人教版高中数学全套教案导学案121几个常用函数的导数

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新人教A版高中数学(选修22)1.2.1《几种常见函数的导数》word教案

1.2．1 几种常见函数的导数
一、教学目标：熟记公式(C )¢＝0 (C为常数)，(x)¢＝1，( x2 )¢＝2x，
．
二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.[来
三、教学过程：
（一）公式1：(C )¢＝0 (C为常数)．
证明：y＝f(x)＝C, Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝C－C＝0,
也就是说，常数函数的导数等于0．
公式2：函数的导数
证明：（略）
公式3：函数的导数
公式4：函数的导数
公式5：函数的导数
（二）举例分析
例1. 求下列函数的导数．
⑴⑵⑶
解：⑴
⑵
⑶
练习
求下列函数的导数：
⑴y＝x5；⑵y＝x6；（3）（4）（5）
例2．求曲线和在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积。

例3．已知曲线上有两点A（1，1），B（2，2）。

求：（1）割线AB的斜率；（2）在[1，1+△x]内的平均变化率；
（3）点A处的切线的斜率；（4）点A处的切线方程
例4．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0 的最短距离．
（三）课堂小结
几种常见函数的导数公式网]
(C )¢＝0 (C为常数)，(x)¢＝1 ，( x 2 )¢＝2x，．
（四）课后作业。

几个常用函数的导数(教案)

几个常用函数的导数(教案)章节一：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的定义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够求解常见函数的导数。

教学内容：1. 导数的定义及几何意义；2. 导数的计算方法；3. 常见函数的导数。

教学步骤：1. 引入导数的定义，解释导数的几何意义；2. 引导学生通过极限的概念理解导数的计算方法；3. 举例讲解常见函数的导数；4. 练习求解常见函数的导数。

教学评估：1. 检查学生对导数定义的理解程度；2. 评估学生对导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解常见函数导数的能力。

章节二：常数函数的导数教学目标：1. 掌握常数函数的导数；2. 能够求解常数函数的导数。

教学内容：1. 常数函数的导数定义；2. 常数函数导数的计算方法。

教学步骤：1. 引入常数函数的导数定义；2. 讲解常数函数导数的计算方法；3. 举例求解常数函数的导数；4. 练习求解常数函数的导数。

教学评估：1. 检查学生对常数函数导数定义的理解程度；2. 评估学生对常数函数导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解常数函数导数的能力。

章节三：幂函数的导数教学目标：1. 掌握幂函数的导数；2. 能够求解幂函数的导数。

教学内容：1. 幂函数的导数定义；2. 幂函数导数的计算方法。

教学步骤：1. 引入幂函数的导数定义；2. 讲解幂函数导数的计算方法；3. 举例求解幂函数的导数；4. 练习求解幂函数的导数。

教学评估：1. 检查学生对幂函数导数定义的理解程度；2. 评估学生对幂函数导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解幂函数导数的能力。

章节四：指数函数的导数教学目标：1. 掌握指数函数的导数；2. 能够求解指数函数的导数。

教学内容：1. 指数函数的导数定义；2. 指数函数导数的计算方法。

教学步骤：1. 引入指数函数的导数定义；2. 讲解指数函数导数的计算方法；3. 举例求解指数函数的导数；4. 练习求解指数函数的导数。

8导学案《1.2.1几个常用函数的导数》(定稿)

《1.2.1几个常用函数的导数》导学案学习目标1.复习并加深理解导数的定义；2.结合导数的几何意义、物理意义，解释几个常见函数的导数；3.掌握运用导数的定义求导数的方法及其步骤；4.运用导数的定义，求几个常见函数的导数；5.记住这些常用函数的导数。

重点：运用导数的定义求导数。

难点：正确地进行符号运算；体会数形结合的思想理解导数的意义。

学习过程问题1：（1）导数的定义是什么？有哪些符号？这些符号分别表示什么？（2）在匀变速运动中，位移的导数、速度的导数的物理意义是什么？（3）导数的几何意义是什么？解：（1）导数的定义：一般地，函数()xx=处的_____________是____________________，y=在0xf称为函数()xx=处的导数，记作_____________即fy=在0x___________= ___________=____________________.（2）在匀变速直线运动中，位移对时间的导数的物理意义是_____________________,速度对时间的导数的物理意义是____________________.（3）导数的几何意义是___________________________________________________.问题2：（1）根据导数的定义，求函数的导数，就是求什么时候的哪个值？（2）用定义求函数导数的步骤是怎样的？解：（1）根据导数的定义，求函数()xy=的导数，就是求出当_____________时，f____________________的_______值。

