高一数学第一次月考试题(集合与函数部分)含答案
2023-2024学年河南省高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,0,3B =-，则()R A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}0,1C ．{}1,0,3-D ．{}1,3-【正确答案】D【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A ，再由集合的补集和交集运算可求得答案.【详解】因为{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，所以{R |0A x x =<ð或}2x >，又{}1,0,3B =-，所以(){}1,3R A B ⋂=-ð，故选：D ．2．已知函数()f x =()()3y f x f x =+-的定义域是（）A ．[-5，4]B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]【正确答案】D【分析】由函数解析式可得2820x x +-≥，解不等式可得24x -≤≤，再由24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩即可求解.【详解】由()f x =2820x x +-≥，解得24x -≤≤，所以函数()()3y f x f x =+-的定义域满足24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得14x ≤≤，所以函数的定义域为[1，4].故选：D 3．不等式3112x x-≥-的解集是（）A ．3{|2}4x x ≤≤B ．3{|2}4x x ≤<C ．{>2x x 或3}4x ≤D ．3{|}4x x ≥【正确答案】B【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【详解】解：不等式3112x x --可转化为31102x x ---，即4302x x --，即4302x x --，所以不等式等价于()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩，解得：324x <，所以原不等式的解集是3{|2}4x x <．故选：B ．4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N+，使n ≥2x+1”的否定形式是（）A ．∀x ∈R ，∃n ∈N+，有n<2x+1B ．∀x ∈R ，∀n ∈N+，有n<2x+1C ．∃x ∈R ，∃n ∈N+，使n<2x+1D ．∃x ∈R ，∀n ∈N+，使n<2x+1【正确答案】D【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的∀→∃、∃→∀，然后把结论否定，即可确定答案【详解】条件中的∀→∃、∃→∀，把结论否定∴“∀x ∈R ，∃n ∈N+，使n ≥2x+1”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N+，使n<2x+1”故选：D本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的∀→∃、∃→∀且否定原结论5．已知12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则32a b -的取值范围是（）A ．3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】令32()()a b m a b n a b -=-++求,m n ，再利用不等式的性质求32a b -的取值范围.【详解】令32()()()()a b m a b n a b m n a n m b -=-++=++-，∴32m n n m +=⎧⎨-=-⎩，即51,22m n ==，∴55()5,121()222a b a b ≤-≤≤+≤，故73272a b ≤-≤.故选：D6．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】首先过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 中，90ACB ∠= ，30A ∠= ，可求得B ∠的度数与AD 的长度，再分别从当012AD ≤≤与当1216x <≤时，去分析求解即可求得y 与x 之间的函数关系式，进一步选出图象.【详解】过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为90ACB ∠= ，30A ∠= ，16AB =，所以60B ∠= ，142BD BC ==，12AD AB BD =-=.如图1，当012AD ≤≤时，AP x =，tan 30PQ AP x =⋅ ，所以21236y x x x ==，如图2：当1216x <≤时，16BP AB AP x =-=-，所以)tan 6016PQ BP x =⋅=-，所以)211622y x x x =-=-+，故选：D此题考查了动点问题，注意掌握含30 直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.7．已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（）A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+C ．()()211xf x x x =≠-+D ．()()211xf x x x =-≠-+【正确答案】A 【分析】令11x t x -=+，则11tx t-=+，代入已知解析式可得()f t 的表达式，再将t 换成x 即可求解.【详解】令11x t x -=+，则11tx t-=+，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，所以()()2211xf x x x=≠-+，故选：A.8．已知0x >，0y >，且2121x y+=+，若2231x y m m +>--恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1m ≤-或4m ≥B ．4m ≤-或m 1≥C ．14-<<mD ．41m -<<【正确答案】C 由2121x y +=+得121y x=+，利用基本不等式求出2x y +的最小值，再将不等式恒成立转化为最值，解不等式可得结果.【详解】由2121x y +=+得212(1)y x x y ++=+，所以12x xy +=，所以121y x=+，所以121x y x x +=++13≥=，当且仅当1,1x y ==时，等号成立，所以()min 23x y +=，所以2231x y m m +>--恒成立，可化为2331m m >--，即2340m m --<，解得14-<<m .故选：C结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；二、多选题9．有以下判断，其中是正确判断的有（）.A ．()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B ．函数()22122x f x x =+++的最小值为2C ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个D ．若()1f x x x =--，则112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】CD【分析】根据函数的定义域可判断A 的正误，根据基本不等式可判断B 的正误，根据函数的定义可判断C 的正误，根据函数解析式计算对应的函数值可判断D 的正误.【详解】对于A ，()xf x x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，而()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ，两个函数的定义域不同，故两者不是同一函数.对于B ，由基本不等式可得()221222f x x x =++≥+，但221x +=无解，故前者等号不成立，故()2f x >，故B 错误.对于C ，由函数定义可得函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个，故C 正确.对于D ，()1012f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：CD.10．下面命题正确的是（）A ．“3x >”是“5x >"的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件C ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件D ．设,R x y ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件【正确答案】ABC【分析】利用充分条件，必要条件的定义逐项判断作答.【详解】对于A ，3x >不能推出5x >，而5x >，必有3x >，“3x >”是“5x >"的必要不充分条件，A 正确；对于B ，若0ac <，一元二次方程20ax bx c ++=判别式240b ac ∆=->，方程有二根12,x x ，120cx x a=<，即12,x x 一正一负，反之，一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根12,x x ，则120cx x a=<，有0ac <，所以“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件，B 正确；对于C ，当1x ≠时，若3x =，有2430x x -+=，当2430x x -+≠时，1x ≠且3x ≠，因此“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，,R x y ∈，若4x y +≥，取1,4x y ==，显然“2x ≥且2y ≥”不成立，而2x ≥且2y ≥，必有4x y +≥，设,R x y ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件，D 不正确.故选：ABC11．函数()1,Q0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）A ．函数()D x 的值域为[]0,1B ．若()01D x =，则()011D x +=C ．若()()120D x D x -=，则12x x -∈Q D ．x ∃∈R ，(1D x =【正确答案】BD【分析】求得函数()D x 的值域判断选项A ；推理证明判断选项B ；举反例否定选项C ；举例证明x ∃∈R ，(1D x =.判断选项D.【详解】选项A ：函数()D x 的值域为{}0,1.判断错误；选项B ：若()01D x =，则0Q x ∈，01Q x +∈，则()011D x +=.判断正确；选项C ：()()2ππ000D D -=-=，但2ππ=πQ -∉.判断错误；选项D ：当x =时，((()01D x D D ===.则x ∃∈R ，(1D x =.判断正确.故选：BD12．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A ．224a b -≤B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【正确答案】ABD【分析】根据集合{}20,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程，求得,a b 的关系式，对A ，利用二次函数性质可判断；对B ，利用基本不等式可判断；对CD ，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以2240,4a b a b ∆=-==，由于0a >，所以0b >.A ，()22224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==时等号成立，故A 正确.B ，21144a b b b +=+≥=，当且仅当114,,2b b a b ===时等号成立，故B 正确.C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，120x x b =-<，故C 错误.D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，4c ∴=，故D 正确，故选：ABD三、填空题13．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,求()1f f -=⎡⎤⎣⎦________.【正确答案】5【分析】先求()1f -，再根据()1f -值代入对应解析式得()1.f f ⎡⎤-⎣⎦【详解】因为()()1212,f -=-⨯-=所以()[]1241 5.f f f ⎡⎤-==+=⎣⎦求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.14．已知正实数a 、b 满足131a b+=，则()()12a b ++的最小值是___________.【正确答案】13+13+【分析】由已知可得出3ba b =-且3b >，化简代数式()()12a b ++，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数a 、b 满足131a b +=，则03b a b =>-，由0b >可得3b >，所以，()()()()()()32312122222333b b a b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫++=++=++=++⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()()()33515222313131333b b b b b -+=++=-++≥+=+--当且仅当62b =时，等号成立.因此，()()12a b ++的最小值是13+.故答案为.13+15．对于[]1,1a ∈-，()2210x a x a +-+->恒成立的x 取值________.【正确答案】()(),02,-∞+∞ 【分析】设()()()2221121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+关于a 的一次函数，只需()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即可求解.【详解】令()()()2221121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，因为对于[]11a ∈-，，不等式()2210x a x a +-+->恒成立，所以()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即220320x x x x ⎧->⎨-+>⎩解得：0x <或2x >.故答案为.()()02-∞⋃+∞，，方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.16．若函数2()2f x x x =+，()2(0)g x ax a =+>，对于1x ∀∈[]1,2-，[]21,2x ∃∈-，使12()()g x f x =，则a 的取值范围是_____________.【正确答案】(]0,3【分析】由题意可知函数()g x 在区间[]1,2-的值域是函数()f x 在区间[]1,2-的值域的子集，转化为子集问题求a 的取值范围.【详解】()()20g x ax a =+>在定义域上是单调递增函数，所以函数在区间[]1,2-的值域是[]2,22a a -+函数()22f x x x =+在区间[]1,2-是单调递增函数，所以函数()f x 的值域是[]1,8-，由题意可知[][]2,221,8a a -+⊆-，所以21228a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得.3a ≤故答案为.(]0,3本题考查双变量等式中任意，存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型.四、解答题17．已知{|13}A x x =-<≤，{|13}B x m x m =≤<+（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）(1,4)A B =-U ；（2）()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ．（1）利用集合的并集定义代入计算即可;（2）求出集合R A ð，利用集合包含关系，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出关于m 的不等式，求解可得答案.【详解】（1）当1m =时，{|14}B x x =≤<，则{|14}A B x x ⋃=-<<即(1,4)A B =-U ．（2）{|1R A x x =≤-ð或}(]()3,13,x >=-∞-⋃+∞，由R B A ⊆ð，可分以下两种情况：①当B =∅时，13m m ≥+，解得：12m ≤-②当B ≠∅时，利用数轴表示集合，如图由图可知13131m m m <+⎧⎨+≤-⎩或133m m m <+⎧⎨>⎩，解得3m >；综上所述，实数m 的取值范围是：12m ≤-或3m >，即()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.18．（1）已知a b c <<，且0a b c ++=，证明：a a a c b c<--．（2213a a a a ---(3)a ≥【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；(2)a 3a -<1a -2a -，对不等式两边同时平方后只需证明()3a a -<()()12a a --.【详解】证明：（1）由a b c <<，且0a b c ++=，所以0a <，且0,a cbc -<-<所以()()0a c b c -->，所以()()a c a c b c -<--()()b c a c b c ---，即1b c -<1a c -；所以a b c ->a a c -，即a a c -<a b c-．（2213a a a a ---，(3)a ≥a 3a -<1-a 2a -，即证(3)(3)(1)(2)2(1)(2)a a a a a a a a +-+--+-+--()3a a -<()()12a a --即证(3)(1)(2)a a a a -<--；即证02<，显然成立；213a a a a ---19．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．【正确答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2(2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；（2）当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.20．（1）求函数()3f x x 在区间[]2,4上的值域.（2）已知二次函数2()1(R)f x x mx m m =-+-∈.函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ，求()g m 的值域；【正确答案】（1）12,4⎤-⎦；（2）(]0-∞，【分析】(1)t =，可得函数()22()36318g t t tt t =--=+-，讨论其值域即可求解；(2)分类讨论二次函数的对称轴与给定区间[]1,1-的关系，分别表示出函数的最小值，表示为分段函数形式，作出图象即可求解.【详解】(1)函数()3f x x =，t =，则26x t =-∵[]2,4x ∈2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t t t =--=+-其对称轴16t =-，2t ≤≤时()g t 单调递增，∴()(2)g g t g ≤≤，12()4g t -≤≤-，故得()f x的值域为12,4⎤--⎦.（2）2()1f x x mx m =-+-，二次函数对称轴为2m x =，开口向上①若12m <-，即2m <-，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以最小值()(1)2g m f m =-=.②若112m -≤≤，即22m -≤≤，此时当2m x =时，函数()f x 最小，最小值2()124m m g m f m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.③若12m >，即m>2，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以最小值()(1)0g m f ==.综上22,2()1,2240,2m m m g m m m m <-⎧⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪>⎪⎩，作出分段函数的图像如下，所以当2m <-时，()(,4);g m ∈-∞-当22m -≤≤时，[]4,0;g(m)∈-当m>2时，()0g m =，综上知()g m 的值域为(]0.，-∞21．今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()2101001000,040100007018450,40x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元【分析】（1）根据已知条件求得分段函数()W x 的解析式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得()W x 的最大值以及此时的产量.【详解】（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=即100x =时，()max 8000W x =万元.答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.22．已知()11282,0,11f x f x x x x x ⎛⎫+=+-≠≠ ⎪-⎝⎭，(1)求()f x 的解析式；(2)已知()()()22,22g x mx mx g x x f x m =--<-+在()1,3上有解，求m 的取值范围．【正确答案】(1)1()2f x x=+，0,1x x ≠≠；(2)3m <.【分析】（1）根据给定条件，用11,1x x x--依次替换x ，再消元求解作答.（2）由（1）结合已知，变形不等式，分离参数构造函数，求出函数在()1,3的最大值作答.【详解】（1）0,1x x ≠≠，11()2()821f x f x x x +=+--，用11x-替换x 得：11()2912()1x f f x x x x -+=-+--，则有1114()4()8222(9)1011x f x f x x x x x x x --=+---+=-+---，用1x x-替换x 得：1112()2()82(1)711x f f x x x x x x x -+=+--=++--，于是得99()18f x x =+，则1()2f x x=+，所以()f x 的解析式为1()2f x x=+，0,1x x ≠≠.（2）(1,3)x ∈，2221()()22(2)22g x x f x m mx mx x m x-<-+⇔--+<-+，即22(2)22m x x x x -+<++，于是得22222x x m x x ++<-+，令2222(),132x x h x x x x ++=<<-+，依题意，(1,3)x ∈，()m h x <有解，当(1,3)x ∈时，222223()22323()22222222[()][()]23333x x x x h x x x x x x x -++-==+=+-+-+-+--++322316219(2333x x =+≤+-++-，当且仅当1629233x x -=-，即2x =时取等号，因此当2x =时，max ()(2)3h x h ==，则3m <，所以m 的取值范围是3m <．。
高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)
高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)一、选择题1. 若集合A={2,4,6,8}，集合B={1,3,5,7}，则A∪B=（）A. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}B. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C. {2, 4, 6, 8}D. {1, 3, 5, 7}解析：集合的并就是包含所有元素的集合，所以A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，选项A正确。
2. 已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，2），则a+b+c的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6解析：二次函数的顶点坐标为（h，k），所以a+b+c=a(h²)+b(h)+c=a(1²)+b(1)+c=a+b+c=k=2，选项B正确。
3. 若点P(3,4)在直线5x-ky=3上，则k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：点P(3,4)在直线5x-ky=3上，代入坐标得到5(3)-k(4)=3，化简得15-4k=3，解得k=3，选项C正确。
二、填空题4. 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，已知a1=3，a4=9，求公差d为_____。
解析：代入已知条件，9=3+(4-1)d，化简得3=3d，解得d=1。
公差d为1。
5. 在△ABC中，∠A=60°，BC=8，AB=4，则∠B=_____。
解析：根据三角形内角和为180°，∠B+60°+∠C=180°，化简得∠B+∠C=120°。
由已知BC=8，AB=4，利用正弦定理sinB=BC/AB=8/4=2，所以∠B=30°。
三、解答题6. 已知集合A={x|2x+1<5}，求A的解集。
解析：将不等式2x+1<5移项得到2x<4，再除以2得到x<2。
所以集合A的解集为{x|x<2}。
2024-2025学年天津市和平区高一上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)
