单个正态总体的假设检验
8.2-0单正态假设检验
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验一、引言在统计学中，参数假设检验是一种常用的统计推断方法，用于对总体参数的假设进行验证。
在本文中，我们将讨论单正态总体的参数假设检验方法。
单正态总体是指样本来自一个服从正态分布的总体。
二、参数假设检验的基本步骤参数假设检验的基本步骤包括以下几个方面：1. 提出假设：在进行参数假设检验时，首先需要提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是对总体参数的一个特定取值或一组取值的陈述，备择假设（H1）是对原假设的补充或对立假设。
2. 选择检验统计量：检验统计量是一个用于判断是否拒绝原假设的量。
在单正态总体的参数假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本比例等。
3. 确定显著性水平：显著性水平是在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：根据样本数据，计算检验统计量的观察值。
5. 确定拒绝域：拒绝域是一组检验统计量的取值，如果观察到的检验统计量的取值落在这个区域内，则拒绝原假设。
6. 做出决策：根据观察到的检验统计量的取值和拒绝域的关系，做出接受或拒绝原假设的决策。
三、单正态总体均值的参数假设检验在单正态总体均值的参数假设检验中，常用的检验方法有Z检验和t检验。
1. Z检验：当总体的标准差已知时，可以使用Z检验。
Z检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准差的样本标准差。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，检验统计量近似服从标准正态分布。
2. t检验：当总体的标准差未知时，使用t检验。
t检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准误差的样本标准差。
根据学生t分布的性质，当样本容量较小时，检验统计量服从t分布。
四、实例分析为了更好地理解单正态总体的参数假设检验方法，我们以某电商平台的订单发货时间为例进行分析。
假设我们关注的是该电商平台订单的平均发货时间。
我们提出如下的原假设和备择假设：原假设（H0）：订单的平均发货时间为3天。
正态总体的假设检验
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
单个正态总体的假设检验
计算统计量 Z 的观察值
z0
x 0
n
.
(8.3)
如果：( a ) | z0 |> zα/2，则在显著性水平 α 下，拒绝原假设 H0
(接受备择假设H1)，所以| z 0|> zα/2 便是 H0 的拒绝域。
( b ) | z0 | z /2 ，则在显著性水平 α 下，接受原假设 H0，认
=0.05 下 否 定 H0 ， 即 不 能 认 为 这 批 产 品 的 平 均 抗 断 强 度 是
32.50kg·cm-2。
把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期
望值 μ 的检验步骤:
( a )提出待检验的假设 H0 ：μ = μ0； H1：μ ≠ μ0。
( b )构造统计量 Z ，并计算其观察值 z0 :
1277°(可看作温度的真值)，试问此仪器间接测量有无系统偏差?
这里假设测量值 X 服从 X ~ N ( μ , σ2) 分布。
解
①问题是要检验
提出假设 H0 ：μ = μ0=1227； H1：μ ≠ μ0。
由于
σ2
未知( 即仪器的精度不知道 )，我们选取统计量 T
当 H0 为真时，T ~ t ( n -1) ，T 的观察值为
X
X 0
N ( , ) ,
n
Z
n
X 0
n
N (0,1) ,
(8.2)
作为此假设检验的统计量，显然当假设 H0 为真(即μ = μ0正确)
时, Z ~ N ( 0 , 1)，所以对于给定的显著性水平 α ，可求出 zα/2，
使
P{| Z | z 2 } .
见图8-3，即
单个正态总体均值假设检验(标准差已知,Z检验)
X
n
z 2
0
X
n
z
2
16
7
步骤1：提出检验假设
H0 : 1550, H1 : 1550
步骤2：确定检验规则
检验统计量为 Z X 1550. 取显著水平 0.05, n
由备择假设的形式知，这是左边检验，因此检验 规则为：当Z z z0.05 1.645时，拒绝H0.
8
步骤3:计算检验统计量的值
2
双边假设问题
H0 : 0, H1 : 0,
其中0是已知的常数.