（2）根据导数的定义，求函数导数的步骤如下：步骤1：___________________________步骤2：___________________________步骤3：___________________________问题3：由图（1）右图是某物体运动的位移(s)和时间(t)图象c，可知该物体处于____状态，位移(s)关于时间(t)的表达式为____，该物体的瞬时速度为_____.（2）画出函数()c=的图象，从导数的几何意义角度猜想其导数。

人教版高中数学教案-几个常用函数的导数

1. 2.1幾個常用函數的導數課前預習學案一．預習目標1．會由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數y c =、y x =、2y x =、1y x=的導數公式；2．掌握並能運用這四個公式正確求函數的導數．二．預習內容1.用導數定義求函數在一點處的導數的一般步驟是：（1）（2）（3）2．利用上述步驟求函數()f x x =當1x =時的導數，並說明其幾何意義。

.三．提出疑惑疑惑點疑惑內容一．學習目標1．會應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數y c =、y x =、2y x =、1y x=的導數公式；2．掌握並能運用這四個公式正確求函數的導數二．學習過程（一）。

複習回顧用導數定義求函數在一點處的導數的一般步驟是：（1）（2）（3）（二）。

提出問題，展示目標我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那麼，對於函數()y f x =，如何求它的導數呢？由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由於導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數的導數，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數的方法，下面我們求幾個常用的函數的導數．（三）、合作探究 1．利用導數定義求函數()y f x c ==的導數，並試從幾何角度和物理角度解釋導數的意義。

2．利用導數定義求函數()y f x x ==的導數，並試從幾何角度和物理角度解釋導數的意義。

3．利用導數定義求函數2()y f x x ==的導數，並試從幾何角度和物理角度解釋導數的意義。

4．利用導數定義求函數1()y f x x==的導數。

5．利用導數定義求函數y x =的導數。

6．你能從一般角度推廣函數*()()ny f x x n Q ==∈的導數嗎？（四）例題精析例題：在同一坐標系中畫出函數2,3,4y x y x y x ===的圖像，並根據導數的定義，求出它們的導數。

高一数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新课标人教A版选修1—1

高一数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新课标人教A 版选修1—1编号20 等级：周次上课时间月日周课型新授课主备人胡安涛使用人课题 3.3.1函数的单调性与导数教学目标1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性。

2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学重点会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学难点证明单调性课前准备多媒体课件（1）常函数：0'=C (C 为常数)；（2）幂函数：1)'(-=n nnxx (Q n ∈)（3）三角函数：（4）对数函数的导数: 1(ln ).x x '=1(log ).ln a x x a'= （5）指数函数的导数: ().x xe e '= ()ln (0,1).xxa a a a a '=>≠二。

【创设情境】下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数. 相应地, ()()0.v t h t '=>②从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地, ()()0.v t h t '=<观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是常数。

几个常用函数的导数教案

几个常用函数的导数教案教案标题：几个常用函数的导数教案教案目标：1. 理解常用函数的导数概念；2. 掌握求解几个常用函数的导数的方法；3. 能够灵活运用导数概念解决实际问题。

教案内容和步骤：Step 1: 引入导数的概念及其意义 (5分钟)介绍导数的概念，解释导数与函数斜率和变化率的关系。

通过实例让学生理解导数的重要性，以及它在数学和其他学科中的应用。

Step 2: 导数定义的解释 (10分钟)给出导数的定义，并详细解释定义中的各个部分。

使用图形或示意图来帮助学生理解导数的计算过程，并强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

Step 3: 常用函数的导数求解 (30分钟)针对以下几个常用函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，逐个讲解其导数的求法。

3.1 常数函数 f(x) = C 的导数求解 (5分钟)给出常数函数的导数定义，解释为什么常数函数的导数总是0，并举例说明。

3.2 幂函数 f(x) = x^n 的导数求解 (7分钟)介绍幂函数的导数求解公式，并通过几个具体的例子来演示求解过程。

3.3 指数函数 f(x) = a^x 的导数求解 (7分钟)解释指数函数导数求解的思路，引入自然指数函数e^x，并简要论述它的导数性质。

通过具体的例子来讲解指数函数导数的计算。

3.4 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数求解 (7分钟)介绍对数函数导数求解的方法，重点讲解自然对数函数ln(x)的导数。

通过例题让学生掌握对数函数导数的求取方法。

3.5 三角函数 f(x) = sin(x), cos(x), tan(x) 的导数求解 (7分钟)讲解三角函数的导数求解规则，并通过图形和实例说明求解过程，以及导数与三角函数属性之间的关系。

