7. 弯曲应力材料力学第7章

b ( h2 y2) 24
t FQ ( h2 y 2 ) 2Iz 4
(7-6)
t max
FQh2 8Iz
t max
3FQ 2bh
(7-7)
t
G
FQ ( h2 y 2 ) (7-8)
2GIz 4
最大切应力发生在中性轴上, 上、下边缘线上各点的切应力为零,
切应力沿截面高度按抛物线规律变化
FQ Rt
(7-16)
环形截面梁的最大切应力为平均切应力的两倍
工程力学系
7.4 弯曲强度计算
7.4.1 弯曲正应力强度条件
等截面梁
s max
(
M Wz
)
max
[s]
s max
M max Wz
[s]
拉应力 压应力
st max [st ] scmax [sc ]
第七章 弯曲应力
(7-17) (7-18) (7-19)
M max Wz
8 bh 2
3ql 2 4bh 2
6
ql
τ max
3 FQ max 2A
3 2
2 bh
3ql 4bh
σmax l τmax h
对于细长的实心截面梁或非薄壁截面的梁来说， 横截面上的正应力往往是主要的
工程力学系
第七章 弯曲应力
=30MPa，抗压许用应力为 =140MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为 763cm4，且
横截面上的应力——正应力 s 和切应力t
横截面上内力与应力的关系:
FQ ~ t M ~ s
横截面上的弯矩只与该截面上的正应力有关 横截面上的剪力只与该截面上的切应力有
工程力学系
第七章 弯曲应力
7.2 弯曲正应力
7.2.1 纯弯曲梁的正应力应力
纯弯曲━━梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零 横力弯曲━━梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩
t max
3 2
FQ1 A
3 40103 2 40 70106
Pa 21.4MPa
工程力学系
第七章 弯曲应力
a点的切应力 b点的切应力
a点
S*z
Aa
ya
40 (70 2
25) 106
[25
1 2
(70 2
25)] 103 m3
1.2105 m3
ta
FQ1S*z Izb
40 103 1.2 105 1.143106 40 103
对于矩形截面
Wz
bh3 /12 h/2
bh 2 6
(7-3) (7-4)
对于圆形截面
Wz
D4 / 64 D/2
πD3 32
工程力学系
第七章 弯曲应力
例7-1 受纯弯曲的空心圆截面梁如图(a)所示。
已知：弯矩M= l kN.m，外径D=50mm，内径d=25mm。 试求横截面上a、b、c及d四点的应力,并绘过a、b两点的 直径线及过c、d两点弦线上各点的应力分布图。
如图(c)所示，得截面形心C的纵坐标
y 350 500 250 250 400 200 mm 317mm 350 500 250 400
z1 0 求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标z1Oy，如图7-8(c)所示，得截面形心C的纵坐标
过形心C取z轴，截面对z轴的惯性矩为
Iz
1．横截面上各点切应力的方向均与剪
力FQ的方向平行。 2．切应力沿截面宽度均匀分布。
工程力学系
第七章 弯曲应力
FN2
A1σ nsdA
M
A1
dM Iz
y1dA
M
dM Iz
A1
y1dA
M
dM Iz
S*z
FN1
M Iz
S*z
工程力学系
第七章 弯曲应力
考虑截出部分mnsr的平衡，见图(c)．由 Fx 0 得
FN2 FN1 τ'bdx 0
τ' dM S*z dx Izb
由 τ' τ
和
dM dx
FQ
τ FQS*z Izb
FQ━━横截面上的剪力,
(7-5)
为横截面对中性轴的惯性矩，
b ━━截面宽度
S*z ━━横截面上部分面积对中性轴的静矩
（7-5）
工程力学系
第七章 弯曲应力
S*Z A1 y1dA yh/2by1dy1
σ t max σ c max
Iz
M max y2
y1 y2
