=+2·_____·_____+=_____. 1- 填空：2=_____；2=_____；2=_____；2=_____.知识点1 完全平方公式的几何意义1.如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为A.2=a2+2ab+bB.2=a2-2ab+bC.a2-b2=D.2=2+4ab2.下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形.把图①、②、③三个图形拼在一起，其面积为S，则S=_____；图④的面积P=_____；则P_____S.3.下列计算结果为2ab-a-b的是A. B. C.- D.-24.若关于x的多项式x2-8x+m是2的展开式，则m的值为A.4B.16C.±D.±165.计算2的结果为_____.26.化简代数式-2x，所得的结果是_____.知识点运用完全平方公式计算7.直接运用公式计算：2； 2； 2； 2.8.运用完全平方公式计算：2012；99.82.9.计算：2-2； 22； .10.下列运算中，错误的运算有12①2=4x2+y2，②2=a2-9b2，③2=x2-2xy＋y2，④=x-x ＋.4A.1个B.2个C.3个D.4个222211.已知=8，=2，则m+ｎ=A.10B.6C.5D.3212.计算：-=_____.13.若2=2，则代数式x2-2x+5的值为_____.14.由完全平方公式可知：32+2×3×5+52=2=64，运用这一方法计算：224.321 0+8.642×0.670+0.670=_____.15.计算：2； 2；； 2-2+2.16.先化简，再求值：2b2+-2，其中a=-3，b=1.挑战自我17.观察下列关于自然数的等式：223-4×1=5①52-4×22=9②72-4×32=13③…根据上述规律解决下列问题：完成第四个等式：92-4×_____2=_____；写出你猜想的第n个等式，并验证其正确性.参考答案课前预习要点感知a2±2ab+b2平方和它们的积的2倍22222222预习练习1-12a a 1 1 a+4a+11-a+2ab+ba-2ab+b 25+30p+9p 4x-28xy+49y 当堂训练22221.D2.a+b+2ab2=.D4.B.a-6a+6.x+17.原式=9+30p+25p2.原式=49x2-28x+4.原式=4a2+20a+25.原式=4x2-12xy+9y2.8.原式=2=4001.原式=2=960.04.422442249.原式=-5x-10x.原式=a-2ab+b.原式=-x+2xy-y.课后作业10.C 11.C 12.2x+ 13. 14.2515.原式=4m2+12mn+9n2.原式=x2-4xy+4y2.原式=a4-2a2+1.原式=36b2.16.-3.17.417第n个等式为2-4n2=2-1.左边=2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，右边=2-1=4n+2-1=4n+1.∵左边=右边，∴2-4n2=2-1.2平方差、完全平方公式讲义知识点平方差公式：完全平方公式：完全平方式：完全平方公式公式变形：例1.利用完全平方公式计算：21012例2.已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；若已知a+b=10，a2+b2=4，求ab的值。
完全平方公式30道题
完全平方公式30道题一、完全平方公式基础计算（10道题）1. 计算(a + 3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a=a，b = 3。
所以(a+3)^2=a^2+2× a×3 + 3^2=a^2 + 6a+9。
2. 计算(x 5)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a=x，b = 5。
所以(x 5)^2=x^2-2× x×5+5^2=x^2-10x + 25。
3. 计算(2m+1)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 2m，b=1。
所以(2m + 1)^2=(2m)^2+2×2m×1+1^2=4m^2 + 4m+1。
4. 计算(3n 2)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 3n，b = 2。
所以(3n-2)^2=(3n)^2-2×3n×2+2^2 = 9n^2-12n + 4。
5. 计算(a + b)^2，其中a = 2x，b=3y解析：先将a = 2x，b = 3y代入完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，得到(2x+3y)^2=(2x)^2+2×2x×3y+(3y)^2=4x^2 + 12xy+9y^2。
6. 计算(m n)^2，其中m = 5a，n=2b解析：把m = 5a，n = 2b代入完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 5a，b = 2b，所以(5a-2b)^2=(5a)^2-2×5a×2b+(2b)^2=25a^2-20ab + 4b^2。
7. 计算(4x+3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 4x，b = 3。
完全平方公式的变形及其应用专题练习(解析版)