Step 4: 应用导数解决实际问题 (10分钟)列举一些实际问题，如最值问题、切线问题等，引导学生运用导数的知识解决这些问题。

同时，提供一些简单的练习题和习题让学生巩固所学知识。

人教版高中数学全套教案导学案1.2.1几个常用函数的导数

1. 2.1几个常用函数的导数课前预习学案一．预习目标1．会由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．预习内容1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）2．利用上述步骤求函数()f x x =当1x =时的导数，并说明其几何意义。

. 三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一．学习目标1．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数二．学习过程（一）。

复习回顾用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）（二）。

提出问题，展示目标我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（三）、合作探究1．利用导数定义求函数()y f x c ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

2．利用导数定义求函数()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

3．利用导数定义求函数2()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

4．利用导数定义求函数1()y f x x==的导数。

5．利用导数定义求函数y x =的导数。

6．你能从一般角度推广函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数吗？（四）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。

人教版高中数学优质教案2：3.2.1 几个常用函数的导数教学设计

3.2.1 几个常用函数的导数教学目标重点:根据导数的定义求四个函数()y f x c ==，()y f x x ==，1()y f x x ==，2()y f x x ==的导数难点：四个函数()y f x c ==，()y f x x ==，1()y f x x ==，2()y f x x ==几何意义和物理意义的解释知识点：利用导数的定义求函数的导数能力点：利用定义求其它函数的导数教育点：定义法求解的步骤考试点：根据导数定义求函数在某一点处导数的方法易错易混点：利用定义求切线方程时，分清所给点是否为切点拓展点：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点教具准备多媒体课堂模式学案导学一、引入新课复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般步骤：（1）求函数的改变量y ∆=()()f x x f x +∆-（2）求平均变化率y x ∆=∆()()f x x f x x+∆-∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim=0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆ [师生活动]教师引导：那么，对于函数)(x f y =，如何求它的导数呢？学生回答：可以根据导数的定义.求求函数)(x f y =的导数，就是求出x ∆趋近于0时，yx∆∆所趋于的那个定值. 教师引导：那我们可以根据定义求导，这就是我们今天要学习的内容.[设计意图]通过复习旧知识得到证明新知识的方法，使得学生易于理解、接受.[设计说明]由已知到未知，过渡自然.二、探究新知教师提问：根据前面求导数的步骤，你能够求函数()y f x c ==的导数吗？学生回答：可以，根据定义可以得出.师生共同完成：因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆=0c c x -=∆ 所以/y ＝x y x ∆∆→∆0limlim 00x ∆→== 教师提问：利用几何意义，0y '=表示什么意思？学生回答：根据导数的几何意义可知，其表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为0. 教师提问：若y c =表示路程关于时间的函数，则y '=0，可以怎么解释呢？学生回答：可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.教师提问：利用相同的方法，你能够求函数()y f x x ==的导数吗？学生回答：可以. 学生完成：因为y x ∆=∆()()f x x f x x +∆-∆=1x x x x +∆-=∆ 所以/y ＝x y x ∆∆→∆0lim 0lim11x ∆→== 教师提问：同样，1y '=表示的几何意义呢？学生回答：函数y x =图象上每一点处的切线斜率为1.教师提问：若y x =表示路程关于时间的函数，则y '=1，可以怎么解释？学生回答：可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.教师提问：大家思考以下这个问题，在同一平面直角坐标系中，你能画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数吗？学生回答：可以.教师提问：从图象上看，它们的导数分别表示什么？学生回答：它们的导数分别表示这些直线的斜率.教师提问：你能够根据导数的定义求它们的导数吗？学生经过演算可以得出教师提问：这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？学生回答：4y x =增加得最快，2y x =增加得最慢教师提问：函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？学生回答：函数(0)y kx k =>增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加的越快，k 越小，函数增加的越慢. 函数(0)y kx k =<减少的快慢与k 有关系，即与函数导数的绝对值有关系，k 越大，函数减少的越快，k 越小，函数减少的越慢.教师引导：由这两个例子，大家可以知道对于所有的函数，我们都可以利用定义求它们的导数.那么，对于常用的几个函数的导数，要求大家记住并且要求会写求导的步骤.下面，我们进一步的学习几个常用函数的导数.[设计意图] 通过求简单函数y c =及()y f x x ==的导数，达到让学生掌握住求函数导数步骤及明确导数的几何意义的目的三、理解新知1、()y f x c ==的导数0y '=，()y f x x ==的导数1y '=2、导数的几何意义是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.[设计意图]为准确的应用新知识，作必要的铺垫.四、运用新知例1求函数2()y f x x ==的导数[师生活动]教师提问：类比上面的导数的求法，你能得出2()y f x x ==的导数吗？学生思考回答：可以.师生共同分析得出[答案]. 解：因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆ =22222()2()x x x x x x x x x x+∆-+∆+∆-=∆∆ =2x x +∆所以/y ＝xy x ∆∆→∆0lim 0lim(2)2x x x x ∆→=+∆= [设计意图]：通过教师的板书，使得学生进一步明确解题的步骤；并且锻炼学生的活用知识的能力.例2、已知函数1y x=，根据图象试描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. [师生活动]教师提问：函数1y x=的图像分布在第几象限？变化情况怎样？做出如上的图像学生回答：分布在第一和第三象限，在各自的象限内随着x 的增大，函数值减小教师提问：求切线的方程，先求什么？学生回答：切线的斜率，即在0x x =的导数解：结合图像可知：当0x <时，随着x 的增加，函数1y x =减少的越来越快；当0x >时，随着x 的增加，函数1y x =减少的越来越慢. 又因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆ 11x x x x-+∆=∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+∆，所以/y ＝x y x ∆∆→∆0lim 22011lim()x x x x x∆→=-=-+∆ 即k ='21(1)11f =-=-，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y x -=--，即20x y +-=.【设计意图】根据导数的几何意义，可以求切线的方程.五、课堂小结教师提问：我们本节课，你学习到了什么知识点？学生回答：1. 利用定义求导法的方法，求导的三个步骤：作差，求商，取极限.2. 利用导数求切线方程时，要判断所给点是否为切点.教师总结：求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.【设计意图】：通过总结知识点，让学生明白本节的主要内容，便于掌握.六、布置作业七、教后反思1.本节课的亮点是把用定义求导数的步骤讲解的细致，便于学生接受.2.本节课的弱项是利用导数求切线方程时，对于要判断所给点是否为切点的问题没有进一步的说明.八、板书设计。

