第十一章习题解答
生理学 第十一章内分泌练习题及答案
生理学第十一章内分泌练习题及答案【选择题】1、下列哪种激素不是由内分泌腺直接分泌的?A.胰岛素B.生长激素C.胰高血糖素D.肾上腺素答案:C.胰高血糖素。
2、下列哪一项不是内分泌系统的主要功能?A.调节新陈代谢B.调节生长发育C.调节心理状态D.调节生殖功能答案:C.调节心理状态。
3、下列哪一种激素不属于肽类激素?A.胰岛素B.甲状旁腺激素C.促甲状腺激素释放激素D.肾上腺素答案:D.肾上腺素。
4、下列哪一种激素的分泌受到多种因素的影响?A.胰岛素B.生长激素C.性激素D.以上所有激素均受到多种因素的影响。
答案:D.以上所有激素均受到多种因素的影响。
【简答题】5.简述胰岛素的主要生理作用及其分泌调节机制。
答案:胰岛素是体内主要的降糖激素,其生理作用包括:促进葡萄糖的氧化分解,抑制糖原分解,促进糖异生,降低血糖水平。
胰岛素的分泌主要受到以下调节:血糖水平直接刺激胰岛B细胞分泌胰岛素,同时也会通过刺激下丘脑的某些神经细胞间接刺激胰岛素的分泌。
胰高血糖素、生长激素、肾上腺素等也可促进胰岛素的分泌。
6、简述生长激素的主要生理作用及其分泌调节机制。
答案:生长激素的主要生理作用是促进生长发育,尤其是骨骼和肌肉的发育。
生长激素的分泌主要受到下丘脑-腺垂体-靶腺轴的调节。
下丘脑分泌的生长激素释放激素和生长激素抑制激素可以分别促进和抑制腺垂体分泌生长激素。
甲状腺激素、肾上腺素等也可以促进生长激素的分泌。
经济法第十一章练习题及答案一、单项选择题1、根据《合同法》的规定,对于可撤销合同,当事人请求人民法院撤销合同后,该合同自()起无效。
A.人民法院受理案件时B.作出撤销决定时C.合同签订时D.合同履行时正确答案是:B.作出撤销决定时。
根据《合同法》的规定,对于可撤销的合同,当事人可以在法定的期间内请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
而一旦合同被撤销,自始不发生效力。
因此,该合同自作出撤销决定时起无效。
2、根据《反不正当竞争法》的规定,下列哪一项行为属于不正当竞争行为?()A.某市电信局在当地媒体上宣传其电信服务,称其网络速度快、信号稳定、话费低廉B.某市工商局对在该市举办的大型人才招聘会进行广告宣传C.某市电器公司在促销活动中,向消费者赠送礼品D.某市政府在扶贫正确答案是:A.某市电信局在当地媒体上宣传其电信服务,称其网络速度快、信号稳定、话费低廉。
11第十一章曲线积分与曲面积分习题答案7页
第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1.利用Green 公式,计算下列曲线积分: (1)⎰-Lydx x dy xy 22,其中L 为正向圆周922=+y x ; 解:由Green 公式,得232222381()22LDxy dy x ydx x y dxdy d r dr ππθ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ, 其中D 为229x y +≤。
(2)⎰-++Ly ydy y xe dx y e)2()(,其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界;解:由Green 公式,得()(2)(1)1y y y y LDDe y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ。
*(3)⎰+-Ldy xy ydx x22,其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ;解:连直线段AB ,使L 与BA u u u r围成的区域为D ,由Green 公式,得6cos 2222223203cos 444620()01515353cos 334442264LDBAx ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d πθθπθπθθπ-+=+--+=-==⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u u u r*(4)⎰+-Lyx xdy ydx 22,其中L 为正向圆周4)1(22=++y x . 解:因为22222()x y P Q y x x y -∂∂==∂∂+,(,)(0,0)x y ≠。
作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向,记L 与l 围成的闭区域为D ,由Green 公式,得220L lydx xdyx y +-=+⎰Ñ,故 22222222222sin cos 2L l l ydx xdy ydx xdy ydx xdyx y x y r r r d rπθθθπ---+=-=++--==-⎰⎰⎰⎰蜒?2.计算下列对坐标的曲线积分:⎰+-Lx xydy e dx y esin 2)cos 21(,其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧;解:(12cos ),2sin x xP e y Q e y =-=,2sin x P Q e y y x∂∂==∂∂, 故积分与路径无关,取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径, 从而 原式=(12cos )2sin 1x x x AOe y dx e ydy e dx e ππ-+=-=-⎰⎰。
第11章收入、费用和利润习题及答案
第十一章收入、费用和利润一、单项选择题1.2017年1月1日,甲公司与乙公司签订合同,将一项非专利技术使用权授予乙公司使用。
该非专利技术使用权在合同开始日满足合同确认收入的条件。
在2017年度内,乙公司每月就该非专利技术使用权的使用情况向甲公司报告。
并在每月月末支付特许权使用费。
在2018年内,乙公司继续使用该专利技术,但是乙公司的财务状况下滑,信用风险提高。
下列关于甲公司会计处理的说法中,不正确的是()。
A.2017年度内,甲公司在乙公司使用该专利技术的行为发生时,应当按照约定的特许权使用费确认收入B.2018年度内,由于乙公司信用风险提高,甲公司不应当确认收入C.2018年度内,甲公司应当按照金融资产减值的要求对乙公司的应收款项进行减值测试D.假设2019年度内,乙公司的财务状况进一步恶化,信用风险显著提升,不再满足收入确认条件,则甲公司不再确认收入,并对现有应收款项是否发生减值继续进行评估【答案】B【解析】选项B,2018年度内,由于乙公司信用风险提高,甲公司在确认收入的同时,按照金融资产减值的要求对乙公司的应收款项进行减值测试。
2.2018年1月1日,甲公司与乙公司签订合同,允许乙公司经营其连锁餐厅,双方协议约定,甲公司每年收取特许权使用费40万元,按季度收取特许权使用费。
合同签订日,符合收入确认条件,连锁餐厅自当日起交由乙公司经营。
2018年乙公司财务状况良好,每季度向甲公司提交经营报告和支付特许权使用费。
但自2019年,周边又相继出现了其他几家餐厅,致使乙公司经营的餐厅竞争压力倍增,顾客也日渐减少,从而财务状况下滑,现金不足,因此当年只支付了第一季度的特许权使用费,后三个季度均只支付了一半的特许权使用费。
2020年财务状况进一步恶化,信用风险加剧。
根据上述资料,甲公司进行的下列会计处理中,不正确的是()。
A.2018年需要确认特许权使用费收入B.2019年第一季度收到的特许权使用费10万元应确认收入C.2020年对已有的应收款项是否发生减值继续进行评估D.2020年确认收入的同时借记“应收账款”科目【答案】D【解析】2020年乙公司财务状况进一步恶化,信用风险加剧,不再符合收入确认条件,所以甲公司不再确认特许权使用费收入,同时对现有应收金额是否发生减值继续进行评估。
第十一章 动力学(一)习题解答
第十一章 习题解答1、298K 时N 2O 5(g)分解反应其半衰期21t为5.7h ,此值与N 2O 5的起始浓度无关,试求:(1)该反应的速率常数。
(2)作用完成90%时所需时间。
解 半衰期与起始浓度无关的反应为一级反应,代入一级反应公式即可求(1)1211216.07.52ln 2ln -===h ht k (2) h hy k t 94.189.011ln 1216.0111ln 11=-=-=-例、某气相反应的速率表示式分别用浓度和压力表示时为:r c =k c [A]n 和r p =k p p A n ,试求k c 与k p 之间的关系,设气体为理想气体。
解 因设气体为理想气体。
所以 p A V=n A RT , p A =c A RT=[A]RT 设气相反应为 aA(g)→P(g) 则nA p A p p k dtdp a r =-=1 将上面结果代入n p p RT A k dtRT A d a r )]([)]([1=-=化简c n c n n p r A k A RT k dtA d a ===--][][)(}[11 k c 与k p 之间的关系为 1)(-=n pc RT k k 3、对于1/2级反应k R P −−→试证明:(1)112201[][]2R R kt -=; (2)证 (1)21][][R k dtR d r =-=,⎰⎰=-tRR kdt R R d 021][][积分kt R R =-)][]([22121, 所以 kt R R 21][][21210=- (2)当21t t =时,0][21][R R =,代入(1)式 21021021021021])[12(2])[211(2)][21(][2R R R R kt -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=所以21021])[12(2R kt -=例、某人工放射性元素放出α粒子,半衰期为15min ,试问该试样有80%分解,需时若干? 解 放射性元素分解为一级反应,121min 0462.0min 152ln 2ln -===t kmin 8.3480.011ln min 0462.0111ln 11=-=-=-y k t例、把一定量的PH 3(g)迅速引入温度为950K 的已抽空的容器中,待反应物达到该温度时开始计时(此时已有部分已知反应 4PH 3(g)−→−kP 4(g)+6H 2(g) 为一级反应,求该反应的速率常数k 值(设在t=∞时反应基本完成)。
第11章光学习题及答案