[σ t ] [σc ]
Iz
对抗拉和抗压强度不相等的材料， 宜采用非对称于中性轴的截面
横截面上的剪力FQ绝大部分由腹板承受。 因此，工程上常用下式计算腹板上的切应力
t FQ hd
(7-11)
2．工字形截面翼缘部分的切应力
τ FQS*z Izt
(7-12)
图(c)中绘有冀缘上的切应力分布图。 翼缘上的最大切应力一般均小于腹板上的最大切应力。
在根据剪力FQ的方向确定了腹扳的切应力方向后 可由切应力流确定翼缘上切应力的方向
Pa
1.06MPa
C截面的最大拉应力为
sCt
MC Iz
ymax
7.5 103 317 103 1728 106 (103 )4
Pa
1.38M Pa
梁的最大拉应力发生在C截面的下部边缘线上
工程力学系
7.3 弯曲切应力
7.3.1 矩形截面梁的切应力
第七章 弯曲应力
切应力的分布规律做以下两点假设：
工程力学系
7.3.3 圆形截面梁的切应力
第七章 弯曲应力
τy
FQS*z Izb
式中b为弦线长度 , b 2 R2 y2
(7-13)
工程力学系
圆形截面梁的最大切应力为
t max
4 3
FQ R 2
7.3.4 环形截面梁的切应力
第七章 弯曲应力
(7-14)
工程力学系
第七章 弯曲应力
环形截面梁切应力的计算公式
52mm，试校核梁的强度。
例7-4 T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示，
[sc ] 30MPa,[st ] 140MPa,Iz 763cm4, y1 52mm
试校核梁的强度。
工程力学系
第七章 弯曲应力
解 FA 2.5kN, FB 10.5kN
MC 2.5kN.m, M B 4kN.m
第七章 弯曲应力
b'b' ( y)d
bb OO O'O' d
变形前
变形后
b'b'bb ( y)d d y
bb
d
(a)
工程力学系
第七章 弯曲应力
物理方面 s E E y
(b)
纯弯曲时的正应力在y方向按线性规律变化 静力学方面
工程力学系
平衡条件
第七章 弯曲应力
Fx 0
，
Pa 10.5MPa
b点
S*z
Ab
yb
40
( 70 2
15) 106
[15
1 2
(70 2
15)]103 m3
2 105 m3
tb
FQ1S*z Izb
40 103 2 105 1.143106 40 10
3
Pa
17.5MPa
工程力学系
7.3.2 工字形截面梁的切应力 7.1 引言
第七章 弯曲应力
c
d
b
工程力学系
第七章 弯曲应力
解: 1)求 Iz
解： 1.求 Iz
2)求s
Iz
(D4 d 4 ) 64
π(504 254 ) (103)4 m4 64
2.88107 m4
a点
sa
M Iz
ya
1103 .88 107
25 103 Pa
86.8MPa(压应力)
b点
sb
c点
M Iz
yb
1103 .88 107
5 Fl 36
使集中载荷适当分散和使集载荷尽 可能靠近支座均能降低最大弯矩
工程力学系
7.5.2 采用合理的截面形状
第七章 弯曲应力
值越大，截面越趋于合理
bh 2 Wz 6 h A bh 6
b2h Wz 6 b A bh 6
Wz 值越大，截面越趋于合理 A
工程力学系
第七章 弯曲应力
M max y1
τy
FQS*z 2tI z
环形截面的最大切应力计算:
先求半圆环对中性轴的静矩
(7-15)
S*Z A1 ydA 20/ 2 R cos θtRdθ 2R 2t
及环形截面对中性轴的惯性矩
I z A y2dA 202 R 2 cos2 θtRdθ R3t
得到
tmax
FQ (2R 2t) 2tR 3t
FN
sdA 0
A
(c)
，
A σdA
A E
y dA ρ
E ρ
A
ydA
E ρ Sz
0
中性轴z通过横截面的形心
工程力学系
第七章 弯曲应力
My 0
My A zσ dA 0
(d)
A
zσ
dA
E ρ
A
yzdA
E ρ
Iyz
0
由于 Iyz 0 平衡自然满足
工程力学系
第七章 弯曲应力
Mz 0
M A yσdA
计算公式仍然是适用的，其结果能够 满足工程精度要求.