2
拒绝域
接受域
2
检验统计量为 Z X 0
z 2
z 2
n
检验拒绝域W | Z |
X 0 n
z/2 .
3
P_值的计算
对给定的样本观察值x1,, xn,记检验统计量Z的取值
9
利用P_值进行假设检验
步骤3’:计算P_值
P_ P( X 1550 1530 1550 1550) n 120 225
P(Z 2.5) 0.006
步骤4’:根据显著水平作出判断
P_ 0.006 0.05,
同样做出拒绝原假设H0 : 1550的判断.
将样本均值x 1530, 120, n 225,
代入检验统计量，计算得
Z X 1550 1530 1550 2.5 1.645.
n 120 225
步骤4：根据实际情况作出判断
因此，根据检验规则，做出拒绝原假设H0的判断. 即认为A高校学生的生活水平低于B高校.
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
正态总体的均值和方差的假设检验
12
n1
2 2
n2
~ N (0,1)
给定α 0.05,
(当H 0成立时)
由 Φ(u0.025 ) 0.975, 查表可得 uα / 2 u0.025 1.96
(3)拒绝域: W1={(x1, x2, ∙∙∙, xn, y1, y2, ∙∙∙, yn)||u| u /2=1.96},
3. μ为未知，关于σ 2的检验（χ 2检验法）
设X 1 , X 2 , , X n是来自正态总体 N ( μ, σ 2 )的一样本，
其中μ, σ 2未知，检验水平为 α，检验σ 2步骤为：
1 假设H0 : 2 0 2 , H1: 2 0 2 ;
X1 , X 2 ,, X n为来自总体X的样本，
2 2 2 2 X ~ N ( μ1 , σ1 ),Y ~ N ( μ2 , σ 2 ), σ1 60, σ 2 80,问
两台机床生产的产品重量有无显著差异( =0.05)？ 解 本题归结为检验假设
(1) H0 : 1 2 , H1: 1 2 ,
(2)取检验的统计量为 U ( X Y ) /
解 (1)
本题归结为检验假设
H 0 : μ 800,
H1 : μ 800;
40，n 9 X 800 (2)选择统计量 U 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).
(3)给定显著性水平 = 0.05,由正态分布函数表 查得u /2=u0.025 =1.96,从而得检验的拒绝域为 W1={(x1 , x2 , ∙∙∙ , xn) :|u| u 0.025 =1.96 }； (4) 由样本值计算U的观测值为
x 0 s / n
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。
根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。
3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。
4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。
如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。
5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。
根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。
下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。
假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。
我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。
现在我们要进行假设检验。
1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。
2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。
z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。
4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。
5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。
在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。
8.2正态总体均值的假设检验
t t ( n1 n2 2).
x y 因为 t 4.295, 1 1 sw 10 10
t0.05 (18) 1.7341,
所以拒绝 H 0 ,
即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.
例5 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台机床加工 的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
或 H0： 0；H1：0
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
2、方差未知 问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0 构造T统计量 T X 0 ~ t (n 1)
t检验 双边检验
X 0 由 P t 2 (n 1) S n 确定拒绝域 T t 2 (n 1) x 0 如果统计量的观测值 T t 2 (n 1) S n
则拒绝原假设；否则接受原假设
S
n
例2 化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态 分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包 装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平 均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包 装机工作正常？（=0.1） 解 由题意可知：化肥重量X~N（，2），0=100 方差未知，要求对均值进行检验，采用T检验法。
得 k t / 2 (n1 n2 2).