完全平方公式的变形及其应用专题练习一、选择题1、若a +b =7，ab =5，则（a -b ）2=（ ）．A. 27B. 29C. 30D. 32答案：B解答：（a -b ）2=a 2-2ab +b 2=（a +b ）2-4ab将a +b =7，ab =5代入可得：原式=29．选B.2、设（5a +3b ）2=（5a -3b ）2+A ，则A =（ ）．A. 30abB. 60abC. 15abD. 12ab答案：B解答：A =（5a +3b ）2-（5a -3b ）2=（5a +3b +5a -3b ）（5a +3b -5a +3b ）=10a ·6b=60ab ．选B.3、已知x +1x =3，则下列三个等式：①x 2+21x =7②x -1x 2x 2-6x =-2中，正确的有（）．A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③答案：B解答：①∵x +1x =3，∴（x +1x ）2=32，∴x 2+2+21x =9，∴x 2+21x =7．∴①正确．②∵（x -1x ）2=x 2-2+21x =7-2=5，∴x -1x =②错误③∵x+1x=3，∴x2+1=3x，∴x2-3x=-1，∴2x2-6-=-2．③正确4、若实数n满足（n-2015）2+（2014-n）2=1，则代数式（n-2015）（2014-n）的值为（）．A. 1B. 0C. 12D. -1答案：B解答：设n-2015=a，2014-n=b，∴a2+b2=（a+b）2-2ab=12-2ab，∴1-2ab=1ab=0，∴（n-2015）（2014-n）=0．二、填空题5、已知（x+y）2=32，xy=4，则（x-y）2=______．答案：16解答：（x-y）2=（x+y）2-4xy=32-4×4=16．6、a2+b2=17，ab=4，则a+b=______．答案：±5解答：∵a2+b2=17，ab=4，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=17+8=25，∴a+b=±5．7、已知a＞b，ab=2且a2+b2=5，则a-b=______．答案：1解答：∵a＞b，即a-b＞0，ab=2且a2+b2=5，∴（a-b）2=a2+b2-2ab=5-4=1，则a -b =1，故答案为：1．8、已知a +b =5，ab =3，则a 2+b 2=______．答案：19解答：把知a +b =5两边平方，可得：a 2+2ab +b 2=25，把ab =3代入得：a 2+b 2=25-6=19，故答案为：19．9、已知（m -n ）2=8，mn =2，则m 2+n 2=______．答案：12解答：m 2+n 2=（m -n ）2+2mn=8+2×2=12．10、如果m 2+3m -1=0，则m 2+21m =______． 答案：11解答：由已知，m ≠0， ∴213m m m+-=0， 即：m -=-3，m 2+21m =（m -1m）2+2=（-3）2+2=11． 11、已知长为a ，宽为b 的长方形的周长为14，面积为10，则a 2+b 2=______． 答案：29解答：∵周长为14，∴2（a +b ）=14，即a +b =7，∵面积为10，∴ab =10，a 2+b 2=（a +b ）2-2ab ，=49-20，=29．12、已知实数a 、b 满足ab =2，a +b =3，则代数式a 2+b 2的值等于______． 答案：5解答：a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =32-2×2=9-4=5故答案为：5．13、已知a +b =2，ab =-1，则3a +ab +3b =______；a 2+b 2=______． 答案：5；6解答：∵a +b =2，ab =-1，∴3a +ab +3b =3（a +b ）+ab =3×2+（-1）=5，a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =22-2×（-1）=4+2=6．14、已知a -b =3，ab =-1，则a 2+b 2=______，（a +b ）2=______． 答案：7；5解答：∵a -b =3，∴（a -b ）×（a -b ）=3×3=9，∴a 2-ab -ab +b 2=9，即a 2+b 2=9+2ab ， 又∵ab =-1，∴a 2+b 2=9+2×（-1）=9-2=7；原式=（a -b ）2+4ab ，（ ）=9+（-4），=5．故答案为：7；5．15、已知x +1x =5，那么x 2+21x=______． 答案：23 解答：∵x +1x=5， ∴x 2+21x =（x +1x ）2-2=25-2=23． 16、已知xy +x +y =5，x 2y +xy 2=7，则x 2y 2+2xy +1+x 2+y 2的值为______． 答案：12解答：令xy =a ，x +y =b ，则xy +x +y =a +b =5，x 2y +xy 2=xy （x +y ）=ab =7．原式=x 2y 2+1+（x +y ）2=a 2+b 2+1=（a +b ）2-2ab +1=52-14+1=12． 故答案为：12．17、已知实数a 、b 满足（a +b ）2=1，（a -b ）2=25，求a 2+b 2+ab =______．答案：7解答：a 2+b 2=()()222a b a b -++=13，ab =()()224a b a b -+-=-6，a 2+b 2+ab =718、已知（200-a ）（198-a ）=999，那么（200-a ）2+（198-a ）2=______． 答案：2002解答：∵（200-a ）（198-a ）=999，（200-a ）-（198-a ）=2，∴（200-a ）2+（198-a ）2=[（200-a ）-（198-a ）]2+2（200-a ）（198-a ）=2002．19、已知：a -1a =2，则a 2+21a =______，a 4+41a =______． 答案：6；34解答：∵a 2+21a =（a -1a ）2+2×a ×1a ， ∴a 2+21a=4+2=6， ∵a 4+41a =（a 2+21a ）2-2×a 2×21a， ∴a 4+41a=36-2=34． 三、解答题20、已知a +b =3，ab =-10．求：（1）a 2+b 2的值．（2）（a -b ）2的值．答案：（1）29（2）49．