第11章习题及其答案1、在双缝干涉实验中,入射光的波长为λ,用玻璃纸遮住双缝中的一个缝,若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大2.5 λ,则屏上原来的明纹处 [ ] (A) 仍为明条纹; (B) 变为暗条纹;(C) 既非明纹也非暗纹; (D) 无法确定是明纹,还是暗纹.2、一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上,透明薄膜放在空气中,要使反射光得到干涉加强,则薄膜最小的厚度为[ ] (A) λ / 4 . (B) λ / (4n ).(C) λ / 2 . (D) λ / (2n ).3、在玻璃(折射率n 2=1.60)表面镀一层MgF 2 (折射率n 2=1.38)薄膜作为增透膜.为了使波长为500 nm(1nm=109m)的光从空气(n 1=1.00)正入射时尽可能少反射,MgF 2薄膜的最少厚度应是[ ](A) 78.1 nm (B) ) 90.6 nm (C) 125 nm (D) 181 nm (E) 250nm4、在迈克耳孙干涉仪的一条光路中,放入一折射率为n ,厚度为d 的透明薄片,放入后,这条光路的光程改变了 [ ](A) 2 ( n -1 ) d . (B) 2nd .(C) 2 ( n -1 ) d +λ / 2. (D) nd . (E) ( n -1 ) d .5、在迈克耳孙干涉仪的一支光路中,放入一片折射率为n 的透明介质薄膜后,测出两束光的光程差的改变量为一个波长λ,则薄膜的厚度是 [ ] (A) λ / 2. (B) λ / (2n ).(C) λ / n . (D)()12-n λ.6、在单缝夫琅禾费衍射实验中,波长为λ的单色光垂直入射在宽度为a =4 λ的单缝上,对应于衍射角为30°的方向,单缝处波阵面可分成的半波带数目为 [ ] (A) 2 个. (B) 4 个.(C) 6 个. (D) 8 个.7、一束波长为λ的平行单色光垂直入射到一单缝AB 上,装置如图.在屏幕D 上形成衍射图样,如果P 是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置,则BC 的长度为 [ ] (A) λ / 2.(B) λ.(C) 3λ / 2 . (D) 2λ .8、一束平行单色光垂直入射在光栅上,当光栅常数(a + b)为下列哪种情况时(a代表每条缝的宽度),k=3、6、9 等级次的主极大均不出现?[ ](A) a+b=2 a.(B) a+b=3 a.(C) a+b=4 a.(A) a+b=6 a.9、某元素的特征光谱中含有波长分别为λ1=450 nm和λ2=750 nm (1 nm=10-9 m)的光谱线.在光栅光谱中,这两种波长的谱线有重叠现象,重叠处λ2的谱线的级数将是[ ](A) 2 ,3 ,4 ,5 ......(B) 2 ,5 ,8 ,11......(C) 2 ,4 ,6 ,8 ......(D) 3 ,6 ,9 ,12......10、波长λ=550 nm(1nm=10−9m)的单色光垂直入射于光栅常数d=2×10-4 cm的平面衍射光栅上,可能观察到的光谱线的最大级次为[ ](A) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.11、如果两个偏振片堆叠在一起,且偏振化方向之间夹角为60°,光强为I0的自然光垂直入射在偏振片上,则出射光强为[ ](A) I0 / 8.(B) I0 / 4.(C) 3 I0 / 8.(D) 3 I0 / 4.12、自然光以60°的入射角照射到某两介质交界面时,反射光为完全线偏振光,则知折射光为(A) 完全线偏振光且折射角是30°.(B) 部分偏振光且只是在该光由真空入射到折射率为3的介质时,折射角是30°.(C) 部分偏振光,但须知两种介质的折射率才能确定折射角.(D) 部分偏振光且折射角是30°.[]13、波长为λ的平行单色光,垂直照射到劈形膜上,劈尖角为θ,劈形膜的折射率为n,第三条暗纹与第六条暗之间的距离是_____________.14、波长为600 nm的单色平行光,垂直入射到缝宽为a=0.60 mm的单缝上,缝后有一焦距f'=60 cm的透镜,在透镜焦平面上观察衍射图样.则:中央明纹的宽度为__________,两个第三级暗纹之间的距离为____________.(1 nm=10﹣9 m)15、波长为λ的单色光垂直入射在缝宽a=4 λ的单缝上.对应于衍射角ϕ=30°,单缝处的波面可划分为______________个半波带.16、用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时,波长为λ1=440 nm 的第3级光谱线将与波长为λ2=________nm 的第2级光谱线重叠.(1 nm =10 –9 m)17、用相互平行的一束自然光和一束线偏振光构成的混合光垂直照射在一偏振片上,以光的传播方向为轴旋转偏振片时,发现透射光强的最大值为最小值的5倍,则入射光中,自然光强I 0与线偏振光强I 之比为__________。
人教版八年级上册数学第十一章 三角形经典练习题附详细解析学生版
人教版八年级上册数学第十一章三角形经典练习题附详细解析一、单选题1.若有两条线段长分别为3cm和4cm,则下列长度的线段能与其组成三角形的是()A.1cm B.5cm C.7cm D.9cm2.若三角形的三边分别为3、4、a,则a的取值范围是()A.a>7B.a<7C.1<a<7D.3<a<63.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.1,2,3B.3,4,5C.3,1,1D.3,4,74.已知等腰三角形的一边长为2,一边长为4,则它的周长等于()A.8B.10C.8或10D.10或125.如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD是△ABC的中线,则△ABD与△ADC的周长之差为()A.14B.1C.2D.76.如图,在△ABC中,已知点E、F分别是AD、CE边上的中点,且S△BEF=4cm2,则S△ABC的值为()A.1cm2B.2cm2C.8cm2D.16cm27.如图四个图形中,线段BE 是△ABC 的高线的是( )A.B.C.D.8.在三角形中,一定能将其面积分成相等两部分的是()A.中线B.高线C.角平分线D.某一边的垂直平分线9.如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,连接AD,取AD的中点P,连接BP,CP.若△ABC 的面积为4cm2,则△BPC的面积为()A.4cm2B.3cm2C.2cm2D.1cm210.如图,AE△BC于E,BF△AC于F,CD△AB于D,△ABC中AC边上的高是线段()A.BF B.CD C.AE D.AF11.如图△ABC中,△A=96°,延长BC到D,△ABC与△ACD的平分线相交于点A1△A1BC与△A1CD的平分线相交于点A2,依此类推,△A4BC与△A4CD的平分线相交于点A5,则△A5的度数为()A.19.2°B.8°C.6°D.3°12.如图,△A +△B +△C +△D +△E +△F等于()A.180°B.360°C.540°D.720°13.如图,则△A+△B+△C+△D+△E=()度A.90B.180C.200D.36014.已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形15.一个正多边形的每个外角都是36°,这个正多边形是()A.正六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形16.如果一个多边形的每个内角都为150°,那么这个多边形的边数是()A.6B.11C.12D.1817.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,且△ABD的周长为11,则△BCD的周长是()A.9B.14C.16D.不能确定二、填空题18.三角形三边长为7cm、12cm、acm,则a的取值范围是.19.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是.20.如图,自行车的三角形支架,这是利用三角形具有性.21.在△ABC中,△B,△C的平分线交于点O,若△BOC=132°,则△A=度.22.如图,△1+△2+△3+△4=°。
第11章思考题和习题解答.
第11章 供配电系统的运行和管理11-1.节约电能有何重要意义?答:节约电能的意义主要表现为:1.缓解电力供需矛盾。
节约电能可以节约煤炭、水力、石油等一次能源,使整个能源资源得到合理使用,缓解电力供需矛盾,并能减轻能源部门和交通运输部门的紧张程度。
2.节约国家的基建投资。
节约电能可以节约国家用于发电、输配电及用电设备所需要的投资,给整个国民经济带来很大的利益,有利于国民经济的发展。
3.提高企业的经济效益。
节约电能可以减少企业的电费开支,降低生产成本,积累资金,提高企业的经济效益。
4.推动企业用电合理化。
节约电能可以推动企业采用新技术、新材料、新设备、新工艺,加速设备改造和工艺改革,从而提高企业的经营管理水平,使企业生产能力得到充分发挥,促进企业生产水平的不断发展和提高。
11-2.什么叫负荷调整?有哪些主要调整措施?答:根据供电系统的电能供应情况及各类用户不同的用电规律,合理地安排各类用户的用点时间,以降低负荷高峰,填补负荷的低谷(即所谓的“削峰填谷”),充分发挥发、变电设备的潜能,提高系统的供电能力。
负荷调整的主要措施:①同一地区各厂的厂休日错开;②同一厂内各车间的上下班时间错开,使各个车间的高峰负荷分散;③调整大容量用电设备的用点时间,使它避开高峰负荷时间用电,做到各时段负荷均衡,从而提高了变压器的负荷系数和功率因数,减少电能的损耗。
④实行“阶梯电价+分时电价” 的综合电价模式。
“阶梯电价”全名为“阶梯式累进电价”,是指把户均用电量设置为若干个阶梯,随着户均消费电量的增长,电价逐级递增。
峰谷分时电价是指根据电网的负荷变化情况,将每天24小时划分为高峰、平段、低谷等时段,各时段电价不同,以鼓励用电客户合理安排用电时间,削峰填谷,提高电力资源的利用效率。
11-3.什么叫经济运行?什么叫变压器的经济负荷?答:经济运行是指整个电力系统的有功损耗最小,获得最佳经济效益的设备运行方式。
变压器的经济负荷S ec.T ,就是应满足变压器单位容量的综合有功损耗△P/S 为最小值的条件。
第十一章合同法(习题及答案)
第十一章合同法一、名词解释1、合同2、要约3、要约邀请4、缔约过错责任5、无效合同6、合同变更7、合同解除8、代位权9、撤销权10、抗辩权11、法定抵销12、提存13、违约责任14、违约金15、不可抗力二、单项选择题1、刘林于1998年4月4日向沈清发出要约,要约中规定本要约于1998年4月15日之前有效,要约于4月6日中午12:00到达沈清,那么()。
A.刘林可以在1998年4月15日之前撤回要约B.沈清若在1998年4月17日作出的承诺也有效C.刘林可以在4月6日中午12:00之前撤回要约D.刘林可以在1998年4月15日之前撤销要约2、下列不属于要约失效的情况是()。
A.拒绝要约的通知到达要约人B.要约人依法撤销要约C.承诺期限届满,受要约人未作出承诺D.受要约人对要约的内容作出非实质性变更3、下面关于合同成立要件表达不正确的是( )。
A.合同必须存在一方或多方当事人B.订约当事人对一般条款达成合意C.合同的订立应有要约和承诺阶段D.应以实际交付物作为成立要件4、《合同法》第28条规定,“受要约人超过承诺期限发出承诺的,除要约人及时通知受要约人该承诺有效的以外( )”。
A.为新要约B.为原要约C.为新承诺D.为原承诺5、下面不属于《合同法》第15条规定的要约邀请行为是( )。
A.寄送的价目表B.拍卖公告C.招股说明书D.悬赏广告6、《合同法》第33条规定“当事人采用信件、数据电文等形式订立合同的,可以在合同成立之前要求签订确认书。
签订确认书时( )。
A.合同成立B.承诺生效C.合同生效D.合同不一定成立7、法律、行政法规规定或者当事人约定采用书面形式订立合同,当事人未采用书面形式,但一方已经履行主要义务,对方接受的,依据我国《合同法》,该合同( )。
A.成立B.不成立C.成立与否取决于双方当事人的意见D.成立与否取决于接受方8、限制行为能力人订立的合同是()合同。
A无效 B可以撤销 C效力待定 D有效9、甲乙两厂于5月3日签订合同,约定7月3日交货。
第十一章 习题参考答案
x=0处的光程差为
x=0处为第k=7级明纹时
11-19在双缝干涉实验装置中,屏幕到双缝的距离D远大于双缝之间的距离d,对于钠黄光( nm),产生的干涉条纹,相邻两明条纹的角距离(即两相邻的明条纹对双缝处的张角)为 。
(1)对于什么波长的光,这个双缝装置所得相邻两条纹的角距离比用钠黄光测得的角距离大10%?
