《空间解析几何简介》PPT课件
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空间解析几何28965-PPT文档资料25页
§7．7 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
大学课程《高等数学》PPT课件：6-1 空间解析几何简介
例1 求点 M 2,1, 1 到 y轴的距离.
解 :过点 M 做 y 轴的垂线，其垂足点 P 的坐标
为 0,1,0 ，所以
MP 2 02 112 1 02 5
例2 设动点 M 与两定点 P1 1, 2,1，P2 2,1, 2 等距
离，求动点M 的轨迹.
解 :设动点 M x, y, z ，因为 P1M P2M ，所以
（2）已知方程 F x, y, z 0,研究此方程所表
示的曲面形状.
例3 求球心在点 M0 x0, y0, z0 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M x, y, z 是球面上任一点（见图），
则有 M0M R，由两点间距离 公式得 :
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
本节先简要介绍空间解析几何的有关内容。
第六章
空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二、空间曲面及其方程 三、空间曲线及其方程
在空间任意选取一定点 O ,过点 O 做三条互相垂直
的以点 O 为原点的数轴，依次记为 x 轴(横轴)、y 轴
(纵轴)、z 轴(竖轴)，统称为坐标轴. 它们的顺序按下
述右手规则确定:以右手握住 z 轴，让右手的四个手
含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第 I 卦限，
其他第 II、第 III 、第 IV 卦限在 xOy 平面的上方,按 逆时针方向确定. 第 I 、II 、III 、IV 卦限下面的空间
部分，分别称为第 V、V、V、V 卦限(见图).
设 M 为空间任意点,过该点分别
做垂直于 三坐标轴的平面, 与坐标轴
二次曲面
我们把三元二次方程 F (x, y, z) 0所表示的曲
面称为二次曲面. 而把平面称为一次曲面.
空间解析几何ppt1.7
三、数量积的坐标表示（直角坐标系下）
2）向量的方向余弦
三、数量积的坐标表示（直角坐标系下）
3）两向量的交角
思考题：
2.已知向量
与
共一始点，
，试确定沿 的角平分线上 的坐标.
3.在直角坐标系 下，已知点 的坐标
其中
与 轴的夹角为 ，求
的模，方向余弦，以及 的坐标.
思考题：
P46－47
2（3），3（2），4（2）
例2 试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面. 例3 试证三角示（直角坐标系下）
1）两点距离
三、数量积的坐标表示（直角坐标系下）
2）向量的方向余弦
向量与坐标轴（或坐标向量）所成的角叫做向量的方向角， 方向角的余弦叫做向量的方向余弦.
《解析几何》
－Chapter 1
§7 两向量的数量积
Contents
一、数量积的概念 二、数量积的运算规律 三、数量积的坐标表示
实例
M1
M2
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
一、数量积的概念
说明：
二、数量积的运算规律
思考：数量积对于消去律可成立？
例1 证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.
空间解析几何-第2章-空间的平面与直线ppt
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
《空间解析几何》课件
了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
空间解析几何精ppt课件
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
高等数学第八章空间解析几何教学精品PPT课件
高等数学(下册)
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
空间解析几何PPT
应的分子也为0
2、平行向量的坐标表示式
a // b b a
(bx , by , bz ) (ax , ay , az )
bx ax
by ay
bz az
例3 求解以向量为未 知元的线性方程组
xx
4 2
y y
a b
其中 a = (3,1,2),b = (5,-1,4).
在空间直角坐标系Oxyz的三条轴的正方向分别取三个 单位向量 i, j, k 称为基本单位向量.
1、向量的加减法与数乘
a
(a
x
,
ay,
az ) axi ay j azk;
b (bx , by , bz ) bxi by j bzk;
⑴加法 a b (ax bx , ay by, az bz )
结果是一个与原向量同方向的单位向量.
(3) 两个向量的平行关系（共线定理）
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件
是：存在唯一的实数 ，使 b a.
证设:b充// a分, 取性显然b；, 当下b面与证a 同明向必时要性取正值，
当
b
与
a
a
反向时 取负值，
则此时
b
与
a
同向.
又
a
a
b
a
b,
故有 b a.
a
再证明 的唯一性. 设 b
两式相减，得
(
)a
a0，，又设即ba，a
0，
a 0， 故 0， 即 .
证毕
注：此定理是建立数轴和坐标的理论依据. 设点O及单位向量i 确定了数轴Ox,
对于轴上任一点P, 对应一个向量OP,
空间解析几何简介99页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
空间解析几何简介
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
空间解析几何简介
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
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.
7
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四川水利职业技术学院
7(补充) 空间解析几何简介
例2 作z = d （d为常数）的图形.