本训练分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间1002024-2025学年天津市和平区高一上学期第一次月考数学质量检测试题分钟．第Ⅰ卷 选择题（60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ）A. {}0B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】 {}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴.故选：C.2. 命题“2R,240x x x ∀∈-+≥”的否定为（ ）A. 2R,240x x x ∃∈-+≥ B. 2R,240x x x ∃∈-+<C. 2R,240x x x ∀∉-+≥ D. 2R,240x x x ∃∉-+<【答案】B 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】命题“2R,240x x x ∀∈-+≥”的否定为“2R,240x x x ∃∈-+<”.故选：B.3. 已知不等式240x ax ++<的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()4,4- B. ()(),44,∞∞--⋃+C. ()(),22,∞∞--⋃+ D. ()2,2-【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次不等式、函数、方程的关系计算即可.【详解】由题意可知2440a ∆=-⨯>，解之得()(),44,a ∈-∞-⋃+∞.故选：B 4. 若,,a b c R ∈，且满足a b c >>，则下列不等式成立的是A.11a b< B.2211a b >C.2211a bc c >++ D. a c b c>【答案】C 【解析】【分析】通过反例可依次排除,,A B D 选项；根据不等式的性质可判断出C 正确.【详解】A 选项：若1a =，2b =-，则11a b>，可知A 错误；B 选项：若1a =，12b =，则2211a b <，可知B 错误；C 选项：210c +> 2101c ∴>+又a b > 2211a bc c ∴>++，可知C 正确；D 选项：当0c =时，a c b c =，可知D 错误.本题正确选项：C【点睛】本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.5 已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（ ）A. {|1x x ≤-或}2x ≥B. {|01x x <<或}2x ≥C. {|1x x <-或x >2}D. {|01x x <<或x >2}【答案】B 【解析】【分析】根据全集和补集的概念可直接得结果.【详解】因为{}0U x x =>，{}12A x x =≤<，所以U A =ð{|01x x <<或}2x ≥..故选：B6. 已知,R a b ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用集合相等，求出0b =，再根据互异性求出a 的取值情况并检验即可．【详解】根据题意，0a ≠，故0ba=，则0b =，则{a ,0,21}{a =,a ,0}，由集合的互异性知0a ≠且1a ≠，故{a ,0,21}{a =,a ,0}，则21a =，即1a =-或1a =（舍)，当1a =-，0b =时，{1-,0,1}{1=,1-,0}，符合题意，所以1a b +=-．故选：A ．7. 已知0a >，0b >，132a b+=，则a b +的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 2+【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式中“常数”代换，即可求得.【详解】0,0a b >> ，132a b+=，11313()()(4)22b a a b a b a b a b ∴+=++=++1(422≥+=，当且仅当3b a a b =，即a b ==.故选：D .8. 满足{}{}1,2,31,2,3,4,5A = 的集合A 的个数是（ ）A. 4 B. 5C. 7D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据并集、子集知识求得正确答案.【详解】因为{}{}1,2,31,2,3,4,5A ⋃=，所以4,5A ∈，所以集合A 是集合{}4,5与集合{}1,2,3的子集的并集所得，集合{}1,2,3的子集共有328=个，所以集合A 有8个.故选：D9. 设集合{}13A x x =->，{}2B x x a =<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是（ ）A. {}4a a ≤- B. {}1a a ≤- C. {}1a a ≥ D. {}4a a ≥【答案】A 【解析】【分析】先根据不等式解集表示出,A B ，然后将A B A = 转化为B A ⊆，由此列出不等式完成求解.【详解】由13x ->解得4x >或2x <-，所以{2A x x =<-或}4x >，由2x a <解得2ax <，所以2a B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，又因为A B A = ，所以B A ⊆，所以22a≤-，所以4a ≤-，即a 的取值范围是{}4a a ≤-，故选：A.10. 若“11x -<<”是“()()30x a x a ---<”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. {|1a a ≤或2}a ≥ B. {}21a a -<<C. {}21a a -≤≤- D. {|2a a ≤-或1}a ≥-【答案】C 【解析】【分析】求得不等式的()()30x a x a ---<解，由已知可得131a a ≤-⎧⎨+≥⎩（两个等号不能同时成立），求解即可.【详解】因为()()30x a x a ---<，所以3a x a <<+，因为“11x -<<”是“()()30x a x a ---<”的充分不必要条件，的所以131a a ≤-⎧⎨+≥⎩（两个等号不能同时成立），解得21a -≤≤-，所以实数a 的取值范围是{}|21a a -≤≤-.故选：C.11. 已知0x >，0y >，且26xy x y ++=，则2x y +的最小值为（ ）．A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.【详解】解：已知00x y >>，，且xy +2x +y =6，y =621x x -+2x +y =2x +621x x -+=2(x +1)8441x +-≥+，当且仅当()821,11x x x +==+时取等号，故2x +y 的最小值为4.故选:A12. 关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围（ ）A. (1,0][2,3)-⋃ B. [2,1)(3,4]-- C. ()(]2,13,4--⋃ D. [1,0)(2,3]- 【答案】B 【解析】【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得．【详解】不等式2(1)0x a x a -++<化为(1)()0x x a --<，当1a =时，不等式无解，当1a <时，不等式解为1<<a x ，这里有且只有2个整数，则21a -≤<-，当1a >时，不等式解为1x a <<，这里有且只有2个整数，则34a <≤，综上a 的取值范围是[2,1)(3,4]-- ．故选：B .【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式∆的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解．第Ⅱ卷 非选择题（90分）二．填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分）13. 函数()f x =______．【答案】[)(]2,11,2- 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可.【详解】由题意得2010x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得21x x ⎧≤⎨≠⎩，即221x x -≤≤⎧⎨≠⎩，所以()f x 的定义域为[)(]2,11,2- ，故答案为：[)(]2,11,2- .14. 设{|2}A x x ==，{|2}B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的值为_________．【答案】0或1-或1【解析】【分析】根据B A ⊆，对集合{|2}B x ax ==进行分类讨论，即可求得a 的值.【详解】因{|2}A x x ==，则{2,2}A =-，因为{|2}B x ax ==，当0a =时，则B =∅，满足B A ⊆，当0a ≠时，则2{}B a =，因为B A ⊆,所以22a =或22a=-，则1a =或1a =-，综上，0a =或1a =-或1a =.为故答案为：0或1-或1.15. 若2a >-，则162a a ++的最小值为________.【答案】6【解析】【分析】根据基本不等式直接求最值.【详解】1616222622a a a a +=++-≥-=++当且仅当162,22a a a +==+时取等号故答案为：6【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知全集R U =，集合{}Z 03M x x =∈≤≤与集合{}*21,N N x x k k ==+∈的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______．【答案】3【解析】【分析】由图形可以看出，阴影部分所示的集合是()U N M ð，故先化简两个集合，即可求解.【详解】由题意{}{}Z 030,1,2,3M x x =∈≤≤=， {}{}*21,N 3,5,7,,N x x k k ==+∈= 故{}()0,1,2U N M ⋂=ð，集合有3个元素，故答案为：317. 已知13a b -<+<且24a b <-<，则23a b +的取值范围是______．【答案】913,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】设()()23a b x a b y a b +=++-，求出,x y ，结合不等式性质可求结论.【详解】设()()23a b x a b y a b +=++-，则()()23a b x y a x y b +=++-，所以2,3x y x y +=-=，故52x =，12y =-，所以()()512322a b a b a b +=+--，因为13a b -<+<，24a b <-<，所以()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以9132322a b -<+<，所以23a b +取值范围是913,22⎛⎫-⎪⎝⎭.故答案为：913,22⎛⎫-⎪⎝⎭.18. 已知集合{}12A x x =-<≤，{}12B x m x m =-≤<+．若A B =∅ ，则实数m 的取值范围是______．【答案】{3m m >或}3m ≤-【解析】【分析】由A B =∅ ，有12m ->或21m +≤-，解不等式可得．【详解】显然集合{}12B x m x m =-≤<+非空，要使A B =∅ ，应有12m ->或21m +≤-，解得3m >或3m ≤-，故答案为：{3m m >或}3m ≤-19. 若两个正数,x y 满足92xy x +=，且不等式212x m m y+>-恒成立，则实数m 取值范围是______．【答案】(1-+【解析】【分析】由条件适当变形，再结合均值不等式求出1x y +的最小值，只需2min 12()m m x y-<+，解出实数m 的范围即可.【详解】解：因为,x y 为正数且满足92xy x +=，的的所以92y x+=，所以1111111()()(2)2)2222x y x xy y x y xy +=++=++≥+=当且仅当192xy xy xy x ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即515x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立.因为不等式212x m m y+>-恒成立，所以只需222m m -<，即2220m m --<，所以11m -<<+，即实数m的取值范围是(1-+.故答案为：(1-+.20. 设,,a b c 是两两不相等的正整数，已知集合{},,A a b b c c a =+++，集合()(){}()222*,1,2N B n n n n =++∈，若A B =，则222ab c ++的最小值是______．【答案】1297【解析】【分析】不妨设a b c <<，由条件可得()2142n a --=，()2122n b ++=，()2342n c +-=，由此证明n 为奇数且3n >，证明5n =时，,,a b c 都最小，由此可得结论.【详解】不妨设a b c <<，则a b a c b c +<+<+，因为A B =，{},,A a b b c c a =+++，()(){}222,1,2B n n n =++，所以2a b n +=，()21a c n +=+，()22b c n +=+，所以()22365a b c n n ++=++，所以23652n n a b c ++++=，所以()()22214365222n n n a n --++=-+=，()()22212365122n n n b n ++++=-+=，()2223436522n n n c n +-++=-=，因为,,a b c 为正整数，N n *∈，所以1n -，1n +，3n +都为奇数，12n ->，故n 为大于等于5的奇数，又当5x ≥时，函数()2142x y --=，()2122x y ++=，()2342x y +-=都随x 的增大而增大，所以当5n =时，,,a b c 同时取最小值，此时222a b c ++取最小值，当5n =时，6a =，19b =，30c =，222363619001297a b c ++=++=，所以222a b c ++的最小值是1297.故答案为：1297.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在与通过假设a b c <<，由此求出,,a b c 的表达式，结合整除知识，证明n 为大于等于5的奇数.三．解答题（本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21. 已知非空集合{}121P x a x a =+≤≤+，{}25Q x x =-≤≤．（1）若3a =，求()R P Q ð；（2）若“x ∈Q ”的充分条件是“x P ∈”，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|24x x -≤< （2）02a ≤≤【解析】【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.（2）根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围.【小问1详解】3a =时，P ={x |4≤x ≤7}，{|4P x x =<R ð或}7x >，因为{}25Q x x =-≤≤，所以(){}R |24P Q x x ⋂=-≤<ð.【小问2详解】若“x ∈Q ”的充分条件是“x P ∈”，则P Q ⊆，所以12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是02a ≤≤.22. 设命题:R p x ∀∈，不等式2102mx mx ++>恒成立：命题1:13m q m m m ⎧⎫+∈≥⎨⎬-⎩⎭．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）02m ≤<（2）01m <<或23m ≤<【解析】【分析】（1）对m 进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 真q 假或p 假q 真，列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】对于命题:R p x ∀∈，不等式2102mx mx ++>恒成立，当0m =时，102>恒成立.当0m ≠时，则需20Δ20m m m >⎧⎨=-<⎩，解得02m <<.综上所述，m 的取值范围是02m ≤<.【小问2详解】由113m m +≥-得1132210333m m m m m m m++-+--==≥---，所以()()223030m m m ⎧--≥⎨-≠⎩，解得13m ≤<.若p 真q 假，则“02m <<”且“1m <或3m ≥”，则01m <<.若p 假q 真，则“0m ≤或2m ≥”且“13m ≤<”，则23m ≤<.综上所述，m 的取值范围是01m <<或23m ≤<.23. 已知函数()()()21,f x ax a x b a b =-++∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,3-，求不等式240bx ax -+<的解集；（2）若1b =，求关于x 的不等式()0f x >的解集．【答案】（1）()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得0a >，且1-，3是方程2(1)0ax a x b -++=的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出a ，b ，进一步可得不等式240bx ax -+<等价于2340x x --+<，即2340x x +->，最后求解不等式即可；（2）当0b =时，0a >时，不等式等价于1(1)0x x a -->，从而分类讨论1a >，1a =，01a <<三种情况即可求出不等式所对应的解集．【小问1详解】若关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,3)-，则1-和3是方程()210ax a x b -++=的两根，且0a >，由韦达定理得123a a b a+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1,3a b ==-，所以不等式()()22403403410bx ax x x x x -+<⇔--+<⇔+->，解得43x <-或1x >，所以不等式240bx ax -+<的解集为()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】若1b =，则()()()()20110110f x ax a x ax x >⇔-++>⇔-->，1）当0a =时，由()10x -->解得1x <；2）当0a ≠时，方程()()110ax x --=的两根为1,1a，当0a <时，11a <，解不等式()()110ax x -->得11x a<<；当01a <<时，11a >，解不等式()()110ax x -->得1x <或1x a >；当1a >时，11a <，解不等式()()110ax x -->得1x >或1x a <；当1a =时，由2(1)0x ->得1x ≠．综上，当0a =时，不等式解集为(),1-∞；当0a <时，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a <<时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭ ；当1a >时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式解集为()(),11,-∞+∞ ．24. 设二次函数2y x mx =+.（1）若对任意实数[]0,1,0m y ∈>恒成立，求实数x 的取值范围；（2）若存在[)04,0x ∈-，使得函数值04y ≤-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),10,-∞-⋃+∞（2）[)4,+∞【解析】【分析】(1)转化m 自变量，x 为参数，根据已知条件列方程式即可求解；(2)若存在[)04,0x ∈-，使得04y ≤-成立，经变形后()004x m x -+≤-，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出m 的取值范围.【小问1详解】对任意实数[]()0,1,0m f x ∈>恒成立，即()20g m xm x =+>对任意实数[]0,1m ∈恒成立，因为()2g m xm x =+是关于m 的一次函数， 所以()()220010g x g x x ⎧=>⎪⎨=+>⎪⎩001x x x ≠⎧⎨><-⎩或所以实数x 的取值范围是()(),10,-∞-⋃+∞；【小问2详解】存在[)04,0x ∈-，使得()04f x ≤-成立，即2004x mx +≤-，只需()004x m x -+≤-成立，即需00min 4x m x ⎛⎫-+ ⎪-⎭≤⎝成立，因为(]00,4,x -∈所以0044x x -+≥=-（当且仅当02x =-时等号成立），则00min 44x m x ⎛⎫-+=≤ ⎪-⎝⎭，所以4≥m ，综上得实数m 的取值范围是：[)4,+∞.。
湖南省衡阳市2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
2024年高一上第一次月考数学（答案在最后）一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知集合{2,3,4,5,7},{2,3},{3,5,7}U A B ===，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2} D.{2,3,4,7}【答案】C 【解析】【分析】由集合的交集与补集运算求解即可.【详解】因为{}{}2,3,3,5,7A B ==，所以{3}A B ⋂=，图中阴影部分表示的集合A 中除去{3}A B ⋂=，故阴影部分表示的集合为{2}.故选：C.2.下列各式正确的个数是（）①{}00=；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}(){}0,10,1=A.2 B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.【详解】对于①，元素与集合的关系用∈符号，应为{}00∈，故①错误；对于②，任何集合都是本身的子集，故②正确；对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；对于④，集合{}0,1是数集，有2个元素，集合(){}0,1是点集，只有1个元素，故④错误；所以正确的个数有2个.故选：A.3.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.4.下列命题中正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则22a b >C.若0,0a b m >>>，则b m ba m a+<+D.若a b >且0ab >，则11a b<【答案】D 【解析】【分析】举反例说明AB 是错误的，利用作差法可证C 是错误的，利用不等式的性质可证D 是正确的.【详解】对A ：当0c =时，由a b >⇒22ac bc =，故A 错误；对B ：当1a =，1b =-，则满足a b >，但22a b >不成立，故B 错误；对C ：根据不等式的性质，若0,0a b m >>>，则 㤵㔠㤵㔠，也就是b m ba m a+>+，故C 错误；对D ：若a b >且0ab >，则a b ab ab >即11b a>，故D 正确.故选：D 5.已知条件1:1p x<，则使得条件p 成立的一个充分不必要条件是（）A.1x <-B.1x ≥ C.0x <或1x > D.0x ≠【答案】A【分析】解不等式得到1x >或0x <，使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，从而得到答案.【详解】11x<，解得1x >或0x <，故使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，其中1x <-满足要求，其他选项不满足.故选：A 6.已知集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合时，则（）A.12m =B.2m =C.0m =或12m = D.0m =或2m =【答案】C 【解析】【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；【详解】因为集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合，则方程组211y x x my ⎧=-⎨=+⎩只有唯一解，所以()211y my =+-，整理可得()22210m y m y +-=，当0m =时，方程变为00y y -=Þ=，此时1x =，符合题意；当0m ≠时，()221214002m m m D =--´=Þ=，所以0m =或12m =，故选：C.7.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱【解析】【分析】根据题意设买大竹子x ，每根单价为m ，可得()()576781mx x m =+--，由078x ≤≤，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.8.对于集合A ，B ，定义A \B ={|x x A ∈且}x B ∉，则对于集合A ={|65N x x n n =+∈，}，B ={|37N y y m m =+∈，}，|C x x A=∈B 且1000}x <，以下说法正确的是（）A.若在横线上填入”∩”，则C 的真子集有212﹣1个.B.若在横线上填入”∪”，则C 中元素个数大于250.C.若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153﹣2个.D.若在横线上填入”∪N ð”，则N ðC 中元素个数为13.【答案】B 【解析】【分析】根据各个选项确定相应的集合C ，然后由集合与子集定义得结论．【详解】653(21)2x n n =+=⨯++，373(2)1y m m =+=++，集合,A B 无公共元素，选项A 中，集合C 为空集，没有真子集，A 错；选项B 中，由651000n +<得51656n <，由371000m +<得331m <，因此C 中元素个数为166331497+=，B 正确；选项C 中，C 中元素个数为166，非空真子集个数为16622-，C 错；选项D 中，()()N NN NN N NC A B A B A B ===痧痧痧，而N B A ⊆ð，因此其中元素个数为331个，D 错．故选：B ．二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.已知集合A={1，2，2a }，B={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】BD 【解析】【分析】利用B A ⊆，可得22a +=或22a a +=，再验证即可．【详解】因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当1a =-时，不满足集合元素的互异性，所以0a =或2a =．故选：BD ．10.已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（）A.39x y <+<B.13x y -<-<C.218xy <<D.1621xy <<-【答案】ACD 【解析】【分析】由不等式的性质直接求解.【详解】因为16x <<，23y <<，则39x y <+<，218xy <<，故A 、C 正确；由题32y -<-<-，故24x y -<-<，B 错误；112y <-<，则11121y <<-，故1621xy <<-，D 正确；故选：ACD.11.已知a >0，b >0，且3a +b =2，则（）A.ab 的最大值为13B.113a b+的最大值是2C.2219a b+的最小值是18 D.12a b a b+++的最小值是2【答案】AC 【解析】【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B 要用乘1法，D 减少变量后用基本不等式.