工程力学系
第七章 弯曲应力
例7-2 槽形截面梁如图(a)所示，试求梁横截面上的最大拉应力。
解: 绘M图，得B、C两截面的弯矩
MB 10kN.m MC 7.5kN.m
如图(b)所示
工程力学系
第七章 弯曲应力
求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标z1Oy，
Pa
28.8M Pa
拉压强度条件均满足
工程力学系
第七章 弯曲应力
7.5 提高弯曲强度的一些措施
7.5.1 合理安排梁的支座和载荷
M max
1 8
ql 2
M max
1 ql 2 40
适当地调整梁的支座位置，可以降低最大弯矩值
工程力学系
第七章 弯曲应力
M max
1 Fl 4
1
M max
Fl 8
M max
(7-10)
工字形截面梁腹板上的切应力按抛物线规律分布
中性层处的最大切与 应力及腹板与翼缘交界处的
最小切应力分别为
t max
FQ [bH 2 8Izd
(b d )h2]
t mi n
FQ [bH 2 bh2 ] 8I z d
由于 b d , tmin
与 tmax
实际上相差不大
工程力学系
第七章 弯曲应力
{ 1 12
350
5003
350 500
(317
250) 2
[ 1 250 4003 250 300 (317 200)2 ]}mm4 12
1728106 mm4
工程力学系
第七章 弯曲应力
B截面的最大拉应力为
s Bt
MB Iz
ymax
B截面1的0最大拉1应0力3为 (500 317) 103 1728 106 (103 )4
12.5 103 Pa
43.4M Pa(拉应力)
c点
sc
M Iz
yc
1103 .88 107
21.7 103 Pa
75.3M Pa(压应力)
d点
sd
M Iz
yd
0
应力分布图如图(b)、(c)所示
工程力学系
第七章 弯曲应力
7.2.2 横力弯曲梁的正应力
7.1 引言
平面假设不再成立.但当跨度与高度
之比 l／h 大于5时，纯弯曲正应力
(e)
M
A
yE
y ρ
dA
E ρ
A
y 2dA
E ρ
Iz
1 M ρ EIz
将(b)代入(7-1)得弯曲正应力计算公式:
s My
Iz
(7-1) (7-2)
工程力学系
第七章 弯曲应力
最大正应力为 其中
s max
M Wz
Wz
Iz ymax
1／ ━━ 中性层的曲率,
EIz ━━ 抗弯刚度 , Wz ━━ 抗弯截面系数
BC段:纯弯曲
AB 和 CD段:横力弯曲
工程力学系
第七章 弯曲应力
纯弯曲梁横截面上正应力的分析方法: 变形方面、物理方面和静力学方面 实验和观察
变形前
变形后
梁内部的变形的基本假设：
(1)平面假设 (2) 单向受力假设
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工程力学系
第七章 弯曲应力
概念和术语: 对称轴,中性轴,中性层
工程力学系
变形方面
σt
M B y1 Iz
4 103 52 103
Pa 27.2MPa
763 (10 ) 2 4 解 由静力平衡方程求出梁的支反力为
σc
MBy2 Iz
40 103 (120 20 52) 103 Pa 46.2MPa 763 (102 )4
σt
MC
y 2
Iz
2.5 103
(120 20 52) 103 763 (102 )4
工程力学系
7.4.2 弯曲切应力强度条件
第七章 弯曲应力
τmax
(
FQS*z Izb
)max
[τ]
(7-20)
等截面梁
τ max
FQmaxS*zmax Izb
[τ]
(7-21)
矩形截面简支梁受均布载荷时 正应力和切应力的比较
工程力学系
第七章 弯曲应力
最大弯曲正应力 最大弯曲切应力
ql 2
σ max
工程力学系
第七章 弯曲应力
例7-3 矩形截面梁的横截面尺寸如图(b)所示。集中力F=88kN，
试求1-1截面上的最大切应力以及a、b两点的切应力。
解: 支反力FA、FB分别为
FA=40kN，FB=48kN
1-1截面上的剪力 FQ1=FA=40kN
Iz
40 703 12
(103 )4 m4
1.143106 m4
1．工字形截面腹板部分的切应力
考虑图(b)的mnsr部分的平衡，可得腹板的切应力
计算公式
τ FQS*z Izd
(7-9)
工程力学系
第七章 弯曲应力
由于
S*z
1 (H 22
h)b( H 22
h) 2
1 (h 22
y)d ( h 2
y)
t
FQ
[b(H
2
h2)
h2 4d (
y 2 )]
8I z d
4
工程力学系
第七章 弯曲应力
第七章 弯曲应力
7.1 引言 7.2 弯曲正应力 7.37-1弯引曲言切应力 7.4 弯曲强度计算 7.5 提高弯曲强度的一些措施 7.6 开口薄壁杆件的弯曲中心
工程力学系
第七章 弯曲应力
本章任务:
7.1 引言
1)梁的弯曲应力计算 2)梁的弯曲强度计算
横截面上的内力━━剪力 FQ 和弯矩 M