故拒绝域为
( x y) t t / 2 ( n1 n2 2). 1 1 sw n1 n2
一个正态总体的假设检验
§2一．已知方差2σ, 检验假设：:Hμμ=（1）提出原假设：:Hμμ=(μ是已知数)（2）选择统计量：X U μ-=（3）求出在假设H 成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布：(0,1)UN（4）选择检验水平α，查正态分布表（附表1），得临界值12u α- ，即12()X P uαμα-->=（5） 根据样本值计算统计量的观察值u ，给出拒绝或接受H 。
的判断： 当12u u α-> 时， 则拒绝H 。
；当12uuα-≤ 时， 则接受H 。
．【例1】某厂生产干电他，根据长期的资料知道，干电他的寿解：现取0.05α=，即1.96)0.05XP>=因而，拒绝原假设，即这批干电他的平均寿命不是200小时.【例２】P.191 ――例2.1（0.05α=，0.01）P.193――例2．2二．未知方差2σ, 检验假设：:Hμμ=：（1）提出原假设：:Hμμ=(μ是已知数)（2）选择统计量：XTμ-=（3）求出在假设H成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布：(1)T t n -（4）选择检验水平α，查自由度为1n-的t-分布表（附表2），得临界值λ，即()XPμλα->=（5）根据样本值计算统计量的观察值t，且给出拒绝或接受H。
的判断：当tλ>时，则拒绝H。
；当t λ≤时，则接受H。
．【例2】 某糖厂用自动打包机包装糖，每包重量服从正态分布，其标准重量μ＝100斤．某日开工后测得9包重量如下：99.3， 98.7, 100.5，101.2， 98.3， 99.7， 99.5， 102.1，100.5， 问：这一天打包机的工作是否正常?(检验水平α=5％) 解：（０）计算样本均值与样本均方差：1.21S = （1）提出原假设：:100Hμ=（2）选择统计量：100X T -=（3）求出在假设H 成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布： (8)T t（4）检验水平α=0.05，查自由度为８的t -分布表（附表2），得临界值2.36λ= ，即(2.36)0.05X P >=（5） 根据样本值计算统计量的观察值t=∴0.0552.36t =< 故接受原假设，即所打包机重量的总体的平均重量仍为100斤，也就是说打包机工作正常．【例3】 用一仪器间接测量温度5次1250，1265，1245，1260，1275(℃)．而用另一种精密仪器测得该温度为1277℃(可看作真值)，问用此仪器测温度有无系统偏差(测量的温度服从正态分布)？(参看 P.187 –-- 例1.2)则(4)Tt , 自由度＝1514n -=-=，。
第二节单正态总体的假设检验
P{|T |k }
查 t 分布表得 kt / 2t0.025(8) 2.306,从而拒绝域
为 | t | 2.306. (4) 因为 x 49.9, s2 0.29, 所以
| t | x 50 0.56 2.036,| t | 0.56 2.036, s/ n
故应接受 H0 , 即以为包装机工作正常.
由此即得拒绝域为
u
x
0
/n
u / 2 ,
即
W (,u / 2 ) (u / 2 ,).
根据一次抽样后得到旳样本观察值 x1, x2 ,, xn 计 算出 U旳观察值 u, 若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H0 ,
即以为总体均值与0 有明显差别；
若 u u / 2 , 则接受原假设 H0 , 即以为总体均值与
S/ n 故选用 T 作为检验统计量，记其观察值 t. 因为 X
是 旳无偏估计量，S 2是 2 旳无偏估计量, 当 H0
成立时，t 不应太大，当 H1 成立时，t 有偏大旳趋
势, 故拒绝域形式为
t x 0 k
s/ n
（ k 待定）.