解答：（1）∵a +b =3，ab =-10，a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =9+20=29． （2）∵a +b =3，ab =-10，∴（a -b ）2=（a +b ）2-4ab =9-4×（-10）=49．21、已知x2+y2=25，x+y=7，求x-y的值．答案：x-y=±1．解答：∵x+y=7，∴（x+y）2=x2+2xy+y2=49，∵x2+y2=25，∴2xy=24，∴（x-y）2=x2+y2-2xy=25-24=1．∴x-y=±1．22、已知x+y=5，xy=3，求x2+y2，x3+y3，x4+y4，x6+y6的值．答案：19；80；343；6346．解答：x2+y2=（x+y）2-2xy=19；x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=80；x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=192-2×9=343；x6+y6=（x3+y3）2-2x3y3=6346．23、已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．（1）求xy的值．（2）求x2+y2+4xy的值．答案：（1）2．（2）13．解答：（1）∵（x+3）（y+3）=20，∴（x+3）（y+3）=xy+3（x+y）+9=20，∵x+y=3，∴xy=20-9-3×3=2．（2）∵x+y=3，∴（x+y）2=x2+y2+2xy=9，∴x2+y2+4xy=x2+y2+2xy+2xy=9+4=13．24、已知a+b=5，ab=3．（1）求a2b+ab2的值．（2）求a2+b2的值．（3）求（a2-b2）2的值．答案：（1）15．（2）19．（3）325．解答：（1）原式=ab （a +b ）=3×5=15． （2）原式=（a +b ）2-2ab =52-2×3=25-6=19． （3）原式=（a 2-b 2）2=（a -b ）2（a +b ）2=25（a -b ）2=25[（a +b ）2-4ab ]=25×（25-4×3）=25×13=325．25、已知x -1x =32，x ＞0，求： （1）x 2+21x ． （2）x +1x． （3）x 3-31x的值． 答案：（1）174（2）52（3）638解答：（1）x 2+21x=（x -1x ）2+2=（32）2+2=174． （2）（x +1x ）2=x 2+21x +2=174+2=254，解得x +1x =±52， 又因x ＞0，可知x +1x ＞0，故x +1x =52． （3）x 3-31x =（x -1x ）3+3（x -1x ）=（32）3+3×32=638， 或x 3-31x =（x -1x ）（x 2+21x +1）=32×（174+1）=638． 26、两个不相等的实数a ，b 满足a 2+b 2=5． （1）若ab =2，求a +b 的值．（2）若a2-2a=m，b2-2b=m，求a+b和m的值．答案：（1）a+b=±3．（2）a+b=2，m=．解答：（1）∵a2+b2=5，ab=2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，∴a+b=±3．（2）∵a2-2a=m，b2-2b=m，∴a2-2a=b2-2b，a2-2a+b2-2b=2m，∴a2-b2-2（a-b）=0，∴（a-b）（a+b-2）=0，∵a≠b，∴a+b-2=0，∴a+b=2，∵a2-2a+b2-2b=2m，∴a2+b2-2（a+b）=2m，∵a2+b2=5，∴5-2×2=2m，解得：m=12，即a+b=2，m=12．。
(完整版)实用版平方差、完全平方公式专项练习题(精品)
其中 x=1.5
1．平方差公式（ a+b）（a－ b） =a2－ b2 中字母 a， b 表示（ ）
A ．只能是数
B．只能是单项式
C．只能是多项式 D．以上都可以
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（
）
(3) (2a b) 2
(2a b)(a b) 2(a
2b )( a
2b) ，其中 a
2、已知 (a b)2 16, ab 4, 求 a2 b2 与 (a b)2 的值。 3
- 3-
练一练 1 ．已知 (a b) 5, ab 3 求 (a b)2 与 3(a2 b2) 的值。 2 ．已知 a b 6, a b 4 求 ab 与 a2 b2 的值。
3、已知 a b 4, a2 b2 4 求 a2b 2 与 (a b)2 的值。
2．利用平方差公式计算： (1)2009 ×2007－ 20082．
2007
20072
．
2008 2006
20072
．
2008 2006 1
502 49 2 48 2 47 2
2 2 12ຫໍສະໝຸດ 3．解方程： x （x+2） +（2x+1 ）（ 2x－ 1） =5（ x2+3）．
三、实际应用题
4．广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短
4a2
b2 （
）（ 2）
1 x
1
1 x1
2
2
1 x2 1 （ ） 2
（ 3） 3x y 3x y 9x 2 y 2 （ ）（ 4） 2x y 2x y 4x 2 y 2 （ ）
（ 5） a 2 a 3 a2 6 （ ） （ 6） x 3 y 3 xy 9 （ ）
(完整版)完全平方公式变形公式专题
半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+拓展五： 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．常见题型：（一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