【详解】因为0,0a b >>，且32a b +=，所以2≤，所以13ab ≤，当且仅当31a b ==时，等号成立，则A 正确；由题意可得()111111313222323232⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，当且仅当3a b ==1时，等号成立，则B 错误；因为13ab ≤，所以2219618+≥≥a b ab ，当且仅当31a b ==时，等号成立，则C 正确；由32a b +=，得23b a =-，对于D ，由0230a b a >⎧⎨=->⎩，得023a <<，()()111123222222222322++=++-=+-=+--≥-++---a b a a a a a b a a a a，当且仅当()1222a a =--，当222a =±时，22223±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误.故选：AC.三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知集合{}0,1,2A =，写出一个满足{}1,0,1,2,3A B ⋃=-的集合：B =_____________.【答案】{}1,3-(答案不唯一)【解析】【分析】写出满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可.【详解】解：根据题意，只要是满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可所以B ={}1,3-故答案为：{}1,3-13.已知命题[]2:1,2,20p x x x a ∃∈--≤是假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a <-【解析】【分析】写出命题的否定为真命题，得到()2min2a x x <-，求出221y x x =-≥-，得到实数a 的取值范围.【详解】由题意，命题¬ 쳌䁠쳌 䁠 䁠 是真命题，所以()2min2a x x<-，其中()222111y x x x =-=--≥-，当且仅当1x =时，等号成立.故答案为：1a <-.14.已知关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，则29c a b++的取值范围为______.【答案】(],6∞--【解析】【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断,,a b c 的关系及a 的符号，再结合基本（均值）不等式求式子的最大值即可.【详解】解：关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，所以0a <，且4-和1是关于x 的方程20ax bx c ++=的两实数根，由根与系数的关系知，144b ac a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3,4b a c a ==-，所以2291699434c a a a b a a a ++==+++，因为0a <，所以()9464a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭即296c a b+≤-+故答案为：(],6∞--.四､解答题（共5小题，满分77分）15.已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或 ．（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|11x x -≤≤或}45x ≤≤（2）()0,1【解析】【分析】（1）当3a =时，求得{}15A xx =-≤≤∣，结合集合的交集的运算，即可求解；（2）根据题意，转化为A R B ð，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当3a =时，集合{}|22A x a x a =-≤≤+{}15xx =-≤≤∣，因为集合{|1B x x =≤或 ，所以{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤.【小问2详解】解：由集合{|1B x x =≤或 ，可得{}|14B x x =<<R ð，因为{}|22(0)A x a x a a =-≤≤+>，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”充分不必要条件，可得AR B ð，则21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得01a <<，即实数a 的取值范围是()0,1.16.已知函数2()2h x ax ax =++．（1）若对于任意R x ∈，不等式()1h x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a<0时，解关于x 的不等式()(1)4h x a x <-+．【答案】（1）[)0,12；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论0a =或0a ≠两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；（2）首先不等式整理为(1)(2)0ax x -+<，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.【小问1详解】()1h x >-即为230ax ax ++>，所以不等式230ax ax ++>对于任意 R 恒成立，当0a =时，得30>，显然符合题意；当0a ≠时，得2Δ120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得012a <<．综上，实数a 的取值范围是[)0,12．【小问2详解】不等式()(1)4h x a x <-+即为2(21)20ax a x +--<，即(1)(2)0ax x -+<．又a<0，不等式可化为1(2)0x x a-+>，若12a<-，即102a -<<时，得1x a <或2x >-，即解集为1{|x x a <或2}x >-；若12a=-，即12a =-时，得2x ≠-，即解集为{|2}x x ≠-；若12a >-，即12a <-时，得<2x -或1x a>，即解集为{|2x x <-或1}x a >．综上可知，当102a -<<时，解集为1{|x x a <或2}x >-；当12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；当12a <-时，解集为{|2x x <-或1}x a >．17.根据要求完成下列问题：（1）已知4x y +=，是否存在正实数x ，y 使得5x y ⋅=？若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由；（2）已知,,,R a b c d ∈，比较2222()()a b c d ++与2()ac bd +的大小并说明理由；（3）利用（2）的结论解决下面问题：已知m ，n 均为正数，且225m n +=，求2m n +的最大值．【答案】（1）不存在，理由见解析（2）22222()()()a b c d ac bd ≥+++，理由见解析（3）5【解析】【分析】（1）由基本不等式说明4x y ⋅≤即可；（2）用作差法比较大小即可；（3）由（2）的结论得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，即可求解．【小问1详解】不存在，∵0x >，0y >，∴x y +≥4x y +=，∴4≥∴4x y ⋅≤，∴不存在x 、y 使得5x y ⋅=．【小问2详解】22222()()()a b c d ac bd ≥+++，证明如下：2222222222()()()2()0a b c d ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥，当且仅当ad bc =时等号成立，∴22222()()()a b c d ac bd ≥+++．【小问3详解】由（1）得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，∴2(2)5525m n +≤⨯=，∴25m n +≤，当且仅当2m n =，即2m =，1n =时等号成立，∴2m n +的最大值为5．18.某工厂生产某种产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21204000010y x x =-+.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；（2）年产量为220吨时，最大利润为840万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得.（2）求出年利润关于年产量x 的函数关系，再利用二次函数求出最大值.【小问1详解】依题意，生产每吨产品的平均成本为[]400020,150,25010y x x x x=+-∈，而400020202010x x +-≥-=，当且仅当400010x x =，即200x =时取等号，所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元.【小问2详解】设利润为()W x ，则221()24(204000)220)8401010x W x x x x =--+=--+，而150250x ≤≤，因此当220x =时，max ()840W x =，所以年产量为220吨时，最大利润为840万元.19.已知正整数集合{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ,对任意,i j a a S ∈，定义()11,i j i j d a a a a =-.若存在正整数k ，使得对任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有()21,i j d a a k≥,则称集合S 具有性质k F .记()d S 是集合中的(){},,i j i j d a a a a S ∈最大值.（1）判断集合{}1,2,3A =和集合{}4,6B =是否具有性质3F ，直接写出结论；（2）若集合S 具有性质4F ，求证：()116n d S -≥；（3）若集合S 具有性质k F ，求n 的最大值.【答案】（1）集合{}1,2,3A =具有性质3F ；集合{}4,6B =不具有性质3F ；（2）证明见解析（3）21k -【解析】【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.（2）确定()111n d S a a =-，变换()11223111111111n n nd S a a a a a a a a -=-=-+-++- ，计算得到证明.（3）确定()2,n i d a a n i k -≥，得到21i n i a k ->，确定21n i i k ->，再根据均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】{}1,2,3A =，则()()12211111,,2912d a a d a a ==-=≥；()()32231111,,6932d a a d a a ==-=≥；()()13311121,,3913d a a d a a ==-=≥，故集合{}1,2,3A =具有性质3F ；{}4,6B =，故()()1221461111,,129d b b b b d ==-=<，故集合{}4,6B =不具有性质3F ；【小问2详解】{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ，故121110n a a a >>>> ，故()max 111,i j n d a a a a =-，即()111nd S a a =-，集合S 具有性质4F ，故()161,i j d a a ≥，()11223111111111111116161616n n n n d S a a a a a a a a --=-=-+-++-≥+++= .【小问3详解】集合S 具有性质k F ，则()21,i j d a a k ≥，11a ≥，i a i ≥，*N i ∈，()211211*********,i i n i i n n i i i n n d a a a a a a a a a a a a n i k+++-=-=-=-++-≥--+ ，故21i n i a k->，又i a i ≥，故11i a i ≤，即21n i i k ->，*N i ∈，()22224i n i n k i n i +-⎛⎫>-≥= ⎪⎝⎭，当n 为偶数时当且仅当i n i =-，即2n i =时等号成立，当n 为奇数时等号不成立，()2max 14n i n i -⎡⎤-=⎣⎦，故2214n k ->，即2241n k <+，故21n k ≤-，综上所述：21n k ≤-，故n 的最大值为21k -.【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定121110n a a a >>>> ，再利用绝对值的性质计算是解题的关键.。
高一数学必修一月考试题
高一数学(必修1)第一次月考试题(集合与函数及指数函数)一、选择题(每小题5分,共60分)1.下列关系式正确的是( )A.0{0}∈,B.0{0}=,C.0{0}⊆,D.{0}∅=。
2.设 :f M N →是集合M 到集合N 的映射,下列说法正确的是( )A.M 中每一个元素在N 中必有输出值,B.N 中每一个元 素在M 中必有输入值,C.N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的,D.N 是M 中所有元素的输出值的集合。
3.设定义域在 R 上的函数()f x x x =⋅,则()f x ( )A.既是奇函数又是增函数,B.既是偶函数又是增函数,C.既是奇函数又是减函数,D.既是偶函数又是减函数。
4.集合11{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z ==+∈==+∈,则( )A.M N =, B.M N ⊆ C.N M ⊆,D.M N =∅。
5.已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=,则(5)f 的值为( )A.19,B.13,C.-19,D.-136.若0a <,则函数(1)1xy a =--的图象必过点( ) A.(0,1), B.(0,0), C.(0,-1), D.(1,-1)。
7.要得到函数 (2)1y f x =-+的图象,只需将函数()y f x =的图象( )A.向右平移2个单位向下平移1个单位,B.向左平移2个单位向下平移1个单位,C.向右平移2个单位向上平移1个单位,D.向左平移2个单位向上平移1的一种运算:1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中,若{1,2,3}A =,{1,2}B =,则A B *中的所 有元素数字之和为。
9.已知函数()312f x ax a =+-在区间(-1,1)上 存在0x ,使得0()0f x =,则( )A.115a -<<,B.15a >,C.1a <-或15a >,D.1a <-。
重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案解析)
甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}N 4U x x *=∈≤，{}1,2A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3,4C ．{}3,4D ．{}2,3,42．命题“R x ∃∈，21x <”的否定是（）A ．R x ∀∈，21x ≥B ．R x ∀∈，21x <C ．x R ∃∈，21x ≥D ．R x ∃∈，21x >3．如图，已知矩形U 表示全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A ．()U AB ⋃ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U B A⋂ðD ．()U A B⋂ð4．已知集合{}|11A x x =-<<，{}2|20B x x x =--<，则（）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A B=D ．A B =∅5．已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ．1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭6．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合{}{}1,1,2,41,2,4,16M N =-=，，给出下列四个对应法则：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②④7．关于x 的方程220++=x x a 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则a 的取值范围为（）A ．1a <-B ．18a <C ．1a <-或18a <D ．1a <-或18a ≤8．已知0x >，0y >，且30x y xy +-=，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．][(),34,-∞-⋃+∞B ．()4,3-C ．()3,4-D ．][(),43,-∞-+∞ 二、多选题9．下列命题是真命题的为（）A ．若0a b c d >>>>，则ab cd >B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0ab <10．下列说法正确的是（）A ．至少有一个实数x ，使210x +=B ．“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C ．命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D ．“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件11．设正实数,x y 满足21x y +=，则（）A ．xy 的最大值是18B ．112x y+的最小值为4C ．224x y +最小值为12D ．212x y x+最小值为2三、填空题12．若集合{}1,1A =-，{}2B x mx ==，且B A ⊆，则实数m 的值是.13．若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}13x x -<<，则a b -=．14．当,m n ∈Z 时，定义运算⊗:当,0m n >时，m n m n Ä=+；当,0m n <时，m n m n Ä=×；当0,0m n ><或0,0m n <>时，||m n m n ⊗=⋅；当0m =时，m n n ⊗=；当0n =时，m n m ⊗=．在此定义下，若集合{(,)4}A m n m n =⊗=∣，则A 中元素的个数为．四、解答题15．已知集合{}220,{2,0}A xx ax a B =-+==-∣．(1)若1a =，求A B ;(2)若A B ⋂中只有一个元素，求a 的取值集合．16．（1）已知0ab ≠，求证：1a b +=是33220a b ab a b ++-=-的充要条件.（2）已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--17．求下列关于x 的不等式的解集：(1)4101x +≤-；(2)()222R ax x ax a ≥-∈-18．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，设广告牌的高为cm x ，宽为cm y .(1)试用x 表示y ，并求x 的取值范围；(2)用x 表示广告牌的面积S ；(3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积S 最小？19．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立.(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p，q一真一假，求实数m的取值范围.参考答案：题号12345678910答案D ADADCABBCDBD题号11答案ABC1．D【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.【详解】由题意可知{}1,2,3,4U =，所以{}3,4U A =ð，所以(){}2,3,4U A B ⋃=ð，故选：D 2．A【分析】运用特称命题的否定知识，否定结论，特称变全称即可.【详解】运用特称命题的否定知识,命题“R x ∃∈，21x <”的否定是“R x ∀∈，21x ≥”.故选：A.3．D【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，则x A ∉且x B ∈，即U x A ∈ð且x B ∈，所以，阴影部分可表示为()U A ðB ⋂.故选：D.4．A【分析】求出集合B ，可确定两个集合之间的关系.【详解】因为220x x --<⇒()()210x x -+<⇒12x -<<，所以{}|12B x x =-<<.所以A B ⊆.故选：A 5．D【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D 6．C【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可．【详解】对应关系若能构成从M 到N 的函数，须满足：对M 中的任意一个数，通过对应关系在N 中都有唯一的数与之对应，对于①，1y x=，当2x =时，12y N =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110y N =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当1x =-时，1y N =∈，当2x =时，2y N =∈，当4x =时，4y N =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =±时，1y N =∈，当2x =时，4y N =∈，当4x =时，16y N =∈，故④满足题意．故选：C.7．A【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果.【详解】根据方程220++=x x a 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，可知2Δ1801120a a =->⎧⎨++<⎩，解得1a <-.故选：A 8．B【分析】将问题转化为2min (3)x y m m +>+，利用“1”的代换以及基本不等式求解min (3)x y +，从而得到212m m +<，求解不等式，即可得到答案．【详解】因为不等式23x y m m +>+恒成立，则2min (3)x y m m +>+，因为0x >，0y >，由30x y xy +-=可得311x y+=，所以3193(3)()62612y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当9y xx y=，即6x =，2y =时取等号，故min (3)12x y +=，所以212m m +<，即2120m m +-<，解得43m -<<，则实数m 的取值范围是(4,3)-．故选：B ．9．BCD【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确.【详解】对于A 项，取2a =，1b =，3c =-，4d =-，则2ab =，12cd =，所以ab cd <，故A 选项错误；对于B 选项，若22ac bc >，有20c >，则a b >，B 选项正确；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b <，又因为0c <，由不等式的性质可得22c c a b >，所以C 选项正确；对于D 选项，若a b >且11a b >，则110a b b a ab--=<，所以，0ab <，D 选项正确．故选：BCD ．10．BD【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.11．ABC【分析】直接利用基本不等式即可求解A ，利用乘“1”法即可求解B ，利用完全平方式的性质即可求解C ，将“1”代换，即可由基本不等式求解D.【详解】对于A，21x y +=≥18xy ≤，当且仅当212x y x y+=⎧⎨=⎩，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B，41112()(2)212222y xx y x y x y x y+=++=++≥+，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，22214(2)4142x y x y xy xy +=+-=-≥，当且仅当14x =，12y =时等号成立，C 正确；对于D，21221132222x x x x y x y x y x y y +=+=+≥+++，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故D 错误．故选：ABC ．12．2±或0【分析】分B =∅、{}1B =-和{}1B =分别计算即可.【详解】当B =∅时，0m =，符合题意；当{}1B =-时，2m =-；当{}1B =时，2m =，综上，m 的值为2±或0.故答案为：2±或0.13．-2【分析】将不等式解集问题转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理求出24,33a b =-=，得到答案.【详解】由题意得：-1,3为方程220ax bx ++=的两根，故213,13b a a -+=--⨯=，解得：24,33a b =-=，故24233a b --=-=-.故答案为：-214．14【分析】根据定义运算⊗，分成五类情况分别列举符合条件的元素，合并即得集合A .【详解】①当,0m n >时，4m n m n ⊗=+=，所以1,3m n =⎧⎨=⎩或3,1m n =⎧⎨=⎩或2,2,m n =⎧⎨=⎩；②当,0m n <时，4m n m n ⊗=⋅=，所以1,4m n =-⎧⎨=-⎩或4,1m n =-⎧⎨=-⎩或2,2,m n =-⎧⎨=-⎩；③当0,0m n ><或0,0m n <>时，4m n m n ⊗=⋅=，所以1,4m n =-⎧⎨=⎩或4,1m n =⎧⎨=-⎩或1,4m n =⎧⎨=-⎩或4,1m n =-⎧⎨=⎩或2,2m n =⎧⎨=-⎩或2,2,m n =-⎧⎨=⎩；④当0m =时，4m n n ⊗==；⑤当0n =时，4m n m ⊗==．所以()()()()()()()()(){1,3,3,1,2,2,1,4,4,1,1,4,4,1,1,4,4,1A =--------，()()()()()2,2,2,2,2,2,0,4,4,0}----，共14个元素．故答案为：14.15．(1){}2,0A B =- (2){}1,0-【分析】（1）求出A =∅，根据并集概念求出答案；（2）分0A B ∈∩和2A B -∈ 两种情况，得到答案.【详解】（1）1a =时，{}220A x x x =-+=，因为Δ1870=-=-<，所以方程220x x -+=无实数根，所以A =∅．故{}2,0A B =- ．（2）当0A B ∈∩时，20a =，得0a =，此时{}{}0,0A A B == ；当2A B -∈ 时，4220a a ++=，得1a =-，此时{}{}2,1,2A A B =-=- ．故a 的取值集合为{}1,0-．16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）证明充要条件，可先证明充分性再证必要性；（2）利用作差法证明即可.【详解】（1）证明：∵3322()()a b a b a ab b +=+-+∴332222(1)()a a b ab a b b a ab b ++--=+--+.充分性证明即1a b +=⇒33220a b ab a b ++-=-.