对于给定旳明显性水平 , 查分布表得
k t / 2(n 1), 使 P{T t / 2(n 1)} ,
使
P{ 2
2 1
/
2
(
n
1)
或
2
2
/
2
(
n
1)}
,
由此即得拒绝域为
2
n1
2 0
s
2
2 1
/
2
(
n
1)
或
2
n1
2 0
s
2
2 1
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验一、假设检验的基本概念假设检验是统计推断的一种方法，其基本思想是通过抽样来对总体参数进行推断，并判断总体参数是否满足其中一种假设。
在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0），这是一个既定的假设，表示总体参数满足其中一种特定的值或不满足其中一种特定的关系。
同时，我们还提出一个备择假设（H1），表示总体参数不满足原假设。
通过对样本数据的统计推断，我们可以对原假设进行拒绝或不拒绝的判断。
二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1.提出假设：根据问题的需求和背景条件，提出原假设和备择假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是指当原假设成立时，我们愿意犯第一类错误的概率。
一般情况下，我们常使用0.05作为显著性水平。
3.选择检验统计量：根据所需检验的问题，选择适当的检验统计量。
在单个正态总体参数的假设检验中，常用的检验统计量有Z检验和t检验。
4.计算检验统计量的观察值：根据样本数据计算出检验统计量的观察值。
5.根据显著性水平查找拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，查找拒绝域的临界值。
6.判断并作出结论：如果检验统计量的观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。
三、应用领域1.药物临床试验：在新药物的临床试验中，可以通过对患者进行抽样，检验患者服用药物前后的药效差异是否显著，以判断药物的疗效。
2.市场调研：在市场调研中，可以通过对一定数量的顾客进行问卷调查，检验顾客对其中一种产品的满意度是否显著不同，以了解产品在市场中的竞争力。
3.品质控制：在生产过程中，可以通过抽样检验产品的质量是否符合设定的标准。
例如，食品加工厂可以通过抽样检验产品的营养成分是否达到设定的要求。
4.经济学研究：在经济学研究中，可以通过对一定数量的经济指标进行抽样，检验指标的差异是否显著，以判断宏观经济政策的有效性。
总结：单个正态总体参数的假设检验是统计学中一种重要的方法，通过对样本数据的统计推断，判断总体参数是否满足其中一种假设。
5.4,5.5一个正态总体参数的假设检验
提出待检验假设
H 0 : µ = 23. 取α = 0.05
X − 23 X −µ 如果 H 0成立 U0 = 2 ~ N (0,1) U= ~ N (0,1) 2 6 6 X − 23 P > uα = α 2 2 6
X = 20.5, U 0 = 3.06 > 1.96 X − 23 P > 1.96 = 0.05 2 不能接受 " µ = 23" 这一假设 6
判 等 "EX = 23"成 与 ? 断 式 立 否
例 2, 用传统工艺加工的红果 罐头 , 每瓶平均维生素 C 的含量为 19毫克 , 现改进加工工艺，抽查 16 瓶罐头，测得 VC 含量为 现改进加工工艺， 瓶罐头， 23； .5； ； ； ； .5； ； ； ； .5； .8； ； .5； ； ； .(毫克 ) 20 21 22 20 22 19 20 23 20 18 20 19 22 18 23 若假定新工艺的方差 (1)σ 2 = 4为已知 ; ( 2 )σ 2 未知 , 问新工艺下 VC 的含量是否比旧工艺下 含量高 ?
2. H 0 : µ ≤ µ 0
解 .待检验的假设是 H 0 : µ ≤ 19. 设 α = 0 .05 , σ 2 = 4
分析
U= X −µ
σ
~ N(0,1)
U0 =
X − 19
σ
. U 0的分布不能确定
当H 0 成立时
n
U ≥ U0
P {U 0 > uα } ≤ P{U > uα }
X − 19 > uα ≤ α 则P σ n
α
第二类错误 当原假设 H0 不成立时，而样本值却落入了接受域，从而 不成立时，而样本值却落入了接受域， 的结论。也就是说， 作出接受 H0的结论。也就是说，把不符合 H0 的总体当 成符合 H0 的总体加以接受 . “纳伪”的错 纳伪” 误
正态总体均值的假设检验
于是
x
0
/n
0.516
z0.05
1.645,
故接受 H0 , 认为该机工作正常.
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 X ~ N (, 2 ), 其中, 2 未知, 显著性水平为 .
求检验问题 H0 : 0 , H1 : 0 的拒绝域.
设 X1 , X2 ,, Xn 为来自总体 X 的样本,
正态总体均值的假设检验
一、单个总体均值 的检验
二、两个总体均值差的检验(t 检验) 三、基于成对数据的检验(t 检验)
一、单个总体N(, 2)均值 的检验
1. 2 为已知, 关于 的检验( Z 检验)
在正态总体 N(, 2) 讨论中
当
2为已知时,
关于
的检验问题
0
:
(1) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ; (2) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ; (3) 假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 .