11-29 1000条/mm; ;不变
11-30 0.139 mm
11-31 281 m
11-32 0.416 nm;0.395 nm
11-33 I1
11-34
11-35
11-15凸面镜的曲率半径为0.400m,物体置于凸面镜左边0.500m处,求物体的像位置。
解:根据成像公式 ,其中
则
解得
11-16一双凸透镜由火石玻璃制成,其折射率nL=1.61,曲率半径分别为0.332 m和0.417 m,求透镜在空气中的焦距。
解:
11-25用波长 =400 nm和 =700 nm的混合光垂直照射单缝,在衍射图样中 的第k1级明纹中心位置恰与 的第k2级暗纹中心位置重合。求k1和k2。
解:
即:
11-26在复色光照射下的单缝衍射图样中,其中某一未知波长光的第三级明纹极大位置恰与波长为 =600 nm光的第二级明纹极大位置重合,求这种光波的波长。
解:
,
11-21柱面平凹透镜A,曲率半径为R,放在平玻璃片B上,如题11-21图所示。现用波长为 的平行单色光自上方垂直往下照射,观察A和B间空气薄膜的反射光的干涉条纹。设空气膜的最大厚度 。
(1)求明条纹极大位置与凹透镜中心线的距离r;
(2)共能看到多少条明条纹;
第十一章 氧化还原反应
第十一章 氧化还原反应1. 用离子电子法配平下列反应式:(1)PbO 2 + Cl - → Pb 2+ + Cl 2 (酸性介质) (2)Br 2 → BrO 3- + Br - (酸性介质) (3)HgS + NO 3- + Cl - → HgCl 42- + NO 2 + S (酸性介质) (4)CrO 42- + HSnO 2- → HSnO 3- + CrO 2- (碱性介质) (5)CuS + CN - + OH - → Cu(CN)43- + NCO- + S (碱性介质) 解:用离子电子法配平:(1)PbO 2 + Cl - → Pb 2+ + Cl 2 (酸性介质)PbO 2 + 4H + + 2e - = Pb 2+ + 2H 2O (还原) +)2Cl - = Cl 2 + 2e - (氧化)PbO 2 + 2Cl + 4H = Pb + Cl 2 +2H 2O (2)Br 2 → BrO 3- + Br - (酸性介质)×5)21Br 2 + e - = Br - (还原)+)×1)2Br 2 + 3 H 2O = BrO 3- + 5Br - + 6H + (氧化)3Br 2 + 3H 2O = BrO 3- + 5Br - + 6H +(3)HgS + NO 3- + Cl - → HgCl 42- + NO 2↑+ S (酸性介质) ×2)NO 3- + 2H + + e - = NO 2 + H 2O (还原) +) HgS + 4Cl - = HgCl 42- + S + 2e - (氧化)HgS + 2NO 3 + 4Cl + 4H = HgCl 4 + 2NO 2↑+ S +2H 2O(4)CrO 42- + HSnO 2- → HSnO 3- + CrO 2- (碱性介质) ×2)CrO 42- + 2H 2O + 3e - = CrO 2- + 4OH - (还原) +)×3)HSnO 2- + 2OH - = HSnO 3- + H 2O + 2e - (氧化)2CrO 4 + 3HSnO 2 + 4H 2O + 6OH = 3HSnO 3- + 2CrO 2- + 8OH - + 3H 2O 整理:2CrO 42- + 3HSnO 2- + H 2O = 3HSnO 3- + 2CrO 2- + 2OH -(5)CuS + CN - + OH - → Cu(CN)43- + NCO - + S (碱性介质) ×2)CuS + 4CN - + e - = Cu(CN)43- + S 2- (氧化) +) CN - + 2OH - = NCO - + H 2O + 2e - (还原)2CuS + 9CN - + 2OH - = 2Cu(CN)43- + NCO - + H 2O +2S 2-2. 用离子电子法配平下列电极反应: (1)MnO 4- → MnO 2 (碱性介质) (2)CrO 42- →Cr(OH)3 (碱性介质) (3)H 2O 2 → H 2O (碱性介质) (4)H 3AsO 4 → H 3AsO 3 (酸性介质) (5)O 2 → H 2O 2(aq) (酸性介质) 答:配平过程略。
第11章卤素和氧族元素习题解答
第十一章卤素和氧族思考题解析1.解释下列现象:(1)在卤素化合物中,Cl、Br、I可呈现多种氧化数。
解:因为Cl、Br、I原子的价层电子排布为ns2np5,当参加反应时,未成对的电子可参与成键外,成对的电子也可拆开参与成键,故可呈现多种氧化数。
(2)KI溶液中通入氯气是,开始溶液呈现红棕色,继续通入氯气,颜色褪去。
解:开始I-被CI2氧化成I2,使溶液呈现红棕色;继续通入氯气,I2被Cl2氧化成无色的IO3-,反应式如下:2I-2 I2 + 2Cl-I2 + 5Cl2 + 6H2O 2IO3-+ 10Cl-+ 12H+2.在氯水中分别加入下列物质,对氯水的可逆反应有何影响?(1)稀硫酸(2)苛性钠(3)氯化钠解:氯水中存在如下平衡:Cl2 + H2(2)加入苛性钠,平衡向右移动,有利于Cl2的歧化反应;(3)加入氯化钠,平衡向左移动,不利于Cl2的歧化反应。
3.怎样除去工业溴中少量Cl2?解:蒸馏工业溴时,加入少量KBr,使其发生下列反应:Cl2+ 2KBr → Br2+ 2KCl4.将Cl2通入熟石灰中得到漂白粉,而向漂白粉中加入盐酸却产生Cl2,试解释之。
解:因为上述过程发生了如下相应反应:40℃以下··3Ca(OH)2 + 2Cl2 Ca(ClO)2 + CaCl2 Ca(OH)2 H2O + H2OCa(ClO)2 + 4HCl 2Cl2 + CaCl2 + 2H2O5.试用三种简便的方法鉴别NaCl、NaBr、NaI。
解:(1)AgNO3(A)Cl-+ Ag+→ AgCl ↓白色(B ) Br -+ Ag +→ AgBr ↓淡黄色(C ) I -+ Ag +→ AgI ↓黄色(2)Cl 2水+CCl 4(A ) 2NaBr + Cl 4 → 2NaCl + Br 2在CCl 4中呈桔黄色(B ) 2NaI + Cl 4 → 2NaCl + I 2在CCl 4中呈紫红色 (3)浓H 2SO 4(A ) NaCl + H 2SO 4 → NaHSO 4 + HCl ↑ (B ) NaBr + H 2SO 4 → NaHSO 4 + HBr ↑2 HBr + H 2SO 4 → Br 2 + 2H 2O + SO 2 ↑使品红试纸褪色(C ) NaI + H 2SO 4 → NaHSO 4 + HI ↑8HI + H 2SO 4 → 4I 2 + 4H 2O + H 2S ↑使Pb (OAc )2试纸变黑6.下列两个反应在酸性介质中均能发生,如何解释?(1) Br 2 + 2I -→ 2Br -+ I 2 (2) 2BrO 3-+ I 2 → 2IO 3-+ Br 2解:(1)E ¢(Br 2/ Br -)=1。
11稳恒电流和稳恒磁场习题解答
第十一章 稳恒电流和稳恒磁场一 选择题1. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ,此线圈在A 点(如图)产生的磁感应强度B 的大小为( )A. l I μπ420B. lIμπ20 C .lIμπ20 D. 0 解:设线圈四个端点为ABCD ,则AB 、AD 线段在A 点产生的磁感应强度为零,BC 、CD 在A 点产生的磁感应强度由)cos (cos π4210θθμ-=dIB ,可得 lI lIB BC π82)2πcos 4π(cosπ400μμ=-=,方向垂直纸面向里 lI l IB CD π82)2πcos 4π(cosπ400μμ=-=,方向垂直纸面向里 合磁感应强度 lIB B B CD BC π420μ=+=所以选(A )2. 如图所示,有两根载有相同电流的无限长直导线,分别通过x 1=1、x 2=3的点,且平行于y 轴,则磁感应强度B 等于零的地方是:( )A. x =2的直线上B. 在x >2的区域C. 在x <1的区域D. 不在x 、y 平面上 解:本题选(A )3. 图中,六根无限长导线互相绝缘,通过电流均为I ,区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形,哪一个区域指向纸内的磁通量最大?( )A. Ⅰ区域B. Ⅱ区域 C .Ⅲ区域D .Ⅳ区域E .最大不止一个选择题2图Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 选择题3图选择题1图解:本题选(B )4. 如图,在一圆形电流I 所在的平面内,选取一个同心圆形闭合回路L ,则由安培环路定理可知:( )A. ∮L B ·d l =0,且环路上任意一点B =0B. ∮L B ·d l =0,且环路上任意一点B ≠0C. ∮L B ·d l ≠0,且环路上任意一点B ≠0D. ∮L B ·d l ≠0,且环路上任意一点B =常量解:本题选(B )5. 无限长直圆柱体,半径为R ,沿轴向均匀流有电流,设圆柱体内(r <R )的磁感应强度为B i ,圆柱体外(r >R )的磁感应强度为B e ,则有:( )A. B t 、B e 均与r 成正比B. B i 、B e 均与r 成反比C. B i 与r 成反比,B e 与r 成正比D. B i 与r 成正比,B e 与r 成反比解:导体横截面上的电流密度2πR IJ =,以圆柱体轴线为圆心,半径为r的同心圆作为安培环路,当r <R ,20ππ2r J r B i ⋅=⋅μ,20π2R IrB i μ=r <R ,I r B e ⋅=⋅0π2μ, rIB e π20μ=所以选(D )6. 有三个质量相同的质点a 、b 、c ,带有等量的正电荷,它们从相同的高度自由下落,在下落过程中带电质点b 、c 分别进入如图所示的匀强电场与匀强磁场中,设它们落到同一水平面的动能分别为E a 、E b 、E c ,则( )A. E a <E b =E cB. E a =E b =E cC. E b >E a =E cD. E b >E c >E a解:由于洛伦兹力不做功,当它们落到同一水平面上时,对a 、c 只有重力做功, 则E a =E c ,在此过程中,对b 不仅有重力做功,电场力也要做正功,所以E b >E a =E c所以选(C )7. 图为四个带电粒子在O 点沿相同方向垂直于磁力线射入均匀磁场后的偏转轨迹的照片,磁场方向垂直纸面向外,四个粒子的质量相等,电量大小也相等,则其中动能最大的b a B• B× × × × × × Ea bc 选择题6图 选择题4图带负电的粒子的轨迹是:( )A. OaB. ObC. Oc D . Od解:根据B F ⨯=v q ,从图示位置出发,带负电粒子要向下偏转,所以只有Oc 、Od 满足条件,又带电粒子偏转半径Bq m R v=,22k 22qB m E R =∴,质量相同、带电量也相等的粒子,动能大的偏转半径大,所以选Oc 轨迹所以选(C ) 8. 如图,一矩形样品,放在一均匀磁场中,当样品中的电流I 沿X 轴正向流过时,实验测得样品A 、A 两侧的电势差V A V A >0,设此样品的载流子带负电荷,则磁场方向为:( )A . 沿X 轴正方向B .沿X 轴负方向C .沿Z 轴正方向D .沿Z 轴负方向 解:本题选(C ) 9. 长直电流I 2与圆形电流I 1共面,并与其一直径相重合如图(但两者间绝缘),设长直电流不动,则圆形电流将:( )A. 绕I 2旋转B. 向左运动C. 向右运动D. 向上运动E. 不动 解:圆形电流左半圆和右半圆受到长直电流安培力的方向均向右,所以圆形电流将向右运动所以选(C )二 填空题1. 成直角的无限长直导线,流有电流I =10A ,在直角决定的平面内,距两段导线的距离都是a =20cm 处的磁感应强度B = 。
第十一章-无穷级数(习题及解答)
2.若 ,则下列级数中肯定收敛的是( ).