《几种常见函数的导数》教案完美版

《几种常见函数的导数》教案完美版一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义。

2. 掌握几种常见函数的导数公式。

3. 会求函数在某一点的导数。

4. 能够运用导数解决实际问题，如运动物体的瞬时速度、加速度等。

二、教学重难点1. 重点：几种常见函数的导数公式。

2. 难点：导数的应用，如求函数在某一点的导数，解决实际问题。

三、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解导数的定义和几何意义。

2. 运用归纳法，让学生掌握几种常见函数的导数公式。

3. 利用例题讲解法，培养学生求函数在某一点的导数的能力。

4. 采用问题驱动法，激发学生运用导数解决实际问题的兴趣。

四、教学准备1. 课件：几种常见函数的导数公式及例题。

2. 练习题：巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：回顾导数的定义和几何意义。

2. 新课：讲解几种常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

3. 例题：求函数在某一点的导数，如f(x) = x^2，在x=1时的导数。

4. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 拓展：运用导数解决实际问题，如求运动物体的瞬时速度、加速度等。

6. 小结：总结本节课的主要内容和知识点。

7. 作业：布置作业，让学生进一步巩固所学知识。

8. 课后反思：根据学生的课堂表现和作业情况，对教学进行总结和调整。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对导数定义和几何意义的理解，以及几种常见函数导数的掌握情况。

2. 评价方法：课堂问答、练习题、小组讨论。

3. 评价内容：a. 学生能否准确描述导数的定义和几何意义。

b. 学生是否能熟练运用几种常见函数的导数公式。

c. 学生是否能独立求出给定函数在某一点的导数。

d. 学生是否能运用导数解决实际问题。

七、教学反馈1. 课堂问答：通过提问，了解学生对导数概念和公式的理解程度。

2. 练习题：收集学生作业，分析其解答过程和结果，评估掌握情况。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进互动交流，提高解决问题的能力。

几个常用函数的导数1(导学案)

1、2、1《几个常用函数的导数》（导学案）班级_________ 组别_________姓名_________学习目标：(1)能够用定义求五个常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=，x y =的导数能利用它们解决简单的问题；(2)通过本节的学习，巩固导数的定义求导数的方法；（3）利用导数的的几何意义解释函数的图象变化情况，利用物理意义解释物体运动状态；（4）在学习中体会模仿，转化，数形结合的数学思想和方法。

一、知识回顾：1、一般地，函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率x yx ∆∆→∆0lim =_叫做()x f y =在0x x =处的导数，记作()0'x f 。