设两样本独立. 注意两总体的方差相等. 又设 X ,Y 分别是总体的样本均值, S12 , S22 是样本方
差, 1, 2 , 2 均为未知,
求检验问题 H0 : 1 2 , H1 : 1 2 ( 为已知常数)的拒绝域.
取显著性水平为 .
引入 t 统计量作为检验统计量:
t
(X Sw
11 n1 n2
k
得 k t / 2 (n1 n2 2).
故拒绝域为
t
(x sw
y)
11 n1 n2
t / 2 (n1
n2
2).
关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域见表
8.1, 常用 0 的情况.
第二节 正态总体参数的检验
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S
~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验在统计学中，假设检验是一种用于判断总体参数是否符合某种特定假设的方法。
而单正态总体的参数假设检验则是指对一个正态分布总体的参数进行假设检验。
单正态总体的参数假设检验通常涉及两个假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设是我们想要进行检验的假设，而备择假设则是与原假设相反的假设。
在单正态总体的参数假设检验中，我们通常关注的参数有均值（μ）和标准差（σ）。
下面将分别介绍如何进行均值和标准差的参数假设检验。
1. 均值参数假设检验对于均值参数的假设检验，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于总体的标准差已知的情况，而T检验适用于总体的标准差未知的情况。
假设我们要对一个正态分布总体的均值进行假设检验，原假设为均值等于某个特定值（H0: μ = μ0），备择假设为均值不等于特定值（H1: μ ≠ μ0）。
我们需要计算样本的均值（X̄）和标准差（S），然后根据样本量（n）和总体标准差（σ）的已知情况选择对应的检验方法。
如果总体标准差已知，可以使用Z检验。
计算Z统计量的公式为：Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)然后，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的Z统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
如果Z统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
如果总体标准差未知，可以使用T检验。
计算T统计量的公式为：T = (X̄ - μ0) / (S / √n)同样地，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的T统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
2. 标准差参数假设检验对于标准差参数的假设检验，常用的方法有卡方检验和F检验。
卡方检验适用于单个总体标准差的假设检验，而F检验适用于两个总体标准差的假设检验。
假设我们要对一个正态分布总体的标准差进行假设检验，原假设为标准差等于某个特定值（H0: σ = σ0），备择假设为标准差不等于特定值（H1: σ ≠ σ0）。
一个正态总体期望与方差的假设检验
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
检验 二、方差的假设检验－
2
一、期望值的假设检验
2 2 1、方差 0 为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本 X 1 , X 2 ,
, X n 来自正态总体 N ( , 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行. ①建立假设 关于正态均值 常用的三对假设 (a) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (双边假设检验问题) (b) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (单边假设检验问题) } (c) H0 : 0 ,H1 : 0 . 选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择 U 统计量
U
X 0
/ n
~ N (0,1)
(8.2.1)
③ 确定显著性水平
显著性水平 的大小应根据研究问题的需要而定,
一般为0.05. ④ 确定临界值,给出拒绝域 对于三种不同的假设,其拒绝域如图所示,其中u1 / 2 是标准正态分布的 1 分位数, 其他意义相同. 2
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设, 认为该批金 属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0
(8.2.8)