; ;
; .答 .
3.设级数(1) 与(2) ,则( ).
级数(1)、(2)都收敛; 级数(1)、(2)都发散;
级数(1)收敛,级数(2)发散; 级数(1)发散,级数(2)收敛.答 .
4.设级数(1) 与(2) ,则( ).
; ;
; .答 .
二、填空题
1. 是以 为周期的函数, 傅里叶级数为 .
答: 其中
2. 是以 为周期的偶函数, 傅里叶级数为 .
答:
3. 是以 为周期的奇函数, 傅里叶级数为 .
答:
4.在 的傅里叶级数中, 的系数为.答:
5.在 的傅里叶级数中, 的系数为.答:
6.在 的傅里叶级数中, 的系数为.答:
在区间 上正交; 以上结论都不对.答 .
2.函数系
在区间 上正交; 在区间 上不正交;
不是周期函数; 以上结论都不对.答 .
3.下列结论不正确的是( ).
; ;
; .答 .
4. 是以 为周期的函数,当 是奇函数时,其傅里叶系数为( ).
; ;
; .答 .
5. 是以 为周期的函数,当 是偶函数时,其傅里叶系数为( ).
一、单项选择题
1.级数 与 满足 ,则( ).
若 收敛,则 发散; 若 发散,则 发散;
若 收敛,则 发散; 若 收敛,则 未必收敛.答 .
2.下列结论正确的是( ).
收敛,必条件收敛; 收敛,必绝对收敛;
发散,则 必条件收敛;
收敛,则 收敛.答 .
2.下列级数中,绝对收敛的是( ).
; ;
; .答 .
第11章 习题提示和答案
h1 xh1 (1 x)h1 1 358.95 kJ/kg ,qc h1 h5 1 060.7 kJ/kg ,可用T s 图上面积 155'1'1
表示, wnet
h2 h1 184.0
kJ/kg ,
qc wnet
5.77 , qm
qQc qc
wnet
wC wT
65.25
kJ/kg ,
qc wnet
0.916 , I
T0sg
T0 c p
ln
T2 ' T2
11.83
kJ/kg 。
11-6 某采用理想回热的压缩气体制冷装置(循环示意见图 11-3),工质为某种理想气体,
循环增压比为 5 ,冷库温度 Tc 40 C ,环境温度为 300K,若输入功率为 3kW,试计算:
qc,a cp (T1 T4,a ) 71.2 kJ/kg , qc,b cp (T1 T4,b ) 110.7 kJ/kg 。
11-4 若题 11-3 中压气机绝热效率C,s 0.82 ,膨胀机相对内效率T 0.85 ,(1)分别
计算1 kg 工质的制冷量,循环净功及循环性能系数;(2)若取空气比热容是温度的函数,再
氟利昂 12。今有以氟利昂 134a 为工质的制冷循环,其冷凝温度
为 40℃,蒸发器温度为-20℃(图 11-4),求:(1)蒸发器和冷
凝器的压力;(2)循环的制冷系数。
提示和答案:若非特别说明制冷剂离开蒸发器进入压缩机时
的状态可近似为温度为蒸发器内温度的干饱和蒸气,离开冷凝器
图 11-4
时的状态为冷凝器内温度的饱和液;节流过程焓值不变。据 t1 20 C 、 t3 40 C ,查氟
第十一章市场失灵和微观经济政策(习题及答案)
第十一章市场失灵和微观经济政策(习题及答案)一.选择题1.由于垄断会使效率下降,因此任何垄断都是要不得的,这一命题()A、一定是正确的B、并不正确C、可能是正确的D、基本上是正确的2.某一经济活动存在外部经济是指该活动的()A、私人利益大于社会利益B、没有私人成本C、私人利益小于社会利益D、社会成本大3.某人的吸烟行为属于()A、生产的外部经济B、消费的外部经济C、生产的外部不经济D、消费的外部不经济4.政府提供的物品()公共物品。
A、一定是B、不都是C、大部分是D、少部分是5.市场不提供纯粹公共物品,是因为()A、公共物品不具有排他性B、公共物品不具有竞争性C、消费者都想“免费乘车”D、以上三种情况都是6.下面哪一个可能引起正的外部性:()A、购买一部个人电脑B、消费比萨饼C、教育一个人D、在一个封闭的空间里吸烟7.下面哪一个不产生外部性:()A、一个消费者吃一条巧克力B、一个企业向空间中排放污染物C、一个家庭主妇铲掉家门外面的雪D、一个人吸烟E、一个养蜂人的蜜蜂给邻居的果树授粉8.下面哪一个是政府失灵的原因:()A、外部性和公共物品B、完全信息C、激励问题D、政府的消费二、简答题1、垄断是如何造成市场失灵的?2、为什么市场上外部不经济的物品生产的多,而外部经济的物品生产的少?3、公共物品为什么不能依靠市场来提供?【参考答案】一、选择题BCDB DCAA二、简答题1、垄断是如何造成市场失灵的?解答:要点如下:第一,在垄断情况下,厂商的边际收益小于价格.因此,当垄断厂商按利润最大化原则(边际收益等于边际成本)确定产量时,其价格将不是等于而是大于边际成本,以更高的价格生产了更低的产量,这就出现了低效率的情况.第二,为获得和维持垄断地位从而得到垄断利润的寻租活动是一种纯的浪费.这进一步加剧了垄断的低效率情况.2、为什么市场上外部不经济的物品生产的多,而外部经济的物品生产的少?解答:要点如下:外部性使产品生产的社会成本与私人成本不一致,或者使产品生产的社会收益与私人收益不相等,从而使某种产品的生产,从社会的角度看,存在过多或者过少的弊病。
第11章习题答案
十一章课后习题答案一、选择题1. 下列关于异常的叙述错误的是(A )。
A.编译错属于异常,可以抛出B.运行错属于异常C.硬件故障也可当异常抛出D.只要是编程者认为是异常的都可当异常抛出2. 下列叙述错误的是(B )。
A.throw语句须书写在时语句块中B.throw语句必须在try语句块中直接运行或通过调用函数运行C.一个程序中可以有try语句而没有throw语句D.throw语句抛出的异常可以不被捕获3. 关于函数声明float fun(int a,int b)throw,下列叙述正确的是(B )。
A.表明函数抛出float类型异常B.表明函数抛出任何类型异常C.表明函数不抛出任何类型异常D.表明函数实际抛出的异常4. 下列叙述错误的是(C)。
A.catch(…)语句可捕获所有类型的异常B.一个try语句可以有多个catch语句C.catch(…)语句可以放在catch语句组的中间D.程序中try语句与catch语句是一个整体,缺一不可二、简答题1. 什么是命名空间,怎样定义命名空间?答:命名空间是一个保持唯一名称的区域,其实质是一个作用域。
语法为:namespace A //定义一个命名空间A{int a;float b;void f(){…}}其中namespace为定义的关键字,A为命名空间的名字。
2. 什么是异常,什么是异常处理?答:在编写程序时,总是会不可避免地遇到一些问题。
尤其是在设计一个类时,总要包含一些错误处理。
C++提供了异常处理机制,它把错误检查和错误处理分开。
如设计类专门检查各种可能出现的错误,类的使用者则提供具体的错误处理程序。
3. C++异常处理处理有哪些特点?答:异常处理的思路是:发现错误的函数可以不具有错误处理能力。
这个函数会引发一个异常,希望它的调用者能捕获这个异常并处理这个错误。
如果调用者也不能处理这个错误,还可以联系给上层调用者处理。
这种传播会一直继续到异常被处理为止。
(完整版)工程光学习题参考答案第十一章光的干涉和干涉系统
第十一章 光的干涉和干涉系统1. 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源,它发出两种波长的单色光nm 0.5891=λ和nm 6.5892=λ,问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多少?解:由题知两种波长光的条纹间距分别为961131589105891010D e m d λ---⨯⨯===⨯ 962231589.610589.61010D e m d λ---⨯⨯===⨯ ∴第十级亮纹间距()()65211010589.6589100.610e e m -∆=-=⨯-⨯=⨯2. 在杨氏实验中,两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片折射率为1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时(见图11-17),发现屏上的条纹系统移动了0.5场面,试决定试件厚度。
解:设厚度为h ,则前后光程差为()1n h ∆=- ()1x dn h D∆⋅∴-=230.510100.580.5h --⨯⨯=21.7210h mm -=⨯3. 一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前,在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系。
继后抽去气室中的空气,注入某种气体,发现条纹系移动了25个条纹,已知照明光波波长nm 28.656=λ,空气折射率000276.10=n 。
试求注入气室内气体的折射率。
解:设气体折射率为n ,则光程差改变()0n n h ∆=-图11-47 习题2 图()02525x d dn n h e D Dλ∆⋅∴-==⋅= 9025656.2810 1.000276 1.0008230.03m n n h λ-⨯⨯=+=+= 4. ** 垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板,投射光经投射会聚到焦点上。
玻璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面(见图11-18)的直线发生光波波长量级的突变d ,问d 为多少时,焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。
解:无突变时焦点光强为04I ,有突变时为02I ,设',.d D200'4cos 2xd I I I Dπλ== ()'104xd m m D λ⎛⎫∴∆==+≥ ⎪⎝⎭又()1n d ∆=-114d m n λ⎛⎫∴=+ ⎪-⎝⎭5. 若光波的波长为λ,波长宽度为λ∆,相应的频率和频率宽度记为ν和ν∆,证明λλνν∆=∆,对于nm 8.632=λ的氦氖激光,波长宽度nm 8102-⨯=∆λ,求频率宽度和相干长度。
第十一章课后习题答案
第十一章 光 学11-1 在双缝干涉实验中,若单色光源S 到两缝S 1 、S 2 距离相等,则观察屏 上中央明条纹位于图中O 处,现将光源S 向下移动到图中的S ′位置,则( )(A ) 中央明纹向上移动,且条纹间距增大(B ) 中央明纹向上移动,且条纹间距不变(C ) 中央明纹向下移动,且条纹间距增大(D ) 中央明纹向下移动,且条纹间距不变分析与解 由S 发出的光到达S 1 、S 2 的光程相同,它们传到屏上中央O 处,光程差Δ=0,形成明纹.当光源由S 移到S ′时,由S ′到达狭缝S 1 和S 2 的两束光产生了光程差.为了保持原中央明纹处的光程差为0,它会向上移到图中O ′处.使得由S ′沿S 1 、S 2 狭缝传到O ′处的光程差仍为0.而屏上各级条纹位置只是向上平移,因此条纹间距不变.因此正确答案为(B ).题11-1 图11-2 如图所示,折射率为n 2 ,厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1 和n 3,且n 1 <n 2 ,n 2 >n 3 ,若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上,则从薄膜上、下两表面反射的光束的光程差是( )()()()()2222222D 2C 22B 2A n e n e n e n e n λλλ---题11-2 图分析与解 由于n 1 <n 2 ,n 2 >n 3 ,因此在上表面的反射光有半波损失,下表面的反射光没有半波损失,故它们的光程差222λ±=∆e n ,这里λ是光在真空中的波长.因此正确答案为(B ). 11-3 如图(a )所示,两个直径有微小差别的彼此平行的滚柱之间的距离为L ,夹在两块平面晶体的中间,形成空气劈形膜,当单色光垂直入射时,产生等厚干涉条纹,如果滚柱之间的距离L 变小,则在L 范围内干涉条纹的( )(A ) 数目减小,间距变大 (B ) 数目减小,间距不变(C ) 数目不变,间距变小 (D ) 数目增加,间距变小题11-3图分析与解 图(a )装置形成的劈尖等效图如图(b )所示.图中 d 为两滚柱的直径差,b 为两相邻明(或暗)条纹间距.因为d 不变,当L 变小时,θ 变大,L ′、b 均变小.由图可得L d b n '==//2sin λθ,因此条纹总数n d b L N λ//2='=,因为d 和λn 不变,所以N 不变.正确答案为(C )11-4 在单缝夫琅禾费衍射实验中,波长为λ的单色光垂直入射在宽度为3λ的单缝上,对应于衍射角为30°的方向,单缝处波阵面可分成的半波带数目为( )(A ) 2 个 (B ) 3 个 (C ) 4 个 (D ) 6 个分析与解 根据单缝衍射公式()()(),...2,1 212 22sin =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+±±=k λk λk θb 明条纹暗条纹 因此第k 级暗纹对应的单缝波阵面被分成2k 个半波带,第k 级明纹对应的单缝波阵面被分成2k +1 个半波带.由题意23sin /λθ=b ,即对应第1 级明纹,单缝分成3 个半波带.