∵1a b +=，即10a b +-=，∴222233(1)()0a a b ab a b a b ab b +-++-+-=-=，充分性得证；必要性证明即33220a b ab a b ++-=-⇒1a b +=.又∵0ab ≠∴222213024a ab b a b b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∵33220a b ab a b ++-=-，∴22(1)()0a b a ab b +--+=，∴10a b +-=，即1a b +=，必要性得证.故1a b +=是33220a b ab a b ++-=-的充要条件.（2）证明：()()()()()()()()e b d a c e b a c d e e a c b d a c b d a c b d ----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=------，∵0a b >>，0c d <<，0e <，∴0,0,0,0a c b d b a c d ->->-<-<，∴()()0b a c d -+-<，∴()()()()0e b a c d a c b d -+-⎡⎤⎣⎦>--，即0e e a c b d ->--故e e a c b d>--.17．(1){|31}x x -≤<(2)答案见解析【分析】（1）根据分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由不等式4101x +≤-，可得301x x +≤-，解得31x -≤<，即不等式4101x +≤-的解集为{|31}x x -≤<.（2）解：由不等式222ax x ax -≥-，可得化为2(2)20ax a x +--≥，若0a =，不等式可化为220x --≥，解得1x ≤-，即解集为{|1}x x -≤；若0a ≠，不等式可化为2(1)(0a x x a+-≥当0a >时，不等式即为2(1)(0x x a +-≥，解得1x ≤-或2x a≥，即不等式的解集为{|1x x ≤-或2}x a≥；当0a <时，不等式即为2(1)(0x x a+-≤，①当21a->时，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-，解集为2{|1}x x a ≤≤-；②当21a-=时，即2a =-时，解得1x =-，解集为{|1}x x =-；③当当21a -<时，即2a <-时，解得21x a -≤≤，解集为2{|1}x x a -≤≤综上，当0a >时，不等式的解集为{|1x x ≤-或2}x a≥；当0a =，不等式的解集为{|1}x x -≤；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{|1}x x =-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.18．(1)1800025,2020y x x =+>-(2)1800025,2020x S x x x =+>-(3)140cm【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可；（2）矩形面积公式写函数表达式；（3）运用换元，结合基本不等式解题即可.【详解】（1）每栏的高和宽分别为()()120cm,25cm 2x y --，其中20,25x y >>两栏面积之和为：()25220180002y x --⋅=，整理得，1800025(20)20y x x =+>-.（2）18000180002525,202020x S xy x x x x x ⎛⎫==+=+> ⎪--⎝⎭；（3）令()20,0,t x t ∞=-∈+，则36000014400251850025185000S t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭；1850024500≥+=∴当120t =时，S 取最小值为24500，此时140x =；答：当广告牌的高取140cm 时，可使广告的面积S 最小.19．(1)[1,3](2)(1)(23],,∞-⋃【分析】（1）p 为真命题时，任意[0,1]x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）化简命题q ，由（1）结合条件列不等式即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为p 为真命题，所以对任意[0,1]x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，所以()2min 234x m m -≥-，其中[0,1]x ∈，所以234m m -≥-，解得13m ≤≤，所以m 的取值范围[1,3]；（2）若q 为真命题，即存在[1,1]x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，则()2min 210x x m -+-≤，其中[1,1]x ∈-，而()2min212x x m m -+-=-+，所以20m -+≤，故2m ≤；因为,p q 一真一假，所以p 为真命题，q 为假命题或p 为假命题q 为真命题，若p 为真命题，q 为假命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；若p 为假命题，q 为真命题，则12m m <⎧⎨≤⎩或32m m >⎧⎨≤⎩，所以1m <.综上，1m <或23m <≤，所以m 的取值范围为(1)(23],,∞-⋃.。
辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题(含解析)
东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间：120分钟 满分：150分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.已知集合，则中元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.62.设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A.3B.4C.15D.163.命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）A.B.C. D.4.设，则下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则5.若集合，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知，则的最小值为（ ）(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. B.C.D.或二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，9.设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是（ ）A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学､物理､化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学､物理两科的有10人，同时只参加物理､化学两科的有7人，同时只参加数学､化学两科的有11人，而参加数学､物理､化学三科的有4人，则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U ､､A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知集合为全体实数集，或.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知全集，集合，集合.（1）若，求实数的取值集合；（2）若集合，且集合满足条件__________（从下列三个条件中任选一个作答），求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件：②是的必要不充分条件：③，使得.17.（本小题15分）设，且.（1介于之间；（2）求；（3）你能设计一个比的吗？并说明理由.18.（本小题17分）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点：（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.（本小题17分）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由：（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由：命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集：（3）若非空集合是封闭集合，且为实数集，求证：不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解：在集合中，观察集合的条件，当是正整数且时，有等4个元素，则中元素个数为4个.故选C.2.解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，则集合的真子集有个，故选C.3.解：命题“，不等式”为假命题，则命题“，不等式”为真命题，所以，解得，所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为1，则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A.4.解：A ：令，则，故错误；B ：令，则，故错误；C ：令，则，故错误；D ：因为，所以即，故正确；故选D.5.解：由题可知：.当时，显然不成立即，则满足；B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时，，由可得：；综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解：由，根据的定义可知：不等式的解集是.故选A.7.解：因为，则，当且仅当时，即当，且，等号成立，故的最小值为故选B.8.当时，方程为有一个负实根，反之，时，则于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：9.解：因为，如下图所示，则，选项A 正确：，选项B 正确：，选项正确：，选项D 错误.故选ABC.10.解：分别取同正､同负和一正一负时，可以得到的值分别为，故A 正确；由得，12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为，故B 正确；由，可以得到符合条件的数对有，故C 正确；当时，；当时，，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合含有四个元素，故D 错误，故选ABC.11.解：由题意，，且方程的两根为和，所以，所以，所以A 正确；因为，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为B 正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为C 错误；，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D 正确.故选ABD.12.解：由，，{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得：或（舍去），或，即所求的解集为，故答案为.13.解：设参加数学､物理､化学三科竞赛的人分别组成集合，各集合中元素的个数如图所示，则全班人数为.故答案为43.14.解：分情况讨论：当时，，解得；当时，，当且仅当解得或；当时，，当且仅当由，解得.因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.故答案为：.15.（本小题13分）5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解：（1）当时，，所以或，又或，所以或；（2）由题可得，①当时，则，即时，此时满足；②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.16.（本小题15分）【答案】解：（1）若，则，解得，所以实数的取值集合为（2）集合，集合，则此时，则集合，当选择条件①时，是的充分不必要条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件②时，是的必要不充分条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件③时，，使得，有，则，解得，所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.（本小题15分）【答案】解：（1）证明：.之间.（2比.（3）令，则比.证明如下：由（2.故比18.（本小题17分）【答案】解：（1）由题意知：，，解得，所以，二次函数的不动点为和1.（2）依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a ､11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.19.（本小题17分）【答案】（1）解：对于集合，因为，所以是封闭集；对于集合，因为，所以集合不是封闭集；（2）解：对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故正确；（3）证明：假设结论成立，设，若，矛盾，所以，所以有，设且，否则，所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。
2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（）A ．0∈∅B ．πQ∈C ．∅⊆∅D ．A ⋃∅=∅【正确答案】C【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，以及空集的定义，逐项分析判断即可．【详解】对于A ：0∉∅，选项A 错误；对于B ：π是无理数，πQ ∉，选项B 错误；对于C ：∅是它本身的子集，即∅⊆∅，选项C 正确；对于D ：仅当A 为空集时，A ⋃∅=∅成立，否则不成立，选项D 错误．故选：C ．2．设集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则A B = （）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x <≤D ．{|04}x x <≤【正确答案】B【分析】利用交集定义直接求解．【详解】因为集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则1{|3}2A B x x ⋂=≤<.故选：B ．3．已知{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，则满足条件的集合A 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由条件分析集合A 的元素的特征，确定满足条件的结合A 即可.【详解】因为{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以{}1,2A =或{}1,2,3或{}1,2,4或{}1,2,5或{}1,2,3,4或{}1,2,3,5或{}1,2,4,5或{}1,2,3,4,5，即满足条件的集合A 的个数为8，故选：D ．4．设x ∈R ，则“01x <<”成立是“1x <”成立的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可．【详解】由01x <<成立可推出1x <成立，所以“01x <<”成立是“1x <”成立充分条件当0x =时，1x <，但{}01x x x ∉<<，即由1x <成立不能推出01x <<成立，所以“01x <<”成立不是“1x <”成立必要条件所以01x <<成立是1x <成立的充分不必要条件，故选：A ．5．已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（）A ．2ab b <B ．22a b >C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】D【分析】举反例可判断ABC ，利用函数3y x =在R 上单调递增，可判断D ．【详解】对于A 选项，取2a =，1b =，满足a b >，但是221ab b =>=，故A 错误，对于BC 选项，取1a =，2b =-，满足a b >，但是2214a b =<=，11112a b =>=-，故BC 错误，对于D 选项，因为函数3y x =在R 上单调递增，所以由a b >可得33a b >，故D 正确，故选：D ．6．若不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，则实数a 的取值范围为（）A ．12a <<B ．1a <或2a >C ．12a ≤≤D ．1a ≤或2a ≥【正确答案】A【分析】由题意可知232a a <-，从而求出a 的取值范围即可．【详解】 不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，232a a ∴<-，解得12a <<，即实数a 的取值范围为(1,2)．故选：A ．7．已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．5B ．143C ．92D ．9【正确答案】D【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【详解】因为正数,x y 满足1x y +=，则14144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即13x =，23y =时取等号,故选：D ．8．已知命题236:1,1x x p x a x ++∃>-<+，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．5a >B ．6a >C ．5a ≤D ．6a ≤【正确答案】C【分析】由题意可知236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，问题转化为只需2min 36()1x x a x ++≤+，然后利用基本不等式求出最小值，进而可以求解．【详解】若命题p 是假命题，则236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，即2361x x a x ++≤+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，只需2min 36()1x x a x ++≤+，又2236(1)1441115111x x x x x x x x ++++++==+++≥=+++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取得最小值为5，所以5a ≤，故选：C ．二、多选题9．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B = ，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B = ，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB10．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则2a a<C ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+D ．()221222a b a b ++≥--【正确答案】BCD【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ，2a a <等价于()10a a -<，又01a <<，故成立，故B 正确；对于C ，因为0a b >>且0c >，所以b c ba c a+>+等价于ab ac ab bc +>+，即()0a b c ->，成立，故C 正确；对于D ，()221222a b a b ++≥--等价于()()22120a b -++≥，成立，故D 正确.故选：BCD.11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【正确答案】AC【分析】由题知二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上且3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，再依次分析各选项即可．【详解】解：关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为][(),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；方程20ax bx c ++=的两根为3-、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩．对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知12b ac a=-⎧⎨=-⎩所以220120cx bx a ax ax a -+<⇔-++<2112104x x x ⇔-->⇔<-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确．故选：AC ．12．[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足不等式[][]25140x x --≤的x 的值可以为（）A ． 2.5-B ．3C ．7.5D ．8【正确答案】BC【分析】由一元二次不等式得[]27x -≤≤【详解】解：因为[][][]()[]()2514720x x x x --=-+≤，所以[]27x -≤≤，所以28x -≤<．所以x 的值可以为[)2,8-内的任何实数.故选：BC三、填空题13．不等式210-+≥x kx 的解集为R ，则实数k 的取值集合为__．【正确答案】[]22-,【分析】根据二次不等式的解法即得.【详解】因为不等式210-+≥x kx 的解集为R ，所以240k ∆=-≤，所以22k -≤≤，即实数k 的取值集合为[]22-,.故答案为.[]22-,14．已知102x <<，函数(12)y x x =-的最大值是__．【正确答案】18##0.125【分析】由基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得()221212(12)24x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，由此即可求出函数(12)y x x =-的最大值．【详解】 102x <<，∴()()()2212111122122228x x x x x x +-⎡⎤-=⋅-≤⋅=⎢⎥⎣⎦,当且仅当212x x =-时，即14x =时等号成立，因此，函数(12)y x x =-的最大值为18.故答案为:18.15．若实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，则3x y +的取值范围为__．【正确答案】(2,5)【分析】将3x y +表示成关于()x y +和()x y -的表达式进行求解即可.【详解】由不等式的性质求解即可．解：32()()+=++-x y x y x y ，因为实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，所以()()225x y x y <++-<，即3x y +的取值范围为(2,5)．故(2,5)．四、双空题16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设0a >，0b >，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b__的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+，该图形可以完美证明三者的大小关系为__．【正确答案】DE22ab a ba b +≤≤+【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．【详解】由题意得：2a bOD +=，CD =，由于CD OC ⊥，CE OD ⊥，所以ΔΔOCD CED ∽，则OD CDCD ED=a bED +=，解得2abED a b=+，利用直角三角形的边的关系，所以OD CD DE >>．当O 和C 重合时，OD CD DE ==，所以22ab a ba b +≤≤+．故DE；22ab a ba b +≤≤+五、解答题17．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}0,1B =，{}1,2C =.(1)求B C ⋃；(2)求()A B C ð.【正确答案】(1){0,1,2}(2){2,1,0,2}--【分析】（1）利用并集的概念即可求解；（2）利用交集及补集的运算即可求解.【详解】（1）{}0,1B = ，{}1,2C =，{0,1,2}B C ∴= （2）∵{}0,1B =，{}1,2C =，∴{1}B C = ，又{}2,1,0,1,2A =--故(){2,1,0,2}A B C =-- ð．18．已知集合U 为全体实数集,{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-．(1)若3a =,求()U M N ðI ;(2)若M N N ⋂=,求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}46x x ≤<(2)1a <或5a ≥【分析】(1)利用集合的交、补运算即可求解．(2)讨论N =∅或N ≠∅,根据集合的包含关系列不等式即可求解．【详解】（1）解:由题知{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-,所以{}16U M x x =-<<ð,当3a =时,{}48N x x =≤≤,所以(){}46U M N x x ⋂=≤<ð;（2）由题知M N N ⋂=,即N M ⊂,①当N =∅时,即131a a +>-,解得:1a <;②当N ≠∅,即1a ≥时,因为N M ⊂,所以311a -≤-或16a +≥,解得:0a ≤(舍)或5a ≥,综上:1a <或5a ≥.19．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为24000m 矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高､创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m 的空地栽植花木.(1)设占用空地的面积为S （单位：2m ），矩形休闲广场东西距离为x （单位：m ，0x >），试用x 表示为S 的函数；(2)当x 为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.【正确答案】(1)()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭(2)休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m 【分析】(1)根据面积公示列关系式即可.(2)代入第一问求出的解析式结合基本不等式求最值即可即可.【详解】（1）因为广场面积须为24000m ，所以矩形广场的南北距离为4000m x，所以()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）由（1）知16000404010404040408004840S x x =++≥+=+=，当且仅当x =40时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m .20．集合A ={}|()(3)0,0x x a x a a --<>，B =2|01x x x -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭.（1）若1a =，求()R A C B I ；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题p 的充分不必要条件是命题q ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）[)()2,3R A C B =I （2）213a ≤≤【分析】（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），可得∁R B ＝（﹣∞，1]∪[2，+∞）．即可得出A ∩（∁R B ）．（2）由a ＞0，可得A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．根据q 是p 的充分不必要条件，即可得出B ⊊A ．【详解】解：（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），(][)=,12,R C B -∞+∞U ∴[)()2,3R A C B =I ；（2）∵a ＞0，∴A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．∵q 是p 的充分不必要条件，∴B ⊊A ．由B ⊆A 得132a a ≤⎧⎨≥⎩，解得213a ≤≤，又a ＝1及23a =符合题意．∴213a ≤≤．本题考查了集合的交并补运算、不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .【正确答案】证明见解析.【分析】根据已知对不等式左边的式子进行变形，结合基本不等式进行证明即可.【详解】证明：(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )，(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.本题考查了基本不等式的应用，考查了推理论证能力.22．已知关于x 的不等式()2110ax a x a R ++<∈-，．（1）若不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求a ；（2）当a R ∈时，解此不等式．【正确答案】（1）2（2）0a =时，(1,)x ∈+∞，01a <<时，1(1,x a∈，1a =时，不等式的解集为空集，1a >时，1(,1)x a∈，a<0时，1(,(1,)x a ∈-∞+∞ .【分析】（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a 的方程组，解得a ；（2）不等式化为(1)(1)0ax x --<，讨论a 的取值，从而求得不等式的解集。