当x 变化时，()x f '便是x 的一个函数，我们称它为()x f y =的导函数，即()x f '=________________________；2、导数的几何意义: ()x f y =在0x x =处的导数()0'x f 表示_______________________；3、练习：已知函数()22x x f =，则函数在x x ∆+≤≤11上的函数值的增量y ∆=_______,平均变化率为_________,在1=x 处的导数()1'f =__________,函数在点（1，2）处的切线方程为________；二、自主学习：１、求下列几个常用函数的导数()x f '：（1）()c x f = （c 为常数）（２）()x x f =（３）()2x x f = （４）()xx f 1=（５）x x f =)(２、阅读教材P １２－１３，从导数的几何意义和物理意义的角度解释（１）（２）（３）三、问题探究：1、由函数()x x f =，()2x x f =，()1-=x x f 的导数，你能不能猜测出函数()3x x f y ==的导数？从而得出一般的结论是什么？探究结论：2、画出函数xy 1=的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程。

《几种常见函数的导数》教案完美版

《几种常见函数的导数》教案完美版第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的定义解释导数的概念，强调导数表示函数在某点的瞬时变化率。

通过图形和实际例子演示导数的意义。

1.2 导数的几何意义解释导数表示切线的斜率，通过图形展示导数与切线的关系。

强调导数与函数图像的切线有关，而不仅仅是函数值的变化。

1.3 导数的计算法则介绍导数的四则运算法则，包括加减乘除和复合函数的导数。

强调导数的计算法则在求导过程中的应用。

第二章：常数函数和幂函数的导数2.1 常数函数的导数证明常数函数的导数为0，强调常数函数的瞬时变化率为0。

2.2 幂函数的导数引入幂函数的导数公式，解释指数对导数的影响。

通过例子展示不同指数幂函数的导数计算方法。

2.3 指数函数和对数函数的导数引入指数函数的导数公式，解释指数函数的瞬时变化率。

引入对数函数的导数公式，解释对数函数的瞬时变化率。

第三章：三角函数的导数3.1 正弦函数的导数引入正弦函数的导数公式，解释正弦函数的瞬时变化率。

3.2 余弦函数的导数引入余弦函数的导数公式，解释余弦函数的瞬时变化率。

3.3 正切函数的导数引入正切函数的导数公式，解释正切函数的瞬时变化率。

第四章：反三角函数的导数4.1 反正弦函数的导数引入反正弦函数的导数公式，解释反正弦函数的瞬时变化率。

4.2 反余弦函数的导数引入反余弦函数的导数公式，解释反余弦函数的瞬时变化率。

4.3 反正切函数的导数引入反正切函数的导数公式，解释反正切函数的瞬时变化率。

第五章：复合函数的导数5.1 链式法则介绍链式法则，解释复合函数的导数计算方法。

5.2 反函数的导数引入反函数的导数概念，解释反函数的导数与原函数的关系。

5.3 复合函数的导数应用通过例子展示复合函数的导数在实际问题中的应用。

第六章：高阶导数6.1 导数的重复求导解释高阶导数的概念，即函数导数的导数。

演示如何求二阶、三阶等高阶导数。

6.2 求导法则在高阶导数中的应用强调高阶导数求导法则，如链式法则、乘积法则在高阶导数计算中的应用。

数学121几个常用函数的导数教案

§1.2.1几个常用函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式教学过程：一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最根本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比拟简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数导数y c = 0y '=0y '=表示函数y c =图像〔图3.2-1〕上每一点处的切线的斜率都为0．假设y c =表示路程关于时间的函数，那么0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数导数y x = 1y '=1y '=表示函数y x =图像〔图3.2-2〕上每一点处的切线的斜率都为1．假设y x =表示路程关于时间的函数，那么1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数导数 2y x = 2y x '=2y x '=表示函数2y x =图像〔图3.2-3〕上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，说明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．假设2y x =表示路程关于时间的函数，那么2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数导数1y x = 21y x '=- 〔2〕推广：假设*()()n y f x x n Q ==∈，那么1()n f x nx-'= 三．课堂练习1．课本P 13探究12．课本P 13探究24．求函数y x =四．回忆总结函数导数 y c = '0y =五．布置作业。