正确答案为(B ).11-5 波长λ=550 nm 的单色光垂直入射于光栅常数d =1.0 ×10-4 cm 的光栅上,可能观察到的光谱线的最大级次为( )(A ) 4 (B ) 3 (C ) 2 (D ) 1分析与解 由光栅方程(),...1,02dsin =±=k λk θ,可能观察到的最大级次为()82.1/2dsin max =≤λπk 即只能看到第1 级明纹,答案为(D ). 11-6 三个偏振片P 1 、P 2 与P 3 堆叠在一起,P 1 与P 3的偏振化方向相互垂直,P 2与P 1 的偏振化方向间的夹角为45°,强度为I 0 的自然光入射于偏振片P 1 ,并依次透过偏振片P 1 、P 2与P 3 ,则通过三个偏振片后的光强为( )(A ) I 0/16 (B ) 3I 0/8 (C ) I 0/8 (D ) I 0/4分析与解 自然光透过偏振片后光强为I 1 =I 0/2.由于P 1 和P 2 的偏振化方向成45°,所以偏振光透过P 2 后光强由马吕斯定律得445cos 0o 212/I I I ==.而P 2和P 3 的偏振化方向也成45°,则透过P 3 后光强变为845cos 0o 223/I I I ==.故答案为(C ).11-7 一束自然光自空气射向一块平板玻璃,如图所示,设入射角等于布儒斯特角i B ,则在界面2 的反射光( )(A ) 是自然光(B ) 是线偏振光且光矢量的振动方向垂直于入射面(C ) 是线偏振光且光矢量的振动方向平行于入射面(D ) 是部分偏振光题11-7 图分析与解 由几何光学知识可知,在界面2 处反射光与折射光仍然垂直,因此光在界面2 处的入射角也是布儒斯特角,根据布儒斯特定律,反射光是线偏振光且光振动方向垂直于入射面.答案为(B ).11-8 在双缝干涉实验中,两缝间距为0.30 mm ,用单色光垂直照射双缝,在离缝1.20m 的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78 mm .问所用光的波长为多少,是什么颜色的光?分析与解 在双缝干涉中,屏上暗纹位置由()212λ+'=k d d x 决定,式中d ′为双缝到屏的距离,d 为双缝间距.所谓第5 条暗纹是指对应k =4 的那一级暗纹.由于条纹对称,该暗纹到中央明纹中心的距离mm 27822.=x ,那么由暗纹公式即可求得波长λ.此外,因双缝干涉是等间距的,故也可用条纹间距公式λdd x '=∆求入射光波长.应注意两个第5 条暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为9(不是10,为什么?),故mm 97822.=∆x 。
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第十一章 微分方程习题11-11.说出下列各微分方程的阶数:(1)20dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭; (2)220d Q dQ Q L Rdt dt C -+=; (3)220xy y x y '''''++= ; (4)()d (76)0x y y x y dx ++-=;(5)2sin y y y x '''++= ; (6)2d sin .d ρρθθ+= 解:(1)一阶;(2)二阶;(3)三阶;(4)一阶;(5)二阶;(6)一阶. 2.指出下列各函数是否为所给微分方程的解:(1)22 , 5;xy y y x '==(2)0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==-(3)221, ;y x y y x''=+=(4)21221 , sin cos .2x x d y y e y C x C x e dx +==++解:(1)∵ 10 y x '=,代入方程得 21025x x x ⋅=⋅∴25y x =是方程的解.(2)∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+,代入方程,得∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解. (3)∵ 2312,y y x x '''=-=,代入方程,得 23221x x x≠+ ∴1y x=是方程的解. (4)∵ 21212211cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+,代入方程, 得 121sin cos 2x C x C x e ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭121sin cos 2x x C x C x e e ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴121sin cos 2x y C x C x e =++是方程的解.3.在下列各题中,验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)()2222 , ;x y y x y x xy y C '-=--+= (2)()220 , ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==解:(1)在二元方程22 x xy y C -+=的两边同时对x 求导,得 移项后即得 ()22 x y y x y '-=-故二元方程22x xy y C -+=所确定的函数是所给微分方程的解.(2)在 ln()y xy =两边对x 求导,得11 ()y y y xy xy x y '''=+=+, 即 yy xy x'=- ()()()()()232223122 y xy x y y xy xy y yxy xy xyy xy x xy x xy x ''--+-'--+-+-''===---,代入微分方程,得故 ln()y xy =所确定的函数是所给微分方程的解.4.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初始条件: (1)2220 , |1;x x xy y C y =-+==(2)()1200 , |0 , |1;x x x y C C x e y y =='=+== (3)1200cos sin , | 1 , |.t t x C t C t x x ωωω=='=+== 解:(1)∵ 0 |1x y ==∴222 =0011C -+=即 221x xy y -+=(2)()122 x y C C x C e '=++,由00 |0 , |1x x y y =='==,得 1121C C C =⎧⎨+=⎩∴12 =0 , =1C C , x y xe =(3)12sin cos x C t C t ωωωω'=-+,由00| 1 , |t t x x ω=='==,得 121C C ωω=⎧⎨=⎩∴12 =1 , =1C C , cos sin x t t ωω=+5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点横坐标的平方;(2)曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ,且线段PQ 被y 轴平分.解:(1)设曲线的方程为()y y x =,则曲线上点(,)x y 处切线的斜率为y ',由条件知2y x '=,此即为所求曲线的微分方程.(2)设曲线的方程为()y y x =,则曲线上点(,)P x y 处法线的斜率为1y -',由条件知线段PQ 中点的横坐标为0,所以Q 的坐标为(,0)x -,则有即所求曲线的微分方程为 20yy x '+=.习题11-21.求下列微分方程的通解:(1)ln 0;xy y y '-= (2)23550;x x y '+-=(3'= (4)2();y xy a y y '''-=+ (5)cos sin d sin cos d 0;x y x x y y += (6)2d (4)d 0.y x x x y +-= 解:(1)原方程可写为ln 0dyxy y dx-=,分离变量,得d 1,ln y dx y y x = 两端积分,得 11ln dy dx y y x=⎰⎰ 即 ln ln ln ln ln y x C Cx =+=,亦即ln y Cx = ,故通解为Cx y e = (2)原方程可写为235dy x x dx =+,两端分离变量并积分,得 23()5dy x x dx =+⎰⎰, 故通解为231125y x x C =++ .(3)原方程可写为dy dx =,两端分离变量并积分,得=,故通解为arcsin arcsin y x C =+.(4)原方程可写为21dy ay dx x a=--,两端分离变量并积分,得211ady dx y x a =--⎰⎰,故通解为1ln 1a x a C y=+-+.(5)分离变量,得cos cos d d sin sin y x y x y x =- ,两端积分,得 cos cos d d sin sin y xy x y x=-⎰⎰ , 1ln sin ln sin y x C =-+,1ln sin sin x y C ⋅=,故通解为sin sin x y C = ,其中1C C e =±为任意常数.(6)分离变量,得,24dx dyx x y=-积分,得 1144dy dx x x y ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭⎰⎰, 即 4ln ln(4)ln ln x x C y --+=,故通解为4(4)x y Cx -=. 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)20,|0;x y x y e y -='== (2)0cos sin d cos sin d ,|;4x x y y y x x y π===(3)2sin ln ,|;x y x y y y e π='== (4)0cos d (1)sin d 0,|;4xx y x e y y y π-=++==(5)2d 2d 0,|1;x x y y x y =+== (6)220(+)d ()d 0,| 1.x xy x x x y y y y =+-==解:(1)分离变量并积分得, 2y x e dy e dx =⎰,即通解为 212y x e e C =+,由条件0|0x y ==,得112C =+, 12C =,故满足初始条件的特解 21(1)2y x e e =+ .(2)分离变量并积分得,sin sin d d cos cos y xy x y x=⎰⎰, 即 ln(cos )ln(cos )ln y x C -=--, 亦即通解为cos cos y C x =, 由条件0|4x y π==,得 coscos 04C π=,C =故满足初始条件的特解 cos 0x y =. (3)分离变量并积分得,1csc ln dy xdx y y=⎰⎰, 即ln(ln )ln(tan )ln 2x y C =+,亦即通解为ln tan 2xy C =,由条件2|x y e π==,得ln tan 4e C π=,1C =,故满足初始条件的特解ln tan2xy =.(4)分离变量并积分得,tan 1x xe ydy dx e-=+⎰⎰,通解为(1)sec xe y C +=,由条件0|4x y π==,得C =(1)sec x e y +=(5)分离变量并积分得,12dy dx y x=-⎰⎰,通解为2x y C =由条件2|1x y ==,得4C =,故满足初始条件的特解24x y =. (6)分离变量并积分得,2211y x dy dx y x=+-⎰⎰,通解为22(1)(1)x y C -+= 由条件0|1x y ==,得2C =,故满足初始条件的特解22(1)(1)2x y -+=. 3.求下列齐次方程的通解:(1)0;xy y '-= (2)d ln ;d y yxy x x= (3)22()d d 0;x y x xy y +-= (4)332()d 3d 0;x y x xy y +-=(5) ;y xyy e x '=+ (6)(12)d 21d 0.x xy y x e x e y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭解:(1)原方程可写为dy y dx x =+y u x =,则 ,y ux =d d ,d d y u u x x x =+代入原方程,得dd uu xu x +=1dx x =,积分得 ln(ln ln u x C =+,即u Cx =,亦即 y Cx x +=,原方程的通解2y Cx =.(2)原方程可写为d ln d y y y x x x =,令y u x =,则 ,y ux =d d ,d d y uu x x x=+ 代入原方程,得d ln d uu xu u x+=,分离变量积分得 ()11ln 1du dx u u x =-⎰⎰, 即 ln(ln 1)ln ln u x C -=+,亦即 ln1y Cx x =+,原方程的通解ln 1yCx x=+. (3)原方程可写为d d y y x x x y =+,令y u x =,则 ,y ux =d d ,d d y uu x x x=+代入原方程,得d 1d u u xu x u +=+,分离变量积分得 1udu dx x=⎰⎰, 即 22ln u x C =+,,将yu x =代入上式得原方程的通解22(2ln )y x x C =+.