解 A x B y C zD 0
A0,B0,C 1.
z
d
o
x
y
.
8
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四川水利职业技术学院
7(补充) 空间解析几何简介
例3 求球心在点
,半径为R的球面方程.
M0(x0, y0,z0)
.
9
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四川水利职业技术学院
7(补充) 空间解析几何简介
例4 作 x2y2R2的 图 形 .
解
z
x2 y2 R2
o y
x
.
10
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四川水利职业技术学院
7(补充) 空间解析几何简介
例5 作 zx2y2的 图 形 .
解
z
z x2 y2
x2 y2 0 zx2y2在xoy面的上方,
2. 空间曲面与方程
定义 如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0, 不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0,则称方程 F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图 形.
.
6
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四川水利职业技术学院
7(补充) 空间解析几何简介
z
o x
y
.
14
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四川水利职业技术学院
7(补充) 空间解析几何简介
(5) 抛物面 x2 y2 z(p、q同号）
2p 2q
z
z
o y
x
xo
y
p0, q0 . p0, q0
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7(补充) 空间解析几何简介
特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z 2p 2p
|M 1 M 2 |2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2 .
所以点 M1和M2 间的距离为 |M 1 M 2|(x 1 x .2 )2 (y 1 y 2 )2 (z 1 z 2 )2 .
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y2 z2 R2.
.
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7(补充) 空间解析几何简介
（2）球心在原点，半径为R的上半球面的方程为
x2y2z2R2 (z0).
（3）圆锥曲面
x2 y2 z2
z
o x
y
.
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（4）椭球面
a x2 2b y2 2c z2 21(a0,b0,c0)
解 设P(x,y,z)是球面上任意一点，
则根据两点间的距离公式，得
(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z0 )2 R ,
整理，得( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2 .
特别地，当球心在原点O(0,0,0)时，球面方程为 x2y2z2 R2.
7.1 多元函数
1. 多元函数的概念 2. 二元函数的极限 3. 二元函数的连续性
.
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7.1 多元函数
1. 多元函数的概念
例1 圆锥的体积和它的底半径R，高H之间具有关系 V 1R2H
3
对于R、H在一定范围内取一对确定的值，V都有
惟一确定的值与之对应.
例2 设R是电阻R1,R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之
(p0) 旋转抛物面
（由 xo面z 上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2
y2
2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z轴上.
.
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（6）双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z （ p与 q同号） 2p 2q
例1 求与两定点M(-1,0,2),N(3,1,1)距离相等的点的轨迹方程.
解 设动点坐标为P( x, y, z), PM PN.
x 1 2 y 2 z 2 2 x 3 2 y 1 2 z 1 2
4xyz30.
空间平面的方程为：A xB yC zD 0
其中A、B、C、D都是常数，且A、B、C不全为0.
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(补充) 空间解析几何简介
1. 空间直角坐标系 2. 空间曲面与方程
.
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1. 空间直角坐标系 z竖轴
坐标原点o •
y纵轴
横轴 x
通常规定x轴，y轴，z轴. 的正向要遵循右手法则.
2
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且与之仅有一个交点 .
o
x
y
.
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7(补充) 空间解析几何简介
如果方程 F(x,y,z)0是三元二次方程，则它的图
形是曲面，称为二次曲面.
（1）对称轴为z轴，底面半径为R的圆柱的方程为
x2 y2 R2.
对称轴为y轴，底面半径为R的圆柱的方程为
x2z2 R2.
对称轴为x轴，底面半径为R的圆柱的方程为
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Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系. 共有八个卦限.
3
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空间的点
有序数组( ,
坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
间具有关系
R R1R2
R1 R2
对于R1,R2在一定范围内取一. 对确定的值，R都有惟
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一确定的值与之对应.
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7.1 多元函数
定义1 设在某一变化过程中有三个变量x，y，z，如果对于 变量x，y在其变化范围内所取的每一对数值，变量z按照某一
z
o x
.
y
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第七章 多元函数微积分
❖ 7.1 多元函数 ❖ 7.2 偏导数 ❖ 7.3 全微分 ❖ 7.4 复合函数的偏导数
❖ ﹡7.5 偏导数的几何应用
❖ 7.6 多元函数的极值 ❖ 7.7 二重积分 ❖ ﹡7.8 二重积分的应用
.
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z
R(0,0,z)
o
.
x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0)
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空间两点的距离公式
由图可知，该长方体的各棱长分别为：
|x 2 x 1|,|y 1 y 2|,|z1 z2|.
长方体的对角线长的平方等于三条棱
长的平方和，则：