高中数学选修2-2人教A教案导学案1.2.1几个常用函数的导数

复习回顾用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）（二）。

2．利用导数定义求函数()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

3．利用导数定义求函数2()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

4．利用导数定义求函数1()y f x x==的导数。

5．利用导数定义求函数y x =的导数。

高中数学《几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案

3．2.1几个常用函数的导数3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．几个常见函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝□010f(x)＝x f′(x)＝□021f(x)＝x2f′(x)＝□032xf(x)＝1xf′(x)＝□04－1x2f(x)＝x f′(x)＝□0512x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝□06αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝□07cos xf(x)＝cos x f′(x)＝□08－sin xf(x)＝a x f′(x)＝□09a x ln_a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝□10e xf(x)＝log a x f′(x)＝□111x ln a(a>0且a≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝□121x3．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝□13f ′(x )＋g ′(x ) 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝□14f ′(x )－g ′(x ) 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝□15f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的商的导数 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝□16f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f 1±f 2±…±f n )′＝□17f 1′±f 2′±…±f n ′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf (x )±ng (x )]′＝□18mf ′(x )±ng ′(x )(m ，n 为常数)．基本初等函数的求导公式可分为四类(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·x α－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y′＝(a x)′＝a x·ln a，当a＝e时，e x的导数是(a x)′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y′＝(log a x)′＝1x·ln a，也可记为(log a x)′＝1x·log a e，当a＝e时，ln x的导数也是(log a x)′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝2，则y′＝12×2＝1.()(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x.()(3)若f(x)＝x32，则f′(x)＝32x.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)⎝⎛⎭⎪⎫1x3′＝________.(2)(2x)′＝________.(3)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x则f′(x)－g′(x)＝________.答案(1)－3x4(2)2x ln 2(3)3x2－1x ln 3探究1利用导数公式及运算法则求导例1求下列函数的导数．(1)y＝5x3；(2)y＝log5x；(3)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；(4)f(x)＝2－2sin2x2；(5)f(x)＝e x＋1e x－1.[解](1)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x－25＝355x2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.(3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x . (5)解法一：f ′(x )＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x－1)2＝－2e x (e x－1)2.解法二：因为f (x )＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝2′(e x －1)－2(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.拓展提升(1)当函数解析式能化简时，要先化简再求导．(2)当函数解析式能变形时，可以先变形再求导，要注意，变形的目的是为了求导更简单，如果变形后求导并不简单，那就不要变形，直接求导．【跟踪训练1】求下列函数的导数． (1)y ＝13x 2；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x －23 )′＝－23·x －23 －1 ＝－23·x －53(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝x 2e x (3＋x )．(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解]因为(e x)′＝e x，设切点坐标为(x0，e x0)，则过该切点的直线的斜率为e x0，所以所求切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．因为切线过原点，所以－e x0＝－x0·e x0，x0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究]已知点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x＝1.y′＝(e x)′＝e x，e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x＝2x0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.探究3 导数计算的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，即f (2)＝12.由f ′(x )＝a ＋bx 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.所以所求解析式为f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，即切线与直线x ＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0；令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0,2x 0)．故点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，当x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值．解 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2，且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.① 若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1，即1－2b ＋c ＝－1，②由①②，解得b ＝14，不满足b ≥1，应舍去．若－1＜－b ＜3，即－3＜b ＜1，则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1，即c －b 2＝－1，③由①③，解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1. 若－b ≥3，即b ≤－3，f ′(x )在[－1,3]上是减函数，所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1，即9＋6b ＋c ＝－1，④由①④，解得b ＝－94，不满足b ≤－3，应舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单．例如，求y ＝x ·x 的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y ＝x ·x ＝x32 ，再求y ′＝32x12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．下列运算：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3.∴所给三个都不正确．2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3x B ．3x 2＋3x ·ln 3＋13 C ．3x 2＋3x ·ln 3 D ．x 3＋3x ·ln 3答案 C解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1.5．已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值．解设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .A 级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f (x )＝2x n －nx 2(n ≠0)，且f ′(2)＝0，则n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析由已知得f ′(x )＝2nx n －1－2nx .因为f ′(2)＝0，所以2n ·2n －1－2n ·2＝0，即n ·2n －4n ＝0.当n ＝2时，2×22－4×2＝0成立．故选B.2．已知f (x )＝1x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝( )A ．－25B ．－125 C.125 D ．25答案 B解析因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2.故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－25，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f (－25)＝－125.3．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) 答案 C解析由题意知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x ，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x >0，∴x2－x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵x >0，∴x >2.4．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D ．1 答案 B解析设切点为(x 0，y 0)，由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线方程得－12＝12＋b ，解得b ＝－1.故选B. 5．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设动点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 B解析设P (x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－1，∴动点P 处的切线的斜率k ＝3x 20－1≥－1，∴tan α≥－1.又α∈[0，π)，∴0≤α<π2或3π4≤α＜π.二、填空题6．若曲线y ＝x －12 在点(a ，a －12)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为18，则a ＝________.答案 64解析 ∵y ′＝－12·x －32 ，∴y ′|x ＝a ＝－12·a －32 ，∴在点(a ，a －12 )处的切线方程为y －a －12 ＝－12·a －32 ·(x －a )．令x ＝0，得y＝32a－12，令y ＝0，得x ＝3a ，由题意得a >0，∴12×3a ×32a －12＝18，解得a ＝64.7．已知f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝52x 4－92x 2＋1解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(1)＝1，f (1)＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，4a ＋2b ＝1，a ＋b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－92，c ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.8．已知f (x )＝x －2x ＋lg 2，则f ′(x )＝________.答案 12x －12－2x ln 2解析因为f (x )＝x12 －2x＋lg 2，所以f ′(x )＝12x －12 －2x ln 2.注意(lg 2)′＝0，避免出现(lg 2)′＝12ln 10的错误．三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x .解 (1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x.10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y＋5＝0，求函数的解析式．解由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0，f (－1)＝－2，－a －61＋b＝－2，①又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，f ′(－1)＝－12，f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，f ′(－1)＝－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，② 由①②解得，a ＝2，b ＝3(b ＋1≠0，b ＝－1舍去)．所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.B 级：能力提升练1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2018(x )＝________.答案－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2018共2019个数，2019＝4×504＋3，所以f 2018(x )＝f 2(x )＝－sin x .2．已知函数f (x )＝x 2a －1(a >0)的图象在x ＝1处的切线l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．解 ∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a .又∵f (1)＝1a －1， ∴切线l 的方程为y －1a ＋1＝2a (x －1)．分别令x ＝0，y ＝0得y ＝－1a －1，x ＝a ＋12， ∴三角形的面积为S＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a＋12＝14⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋2≥14×(2＋2)＝1.当且仅当a＝1a，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1.。