(4)原方程可写为22d d 33y y x x x y =+,令y u x =,则 ,y ux =d d ,d d y uu x x x=+代入原方程,得2d 1d 33u u u x x u+=+,分离变量积分得 233112u du dx u x =-⎰⎰, 即 311ln(12)ln 2u x C --=+,亦即 3221Cu x =-,其中1C C e =,将y u x =代入上式,得原方程的通解332x y Cx -=. (5)令y u x =,则 ,y ux =d d ,d d y u y u x x x '==+代入原方程,得d d u uu x e u x+=+,即 ln ueCx --=,将yu x=代入上式,得原方程的通解ln 0yx e Cx -+=.(6)原方程可写为12d d 12xy xyx ey x ye ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+,令x u y =,则 ,x u y =d d ,d d x u u y y y =+ 代入原方程,得d 2(1)dy 12u u u e u u y e -+=+,分离变量积分得 1212u u e du dy u e y+=-+⎰⎰, 即 ln(2)ln ln u u e y C +=-+,亦即 (2)u y u e C +=,将yu x=代入上式,得原方程的通解2xyx ye C +=4.求下列线性微分方程的通解:(1)d ;d x yy e x-+= (2)232;xy y x x '+=++(3)tan sin 2;y y x x '+= (4)d 32;d ρρθ+=(5)ln d (ln )d 0;y y x x y y +-= (6)2d (6)20.d yy x y x-+=解:(1)原方程是()1P x =,()x Q x e -=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为()()dx dx x xxx x y e e e dx C e ee dx C e x C -----⎛⎫⎰⎰=⋅+=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰.(2)原方程可化为123y y x x x '+=++,它是1()P x x =,2()3Q x x x=++的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为()11221332dx dx x x y e x e dx C x x dx C x x -⎡⎤⎛⎫⎰⎰⎡⎤=++⋅+=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰⎰213232C x x x =+++; (3)原方程是()tan P x x =,()sin 2Q x x =的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为tan tan 2sin 2sin 2cos cos 2cos cos xdx xdx x y e x e dx C x dx C C x x x -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (4)原方程是()3P θ=,()2Q θ=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得333332223333d d C C Ce e d e e dx e θθθθθρθ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ,即原方程的通解为 332Ce θρ-=+. (5)原方程可化为1=ln dx x dy y y y +,它是1()ln P y y y =,1()Q y y=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得112ln ln 11111ln ln 2ln 2ln 22dy dyy y y y C C C x e e dy ydy y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎛⎫=⋅+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰, 即原方程的通解为22ln ln x y y C =+. (6)原方程可化为3=2dx x y dy y --,它是3()P y y =-,()2yQ y =-的一阶非齐次线性方程.由通解公式得33323311222dy dy y y y y x e e dy C y dy C y Cy y -⎡⎤⎛⎫⎰⎰⎛⎫=-⋅+=-⋅+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 5.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)0d tan sec ,|0;d x y y x x y x =-== (2)21d 4,| 2 ;d x y yx y x x =+==(3)cos 2d cot 5,|4;d x x y y xe y x π=+==- (4)0d 38,| 2 d x yy y x =+==.解:(1)由公式可得一阶线性微分方程通解为()tan tan 11sec sec cos cos cos xdxxdx y e x e dx C x xdx C x Cx x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰由0|0x y ==得0C =,故特解为cos xy x=. (2)由公式可得一阶线性微分方程通解为由12x y==得1C =,故特解为31y x x=+. (3) 由公式可得一阶线性微分方程通解为 由24x yπ==得1C =,故特解为cos 151sin xy e x⎡⎤=-+⎣⎦,即 cos sin 51x y x e +=. (4)由公式可得一阶线性微分方程通解为由0| 2 x y ==得23C =-,故特解为32(4)3x y e -=-.6.求下列伯努利方程的通解:(1)2d (cos sin );d y y y x x x +=- (2)33d 22 .d yxy x y x+=解:方程两边同除以2y ,得21d cos sin d yy y x x x--+=-令1z y =,2d d y dz y x dx -=-,则原方程变为sin cos dz z x x dx-=-,故 将1z y =代入上式,得原方程通解为1sin x Ce x y =-.1sin x x Ce y=-+; (2)方程两边同除以3y ,得323d 22d yy xy x x--+= 令21z y =,3d 1d 2y dz y x dx -=-,则原方程变为344dz xz x dx-=-,故 将21z y =代入上式,得原方程通解为222212x y Ce x -=++. 7.用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解: (1)2d ();d yx y x=+ (2)d 11;d y x x y =+- (3)(ln ln );xy y y x y '+=+ (4)212x y ye +-'=-.解:(1)令u x y =+,则1dy du dx dx =-,从而原方程可化为21duu dx=+,分离变量积分得21dudx u =+⎰⎰,即arctan x u C =+. 将u x y =+代入,得原方程的通解为arctan()x x y C =++,即tan()y x x C =-++.(2)令u x y =-,则1dy du dx dx =-,从而原方程可化为1du dx u-=,分离变量积分得udu dx =-⎰⎰,即2112x u C +=. 将u x y =-代入,得原方程的通解为2()2x y x C -=-+ (其中12C C =).(3)令u xy =,则2,duxuu dy dx y x dxx-==,从而原方程可化为21()ln du u u u x u x dx x x x -+=,分离变量积分得ln dx dux u u =⎰⎰,即 ln ln ln(ln )x C u +=,亦即C x u e =,将u xy =代入,得原方程的通解为1C x y e x=.(4)令21u x y =+-,则2dy du y dx dx '==-,从而原方程可化为u due dx=,分离变量积分得udx e du -=⎰⎰,即u e C x -=-. 将21u x y =+-代入,得原方程的通解为12ln y x C x =---. 8.判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方程的通解:(1)(cos cos )d (sin sin )d 0x y x y y y x x ++-=; (2)2()0x y dx xdy --=; (3)22()0x y dx xydy ++= ; (4)22(1)20e d e d θθρρθ++=. 解:(1)这里(,)sin sin , (,)cos cos P x y y y x Q x y x y x =-=+,cos sin P Qy x y x∂∂=-=∂∂,所以(1)是全微分方程.取000 , 0x y ==, 根据公式00(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰,有于是全微分方程的通解为sin cos x y y x C +=.. (2)这里2(,),(,)P x y x y Q x y x =-=-,于是有1P Qy x∂∂=-=∂∂,所以(2)是全微分方程.取000 , 0x y ==,根据公式00(,)(,)(,)xy x y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰,有于是全微分方程的通解为33x xy C =+.(3)这里22(,),(,),P x y x y Q x y xy =+=2P y y ∂=∂,Q y x∂=∂,显然P Q y x ∂∂≠∂∂,所以(3)不是全微分方程.(4)22(1)20e d e d θθρρθ++=.这里22(,)1,(,)2P e Q e θθρθρθρ=+=,显然22P Qe θθρ∂∂==∂∂,所以(4)是全微分方程,取000 , 0ρθ==,根据公式0(,)(,)(,)u P d Q d ρθρθρθρθρρθθ=+⎰⎰ ,有于是全微分方程的通解为2(1)e C θρ+=.9.求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2x y +.9. 2(1)x y e x =--.解:设曲线的方程为()y y x =,由题意知2y x y '=+,0|0x y ==,于是()()222122dx dx x x x x xy e x e dx C e xe dx C e x e C Ce x ---⎛⎫⎰⎰⎡⎤=⋅+=+=-++=-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰由0|0x y ==,得2C =,于是所求曲线的方程为2(1)x y e x =--10.质量为lg (克)的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在10s t =时,速度等于50cm/s ,外力为24g cm/s ⋅,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?解 :已知t F k v =⋅,并且10t s =时50/v cm s =,4/F g cm s =⋅,故10450k =⋅,从而20k =,因此20t F v =⋅.又由牛顿定律F ma =,即201t dvv dt⋅=⋅,故20vdv tdt =,积分得221102v t C =+,即v =,再代入初始条件得2250C =,因此所求特解为v 60t s =时269.3(/)v cm s ==≈.11.镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知,镭经过1600年后,只余原始量0R 的一半.试求镭的量R 与时间t 的函数关系. 解: 设比例系数0λ>,则由题意可得dR R dt λ=-⋅.分离变量积分可得dR dt Rλ=-⎰⎰,即1ln R t C λ=-+,从而1()C t R C e C e λ-=⋅=,因为0t =时0R R =,所以0R C =,即0t R R e λ-=⋅.又因为1600t =时02R R =,所以1600002R R e λ-=⋅,从而ln 21600λ=,因此镭的量R 与时间t 的函数关系为ln 20.000433160000t t R R eR e --==,.时间以年为单位.12.设有连结点(0,0)O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧»OA ,对于»OA 上任一点(,)P x y ,曲线弧»OP与直线段OP 所围图形的面积为2x ,求曲线弧»OA 的方程. 