(1)1=+y x ，则222121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形(1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=(2)若()()x y x y a-=++22，则a 为 (3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。
完全平方公式(二)公式变形试题讲解
1 1 2 3ab 2 （5） a +______+9b =（ a+3b）2 2 4
你会吗？
选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式， 那么m的值是（c）
A ．4
B．-4
C．±4
D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则 正方形的面积增加了（ c ） A．36cm2 B．12acm2
达标检测 反思目标
1.（ ）2=ｘ2＋６ｘｙ＋_____ 2.ａ2－ｋａｂ＋９ｂ2是完全平方式，则ｋ＝ _____． 3.计算（－ａ－ｂ）2结果是（ ） Ａ． a2－2ab+b2 Ｂ． a2+2ab+b2 Ｃ． a2+b2 Ｄ． a2－b2 4运用乘法公式计算 1 (1) ( x 1) 2 (2) 1052 (3) (a b 3)(a b 3)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16 D （2）代数式2xy-x2-y2= ( A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2 )
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
5. x y 8, x y 4, 求xy. xy 12
完全平方式. 4 k
4k
k 4
是 4 2
拓展：
思考题：
1 已知： x 3 x 1 2 1 2 求： x 和 (x ) 2 x x
的值
实用版平方差、完全平方公式专项练习题(精品)
平方差与完全平方式一、平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2、即:(a+b）（a—b） = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）（a-b）。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积即：（a+b）(a—b）或（a+b）(b-a）②有两数和的相反数与两数差的积即:（—a-b)（a-b）或（a+b）（b-a)③有两数的平方差即：a2—b2 或—b2+a2二、完全平方公式:（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用,即a2+2ab+b2=（a+b）2a2—2ab+b2=（a—b)22、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方即：（a+b)2或(a—b）2或（—a—b）2或(—a+b）2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2—2ab—b2或-a2+2ab-b2随堂练习：1。
下列各式中哪些可以运用平方差公式计算（1）()()caba-+（2)()()xyyx+-+(3)()()abxxab---33（4）()()nmnm+--2。
判断：(1）()()22422baabba-=-+（）（2）1211211212-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+xxx（ ) （3)()()22933yxyxyx-=+--（）（4)()()22422yxyxyx-=+---（）（5）()()6322-=-+aaa（）（6）()()933-=-+xyyx ( )3、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+aaaa（2）22)1()1(--+xyxy（3）)4)(12(3)32(2+--+aaa（4）)3)(3(+---baba（5）22)3(x x -+ (6）22)(y x y +-4。
初一完全平方公式的变形题
初一完全平方公式的变形题1. 引言同学们，今天我们来聊聊一个数学中的“小明星”——完全平方公式。
你可能会觉得这话题有点干巴巴的，但别急，咱们用轻松的方式来搞定它，保准你学得明明白白的。
完全平方公式其实就是初一数学里的一个重要工具，它可以帮我们化繁为简，变复杂为简单。
2. 完全平方公式的基础知识2.1 什么是完全平方公式？完全平方公式就是一种帮我们处理二次方程的公式。
简单来说，它是这样两个公式的结合：1. ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)。
2. ((a b)^2 = a^2 2ab + b^2)。
这两个公式，看起来是不是像魔法一样？有了它们，很多数学题都会变得简单起来。
2.2 为什么要学习完全平方公式？完全平方公式的妙处在于它能让我们很快地展开平方数，简化表达式。
举个例子，如果你遇到一个式子像 ((x + 3)^2)，直接用公式展开就是 (x^2 + 6x + 9)。
是不是很方便？3. 完全平方公式的变形3.1 变形的意义学会了完全平方公式，你就能在解题时更加得心应手。
变形的意思就是把问题转换成我们能用公式解决的形式。
这就像你有了一个万能钥匙，无论什么问题，都能轻松打开。
3.2 变形题示例比如，我们遇到一个题目：(x^2 + 8x + 16)。
乍一看，它可能让你觉得有点头疼，但别担心，我们可以用完全平方公式来解。
1. 首先，注意到这个式子可以表示成 ((x + 4)^2)，因为 (8x) 是 (2 cdot 4 cdot x)，16 刚好是 (4^2)。
所以 (x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2)。