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 (8.2.9) 关于假设检验问题 2 2 (8.2.10) H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验 方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的 方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
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学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011级姓名姚瑞娟论文题目单个正态总体的检验假设指导教师韩英波职称副教授成绩2014年3月10日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstrac (1)Keywords (1)前言 (1)1 假设检验的基本步骤 (2)1.1 建立假设 (2)1.2 建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式 (2)2 单个正态总体均值的检验 (3)2.1 δ已知时的μ检验 (4)2.2 δ未知时的t检验 (6)3 单个正态总体方差的检验 (8)参考文献 (9)单个正态总体的假设检验学生姓名：姚瑞娟学号：20115034036数学与信息科学学院信息与计算科学专业指导老师：韩英波职称：副教授摘要：本文介绍了假设检验的基本步骤,如何建立假设检验,判断假设是否正确.此外,从2δ已知和2δ未知详细的讲述了单个正态总体μ的检验,还有单个正态总体方差的检验,及与它们相关的应用举例.关键词：正态分布；假设检验；均值；方差；拒绝域；接受域；原假设；Hypothesis test of one normal population Abstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper, and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition, it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown. There is a single of normal population variance test and the related application.Keywords：normal distribution；price value；hypothesis test；variance；rejected region；receptive regions；the original hypothesis前言假设检验是由K.Pearson于20世纪初提出的,之后由费希尔进行了细化,并最终由奈曼和E.Pearson提出了较完整的假设检验理论.统计推断的一个重要内容就是假设检验.然而,正态分布正态分布是最重要的一种概率分布,正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moiré于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大他使正态分布同时有了”高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他.也是出于这一工作,高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举.但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票,其上还印有正态分布的密度曲线.这传达了一种想法,在高斯的一切科 这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来.一个随机变量,如果是由微小的独立的随机因素的叠加结果,那么这个变量一般都可以认为服从正态分布,因此很多随机变量都可以用正态分布描述或近似描述,譬如,测量误差,厂品质量,人的身高,年龄雨量等都可以正态分布描述.1 假设检验的基本步骤1.1 建立假设设有来自某一个参数分布族(){},|F x x θ∈Θ的样本1,,n x x ,其中Θ为参数空间设00,Θ⊂ΘΘ≠∅,则命题00;H θ∈Θ称为一个假设或原假设或零假设,若有另一个()1112,,ΘΘ⊂ΘΘΘ=∅,则命题11;H θ∈Θ称为0H 的对立假设或备择假设，于是,我们感兴趣的一对假设就是00:H θ∈Θ vs 11:H θ∈Θ (1)其中”vs ”是versus 的缩写,是”对”的意思.对于假设(1),如果0Θ只含有一个点,则我们称之为简单原假设,否则就称为复杂或复合原假设.同样对于各种备择假设也有简单与复杂之别,当0H 为简单假设时,其形式可写成00;H θθ=,此时的备择假设通常有三种可能:0:,H θθ'≠ 00:H θθ''<, 00:,H θθ'''> 在假设检验中通常不轻易否定的假设为原假设. 