2023-2024学年四川省绵阳市高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省绵阳市高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．集合{1,2,3}的非空真子集共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【正确答案】B【分析】按照子集元素个数1个，2个的顺序列举计数.【详解】解：集合{1,2,3}的非空真子集有：{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共6个.故选：B.2．命题“x ∀∈R ，210x x ++≤”的否定为（）A ．x ∃∈R ，210x x ++>B ．x ∀∈R ，210x x ++≥C ．x R ∃∉，210x x ++>D ．x R ∀∉，210x x ++≤【正确答案】A由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】命题“x ∀∈R ，210x x ++≤”的否定为“x ∃∈R ，210x x ++>”故选：A3．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N = ，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【正确答案】B【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可.【详解】因为{}1,2,3M N = ，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意.所以1a =-.故选：B.4．有下列说法：（1）与表示同一个集合；（2）由组成的集合可表示为{1,2,3}或{}3,2,1；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2；（4）集合{}|45x x <<是有限集．其中正确的说法是A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对【正确答案】C【详解】试题分析：（1）不正确：0是数字不是集合，但{}00∈；（2）正确：集合元素满足无序性，即{}{}1,2,33,2,1=；（3）不正确:集合元素具有互异性,方程的解集应为{}1,2；（4）不正确:满足不等式45x <<的x 有无数个,所以集合{}|45x x <<是无限集．故C 正确．1元素与集合的关系；2集合元素的特性．5．能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合2{|0}N x R x x =∈+=的关系的韦恩图的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】求出集合N 的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示出来．【详解】解： 集合{}2{|0}0,1N x R x x =∈+==-，集合{|02}M x R x =∈≤≤，{}0M N ∴= 且互不包含，故选：A ．本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题．6．设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.7．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（）A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B【正确答案】B 作差法比较两式大小.【详解】()2234A B a ab ab b -=+-- 22a ab b =-+223204b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥，A B ∴≥.故选：B本题考查代数式的大小比较，属于基础题.8．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为（）A ．{x |0<x <2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |－1<x <2}【正确答案】B【分析】根据定义可得(x ＋2)(x －1)<0，结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案.【详解】根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．故选:B.二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利用奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知0b a <<，则下列选项正确的是（）A ．22a b >B ．a b ab +<C ．a b<D ．2ab b >【正确答案】BC【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A,由0b a <<得:22a b <，故错误；对于B ，因为0b a <<，所以00a b ab +<>，，故正确；对于C;由0b a <<得:a b <，故正确；对于D,由于()20ab b b a b -=-<，故2ab b <，故错误；故选：BC10．设{}1,2A =，{}1B x ax ==．若A B A ⋃=，则实数a 的值可以为（）A ．1B ．2C ．0D ．12【正确答案】ACD【分析】由A B A ⋃=得B A ⊆,分类讨论集合B 的元素情况，即可求得答案.【详解】由A B A ⋃=得：B A ⊆,当0a =时，B =∅,符合题意；当B ≠∅时，B A ⊆，若{1}B =，则1a =；若{2}B =，则12a =；由于B 中至多有一个元素，故B A ≠,所以实数a 的值可以为10,1,2，故选：ACD11．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（）A ．c ＜0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值D ．图像的对称轴是直线x ＝3【正确答案】CD【分析】由20ax bx c ++=的两根分别为1,5，结合韦达定理以及二次函数的性质判断即可.【详解】因为二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），所以20ax bx c ++=的两根分别为1,5.由图可知，0a >，由韦达定理可知150ca=⨯>，即0c >，故A 错误；由图可知，该二次函数与x 轴有两个交点，即240b ac ∆=->，故B 错误；由韦达定理可知，6b a -=，即该二次函数的对称轴为32b x a=-=，即在x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值，故CD 正确；故选：CD12．已知∃x ∈R ，不等式2410x x a ---<不成立，则下列关于a 的取值不正确的是（）A ．{}5a a ≤-B ．{}2a a ≤-C ．{}3a a ≤-D ．{}1a a ≤-【正确答案】BCD【分析】转化为2R,410x x a ∀∈---≥成立，利用判别式法求解.【详解】解：因为∃x ∈R ，不等式2410x x a ---<不成立，所以2R,410x x a ∀∈---≥成立，则()()24410a ∆=----≤，解得5a ≤-.故选：BCD三、填空题13．高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.【正确答案】29【分析】利用ven 图求解.【详解】由题意画出ven 图，如图所示：由ven 图知：参加比赛的人数为26人，所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人，故2914．设集合6ZN 2A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则用列举法表示集合A 为______.【正确答案】{1,0,1,4}-【分析】根据自然数集N 与整数集Z 的概念分析集合A 中的元素即可.【详解】要使6N 2x ∈+，则2x +可取1,2,3,6，又Z x ∈，则x 可取1,0,1,4-，故答案为.{}1,0,1,4-15．若不等式222(1)0x a x a +++≥恒成立，则a 的取值范围是______.【正确答案】12a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为不等式222(1)0x a x a +++≥恒成立，所以()224(1)44210a a a ∆=+-=+≤，即12a ≤-.故12a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭16．已知不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，若对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立.则t 的取值范围是______.【正确答案】{}2t t ≤-【分析】根据不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，求得b ，c ，再将对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立，转化为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2242t x x ≤---恒成立求解.【详解】解：因为不等式﹣2x 2+bx +c ＞0的解集{x |﹣1＜x ＜3}，所以()132132b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，因为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2x 2+bx +c +t ≤4恒成立，所以为对任意﹣1≤x ≤0，不等式2242t x x ≤---恒成立，令2242y x x =---，()2212x =-+≥-，所以2t ≤-，故{}2t t ≤-四、解答题17．解下列不等式：(1)(2)(3)1x x x x +>-+；(2)21()10x a x a -++≤(01a <<).【正确答案】(1)12x x ⎧<-⎨⎩或}1x >(2)1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）整理得2210x x -->，再解不等式即可；（2）根据11a>直接求解即可.【详解】（1）解：由(2)(3)1x x x x +>-+有2210x x -->，方程2210x x --=的两根分别为121,12x x =-=，故原不等式的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或}1x >（2）解：由21(10x a x a -++=有121,x a x a==，因为01a <<，所以11a>.故原不等式的解集为1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭18．已知集合{13}A xx =≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<-∣.(1)当1m =-时，求A B ⋃；()R A B ⋂ð；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){23}A B xx ⋃=-<≤∣，(){21}R B x A x ⋂=-<<∣ð(2)(,2)-∞-【分析】（1）根据交并补的定义直接计算即可；（2）由题可得AB ，根据包含关系列出不等式即可求出.【详解】（1）当1m =-时，{13}A x x =≤≤∣，{22}B x x =-<<∣.则{23}A B xx ⋃=-<≤∣，{1R A x x =<ð或3x >，(){21}R A B x x ∴⋂=-<<∣ð；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则AB ，∵{13}A xx =≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<-∣，∴2113m m <⎧⎨->⎩，解得2m <-，∴实数m 的取值范围是(,2)-∞-.19．设集合2{|320}A x x x =++=，()2{|10}B x x m x m =+++=.(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A ⊆求实数m 的值.【正确答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案.【详解】（1）解法一：因为()210x m x m +++=，整理可得()()10x x m ++=，解得=1x -或x m =-，又B 中只有一个元素，故1m =.解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程()210x m x m +++=有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ∆=+-=-=，所以m ＝1.（2）由2320x x ++=，解得=1x -或2x =-，由()210x m x m +++=，整理可得()()10x x m ++=，解得=1x -或x m =-，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.20．已知集合{}{}222|340,|450A x x x B x x mx m =--<=+-<.(1)若集合{}51B x x =-<<，求此时实数m 的值；(2)若A B A = ，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)(][),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）由题知22450x mx m +-=的两个根为5-和1，进而根据韦达定理求解即可；（2）由题知A B ⊆，{}14A x x =-<<，进而分0m >和0m <两种情况求解集合B ，并根据集合关系求解范围.【详解】（1）解：根据题意，集合{}{}22|45051B x x mx m x x =+-<=-<<，所以，方程22450x mx m +-=的两个根为5-和1，所以，有()()2451551m m ⎧-=-+⎪⎨-=-⨯⎪⎩，解得1m =；所以，1m =；（2）解：若A B A = ，则A B ⊆，{}{}2|34014A x x x x x =--<=-<<，{}()(){}22|45050B x x mx m x x m x m =+-<=+-<因为A B ⊆，则B ≠∅，所以5m m -≠，即0m ≠，当0m >时，()(){}{}505B x x m x m x m x m =+-<=-<<，此时有514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得4m ≥；当0m <时，()(){}{}505B x x m x m x m x m =+-<=<<-，此时有154m m ≤-⎧⎨-≥⎩，解得1m ≤-.综上，1m ≤-或4m ≥.所以，故m 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.21．已知0,0x y >>，且141x y+=．(1)求x y +的最小值；(2)若26xy m m >+恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)9(2)()8,2-【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；（2）根据题意结合基本不等式可得16xy ≥，然后求解关于m 的不等式，即可得到结果.【详解】（1）因为0,0x y >>，所以()144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当4x yy x=，即3,6x y ==时取等号，所以x y +的最小值为9（2）因为0,0x y >>，所以141x y =+≥，所以16xy ≥，当且仅当2,8x y ==时等号成立，因为26xy m m >+恒成立，所以2166m m >+，解得82m -<<所以实数m 的取值范围为()8,2-22．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE ＝CE ，AB ＞AD ，且矩形的周长为8cm.(1)设AB ＝x cm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽.【正确答案】(1)84(24)DE x x=-<<(2)队徽的长和宽分别为4-【分析】（1）在直角三角形ADE 中，由勾股定理得出DE 的长度；（2）由三角形面积公式结合基本不等式求解.【详解】（1）由题意可得4AD x =-，且40x x >->，可得24x <<，由CE AE x DE ==-，在直角三角形ADE 中，可得222AE AD DE =+，即222()(4)x DE x DE -=-+，化简可得84(24)DE x x=-<<；（2）118(4)422ADE S AD DE x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭△8262612xx ⎛⎛⎫=--≤-=- ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当x =-，可得△ADE 的面积取得最大值.。
高一(上)第一次月考数学试卷(附答案解析)
高一（上）第一次月考数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={2,3,4,5,6}，B={x|x2−8x+12≥0}，则A∩∁RB=()A. {2,3,4,5}B. {2,3,4,5,6}C. {3,4,5}D. {3,4,5,6}2. 命题“∀x>0，都有x2−x≤0”的否定是()A. ∃x>0，使得x2−x≤0B. ∃x>0，使得x2−x>0C. ∀x>0，都有x2−x>0D. ∀x≤0，都有x2−x>03. 已知a是实数，则“a<−1”是“a+1a<−2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是()A. y=1，y=xxB. y=x，y=3x3C. y=x−1×x+1，y=x2−1D. y=|x|，y=(x)25. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|(x+2)(x−3)<0}，则图中阴影部分表示()A. {3,4,5}B. {1,2,3}C. {1,4,5}D. {1,2}6. 已知不等式ax2−5x+b>0的解集为{x|−3<x<2}，则不等式bx2−5x+a>0的解集为()A. {x|−13<x<12}B. {x|x<−13或x>12}C. {x|−3<x<2}D. {x|x<−3或x>2}7. 函数f(x)=ex+ln(2x+1)的定义域为()A. (−∞,+∞)B. (0,+∞)C. (−12,+∞)D. (12,+∞)8. 设函数f(x)=x+2，g(x)=x2−x−1.用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，则M(x)的最小值是()A. 1B. 3C. 0D. −54二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2023-2024学年黑龙江哈尔滨高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江哈尔滨高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，下列式子错误的是（）A ．1A ∈B ．{1}A-∈C ．A∅⊆D ．{}1,1A-⊆【正确答案】B【分析】求出集合A ，即可依次判断.对A ：利用元素与集合关系判断；对B ：“∈”表示元素与集合之间的关系；对C ：∅是任何集合的子集；对D ：判断{}1,1-与A 是否为包含关系.【详解】{}2{|10}1,1A x x =-==- ，{}{}1,1,,1,1A A A A ∴∈-⊆∅⊆-⊆.{}1-与A 是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故B 错误.故选：B2．设全集U =R ，若集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，{}21B x x =->，则集合A B = （）A ．{}1,0-B ．{}4,5C ．{}1,0,4,5-D ．{}2【正确答案】C【分析】计算绝对值不等式求出集合B ，进而求出交集.【详解】21x ->，解得：3x >或1x <，所以集合{3B x x =>或}1x <，所以{}1,0,4,5A B ⋂=-.故选：C.3．已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （）A ．-1B ．-3或-1C ．3D ．-3【正确答案】D【分析】根据集合的定义即可求解.【详解】由题意，243a a +=- ①或23a -=- ②，由①得，1a =-，或3a =-，由②1a =-；当1a =-时，243,23a a a +=--=-，不符合集合描述规则，舍去，3a =-；故选：D.4．下列结论正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则11a b>C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则22a b >【正确答案】C【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A;若a b >，0c ≤时，则ac bc ≤，故A 错；对于B;若取1,0a b ==，则1b无意义，故B 错；对于C ；根据不等式的可加性可知：若a b >，则a c b c +>+，故C 正确；对于D;若取1,2a b ==-，但22a b <,故D 错；故选：C5．已知函数()2,12,1x x f x x x +<-⎧=⎨-+≥-⎩，则92f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．52-B ．12-C ．52D ．132【正确答案】B【分析】根据分段函数的定义域分别代入求值.【详解】由题意可得：9952222f ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭∴955122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．下列各组函数表示同一函数的是（）A ．()f x()2g x =B ．()1f x =，()0g x x=C ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，()g t t=D ．()1f x x =+，()211x g x x -=-【正确答案】C【分析】根据函数定义域与函数解析式是否相同，可得答案.【详解】对于A ，由函数()f x =(),-∞+∞，且函数()2g x =的定义域为[)0,∞+，则不是同一函数，故A 错误；对于B ，由函数()1f x =的定义域为(),-∞+∞，且函数()0g x x =的定义域为{}0x x ≠，则不是同一函数，故B 错误；对于C ，由函数(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩的定义域为(),-∞+∞，且()g t t =的定义域为(),-∞+∞，则是同一函数，故C 正确；对于D ，由函数()1f x x =+的定义域为(),-∞+∞，且函数()211x g x x -=-的定义域为{}1x x ≠，则不是同一函数，故D 错误.故选：C.7．已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域（）A ．(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U B ．[)(]8,22,1---U C ．()(],22,3-∞-- D ．