2. 再比如，(a^2 10a + 25) 这个式子，我们可以用 ((a 5)^2) 来表示它，因为 (10a) 是 (2 cdot 5 cdot a)，25 刚好是 (5^2)。
4. 变形题的实用技巧4.1 找出平方项变形题的核心就是找到平方项。
先看看你的式子是否可以转换成 ((a pm b)^2) 的形式。
平方差和完全平方公式及经典例题
专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。
①位置变化(73)(37)x y y x +-②符号变化(27)(27)m n m n ---③数字变化98102⨯④系数变化(4)(2)24n n m m +-⑤项数变化(32)(32)x y z x y z ++-+⑥公式变化2(2)(2)(4)m m m +-+◆变式拓展训练◆【变式1】2244()()()()y x x y x y x y ---+++【变式2】22(2)(4)33b b a a ---【变式3】22222210099989721-+-++-…专题二：平方差公式的应用 例2：计算22004200420052003-⨯的值为多少？◆变式拓展训练◆【变式1】22()()x y z x y z -+-+-【变式2】2301(3021)(3021)⨯+⨯+【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++【变式4】已知a 、b 为自然数，且40a b +=， （1）求22a b +的最大值；（2）求ab 的最大值。
专题三：完全平方公式例3：计算下列各整式乘法。
①位置变化：22()()x y y x --+②符号变化：2(32)a b --③数字变化：2197④方向变化：2(32)a -+⑤项数变化：2(1)x y +-⑥公式变化22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++◆变式拓展训练◆【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为（ ） A.8 B.16 C.2 D.4【变式2】已知221() 4.,()_____2a b ab a b -==+=则 【变式3】已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为（ ）A.1B.13C.17D.25【变式4】已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-，求的值专题四：完全平方公式的运用 例4：已知：4,2x y xy +==，求：①22x y +； ②44x y +； ③2()x y -◆变式拓展训练◆【变式1】2242411310,;x x x x x x -+=++已知求①②【变式2】225,2,4xy x y x y x y x y ++=++已知满足求的值。
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（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c cb b a -+-+-的值是⑵1=+y x ，则222121y xy x ++=⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式组合例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2222d c b a ++（三）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。
例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求ba ba -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=xb ，20082005+=xc ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（五）分类配方例题：已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
⑴已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值为 。
⑵已知x2+y2-6x-2y+10=0，则11x y+的值为 。
⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值为 .⑷若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求yx 的值为 。
⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为⑹说理:试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.（六）首尾互倒 例1：已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +=++-求：（）例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；⑴已知0132=--x x ，求①221x x += ②221x x -=⑵若x 2－ 219x ＋1=0，求441x x +的值为⑶如果12a a +=,那么221a a+= 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______⑷已知31=-x x ，则221x x +的值是 ⑸若12a a+= 且0<a<1,求a － a 1的值是⑹已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值为⑺已知31=+x x ，求①221x x += ②441xx +=⑻已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；（七）知二求一例题：已知3,5==+ab b a ，求：①22b a + ②b a - ③22b a - ④abb a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +⑴已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______ ⑵若a 2+2a=1则(a+1)2=________.