高二新课程数学1.2.1几个常用函数的导数导学案新选修22

§1.2.1几个常用函数导数学习目标1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？典型例题例1 求函数1()y f x x==的导数变式：求函数2()y f x x ==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1y x=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.动手试试练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.练2. 求函数()y f x ==三、总结提升学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”学习评价当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为，在4t =时的速度为 .课后作业1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.。

1.2.1几个常用函数的导数导学案

§1.2.1几个常用函数的导数【学习要求】1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数c y =、x y =、2x y =、x y 1=，x y =的导数公式；2．掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数．【学法指导】一、复习与思考：1、函数)(x f y =在点0x x =处的导数的几何意义是什么？2、如何求函数)(x f y =的导函数？二、学习探究：探究：常见结果函数的导数问题1：c y =、x y =、2x y =、x y 1=，x y =是我们学习过的几个常见函数，根据导数的定义，你能够求出它们的导数吗？探究过程：1、c y =的导数：2、x y =的导数：3、2x y =的导数：4、x y 1=的导数：5、y 的导数：思考：根据上述几个导数公式，函数)(x f y ==n x (n ∈Q*)的导数是什么？三、例题分析：例1：画出函数xx f y 1)(==的图象，描述它的变化情况。

⑴求出曲线在点（1，1）处的切线方程；⑵求出曲线的过点（1，2）的切线方程。

例2：在同一坐标系中，画出函数x y 2=、x y 3=、x y 4=的图象，根据导数的定义，求它们的导数，并思考：⑴从图象上看，它们的导数分别表示什么？⑵在这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ ⑶函数kx y =(k ≠0)增（减）的快慢与什么有关？【当堂检测】1、函数x x f =)(，则)3('f = （）A .63B .0C .x 21D . 232、曲线n y x =在1x =-处的导数为4-，则n 等于（）A .-4B .2C .-2D .43、已知曲线42x y =的一条切线的斜率为 21，则切点的横坐标为（）A .1B .2C .3D .44、设曲线2ax y =在点(1,)a 处的切线与直线062=--y x 平行，则a =（） A .1 B .-1 C . 21 D .- 215、已知3)(x x f =的切线的斜率为1，则其切线方程有（）A ．1个B ．2个C ．多于两个D ．不能确定【课后强化作业】《成才之路》对应练习。

人教版数学高二教学设计1几个常用函数的导数

1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数.教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用. 教学过程：合作探究：探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为0.若y c =表示路程关于时间的函数，则y '=0，可以解释为速度为0，即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则y '=1，可以解释为速度为1.探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？【答案】（1）y =2,y =3,y =4（2）y =4x y =2x（3）斜率典型例题1．推导函数的导数：()f x c =. 解：()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆， '00()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ 2. 求()f x x =的导数. 解：()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆，'00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆. '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？(2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？可以看出，当k >0时，导数越大，递增越快；当k <0时，导数越小，递减越快.3. 求函数2()y f x x ==的导数. 解： 22()()()2y f x x f x x x x x x x x x∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆， ''00()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆. '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x ,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：(1) 当x <0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢；（2）当x >0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快.4. 求函数1()y f x x==的导数. 解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？'(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+.(2)改为点（3，3），结果如何？(3)把这个结论当作公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程.5. 推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=反思总结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的步骤.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.当堂检测1.()0f x =的导数是（）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（）A ．(0,0)B ．(2,4)C ．11(,)416D ．11(,)244. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为，在4t =时的速度为 .【答案】1.A2. C3. B4. 2 48板书设计作业。