解: 曲线弧»OA的方程为()y y x =,由题意得两边求导得11()()()222y x y x xy x x '--=,即4y y x'=-, 令y u x =,则 ,y ux =d d ,d d y u u x x x =+上式可化为4du x dx=-,分离变量积分得4ln u x C =-+.将y u x=代入,得 4ln y x x Cx =-+. 由于(1,1)A 在曲线上,因此(1)1y =,代入得1C =,从而曲线弧»OA的方程为(14ln )y x x =-,01x <≤;当0x =时0y =.13.设有一质量为m 的质点作直线运动.从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致、大小与时间成正比(比例系数为1k )的力作用于它,此外还受一与速度成正比(比例系数为2k )的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律知12dv m k t k v dt =-,即21k k dv v t dt m m+=,因此 由0t =时0v =得122k m C k =,故22211122222k k k t t t m m m k k m k m v e te e k k k -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,即质点运动的速度与时间的函数关系为211222(1)kt m k k m v t e k k -=--. 习题11-31.求下列各微分方程的通解:(1)2290;4d y x dx -= (2);x y xe '''= (3)2(1)2;x y xy '''+= (4)220.1y y y'''-=- 解:(1)原方程变形,得2294d y x dx =, 对所给方程接连积分两次,得2198y x C '=+, 31238y x C x C =++ ,这就是所求的通解. (2)对所给方程接连积分三次,得2123(3)x y x e C x C x C =-+++.这就是所求的通解.(3)令(),y p x y p ''''==,原方程可化为2(1)2x p xp '+=,即221dp xdx p x=+,积分得21ln ln(1)ln p x C =++,亦即21(1)p C x =+,21(1)y C x '=+,所以就是原方程的通解.(4)令()y p y '=,则dp y p dy ''=,原方程化为2201dp p p dy y -=-,即201dp p p dy y ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦, 当0p =时,得原方程的一个解为y C =,它不是通解;当0p ≠时,约去p ,分离变量积分,得2(1)p y C -=,即2(1)dy C p dx y ==-,从而2(1)y dy Cdx -=,积分得312(1)y C x C -=+,其中13C C =,因此原方程的通解为312(1)y C x C -=+.2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)111, |||0 ;x x x x y e y y y ===''''''====(2)00| 1 , | 2 ;x x y y y =='''===(3)2000 , ||0 ;y x x y e y y =='''-===(4)31110 , | 1 , |0 x x y y y y =='''+===.解:(1)1+C x x y e dx e ''==⎰,由1|0 x y =''=得,1C e =-,即x y e e ''=-,2()+C x x y e e dx e ex '=-=-⎰,由1|0 x y ='=得,20C =,即x y e ex '=-,23()+C 2x x e y e ex dx e x =-=-⎰,由1|0 x y ==得,32e C =-, 故222x e e y e x =-- 为 原方程的所求特解 .(2)令()y p y '=,那末 dp y p dy ''=,得dp p dy=pdp =, 积分得3221122p y C =+,由00 | 1 , |2x x y y =='==得10C =,从而342y p y '==±,又y ''=,可知342y y '=,即342y dy dx -=,积分得14242y x C =+,由0 | 1 x y ==,得24C =,所以4112y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为所求特解.(3)令()y p y '=,那末dp y p dy ''=,得20y dp p e dy -=,即2y pdp e dy =,积分得2211122y p e C =+,由000x x y y =='==得112C =-,从而22()1,y y e y ''=-=,即dx =±,亦即y dx -=±,积分得2arcsin y e x C --=±+,由00x y ==,得22C π=-,所以sin()cos 2y e x x π-=±+=,原方程特解为lnsec y x =. (4) 令y p '=,则dp y p dy ''=,原方程变为31dp y p dy=-,从而3pdp y dy -=-,积分得2121p C y =+,即2121()y C y '=+,由111,0x x y y =='==得11C =-,从而221()1y y '=-,即y '=dy dx =±,积分得2x C =±+,再由11x y ==得21C =m ,因此所求特解为(1)x =±-,即221(1)y x -=-亦即222x y x +=,或y =y =,因为11x y==). 3.试求y x ''=的经过点(0,1)M 且在此点与直线12x y =+相切的积分曲线. 解:由积分曲线经过点(0,1)M 知,01x y==,又由积分曲线在点(0,1)M 与直线12x y =+相切知,012x y ='=. 对方程y x ''=积分得,2112y xdx x C '==+⎰,利用条件012x y ='=,从而112C =,即21122y x '=+,再积分得,3262x x y C =++,利用条件01x y ==,从而21C =, 于是3162x x y =++. 4.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的?(1)2cos , ;x x (2)22,5 ;x x(3)22,3;x x e e (4)2sin ,1 ;x(5)cos 2,cos sin ;x x x (6)22,;x x e xe(7)ln ,2ln ;x x (8)1212,().x x e e λλλλ≠解:(1)、(4)、(5)、(6)、(8)线性无关.因为:对于定义在区间I 上的两个函数1()y x 与2()y x ,如果1()y x 与2()y x 在区间I 上线性相关,则存在两个不全为0的常数12 , k k ,使得对于∀x I ∈恒有1122()()0k y x k y x +=成立,即12()()y x y x 或21()()y x y x 恒为常数.因而如果12()()y x y x 或21()()y x y x 均不为常数,则称1()y x 与2()y x 在区间I 上一定线性无关.(1)、(4)、(5)、(6)、(8)中的两个函数之比均不为常数,所以这五组函数均线性无关.相反地(2)(3)(7)线性相关.5.验证21x y e -=及62x y e -=都是方程8120y y y '''++=的解,并写出该方程的通解. 解: 因为21x y e -=,22112,4x x y e y e --'''=-=,62x y e -=,66226,36x x y e y e --'''=-=,所以21x y e -=和 62x y e -=都是已知方程的解. 由于24162xx x y e e y e--==不为常数,因此1y 与2y 线性无关,所给方程的通解为2612x x y C e C e --=+.6.验证1sin y x =及2cos y x =都是方程0y y ''+=的解,并写出该方程的通解. 解: 因为1sin y x =,11cos ,sin y x y x '''==-,2cos y x =,22sin ,cos y x y x '''=-=-,所以1sin y x =何2cos y x =都是已知方程的解. 由于12tan y x y =不为常数,因此1y 与2y 线性无关,所给方程的通解为12sin cos y C x C x =+.7.求下列微分方程的通解:(1)3100;y y y '''--= (2)40;y y '''-=(3)20; y y ''+= (4)8160;y y y '''++=(5)22d d 690;d d x x x t t-+= (6)220y y y '''++=. 解:(1)特征方程为23100r r --=,解得122,5r r =-=,故方程的通解2512x x y C e C e -=+.(2)特征方程为240r r -=,特征根为120,4r r ==,故方程的通解为412x y C C e =+.(3)特征方程为220r +=,解得1,2r =,故方程的通解12y C C =+.(4)特征方程为28160r r ++=,特征根为124r r ==-,故方程的通解为412()x y C C x e -=+.(5)特征方程为2690r r -+=,特征根为123r r ==,故方程的通解为312()t x C C t e =+.(6)特征方程为2220r r ++=,特征根为1,21i r ==-±,故方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+.8.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)00680,|1,|6;x x y y y y y ==''''-+===(2)00440,|2,|0;x x y y y y y ==''''++===(3)00340,|0,|5;x x y y y y y ==''''--===-(4)006130,|3,|1x x y y y y y ==''''++===-.解:(1)特征方程为2680r r -+=,特征根为122,4r r ==,故方程的通解为2412x x y C e C e =+代入初始条件00|1,|6x x y y =='==,得12121246C C C C +=⎧⎨+=⎩,解之得1212C C =-⎧⎨=⎩,从而所求特解为242x x y e e =-+.(2)特征方程为24410r r ++=,特征根为121,3r r ==,故方程的通解为312x x y C e C e =+ 代入初始条件002,0x x y y =='==,得12126310C C C C +=⎧⎨+=⎩,解之得1242C C =⎧⎨=⎩,从而所求特解为342x x y e e =+.(3) 特征方程为2340r r --=,特征根为121,4r r =-=,故方程的通解为412x x y C e C e -=+ 代入初始条件000,5x x y y =='==-,得1212045C C C C +=⎧⎨-+=-⎩,解之得1211C C =⎧⎨=-⎩, 从而所求特解为4x x y e e -=-(4)特征方程为26130r r ++=,特征根为1,232i r ==-±,故方程的通解为312(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+代入初始条件00|3,|1x x y y =='==-,得1123321C C C =⎧⎨-+=-⎩,解之得1234C C =⎧⎨=⎩,从而所求特解为3(3cos 24sin 2)x y e x x -=+.9.写出下列各微分方程的待定特解的形式(不用解出):(1)355;x y y y e '''-+= (2)3;y y '''-=(3)2276(521);x y y y x x e '''-+=-- (4)369(1)x y y y x e '''-+=+.解(1)特征方程为2350r r -+=,解得1,231i 22r ==±. 又因为()5x f x e =,1λ=是特征根,故待定特解的形式为*x y ae =.(2)特征方程为20r r -=,特征根为120,1r r ==.又因为()3f x =,0λ=是特征根,故待定特解的形式为*y ax =.(3)特征方程为2760r r -+=,特征根为1216r r ==.又因为22()(521)x f x x x e =--, 2λ=不是特征根,故待定特解的形式为*22()x y ax bx c e =++.(4) 特征方程为2690r r -+=,特征根为123r r ==.又因为3()(1)x f x x e =+,3λ=是特征根,故待定特解的形式为*23()x y x ax b e =+.10.求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:(1)sin 20, |1, |1;x x y y x y y ππ=='''++===(2)00325, |1, |2;x x y y y y y ==''''-+===(3)004, |0, |1;x x x y y xe y y =='''-===(4)0045, |1, |0x x y y y y ==''''-===.