9,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【正确答案】A【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()g x 的定义域.【详解】因为函数()y f x =的定义域为[]8,1-，对于函数()()212f xg x x +=+，则有821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得922x -≤<-或20x -<≤.因此，函数()g x 的定义域为(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U .故选：A.8．命题“2R,(2)2(2)40x a x a x ∃∈-+--≥”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．{2|a a <-或2}a ≥B ．{}22a a -<<C ．{}22a a -<≤D ．{}2a a <【正确答案】C【分析】先得出2R,(2)2(2)40x a x a x ∀∈-+--<为真命题，再分2a =与2a ≠两种情况，得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：2R,(2)2(2)40x a x a x ∀∈-+--<为真命题，当2a =时，4<0-，满足要求，当2a ≠时，要满足()()()220Δ424240a a a -<⎧⎪⎨=---⨯-<⎪⎩，解得：22a -<<，综上：实数a 的取值范围是{}22a a -<≤故选：C二、多选题9．下列各图中，可能是函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】ACD【分析】利用函数的概念选出正确答案.【详解】B 选项，0x >时每一个x 的值都有两个y 值与之对应，不是函数图象，B 错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．故选：ACD ．10．若p ：511xx -≤+，则p 成立的一个充分不必要条件是（）A ．12x -≤≤B ．21x -<≤-C ．25x <<D ．25x ≤≤【正确答案】CD【分析】解出不等式，然后根据条件p 成立的一个充分不必要条件，转化为子集关系，即可得到结果.【详解】()()4210542101110x x x xx x x ⎧-+≤--≤⇒≤⇒⎨+++≠⎩，解得1x <-或2x ≥又 ()()[)2,5,12,⊆-∞-⋃+∞[]()[)2,5,12,⊆-∞-⋃+∞则p 成立的一个充分不必要条件是()2,5和[]2,5故选:CD.11．下列说法正确的是（）A ．命题:1p x ∀>，215x +>的否定为01x ∃>，0215x +≤B ．“0x >且0y >”是“2x yy x+≥”的充要条件C ．y =2D ．已知54x <，则14245x x -+-的最大值为1【正确答案】AD【分析】利用全称量词命题的否定可判断A 选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；根据基本不等式取等号的条件可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，命题:1p x ∀>，215x +>的否定为“01x ∃>，0215x +≤”，A 对；对于B 选项，令0y t x =≠，由12t t +≥可得()210t t-≥，所以，0t >，即0y x >，而000x yy x >⎧>⇔⎨>⎩或00x y <⎧⎨<⎩，故“0x >且0y >”是“2x yy x+≥”的充分不必要条件，B 错；对于C 选项，2y =，取等号的条件是=231x +=，而此式不成立，所以取不到最小值2，故C 错；对于D 选项，当54x <时，450x -<，则()()11142453354454554x x x x x x ⎡⎤-+=-++=--+⎢⎥---⎣⎦31≤-=，当且仅当1x =时，等号成立，故当54x <时，14245x x -+-的最大值为1，D 对.故选：AD.12．已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值可能为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】BCD【分析】分别将各选项代入集合A ，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案.【详解】选项A ：当1a =-时，213--≤，143--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误；选项B ：当0a =时，13-≤，(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确；选项C ：当1a =时，213-≤，1(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确；选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确.故BCD.三、填空题13．已知函数()21252f x x x +=++，求函数()f x 的解析式为______．【正确答案】()221f x x x =+-【分析】换元法求函数的解析式.【详解】因为()2212422(1)(1)1f x x x x x x +=+++=+++-，所以()221f x x x =+-，故答案为:()221f x x x =+-.14．已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如图的曲线ABC ，其中()1,3A ，()2,1B ，()3,2C ，则()()2f g 的值为______.【正确答案】2先根据函数()g x 的图象可判断出()2g 的值，再根据表格中函数()f x 的取值得出()()2f g .【详解】由函数()g x 的图象可知()21g =，所以()()()212f g f ==.故答案为.2本题考查函数的表示方法，考查列表法与图像法的运用，属于基础题.15．已知集合{}0M x x a =-=，{}10N x ax =-=，若M N N ⋂=，则实数a 的值为___________.【正确答案】0或1±【分析】讨论0a =与0a ≠时两种情况求解即可.【详解】{}{}0M x x a a =-==，当0a =时，{}10N x ax =-=为∅，满足M N N ⋂=；当0a ≠时，{}110N x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，若M N N ⋂=则1a a =，即21a =，解得1a =±.综上所述，0a =或1a =±故0或1±16．已知函数()[]f x x x =-，[1,2)x ∈-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例[ 3.05]4-=-，[2.1]2=．则函数()f x 的值域是___________．【正确答案】[0,1)【分析】根据题意，分别求出10x -≤<，01x ≤<，12x ≤<时的[]x ，作出图象，直接可得到()f x 的值域.【详解】当10x -≤<时，[]1x =-，所以()1f x x =+，当01x ≤<时，[]0x =，所以()f x x =，当12x ≤<时，[]1x =，所以()1f x x =-，综上1,10(),011,12x x f x x x x x +-≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤<⎩;()f x 图象如图所示:函数()f x 的值域是[0,1).故答案为.[)0,1四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}221,20|}|3{A x x B x x x =-≤<=--<．(1)求A B ⋃；(2)如图阴影部分所表示的集合M 可以是（把正确答案序号填到横线处），并求图中阴影部分表示的集合M ；．①()U B A ⋂ð②()U B A ⋃ð③()U A B ∩ð④()U A B ⋃ð【正确答案】(1){|23}x x -≤<(2)③;{|21}x x -≤≤-【分析】（1）根据集合的并集运算求解；（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合M 为()U A B ∩ð，再根据集合的交集与补集求解即可.【详解】（1）因为{}{}2|230|13B x x x x x =--<=-<<，2{}1|,A x x =-≤<所以{|3}2,A B x x ⋃=-≤<（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合M 为③：()U A B ∩ð，{|1U B x x =≤-ð或3}x ≥，所以(){|}21U A B x x =-≤≤-∩ð.18．求解下列各题：(1)求2340)2x x y x x++=>（的最小值；(2)已知0,0x y >>且191x y+=，求x y +的最小值.【正确答案】(1)72；(2)16.【分析】（1）根据分式的运算性质，结合基本不等式进行求解即可；（2）利用基本不等式进行求解即可.【详解】（1）234140,322x x x y x x x ++⎛⎫>==++ ⎪⎝⎭173)22≥=，当且仅当4x x =即2x =时取等号，此时取得最小值72；（2）190,0,1x y x y >>+= ，199()101061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当9y x x y =，又191x y+=，即412x y ==，时，上式取等号.故当412x y ==，时，min ()16x y +=.19．已知集合{}2120A x x px =+-=∣，{}20B x x qx r =++=∣，且A B ≠，若{3}A B ⋂=-，{3,4}A B ⋃=-.(1)求集合A 、B ；(2)求p ，q ，r .【正确答案】(1){}{}3,4,3A B =-=-；(2)1,6,9p q r =-==.【分析】（1）根据集合交集的性质和并集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）因为{3}A B ⋂=-，{3,4}A B ⋃=-，所以有3A -∈且3B -∈，4A ∈或4B ∈，当3A -∈且3B -∈且4A ∈时，此时3412-⨯=-，因为A B ≠，所以{}{}3,4,3A B =-=-；当3A -∈且3B -∈且4B ∈时，因为A B ≠，所以{}{}3,3,4A B =-=-，因为3(3)912-⨯-=≠-，所以{}3A =-不存在，综上所述：{}{}3,4,3A B =-=-（2）由（1）可知：{}{}3,4,3A B =-=-，所以有341p p -+=-⇒=-，3(3)6q q -+-=-⇒=，3(3)9r r -⨯-=⇒=，即1,6,9p q r =-==.20．已知函数()f x 的解析式()35,05,0128,1x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩．(1)若()2f a =，求a 的值；(2)画出()f x 的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）．【正确答案】(1)1-或3(2)(],6-∞【分析】(1)根据分段函数的解析式分类讨论求解；(2)根据图象求解值域.【详解】（1）若0,()352a f a a ≤=+=解得1a =-，若01,()52a f a a <≤=+=解得3a =-（舍），若1,()282a f a a >=-+=解得3a =，综上a 的值1-或3.（2）作图如下，由图可得，当1x =时，函数有最大值为6，所以值域为(],6-∞.21．某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成10%)=，售出商品数量就增加85x 成，要求售价不能低于成本价．（1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式()y f x =，并写出定义域；（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x 的取值范围．【正确答案】（1）()20(10)(508)y f x x x ==-+，定义域为[]0,2x ∈；（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据营业额=售价⨯售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出x 的取值范围；（2）根据题意，列出不等式，求解即可．【详解】解：（1）依题意，8100(1)100(1)1050x y x =-⨯+；又售价不能低于成本价，所以100(1)80010x --，解得02x ．所以()20(10)(508)y f x x x ==-+，定义域为[]0,2x ∈．（2）由题意得20(10)(508)10260x x -+，化简得：2830130x x -+，解得11324x ．又因为02x 所以122x x ∴的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识．如何建模是解决这类问题的关键，属于基础题．22．已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值；(2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【正确答案】(1)5a =-，25b =-；(2)答案见解析．【分析】（1）由不等式的解集得相应方程的根，由韦达定理列方程组求解；（2）先根据0,0,0a a a <=>分类讨论，在0a >时，再根据两根的大小分类讨论得结论．【详解】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->，当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当a<0时，不等式化为3(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为.3,1a当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；当0<<3a 时，31a >，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当a<0时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a>.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，不等式的解集为3{|x x a <或1}x >；。
湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案)
八中2024年高一上第一次月考数学一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.（5分）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C.D.2.（5分）下列各式正确的个数是（）①；②；③；④A.2B.3C.4D.53.（5分）命题“，有”的否定是（ ）A. B.C.D.4.（5分）下列命题中正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若且，则5.（5分）已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（ ）A.B.C.或 D.6.（5分）已知集合，若为单元素集合时，则（ ）A. B.{}{}{}2,3,4,5,7,2,3,3,5,7U A B ==={}2,3,5,7{}2,3,4{}2{}2,3,4,7{}00={}{}0,1,22,1,0⊆{}0,1,2∅⊆{}(){}0,10,1=x ∀∈R 2210x x ++≥2,210x x x ∃∈++≥R 2,210x x x ∃∈++<R 2,210x x x ∀∈++>R 2,210x x x ∀∈++<R a b >22ac bc >a b >22a b >0,0a b m >>>b m ba m a+<+a b >0ab >11a b<1:1p x<p 1x <-1x ≥0x <1x >0x ≠(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣C 12m =2m =C.或D.或7.（5分）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱8.（5分）对于集合，定义且.若，且，以下说法正确的是（）A.若在横线上填写“”则C 的真子集有个B.若在横线上填写“”则C 中元素个数大于250C.若在横线上填写“\”则C 的非空真子集有个D.若在横线上填写“”则中元素的个数为13个二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.（6分）已知集合，若，则的可能取值为（）A.B.0C.1D.210.（6分）已知实数满足，则（ ）A. B.C. D.11.（6分）已知，且，则（ ）A.的最大值为B.的最大值是2C.的最小值是18D.的最小值是三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）0m=12m =0m =2m =,A B {A B xx A =∈∣‚}x B ∉{}65,,{37A x x n n B y y m ==+∈==+N ∣∣},{__m C x x A B ∈=∈N ∣1000}x <⋂1221-⋃15322-⋃N ðC N ð{}{}21,2,,1,2A a B a ==+B A ⊆a 1-,x y 16,23x y <<<<39x y <+<13x y -<-<218xy <<1621xy <<-0,0a b >>32a b +=ab 13113a b+2219a b+12a b a b+++212.（5分）已知集合，写出一个满足的集合：__________.13.（5分）已知命题是假命题，则实数的取值范围是__________.14.（5分）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________.四､解答题（共5小题，满分77分）15.（13分）已知集合或.（1）当时，求；（2）若，且“是”“的充分不必要条件，求实数的取值范围.16.（15分）已知函数.（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式.17.（15分）（1）已知满足，是否存在正实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（2）已知，比较与的大小并说明理由；（3）利用（2）的结论解决下面问题：已知均为正数，且，求的最大值.18.（17分）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.19.（17分）已知正整数集合，对任意，定义，若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.记是集合中的最大值.（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；{}0,1,2A ={}1,0,1,2,3A B ⋃=-B =[]2:1,2,20p x x x a ∃∈--≤a x ()20,,ax bx c a b c ++>∈R ()4,1-29c a b++{}22,{1A xa x a B x x =-+=∣∣………4}x …3a =A B ⋂0a >"x A ∈R x B ∈ða ()22h x ax ax =++x ∈R ()1h x >-a 0a <x ()()14h x a x <-+,x y 4x y +=,x y 5xy =,x y ,,,a b c d ∈R ()()2222a bcd ++2()ac bd +,m n 225m n +=2m n +y x 21204000010y x x =-+()1212(,,,}2,,0n n S a a a n n a a a =⋯∈<<<⋯<N …,i j a a S ∈()11,i j i j d a a a a =-k (),i j i j a a S a a ∈≠()21,i j d a a k…S k F ()d S (){},,i j i j d a a a a S ∈∣{}1,2,3A ={}4,6B =3F（2）若集合具有性质，求证：；（3）若集合具有性质，求的最大值.S 4F ()116n d S -…S k F n八中2024年高一上第一次月考数学答案一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.【解答】解：集合，则图中阴影部分表示的集合为：.故选：C.2.【解答】A 3.【解答】B 4.【解答】D 5.【解答】A6.【解答】解：因为集合，若为单元素集合，则方程组只有唯一解，所以，整理可得，当时，方程变为，此时，符合题意；当时，，所以或.故选：C.7.【解答】解：设买大竹子根､小竹子为，小竹子每根钱，则大竹子每根钱，由题意可得：，整理得，由，得，解得，由题意，可得则.在这个问题中大竹子每根的单价可能为钱.故选：C.{}{}{}2,3,4,5,7,2,3,3,5,7U A B ===(){}{}{}U 2,32,42A B ⋂=⋂=ð(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣C 211y x x my ⎧=-⎨=+⎩2(1)1y my =+-()22210m y m y +-=0m =00y y -=⇒=1x =0m ≠221Δ(21)4002m m m =--⨯=⇒=0m =12m =x 78x -y 1y +()()781576x y x y -++=78576,57678x y x y +=∴=-078x ……5767805767878y y -⎧⎨-⎩ (8396)1313y ……,x ∈N ,y ∈N 7y =∴718+=8.【解答】解：，集合中的元素被3除余2；，集合中的元素被3除余1，选项A ：A 错误；选项B ：，得，集合中有166个元素，，得，集合中有331个元素，因此C 中有497个元素，B 正确；选项C ：C 中有166个元素，非空真子集有个，C 错误；选项D ：，即，所以，其中元素有331个，D 错误.故选：B.二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.【解答】解：由集合，得到或，解得：或，而时，不合题意，舍去，则实数的可能取值为2或0.故选：BD.10.【解答】解：因为，则，故A ､C 正确；由题，故B 错误；，则，故D 正确.故选：ACD.11.【解答】解：因为，且，所以，所以，当且仅当时等号成立，则A 正确；由题意可得，当且仅当时等号成立，则B 正确；因为，所以，当且仅当时等号成立，则正确；()653212x n n =+=++A ()37321y m m =+=++B ,A B ⋂=∅651000n +<51656n <A 371000m +<331m <B 16622-x A B ∈⋃N ðx B ∈N ðC B =N ð{}{}21,2,,1,2,A a B a B A ==+⊆22aa =+22a +=1a =-2,0a a ==1a =-a 16,23x y <<<<39,218x y xy <+<<<32y -<-<-24,x y -<-<112y <-<11121y <<-16,21xy <<-0,0a b >>32a b +=2≤13ab ≤31a b ==()111111313222323232b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31a b ==13ab ≤2219618a b ab+≥≥31a b ==C对于D ，由，得，，当且仅当，当，矛盾，故等号取不到，故错误.故选：ABC.三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.【解答】解：根据题意，只要是满足的集合即可，所以.故答案为：（答案不唯一）.13.【解答】解：由题意，命题是真命题，所以故答案为：.14.【解答】解：关于的不等式的解集为，所以，且和1是关于的方程的两实数根，由根与系数的关系知，，解得，所以，因为，所以即故答案为：.四､解答题（共5小题，满分77分）15.【解答】解：（1）当时，集合，或，0230a b a >⎧⎨=->⎩203a <<()()111123222222222322a b a a a a a b a a a a++=++-=+-=+--≥-++---()1222a a =--2a =223>D {}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-{}1,3B =-{}1,3-[]2:1,2,20p x x x a ⌝∀∈-->()2min21a x x<-=-1a <-x ()20,,ax bx c a b c ++>∈R ()4,1-0a <4-x 20ax bx c ++=144b ac a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3,4b a c a ==-2291699434c a a a b a a a ++==+++0a <()9464a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭296c a b+≤-+(],6∞--3a ={}{}2215A xa x a x x =-+=-∣∣…………{1B x x =∣…4}x …或（2）若，且”是“”的充分不必要条件，，⫋，则解得.故的取值范围是：.16.【解答】解：（1）由题意可得，对于任意恒成立，当时，得显然符合题意；当时，得，解得，综上，实数的取值范围是.（2）原不等式转化为，即.又，不等式可化为，若，即时，得或，即解集为；若，即时，得，即解集为；若，即时，得或，即解集为.17.【解答】解：（1）因为，所以，故不存在正实数，使得.（2）{11A B x x ∴⋂=-∣……45};x ……0a >"x A ∈R x B ∈ð{}()220,{14}R A x a x a a B x x =-+>=<<∣∣……ðA ∴R B ð21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩01a <<a ()0,1230ax ax ++>x ∈R 0a =30,>0a ≠2Δ120a a a >⎧⎨=-<⎩012a <<a [)0,12()22120ax a x +--<()()120ax x -+<0a <()120x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭12a <-102a -<<1x a <2x >-12x x x a ⎧⎫<>-⎨⎬⎩⎭或12a =-12a =-2x ≠-{}2xx ≠-∣12a >-12a <-2x <-1x a >12x x x a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或4x y +=…4xy …,x y 5xy =()()22222()a bcd ac bd ++-+()2222222222222a c a d b c b d a c abcd b d =+++-++22222a d b c abcd=+-（3）所以的最大值为518.【解答】解：（1）由题意可得，生产每吨产品的平均成本为，又因为，当且仅当，即时，等号成立，所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；（2）设利润为，则，又因为，所以当时，.即年产量为220吨时，最大利润为840万元.19.【解答】解：（1）集合，则，.故集合具有性质；，故集合不具有性质.（2）证明：因为，所以，故，2()ad bc =-0≥()()22221(2)2125,25m n m n m n +≤++=+≤2m n +[]400020,150,25010y x x x x=+-∈400020202010x x +-≥-=400010x x=200x =()W x ()22124204000(220)8401010x W x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭150250x ……220x =max ()840W x ={}1,2,3A =()()12211111,,1229d a a d a a ==-=…()()()()1331233211211111,,,,,13393269d a a d a a d a a d a a ==-===-=……A 3F {}()()122111114,6,,,46129B d b b d b b ===-=<B 3F ()1212(,,,}2,,0n n S a a a n n a a a =⋯∈<<<⋯<N …121110n a a a >>⋯>>()max 111,i j nd a a a a =-即因为集合具有性质，所以，.（3）因为集合具有性质，则，，故，又，故，即，所以，当为偶数时，当且仅当，即时等号成立，当为奇数时，等号不成立，，故，即，所以；综上所述：，故的最大值为.()111,nd S a a =-S 4F ()1,16i j d a a …()11223111111111111116161616n n n n d S a a a a a a a a --=-=-+-+⋯+-++⋯+=…S k F ()*121,,1,,i j i d a a a a i i k∈N ………()211211*********,i n i n i n i i i i n n n i d a a a a a a a a a a a a k+++--=-=-=-+-+⋯+-…21i n i a k->i a i …11i a i <*21,n ii i k->∈N ()22224i n i n k i n i +-⎛⎫>-=⎪⎝⎭…n i n i =-2n i =n ()2max1[]4n i n i --=2214n k ->2241n k <+21n k <-21n k -…n 21k -。