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1. 2.1几个常用函数的导数
课前预习学案
预习目标一．12x?y?yx??cyy的导数、、、义1．会由定求导数的三个步骤推导四种常见函
数x公式；公式正确求函数的导数．2．掌握并能运用这四个预习内容二．1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：
（1）
（2）
（3）
f(x)?x x?1时当的导数，并说明其几何意义。

．利用上述步骤求2函数
.
提出疑惑三．同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一．学习目标
12xy??y x??ycy的导、、．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、1x数公式；．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数2二．学习过程
（一）。

复习回顾
用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：
（1）
（2）
（3）。

提出问题，展示目标（二）．
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某y?f(x)，如何求它的导数呢？一时刻的瞬时速度．那么，对于函数由导数定义本身，给出了求导数的
最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
（三）、合作探究
y?f(x)?c的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

1．利用导数定义求函数
y?f(x)?x的导数，2．利用导数定义求函数并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

2x)??f(xy的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意3．利用导数定义求函数义。

1?)f(xy?的导数。

4．利用导数定义求函数x xy?的导数。

．利用导数定义求函数
5n*y?f(x)?x(n?Q)的导数吗？．你能从一般角度推广函数6（四）例题精析
y?2x,y?3x,y?4x的图像，并根据导数的定义，求出例题：在同一坐标系中画出函数它们的导数。

（1）从图像上看，它们的导数分别是什么？
（2）这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？
y?kx(k?0)增（减）的快慢与什么有关？（3）函数
三．反思总结
1.几个常用的函数的导数为：
2.可以推广的一般结论为：
四．当堂检测：
1?y(1,1)处的切线方程。

的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点画出函数x 1.2.1几个常用函数的导数
一．教学目标：
12xy??yx?y?cy、、．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、1x的导数公式；．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．2．教学重点，难点二
12xy??yx?ycy?、、、重点：四种常见函数的导数公式及应用x12xy??yxy?c?y、、难点：四种常见函数、的导数公式x教学过程：三．（一）．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一y?f(x)，如何求它的导数呢？时刻的瞬时速度．那么，对于函数
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（二）．新课讲授
y?f(x)?c的导数1．函数
?yf(x??x)?f(x)c?c???0根据导数定义，因为
?x?x?x?y??lim?lim0?0y所以?x?x?0?0?x
函数导数
y?c??0y
?y?cy?c0?y表示路程关于时间的函若．图像上每一点处的切线的斜率都为0表示函数??0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为数，则0，即物体一直处于静止状态．
y?f(x)?x的导数2 ．函数?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1因为
?x?x?x?y??lim?lim1y?1所以
?x0?x?0?x?．
函数导数
y?x??1y
?y??xxy1?y图像上每一点处的切线的斜率都为若1．表示函数表示路程关于时间的函??1y可以解释为某物体做瞬时速度为1数，则的匀速运动．
2x?(x)y?f的导数3．函数22x)?(x??xx??x)?f(x)?yf(??因为
?x?x?x222x)??(?xx?2x?x??2x??x
?x?y??lim(2x??yx?lim)?2x所以?x?x?0?0?x
函数导数
?2?2xyxy?
2?xy?x),?2xy(yx x2的变化，切表示函数处的切线的斜率都为图像上点，说明随着x?0线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当22xxy?y?xx0?x 的增加，函数的增加，函数时，随着减少得越来越慢；当时，随着2?x?y?2yx可以解释为某物体做变速表示路程关于时间的函数，则增加得越来越快．若x2x．的瞬时速度为运动，它在时刻1?)(xy?f的导数4．函数x11??yf(x??x)?f(x)x??xx??因为
?x?x?x x?(x??x)1???
2x(x??x)?xx?x??x?y11??lim(?y?lim)??所以22?xx?x??xx0?x??0x?
函数导数
11??yy??2xx x?y的导数．函数5．
?y11??limy(?lim)?所以?xx??x?x2x0???x?0x
函数导数
1??yx?y x2*nn?1?)Qn?x)?x(y?f((x)?fnx 6推广：若，则（三）例题精析
y?2x,y?3x,y?4x的图像，并根据导数的定义，求出例题：在同一坐标系中画出函数它们的导数。

（1）从图像上看，它们的导数分别是什么？
（2）这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？
y?kx(k?0)增（减）的快慢与什么有关？函数3）（解：略
（四）课堂练习：
1?y(1,1)处的切线方程。

画出函数的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点x
四．回顾总结
五．布置作业导数函数
y?c'?y0
xy?'?1y
2'x?y?2yx
11'??y?y2xx n*'n?1nxn?xfy?()x(?yQ)?。

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