解:(1)特征方程为210r +=,解得1,2i r =±,对应齐次方程的通解为12cos sin y C x C x =+因()sin 2f x x =-,i 2i αβ±=±不是特征根,所以设原方程的特解为*cos 2sin 2y A x B x =+,*()2sin 22cos 2y A x B x '=-+,*()4cos 24sin 2y A x B x ''=--,代入原方程得3cos23sin 2sin 20A x B x x --+=,30 , 310A B -=-+=, 即10,3A B ==, *1sin 23y x =.故原方程的通解为 又122sin cos cos 23y C x C x x '=-++,代入初始条件1,1x x y y ππ=='==,得112211 1,2313C C C C =-⎧⎪⇒=-=-⎨=+⎪⎩, 从而所求特解为11cos sin sin 233y x x x =--+. (2)特征方程为210r +=,解得121,2r r ==,对应齐次方程的通解为 因()5f x =,0λ=不是特征根,所以设原方程的特解为*y A =,代入原方程 ,得 25A = 即 52A =,*52y =.故原方程的通解为 又2122x x y C e C e '=+,代入初始条件00 |1, |2x x y y =='==,得121212517 5,2222C C C C C C ⎧++=⎪⇒=-=⎨⎪+=⎩, 从而所求特解为275522x x y e e =-++.(3)特征方程为2320r r -+=,解得121,1r r ==-,对应齐次的通解为 而()4x f x xe =-,1λ=是特征方程的单根,故可设原方程的特解为代入原方程整理得比较系数,得1,1A B ==-,所以*(1)x y x x e =-.故原方程的通解为 将条件000,1x x y y =='==代入,得1212121 1 , 111C C C C C C +=⎧⇒==-⎨--=-⎩, 从而所求特解为2()x x x y e e x x e -=-+-.(4)特征方程为240r r -=,解得120,4r r ==,对应齐次方程的通解为412x y C C e =+ 因()5f x =,0λ=是特征方程的单根,所以设原方程的特解为*y Ax =,代入原方程 ,得 45A -= 即 54A =-,*54y x =-.故原方程的通解为 又42544x y C e '=-,代入初始条件00|1, |0x x y y =='==,得121221115 ,51616404C C C C C +=⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩, 从而所求特解为4115516164x y e x =+-. 11.设函数()x ϕ连续,且满足求()x ϕ.解: 方程两边同时对x 求导,得0()()xx x e t dt ϕϕ'=-⎰,()()x x e x ϕϕ''=-,(0) 1 , (0)1ϕϕ'== 从而 ()()x x x e ϕϕ''+=又该方程对应齐次方程的特征方程为210r +=,特征根为1,2i r =±,故齐次方程的通解为 通过观察易知*12x e ϕ=为方程()()x x x e ϕϕ''+=的一个特解,从而该方程的通解为 将初始条件(0)1,(0)1ϕϕ'==代入,得11221112 1212C C C C ⎧=+⎪⎪⇒==⎨⎪=+⎪⎩,故总习题十一1.单项选择题:(1)下列微分方程中是线性方程的是( ).(A ) cos()y y e x '+= (B ) 22x xy y x y e '''+-=(C )()250y y '+= (D )sin 8y y x ''+=(2)下列方程中是一阶微分方程的是( ).(A ) 2()20x y yy x ''++= (B ) ()()245750y y y x '''+-+=(C )0xy y y '''++= (D )(4)5cos 0y y x '+-=(3)微分方程20ydy dx -=的通解是( ).(A ) 2y x C -= (B ) 2y x C +=(C )y x C =+ (D )y x C =-+(4)微分方程0y y ''+=满足初始条件001 , 1x x y y =='==的特解是( ).(A ) cos y x = (B ) sin y x =(C )cos sin y x x =+ (D )12cos sin y C x C x =+(5)下列函数是微分方程20y y y '''-+=的解是( ).(A ) 2x x e (B ) 2x x e -(C ) x xe - (D ) x xe解:(1)(B ) ; (2)(A ); (3)(A ); (4)(C ); (5)(D ).2.填空题:(1)以22()1x C y ++=(其中C 为任意常数)为通解的微分方程为 22(1)1y y '+=.(2)以212x x y C e C e =+(其中1C 、2C 为任意常数)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为320y y y '''-+=.(3)微分方程x y y e -'=的通解为y x e e C =+.(4)方程cot 2sin y y x x x '-=的通解为2()sin y x C x =+.(5) 设方程()()()y p x y q x y f x '''++=的三个特解是2123 ,,x x y x y e y e ===,则此方程的通解为2212()()x x x y C x e C x e e =-+-+.3.求下列微分方程的通解:(1)2(12)(1)0y xdx x dy +++=; (2)x y y x +'=-; (3)d d 2(ln )y y x y x =- ; (4)5d d y y xy x-=; (5)20y y y '''+-=; (6)22x y y y e '''+-= ;(7)sin y y x ''+=; (8)25sin 2y y y x '''++=. 解:(1)分离变量积分,得 21121x dy dx y x =-++⎰⎰, 即 ()2ln 12ln(1)ln y x C +=-++,亦即 2(1)(12)x y C ++= 故原方程所求通解为 2(1)(12)x y C ++=.(2) 原方程变形为11y y x'+=-,这是一阶线性方程,其通解为 即原方程通解为22xy x C +=.(3)原方程变形为d 22ln d x y x y y y+=,这是一阶线性方程,其通解为 即原方程通解为21ln 2x Cy y -=+-. (4)这是5n =的伯努利方程. 方程两端同除以5y ,得54dy y y x dx ---=,令4z y -=,便有44dz z x dx+=-,此方程为一阶非齐次线性方程,其通解为 将4z y -=代入,得原方程的通解为4414x y Ce x --=-+. (5)特征方程为220r r +-=,解得122,1r r =-=,故方程的通解、212x x y C e C e -=+.(6)特征方程为2210r r +-=,解得1211,2r r =-=,对应齐次的通解为 而()2x f x e =,1λ=不是特征方程的根,故可设原方程的特解为 代入原方程整理得 1A =,所以*x y e =故原方程的通解为212x x x y C e C e e -=++.(7)特征方程为210r +=,解得1,2i r =±,对应齐次方程的通解为因()sin f x x =,i i αβ±=±是特征根,所以设原方程的特解为 ()*cos sin y x A x B x =+,又 ()*()sin cos cos sin y x A x B x A x B x '=-+++,()*()2(cos sin )cos sin y B x A x x A x B x ''=--+,代入原方程,得()()2(cos sin )cos sin cos sin sin B x A x x A x B x x A x B x x --+++=,21, 20A B -==, 即1,02A B =-=, *1cos 2y x x =-.故原方程的通解为 (8)25sin 2y y y x '''++=其特征方程为2250r r ++=,特征根为1,212r i =-±,从而其对应齐次方程的通解为12(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+.又()sin 2f x x =,i 2i αβ±=±不是特征根,所以设原方程的特解为*cos 2sin 2y A x B x =+,*()2sin 22cos 2y A x B x '=-+,*()4cos 24sin 2y A x B x ''=--,代入原方程得()()4cos24sin 2sin 2A B x B A x x ++-=,4041 , 411717A B A B B A +=⎧⇒=-=⎨-=⎩,所以*41cos 2sin 21717y x x =-+. 故原方程的通解为1241(cos 2sin 2)cos 2sin 21717x y e C x C x x x -=+-+. 4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)222(3+2)d (2)d 0 , 1x xy y x x xy y x -+-==时1y =;(2)2cos , 0y y y x x '''++==时30 , 2y y '==.解:(1)222(,)3+2 ,(,)2P x y x xy y Q x y x xy =-=-,于是有22P Q x y y x∂∂=-=∂∂,所以方程(1)是全微分方程.因为 所以方程(1)的通解为322x x y xy C +-=,又1x =时,1y =,从而1C =于是原方程的特解为3221x x y xy +-=.(2)特征方程为2210r r ++=,解得121r r ==-,对应齐次方程的通解为因()cos f x x =,i i αβ±=±不是特征根,所以设原方程的特解为*cos sin y A x B x =+,又 *()sin cos y A x B x '=-+,()*()cos sin y A x B x ''=-+,代入原方程,得()cos sin A x B x -+2sin 2cos A x B x -++cos sin cos A x B x x +=,20, 21A B -==, 即10,2A B ==, *1sin 2y x =.故原方程的通解为1sin 2x y xe x -=+ 由条件0x =时30 , 2y y '==,得210 1322C C =⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩121,0C C == 所以原方程的特解为1sin 2x y xe x -=+. 5.已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程. 解:设曲线的方程为()y y x =,其上任一点(,)x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-,切线在纵轴上的截距为y xy '-,由题意有y xy x '-=,即1y y x'-=-,其通解为 又因为曲线过点(1,1) ,所以1C =,从而所求曲线方程为(1ln )y x x =-.6.设可导函数()x ϕ满足求()x ϕ.解:方程两边同时对x 求导得即()cos ()sin 1x x x x ϕϕ'+=,亦即()tan ()sec x x x x ϕϕ'+=,其通解为在0()cos 2()sin 1xx x t tdt x ϕϕ+=+⎰中,令0x =得(0)1ϕ=,故 因此()cos sin x x x ϕ=+.7.一链条挂在一钉子上,起动时一端离开钉子8m,另一端离开钉子12m ,分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间:(1)若不计钉子对链条产生的摩擦力;(2)若摩擦力为1m 长的链条的重量.解: (1) 设在时刻t 时,较长的一段链条垂下 m x ,且设链条的密度为ρ,则向下拉链条的作用力由牛顿第二定律可知202(10)x g x ρρ''=-,即 10g x x g ''-=- 该方程对应的齐次方程的特征方程为2010g r -=,特征根为1,2r =故对应齐次方程的通解为通过观察知*10x =为非齐次方程10g x x g ''-=-的一个特解,因而原方程的通解为又12t x e '=且(0)12,(0)0x x '==,可得1212122 10C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩,因此10x e=++;当20x =,即链条全部滑下来,有10e =+,解得所需时间t =+(秒). (2) 此时向下拉链条的作用力变为(20)1(221)F x g x g g g x ρρρρ=---⋅=-.由牛顿第二定律可知20(221)x g x ρρ''=-,即 1.0510g x x g ''-=-. 类似于(1)中解法可得此方程通解为1210.5x C e C =++ 由初始条件得1234C C ==,因而所求特解为3310.544x e =++当20x =时有39.54e ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭,解之得所需时间为19ln(3t +=(秒).。