2024-2025学年河北省保定市保定一中高一(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河北省保定一中高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={x∈Z|4x−x2>0}，则满足A⋃B={1,2,3,4,5}的集合B的个数为( )A. 2B. 4C. 8D. 162.设函数f(x)={x+2,(x<0)3x+1,(x≥0)，则f[f(−2)]=( )A. 3B. 1C. 0D. 133.已知a>0，b>0，则“a+b=1”是“1a +4b≥9”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列图象中，表示定义域、值域均为[0,1]的函数是( )A. B.C. D.5.已知a<0，−1<b<0，则有( )A. ab>ab2>aB. ab2>ab>aC. ab>a>ab2D. a>ab>ab26.已知命题p：a−4a≤0，命题q：不等式ax2+ax+1≤0的解集为⌀，则p成立是q成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知1≤a≤2，3≤b≤5，则下列结论错误的是( )A. a+b的取值范围为[4,7]B. b−a的取值范围为[2,3]C. ab的取值范围为[3,10]D. ab 的取值范围为[15,23]8.关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是( )A. [−2,−1)∪(3,4]B. [−2,−1]∪[3,4]C. (−1,0)∪(2,3)D. [−1,0]∪[2,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，是相同函数的是( )A. f(x)=x 2，x ∈{−1,0,1}与g(x)={0,x =0,1,x =±1B. f(x)=x ⋅|x|与g(x)={x 2,x ≥0,−x 2,x <0C. f(x)=x 与g(x)= x 2D. f(x)=1x (x >0)与g(x)=x +1x 2+x (x >0)10.下列说法中正确的有( )A. 命题p ：∃x 0∈R,x 20+2x 0+2<0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0B. “|x|>|y|”是“x >y ”的必要条件C. 命题“∀x ∈Z ，x 2>0”的是真命题D. “m <0”是“关于x 的方程x 2−2x +m =0有一正一负根”的充要条件11.若函数f(x)={x 2−2x,x ≥a,−x,x <a,存在最小值，则实数a 的可能取值为( )A. −1B. 1C. 2D. 3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一数学学期第一次月考试卷(附答案)
高一数学学期第一次月考试卷(附答案)选择题1. 下列哪一个选项不是数学中常用的数集？A. 自然数集B. 实数集C. 正整数集D. 有理数集答案：C2. 若集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∩ B = ?A. {2, 3}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {4}答案：A3. 简化：$3 \times a \times 5$答案：$15a$填空题1. 若 $\frac{5}{6} x - \frac{1}{4} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{2}$，则x = ?答案：$\frac{9}{20}$2. 若函数 $f(x) = ax^2 + bx - c$ 的图像开口朝上，且在x = 2处有最小值-3，则a = ?, b = ?, c = ?答案：a = 1, b = -8, c = -13解答题1. 解方程 $\frac{3}{5} (2x - 1) = \frac{1}{3} (4 - x)$解答：首先两边同时乘以15消去分数，得到：$9(2x - 1) = 5(4 - x)$ 进行分配和合并：$18x - 9 = 20 - 5x$移项：$23x = 29$最后得到解答：$x = \frac{29}{23}$2. 若正方形ABCD的边长为3cm，点E为AB边的中点，连线DE与BC交于点F，求线段DF的长度。
解答：由于ABCD是正方形，所以AD平行于BC。
由于E是AB边上的中点，所以AE = EB = 1.5cm。
由三角形相似性质可知，$\frac{AE}{AD} = \frac{DF}{DC}$。
将已知值代入，得到：$\frac{1.5}{3} = \frac{DF}{3}$化简得到：$DF = 1.5$cm以上为高一数学学期第一次月考试卷及答案。
2023-2024学年河南省新乡县高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省新乡县高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{|0},{|12}A x x B x x =>=-≤≤则A B ⋃=A ．{|1}x x ≥-B ．{|2}x x ≤C ．{|02}x x <≤D ．{|12}x x -≤≤【正确答案】A【分析】直接利用并集的定义可得解.【详解】集合{|0},{|12}A x x B x x =>=-≤≤，所以A B ⋃={|1}x x ≥-.故选A.本题主要考查了集合的并集的运算，属于基础题.2．设全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{1,1,2}A =-，则U C A 为（）A ．φB ．{2,0}-C ．{1,1,2}-D ．{2,1,0,1,2}--【正确答案】B【分析】由集合的补集运算可得选项.【详解】因为全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{1,1,2}A =-，所以{2,0}U C A -=，故选：B.3．已知集合{}2|20A x x x =--<，{}|11B x x =-<<，则（）A ．B A ⊆B ．A B⊆C ．A B=D ．A B ⋂=∅【正确答案】A根据交集子集的概念即可得到答案【详解】∵集合{|12}A x x =-<<，{|11}B x x =-<<，∴B A ⊆．故选:A ．4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a +b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5．设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b +<<<B ．2a ba b +<<C ．2a b a b +<<<D 2a ba b +<<<【正确答案】B【分析】利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案.【详解】∵0a b <<2a b +<，∴22a b b b a b ++=<<=故选：B.6．下列不等式中，正确的是（）A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C ．x 2＋23x D 2a b +≥【正确答案】CA.令a<0判断；，B.根据重要不等式判断；C.利用基本不等式判断；D.令1,2a b ==判断.【详解】A.当a<0时，44a a+<，故错误；B.因为a 2＋b 2≥2ab ，故错误；C.由基本不等式得x 2＋23x2x =D.当1,2a b ==2a b+<，故错误；故选：C7．不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1]a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：原不等式可以转化为：()()120x ax --≥，当a<0时，可知2(1)0x x a--≤，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为.2[,1]a故选：A.8．若实数a ，b 满足14a b+=ab 的最小值为（）A B ．2C ．D ．4【正确答案】D【分析】利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】解：实数a ，b 满足14a b+=,0a b >，=可得4ab ≥.当且仅当44a b ==时，等号成立，故D.本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.9．命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是（）A ．20,0x x x ∃>-≤B ．20,0x x x ∃>->C ．20,0x x x ∀>->D ．20,0x x x ∀≤->【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定为：“20,0x x x ∃>->”.故选：B.10．不等式211x ≤+的解集是（）A ．{}11x x -<≤B ．{}1x x ≥C ．{1x x <-或}1x >D ．{1x x <-或}1x ≥【正确答案】D【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.【详解】不等式211x ≤+，即2101x -≤+，所以101x x -≤+，所以(1)(1)0,10,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得1x ≥或1x <-，所以原不等式的解集为{1x x <-或}1x ≥．故选：D.11．若0,0,2a b a b >>+=，则41y a b=+的最小值为（）A ．72B ．92C ．5D ．4【正确答案】B【分析】利用题设中的等式，把y 的表达式转化成()241a b a b++展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．【详解】解：2a b += ，∴12a b +=∴41415259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=+++=（当且仅当2b a =时等号成立）故选：B ．12．已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是（）A ．5B ．6C ．4D ．8【正确答案】B根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6．本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题13．设集合{}2|30A x x x a =-+=，若4A ∈，则集合A 用列举法表示为________.【正确答案】{}1,4-.先将4代入，解出a 的值，然后求出方程的另外一个根并写出集合A .【详解】∵4A ∈，∴16120a -+=，∴4a =-，∴{}{}2|3401,4A x x x =--==-.故答案为.{}1,4-本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值，属于简单题.14．设集合21,2{}1A a =--,，23{1,}0B a a =-，，若A B =，则实数a =______.【正确答案】1由集合相等，两个集合中的元素完全一样，分析可得．【详解】∵A B =，∴210a -=，1a =±，若1a =-，则234a a A -=∈，不合题意；若1a =，则232a a -=-，符合题意．∴1a =．故1．本题考查由集合相等求参数，在集合相等问题中由一个条件求出参数后需进行代入检验，检验集合元素的互异性，是否满足题设条件等．15．已知集合{}211A x x =<≤，{}20B x x a =->.若A B ⊆，则实数a 的取值范围为【正确答案】(]–,4∞解出集合B 根据包含关系，讨论端点的大小关系即可得解.【详解】由已知可得{}202x x a B x a x =-⎧⎫⎨>>⎩=⎬⎭.因为A B ⊆，所以22a≤，即4a ≤.故(]–,4∞此题考查根据集合的包含关系求参数的范围，关键在于弄清哪个集合是子集，建立不等关系，注意考虑端点能否取等.16．若不等式220ax x a ++<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______________.【正确答案】(),1-∞-【分析】先讨论0a =时不恒成立，再根据二次函数的图象开口方向、判别式进行求解.【详解】当0a =时，则220ax x a ++<化为20x <（不恒成立，舍），当0a ≠时，要使220ax x a ++<对一切x ∈R 恒成立，需20440a a <⎧⎨-<⎩，即1a <-，即a 的取值范围是(),1-∞-.故答案为.(),1-∞-三、解答题17．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,4A =，{}1,4,5,6B =.（1）求A B ⋂及A B ⋃；（2）求()U A B I ð.【正确答案】（1）{}1,4A B ⋂=，{}1,3,4,5,6A B = ；（2）{}5,6.【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.【详解】解：（1）因为{}1,3,4A =，{}1,4,5,6B =，所以{}{}{}1,3,41,4,5,61,4A B == ，{}{}{}1,3,41,4,5,61,3,4,5,6A B == （2）因为{}1,2,3,4,5,6U =，所以{}2,5,6U A =ð，所以(){}{}{}2,5,61,4,5,65,6U A B == ð.18．已知集合{}{}2|260,|20M x x x N x ax =--==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【正确答案】40,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意分0a =与0a ≠，结合N M ⊆，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ⊆，当0a =时，N =∅，符合题意；当0a ≠时，2N a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，而{}23|260,22M x x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭，所以232a =-或22a =，解得43a =-或1a =.所以a 的取值为40,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭19．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．【正确答案】{m |m ≤3}．【分析】由B ＝∅和B ≠∅分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得．【详解】解：A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2，此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ⊆A ，得212215m m m ≥⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得2≤m ≤3.由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．20．已知命题:p x ∀∈R ，2230x m +->，命题0:q x ∃∈R ，200220x mx m -++<.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；(3)若命题p ，q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)3|2m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭(2){1|m m <-或2}m >(3)312m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【分析】（1），可转化个()232minm x -<；（2），可转化成方程2220x mx m -++=有两不等实根；（3），即p 或q 为真命题，结合（1）（2）即可得到答案【详解】（1）若命题p 为真命题，则232x m >-对x ∈R 恒成立，即()232minm x -<，因此320m -<，解得32m >.因此，实数m 的取值范围是3|2m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.（2）若命题q 为真命题，则方程2220x mx m -++=有两不等实根，所以2(2)4(2)0m m ∆=--+>，则220m m -->，解得1m <-或2m>.因此，实数m 的取值范围是{1|m m <-或2}m >.（3）若命题p ，q 至少有一个为真命题，即p 或q 为真命题，则结合（1）（2）得3|{|12m m m m m ⎧⎫∈>⋃<-⎨⎬⎩⎭或2}m >m ⇒∈312m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，因此，实数m 的取值范围是312m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或21．已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．(1)若2a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)(]2,3A B = (2){|3a a ≤-或}2a ≥【分析】（1）可得出[],1,2A a a a =+=时，可得出集合A ，然后进行并集的运算即可；（2）根据[],1,(2,2)A a a B =+=-，并且A B ⋂=∅即可得出12a +≤-或2a ≥，从而可得出a 的取值范围．【详解】（1）2a =时，2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得23x ≤≤，[]2,3A =，且(2,2)B =-，∴(]2,3A B =- ；（2）由2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得1a x a ≤≤+，[],1A a a =+，(2,2)B =-，且A B ⋂=∅，12a ∴+≤-或2a ≥，3a ∴≤-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为{|3a a ≤-或}2a ≥．22．解关于x 的不等式()210,x a x a a R -++≥∈.【正确答案】答案见解析.将不等式()210x a x a -++≥，转化为()()10x a x --≥，再分1a <，1a =，1a >三种情况讨论求解.【详解】不等式()210x a x a -++≥，化为()()10x a x --≥，当1a <时，解得x a ≤或1x ≥，当1a =时，解得R ,当1a >时，解得1x ≤或x a ≥，综上：当1a <时，不等式的解集是{|x x a ≤或}1x ≥；当1a =时，不等式的解集是R ；当1a >时，不等式的解集是{|1x x ≤或}x a ≥；。
高一上学期第一次月考数学试卷(附答案解析)
高一上学期第一次月考数学试卷(附答案解析)考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知全集U={0,1,2,3}，集合A={0,1,3}，B={0,2,3}，则∁U(A∩B)=( )A. {0,1}B. {1,2}C. {0,2}D. {0,3}2. 下列结论正确的是( )A. 若ac>bc，则a>bB. 若a2>b2，则a>bC. 若a>b，c<0，则ac<bcD. 若√a<√b，则a>b3. 已知命题p：∀x>0，x2≥2，则它的否定为( )A. ∀x>0，x2<2B. ∀x≤0，x2<2C. ∃x≤0，x2<2D. ∃x>0，x2<24. 已知a>0且a≠1，则“log a(a−b)>1”是“(a−1)−b<0“成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S中元素个数是( )A. 4B. 5C. 6D. 76. 若函数f(x)=ax2−4x+c的值域为[1,+∞)，则1c−1+9a的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设集合A={x|1<x<2}，B={x|x>a}，若A∩B=A，则a的范围是( )A. a≥2B. a≤1C. a≥1D. a≤28. 若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A. −3<k<0B. −3≤k<0C. −3≤k≤0D. −3<k≤0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2022-2023学年安徽省宣城市高一年级上册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省宣城市高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合，，若，则a 的取值范围是（ ）{}A x x a =<{}03B =，B AA ．B ．C ．D ．{}3a a ≥{}3a a >{}0a a >{}0a a ≥【答案】B【分析】根据题意可得0，3均为中的元素，从而求得结果.{}A x x a =<【详解】因为，故0，3均为中的元素，所以B A{}A x x a =<3a >故选：B 2．集合，则（ ）{}2{N 6},R 30A x xB x x x =∈>=∈->∣∣()NA B ⋂= A ．B ．C ．D ．{}3,4,5{}4,5,6{36}xx <≤∣()(],03,6∞-⋃【答案】B【分析】根据一元二次不等式可得,进而根据集合的补运算和交运算即可求解.B 【详解】由题意得或，，{}{2R 30=3B x x x x x =∈->>∣}0x <{}=0123456N A ，，，，，，所以，(){}456N A B ⋂=，， 故选：B3．已知，“”是“”的一个充分不必要条件，则（ ）0a >x a >2x a >A ．B ．1a ≥01a <≤C ．D ．0a <≤1a ≤≤【答案】A【分析】结合一元二次不等式的解法以及充分不必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意，，0a >2x a x >⇔<x >由于“”是“”的一个充分不必要条件，x a >2x a >，.a ≤)111,1a a =≥≥≥≥故选：A4．命题“，”的否定是（ ）x ∃∈R 2330x x -+<A ．，B ．，x ∀∈R 2330x x -+>x ∀∈R 2330x x -+≥C ．，D ．，x ∃∈R 2330x x -+>x ∃∈R 2330x x -+≥【答案】B【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.【详解】由特称命题的否定的概念知，“，”的否定为：，．x ∃∈R 2330x x -+<x ∀∈R 2330x x -+≥故选：B ．5．已知函数，则（ ）()221,1,3, 1.x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()()3f f =A ．B ．3C ．1D ．19319【答案】B【分析】根据已知函数解析式可先求，然后代入可求.()3f ()()3f f 【详解】由，则.()221,1,3, 1.x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()()3(1)3f f f ==故选：B6．已知为正实数且，则的最小值为（ ）,a b 2a b +=2b a b +A ．BC ．D ．332152【答案】D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.11221b a ba b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭【详解】解：因为为正实数且，,a b 2a b +=所以，2b a =-所以，2221212211b a ba b a b a a b ⎛⎫+=+=+-=+- ⎪⎭-⎝因为，当且仅当时等号成立；()22111122224b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1a b ==所以，当且仅当时等号成立；2222213b a b a b a a b ++=+--=≥1a b ==故选：D 7．已知，且是方程的两根，则的大小关()()2022()y x m x n m n =--+<,()αβαβ<0y =,,,m n αβ系是（ ）A ．B ．m n αβ<<<m n αβ<<<C ．D ．m n αβ<<<m nαβ<<<【答案】C【分析】画出函数图象，数形结合进行求解.【详解】为二次函数，开口向上，()()()2022()f x x m x n m n =--+<因为是方程的两根，,()αβαβ<0y =故为图象与轴的两个交点横坐标，,()αβαβ<x 其中，()()2022f m f n ==画出图象如下：显然，m n αβ<<<故选：C8．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用[]2,1,2y x x =∈[]2,2,1y x x =∈--来构造“同族函数”的是（ ）A ．