⑶若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b=⑷若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=22a b +=，a-b=5，则ab= ⑸若22a b +=3，ab =-4，则a-b=⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③(a-b)2= ⑺已知a ＋b=3，a 3＋b 3=9，则ab= ，a 2+b 2= ,a-b=第五讲 乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2变形公式：（1）()2222a b a b ab +=+-（2）()2222a b a b ab +=-+ （3） ()()222222a b a b a b ++-=+ （4） ()()224a b a b ab +--=二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。
③ 注意公式的逆用。
④ 2a ≥0。
⑤ 用公式的变形形式。
三、典型问题分析：1、顺用公式： 例1、计算下列各题：① ()()()()()224488a b a b a bab a b -++++② 3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+12、逆用公式：例2. ①19492-19502+19512-19522+……+20112-20122②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011③ 2+2+×【变式练习】 填空题：① 26aa ++＿＿= 2__a ⎛⎫⎪⎝⎭+②241x ++＿＿=（ 2)6．x 2+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ） A ．22 B ．－22 C ．±22 D ．03、配方法：例3．已知：x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y 的值。
【变式练习】①已知x2+y2-6x-2y+10=0，求11x y+的值。
②已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。
③当x = 时，代数式2x 取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式24x +取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式()234x -+取得最小值，这个最小值是 当x = 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是对于2243x x ---呢4、变形用公式：例5. 若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。
例6．化简：()()22a b c d a b c d +++++--例7. 如果22223()()a b c a b c ++=++，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜想。
完全平方公式变形的应用练习题一:1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
3．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
二：1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6．已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
7．已知16x x -=，求221x x+的值。
8、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
10、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形B 卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1） (22)+1）+1（n 是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+ (2)=______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______． ③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式请将结果与同伴交流一下．4、探究拓展与应用(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1) =(24－1)(24+1)=(28－1).根据上式的计算方法，请计算(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2364的值.“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。