B ．C ．D ．y x =3y x =-1y x=1y x =+【答案】B【分析】根据题意，可知构造“同族函数”的函数最起码不能是单调的，结合选项一一判断即可.【详解】对于选项AD ，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD 都错；对于选项C ，在区间和上都是单调递减的，且在两个区间上的取值一正一负，1y x =(),0∞-()0,∞+y 故不满足，因此C 错；对于选项B ，函数，和函数，即为“同族函数”，故满足，因此3y x =-[]2,3x ∈3y x =-[]3,4x ∈B 正确.故选：B.二、多选题9．下列命题是假命题的有（ ）．A ．两个无理数的和一定是无理数B ．，x ∀∈R 2210x x -+≥C ．，{}2,1,0,1,2x ∃∈--22x -<D ．，方程恰有一解,a b ∀∈R 0ax b +=【答案】AD【分析】应用特殊值法判断A 、C 、D 的正误，根据因式分解判断全称命题的真假判断B.【详解】故选：AD10．已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（ ）a b c a b c <<0a b c ++>A ．B ．C ．D ．ac bc<2b ac>11a c <()()220c b a c ++>【答案】AD【分析】根据题意知故可判断A ，取特殊值判断BC ，由不等式的性质判断D.0c >【详解】A 选项，由于，故，所以，正确；,0a b c a b c <<++>0c >ac bc <B 选项，取 知不成立，错误；10,2,1c b a ===C 选项，取知不成立，错误;10,2,1c b a ===D 选项，由于得， 而， 故，正确.2c a b b >-->-20c b +>20a c a b c +>++>(2)(2)0c b a c ++>故选：AD11．已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）.20(0)x ax b a ++>>{}|x x d ≠A ．24a b=B ．若不等式的解集为，则2+x ax b c +<(3,1)-7a b c ++=C ．若不等式的解集为，则20x ax b +-<12(,)x x 120x x >D ．若不等式的解集为，且，则2x ax b c ++<12(,)x x 12||4x x -=4c =【答案】ABD【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.【详解】由题意，不等式的解集是，20(0)x ax b a ++>>{}|x x d ≠所以，，所以A 正确；240a b ∆=-=24a b ∴=对于B ：变形为，其解集为，2+x ax b c +<2+0x ax b c +-<(3,1)-所以，得，故成立，所以B 正确；231 314 a b c a b -+=-⎧⎪-⨯=-⎨⎪=⎩214a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩7a b c ++=对于C ：若不等式的解集为，由韦达定理知：20x ax b +-<12(,)x x ，所以C 错误；21204a x x b =-=-<对于D ：若不等式的解集为，2x ax b c ++<12(,)x x 即的解集为，由韦达定理知：20x ax b c ++-<12(,)x x ，21212,4a x x a x xbc c+=-=-=-则，解得，12||4x x -====4c =所以D 正确.故选：D.12．设，则用表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，x ∈R []x x []2.13-=-[]3.13=()2221x f x x =+则函数的值域中含有的元素可能是（ ）()y f x ⎡⎤=⎣⎦A ．B ．C ．D ．1-012【答案】BC【分析】方法一：采用分离常数法可得，由此可得，由定义可得结()2221f x x =-+()[)0,2f x ∈[]x 果；方法二：当时，可得；当时，，由此可得；由定0x =()0f x =0x ≠()2211f x x =+()()0,2f x ∈[]x 义可得结果.【详解】方法一：，()()22222212222111x x f x x x x +-===-+++，，，即，211x +≥ 22021x ∴<≤+220221x ∴≤-<+()[)0,2f x ∈的值域为；()y f x ∴=⎡⎤⎣⎦{}0,1方法二：当时，，此时；0x =()0f x =()0y f x ==⎡⎤⎣⎦当时，，0x ≠()22222111x f x x x ==++，，即，此时或；2111x +> 220211x∴<<+()()0,2f x ∈()0y f x ==⎡⎤⎣⎦1的值域为.()y f x ∴=⎡⎤⎣⎦{}0,1故选：BC.三、填空题13．函数的定义域为 _________.()14f x x =+-【答案】[)(]2,44,6- 【分析】根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解.【详解】解：由题可得，解得，，且；2412040x x x ⎧-++≥⎨-≠⎩26x -≤≤4x ≠的定义域为：．()f x \[)(]2,44,6- 故答案为：.[)(]2,44,6- 14．已知函数，则()22xf x x =+______.()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】##1010.7540434【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为，，()111112222222x x xf x f x x x x +⎛⎫+=+==⎪++⎝⎭+⋅()114f =所以()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1140432021244=⨯+=故答案为：4043415．已知，函数若对任意x ∈［–3，+），f (x )≤恒成立，则a a R ∈()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．∞x 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.0x >0x ≤【详解】分类讨论：①当时，即：，0x >()f x x≤222x x a x -+-≤整理可得：，21122a x x≥-+由恒成立的条件可知：，()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭结合二次函数的性质可知：当时，，则；12x =2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭18a ≥②当时，即：，整理可得：，30x -≤≤()f x x≤222x x a x ++-≤-232a x x ≤--+由恒成立的条件可知：，()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤结合二次函数的性质可知：当或时，，则；3x =-0x =()2min322xx --+=2a ≤综合①②可得的取值范围是，故答案为.a 1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．16．给出下列命题：①若，则；②若，则a +b ；③若，则0b a <<a b>0b a <<ab >0b a <<；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有2b a a b +>0b a <<22a a b b <-0b a >>22a b aa b b +>+________.(将正确的序号填在此处)【答案】③④⑤【分析】①举例判断；②举例判断；③利用基本不等式判断；④利用作差法判断；⑤利用作差法判断.【详解】①当时，，故错误；2,1b a =-=-a b<②当时，a +b ，故错误；2,1ba =-=-ab <③因为，所以，则，因为，等号不成立，故0,0b a <<0,0b aa b >>2b a a b +≥=b a <，故正确；2b aa b +>④因为，所以，故，故正确；0b a <<()()2222022a a a a b b b b b ab b +----==<22a a b b <-⑤因为，则，故，故正确；0b a >>()()()()2220222b a b a a b a b a a b b a b b a b b-++--==>+++22a b aa b b +>+故答案为：③④⑤四、解答题17．解下列关于的不等式：x (1)2440x x -+-<(2)105xx ->-【答案】(1){}2x x ≠∣(2){15}xx <<∣【分析】(1)将不等式转化为即可得解.2440x x -+>(2)等价转化为，可求解集.105xx ->-()()150x x --<【详解】（1）由可得：，2440x x -+-<()224420x x x -+=->所以，故解集为.2x ≠{}2x x ≠∣（2），，等价转化为， 105xx ->-105x x -∴<-()()150x x --<解得，所以不等式解集为.15x <<{15}xx <<∣18．已知集合.全集{}{}2450,131A x x x B x a x a =--≤=+≤≤-∣∣U =R(1)若，求图中阴影部分；3a =M (2)若，求实数的取值范围.B A ⊆a 【答案】(1)}{58x x <≤(2)(],2a ∈-∞【分析】（1）分别求出集合，由图可知，阴影部分表示，根据交集和补集的定义即,A B ()U A B⋂ 可得解；（2）分和两种情况讨论，再结合子集的定义可得出答案.B =∅B ≠∅【详解】（1）解：当时，，3a ={}48B x x =≤≤，{}{}245015A x x x x x =--≤=-≤≤∣则或，{5U A x x => }1x <-所以，()}{58UA B x x ⋂=<≤ 即图中阴影部分；}{58M x x =<≤（2）解：因为，B A ⊆当，B A =∅⊆则，解得；131a a +>-1a <当时，B ≠∅则，解得，13111315a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩12a ≤≤综上所述.(],2a ∈-∞19．实数满足.,a b 32,14a b a b -≤+≤-≤-≤(1)求实数的取值范围；a (2)求的取值范围.32a b -【答案】(1)[]2,3-(2)[]4,11-【分析】（1）由，根据不等式的性质计算可得；()()12a a b a b =++-⎡⎤⎣⎦（2）求出，再利用不等式的性质得解.1532()()22a b a b a b -=++-【详解】（1），()()12a a b a b =++-⎡⎤⎣⎦由，，则，32a b -≤+≤14a b -≤-≤()()46a b a b -≤++-≤所以，即，()()1232a b a b -≤++-≤⎡⎤⎣⎦23a -≤≤故实数的取值范围为．a []2,3-（2）设，()()()()32a b m a b n a b m n a m n b-=++-=++-则，解得，32m n m n +=⎧⎨-=-⎩1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴，1532()()22a b a b a b -=++-∵，．32a b -≤+≤14a b -≤-≤∴，，31()122a b -≤+≤55()1022a b -≤-≤∴，43211a b -≤-≤即的取值范围为．32a b -[]4,11-20．已知p ：关于x 的方程有实数根，q ：.22220x ax a a -++-=13m a m -≤≤+(1)若命题p 是假命题，求实数a 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}|2a a >(2){}|1m m ≤-【分析】（1）由命题p 是假命题，可得，从而可求出实数a 的取值范围；Δ0<（2）根据题意可得 ，从而可求出实数m 的取值范围.{}|13a m a m -≤≤+{}|2a a ≤【详解】（1）因为命题p 是假命题，所以对于方程无实根，22220x ax a a -++-=有，解得，()()222420a a a ∆=--+-<2a >所以实数a 的取值范围是.{}|2a a >（2）由（1）可知p ：.2a ≤因为p 是q 的必要不充分条件，所以 ，则，解得，{}|13a m a m -≤≤+{}|2a a ≤32m +≤1m ≤-所以实数m 的取值范围是.{}|1m m ≤-21．为响应国家环保的号召，某企业计划2020年引进新型环保设备生产新能源汽车，通过市场分析，全年需投入固定成本1000万元，每生产x （百辆）汽车，需另投入成本万元，且()C x 若每辆新能源汽车售价为8万元，并且全年内生产的汽车当年能210500,020,()4008012000,20,x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩全部销售完．(1)求2020年的利润L （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式（其中利润=销售额-成本）()L x (2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润．【答案】(1)()2103001000,020*******,20.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)15百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1250万元．【分析】（1）根据成本函数与销售收入计算利润得利润函数；（2）根据利润函数分段分别利用二次函数性质、基本不等式求得最大值，然后比较可得．【详解】（1）根据题意可知，当时，，020x <<22()800105001000103001000L x x x x x x =---=-+-当时，，20x ≥400400()800801200010001000L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭所以()2103001000,020*******,20.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，020x <<2()103001000L x x x =-+-∴当时，取得最大值1250；15x =()L x 当时，，20x≥400()10001000960L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当即时取等号．400x x =20x =∴综上，当时，取得最大值1250．15x =()L x 即2020年产量为15百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1250万元．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．2y ax bx c =++()2,4A --()0,0O ()2,0B(1)求抛物线的解析式；2y ax bx c =++(2)若点是该抛物线对称轴上的一点，求的最小值．M AM OM +【答案】(1)212y x x =-+(2)【分析】（1）把三点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，求解即可；,,a b c （2）如图，结合由抛物线的对称性得到，当在一条线上时，OM AM BM AM +=+,,A M B 最小，利用勾股定理求即可.BM AM AB +=AB 【详解】（1）解：因为抛物线经过点，，，2y ax bx c =++()2,4A --()0,0O ()2,0B ，解得4244200a b c a b c c -+=-⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩1210a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以抛物线的解析式为：；212y x x =-+（2）由（1）知抛物线的解析，212y x x =-+抛物线的对称轴为，且对称轴垂直平分线段，∴1x =OB 是该抛物线对称轴上的一点，，M OM BM ∴=，OM AM BM AM ∴+=+如图，当在一条线上时，最小，,,A M B BM AM AB +=作轴于点，，，AN x ⊥N ()2,4A -- (2,0)N ∴-又，，(2,0)B 4,4AN BN ∴==在中，Rt ABN △AB ==故的最小值为AM OM +。
高一第一次月考数学试卷及答案
高一第一次月考数学试卷及答案 第I 卷 选择题（共60分）一、选择题.（每一题只有一个答案符合，每小题5分，共12小题，共60分） 1、已知全集{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B =，则()U C A B =（ ）.{5}A .{1,3}B .{1,3,4,5C .D Æ2、已知函数222,1(),22,1x x f x x x x ì-?ï=í+->ïî则1()(2)f f 的值为（ ） 71.36A .6B 7.4C 11.9D 3、设集合15{|,},{|,}266k A x x k Z B x x k k Z ==+?=-?，则集合A 和集合B 的关系为（ ）.A A B = .B B AÍ .C A B Í .D A B Ú 4、已知函数()f x 满足112()()f x xf x x=+，则(3)f =（ ） .3A 29.9B 23.9C 1.3D5、已知集合12{|},{3,4}2A a N NB a =挝=-，集合C 满足B C A 屯，则所有满足条件的集合C 的个数为（ ）.8A .16B .15C .32D 6、已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数2()g x 的定义域为（ ）.(,1)(2,)A -?+? .[6,1)(2,3]B --.[,1)(2,5]C -- .[2,1)(2,D -- 7、已知函数()f x =，则(2)f x -的单调递增区间为（ ）1.(,)2A +? 1.(,2)2B 1.(1,)2C - 3.(,3)2D8、已知函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且21()()21f xg x x x +=--+，则(2)f =（ ）2.3A -7.3B .3C - 11.3D 9、已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N Î，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+?上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n +=（ ） .2A .3B .4C .5D10、已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（ ）.4Am < 1.42B m -<< 7.42C m << 17.22D m -<< 11、已知函数25(2),1(),2(72)1,1a x x f x x a x x ì-+?ï=íï-+-+<î对任意12,x x R Î且12x x ¹时，有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（ ）5.22A a <?135.62B a ＃.2C a < 13.6D a < 12、设函数2()(),[,](),1||xf x x R M a b a b x =-?<+集合{|(),},N y y f x x M ==?则使得M N =成立的实数对(,)a b 有（ ）.0A 个 .1B 个 .2C 个 .D 无数多个第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题.（每小题5分，共4小题，共20分）13、已知映射:(,)(2,2)f x y x y x y ?-，则在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为_________.14、已知函数()f x 是定义域为R ，且函数(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-?上是单调递增的，则不等式1(21)()3f x f ->的解集为___________.15、已知函数2()410f x x x =-+（[,]x m n Î）的值域为[3,3]m n ，则2____.m n +=16、设函数222,0(),20x x f x xx ì³ï=í-<ïî不等式(3)3)f x f x -?的解集为_____________. 三、解答题（第17题10分，18—22题每题12分，共70分）17、（满分10分）已知集合2{|3100}A x x x =-++?，集合23{|0}1x B x x -=?+，则（1）求A B （2）求()R C B A18、（满分12分）已知函数12)32f x x=++，函数()12g x x =-（1）求函数()f x 的解析式，并写出其定义域. （2）求函数()g x 的值域.19、（满分12）已知集合{|13}A x x =-<<，集合22{|(1)620,}B x x a x a a aR =++--Ｎ，则（1）若1a =时，求()()R R C A C B（2）若,A B B =求实数a 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
第I 卷（选择题，共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 下列各组集合中表示同一集合的是
.{(3,2)},{(2,3)}A M N ==.{2,3},N {3,2}B M ==.{2,3},N {x 2,y 3}C M ==== .{2,3},N {(2,3)}D M ==
2. 集合{x |x }M =是直线，{y |y }N =是圆，则M
N =
.{}A 直线 .{}B 圆 .{}C 直线与圆的交点 .D ∅
3. 集合{x N |x(x -1)0}M =∈≤的子集个数为
.1A .2B .3C .4D
4. 已知集合2
{1,a },P {1,a},M ==--若M
P 有三个元素，则M P =
.{0,1}A .{1,0}B - C.{0} .{1}D -
5. 已知集合2
{x |x 5x 0},N {x |p x 6},M =-≤=<<且{x |2x q},M
N =<≤ 则p q +=
.6A .7B .8C .9D
6. 下列各图中，不可能表示函数()y f x ＝的图像的是
7. 集合{}{}042|0|A x x B y y ≤≤≤≤＝，＝，下列不表示从A 到B 的函数的是
1.2f x x A y →：＝ 1 3B f x y x →．：＝ 2 3
C f x y x →．：＝
D f x y x →．：＝
8.下列各组函数中，表示同一函数的是
()()2A f x x g x x ．＝，＝ ()()22()B x x f x g x ．＝，＝
()()21
11
x C f x g x x x --．＝，＝＋ ()()2111D f x x x g x x +--．＝，＝
9.设函数()223,
1,22 1.
x x f x x x x -≥⎧⎨--<⎩＝ 若()01f x ＝， 则0=x
A ．
－1或3 B ． 2或3 C ． －1或2 D ．－1或2或3
()A f x x ．＝ ()B f x x x ．＝－ ()1C f x x ．＝＋ ()D f x x ．＝－
11.若函数2
1()242
f x x x =
-+的定义域、值域都是[2,2b](b 1),>则 .2Ab = .2B b ≥ C.(1,2)b ∈ .(2,)D b ∈+∞
12.若函数()y f x =的定义域为[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域为 .[0,1]A .[0,1)B .[0,1)(1,4]C .(0,1)D
第II 卷（非选择题，共90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知集合212{|,},{|1,}33
n n
A x x n Z
B x x n Z +==
∈==+∈，则集合A B 、的关系为_____________. 14.
已知3x,f =-则()f x =________________________________________. 15.已知函数10,()1
0.
x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩ 则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是__________________________.
16.设集合{}{}012|1|A x x B x x ≤<≤≤＝，＝，函数()242.
x
x A f x x
x B ∈⎧⎨
-∈⎩，
＝ 0x A ∈ 且()0f f x A ⎡⎤⎣∈⎦， 则0x 的取值范围是________．
三、 解答题：本大题共6小题，17题10分，其余每小题12分，共70分，解答题应写出适当的文
字说明或证明步骤.
17.（本小题满分10分）已知集合2
2
{|430},{|90},A x x x B x x ax =-+==-+=若,R
B A =∅ 试求实数a 的
范围.
18.（本小题满分15分）已知集合2
{|3100},A x x x =--≤ 若 （1）,{|121},B A B x m x m ⊆=+≤≤- 求实数m 的范围； （2）,{|621},A B B x m x m ⊆=-≤≤- 求实数m 的范围； （3）=,{|-621},B A B x m x m =≤≤- 求实数m 的范围.
19. （本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足2
(1)(1)22,f x f x x x ++-=- 试求： （1）解不等式()1f x >； （2）若[0,2]x ∈，试求函数()f x 的值域.
20. （本小题满分20分）已知关于x 的不等式2
260(0)kx x k k -+<≠，
（1）若不等式的解集为{|32},x x x <->-或 求k 的值； （2）若不等式的解集为1{|},x x k
≠ 求k 的值； （3）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； （4）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围.
21. （本小题满分13分）已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5)，且()f x 在区间[1,4]-上的最大值为12.
（1）求()f x 的解析式； （2）设函数()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式.
参考答案
一、 选择题
1~5 BDDCB 6~10 BCACC 11~12 AB 二、 填空题
=B____ 14.22-(0)x x ≥ 15.3(,]2-∞ 16.017[0,)(,2]44
x ∈⋃ 三、 解答题
17.-66a <≤
18.(1)3m ≤ (2)34m ≤≤ (3)不存在
19.（1）(,1)(2,)x ∈-∞-⋃+∞ （2）5()[,1]4
f x ∈-
20.（1）25
k =-
2k =（）
(3)k <
(4)k ≥21.（1）2
(x)2x 10f =-
（2）2
2
3268225
35g()2
2252102t t t t t t t t ⎧--≤⎪⎪
⎪=-
<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩
}。