1.2 建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式对于(1)的假设检验就是描述这样一个法则:当有了具体的样本后,按该法则就可以判断是接受0H 还是拒绝0H ,即检验等价于把样本空间划分为两个互不相交的部分W 和W ,当样本属于W 时,拒绝0H :否则接受0H .于是,我们称W 为该检验的拒绝域,而W 为接受域.由样本对原假设进行检验总是通过一个统计量完成的,该统计量为检验统计量.比如,样本均值是一个很好地检验统计量,因为要检验的假设是正态总体均值,在方差已知场合,样本均值x 是总体均值的充分统计量.样本均值x 愈大,意味着总体均值θ也大, .样本均值x 愈小,意味着总体均值θ也小,,所以拒绝域形如(){}{}1,,:n W x x x c x c =≤=≤ .是合理的，其中临界值c 待定.当拒绝域确定了,检验的判断准则跟着也就确定了:如果()1,,n x x W ∈ ,则拒绝0H :如果()1,,n x x W ∈ ,则接受0H 。
2 单个正态总体均值的检验设1,,n x x 施来自()2,N μδ的样本,考虑如下三种关于μ的检验问题Ⅰ 00:H μμ≤ vs 10;H μμ>, Ⅱ 00:H μμ≥ vs 10:H μμ<, Ⅲ 00:H μμ= vs 10:H μμ≠.其中0μ是已知常熟,由于正态总体含两个参数,总体方差已知与否对检验有影响,通常分为δ已知和未知两种情况讨论.δ已知时的μ的检验,对于单侧检验问题,由于μ的点估计是x ,且()2,/x n μδ ,故选用检验统计量x u =. 是恰当的.直觉告诉我哦们,当样本均值x 不超过设定均值0μ时,应倾向于接受原假设:当样本均值x 超过0μ时,应倾向于拒绝原假设.可是,在随机性存在的场合,如果x 比0μ大一点就拒绝原假设似乎不当,应当x 比0μ大到一定程度时拒绝原假设才是恰当的,这就存在一个临界值c ,拒绝域为(){}11,,:n W x x u c =≥ .常减记为{}c μ≥,若要求检验的显著性水平为α,则c 满足()0P u c μα≥=.由于0μμ=时()0,1u N ,故1c u α-=,最后的拒绝域为{}11W u u α-=≥.该检验用的统计量是u 统计量,故一般称为u 检验,该检验的势函数是μ的函数,它可用正态分步写出,具体如下,对(),μ∈-∞∞.()()()11g P X W P u u μμαμ-=∈=≥1X P u μα-⎫=≥⎪⎭1X P u μα-⎫=≥⎪⎭1X P u μα-⎫=≥⎪⎭))011/u αμμδ-=-Φ-+.由此可见,势函数是μ的增函数,由增函数性质可知,当()0g μα=就可保证在0μμ≤时有()g μα≤所以上述求出的检验是显著性水平为α的检验. 2.1 δ已知时的μ检验例1从甲地发送一个信号到乙地,设乙地接受到的信号值是一个服从正态分布()2,0.2N μ的随机变量,其中μ为甲地发送的实值信号,现甲地重复发送同一信号5次,乙地接收到的信号值为8.05 8.15 8.2 8.1 8.25设接受方有理由猜测甲地发送的信号值为8,,问能否接受这种猜测.解 这是一个假设检验的问题,总体()2,0.2X N μ ,待检验的原假设0H 与备择假设1H 分别为0:8H μ= vs 1:8H μ≠.这是一个双侧检验问题,检验的拒绝域为{}1/2u u α-≥.取显著性水平0.05α=,则查表知0.975 1.96u =,现该例中观测值可计算得出)8.15,8.158/0.2 1.68x u ==-=.u 值未落入拒绝域{}1.96u ≥内,故不能拒绝原假设,即接受原假设,可认为猜测成立.我们也可以采用p 值完成此检验,此处0 1.68u =,0.093p =.由于p 值大于事先给定的水平0.05,故不能拒绝原假设,结论是相同的.进一步我们从p 值还可以看到,只要事先给定的显著性水平不高于0.0935,则都不能拒绝原假设:而若事先给定的显著性水平高于0.093,如事先给定的显著性水平为0.10,,则检验就会做出拒绝原假设的结论.说明,在实际中也经常会遇到如下两个检验问题:Ⅳ 00:H μμ= vs 10:H μμ>, Ⅴ 00:H μμ= vs 10:H μμ<.它仍可用检验统计量u 施行检验,检验问题Ⅳ的拒绝域与检验问题Ⅰ的拒绝域相同.即{}1W u u α-=≥.这是因为检验问题Ⅳ与Ⅰ的备择假设相同,而Ⅳ的原假设是Ⅰ的原假设的子集,由于此时u 检验的势函数是μ的单调增函数,因此,检验问题Ⅳ的显著性水平α的检验与检验问题Ⅰ的显著性水平α的检验是相同的,从而拒绝域也相同.它们的检验的p 也相同,类似的,检验问题Ⅰ与检验问题Ⅱ的拒绝域以及p 值也是相同的,这个现象在以后的其它检验中也会出现,结论是相似的. 例 2 根据长期经验和资料的分析,某砖厂生产的砖的”抗断强度”X 服从正态分布,方差2 1.21δ=.从该厂产品中随机抽取6块,测得抗断强度如下(单位:kg ·cm -2).32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03检验这批砖的平均抗断强度32.50kg ·cm -2是否成立(取0.05δ=,并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化)?解 提出假设0010:32.50,:H H μμμμ==≠.再选取统计量x z =,若0H 为真,则()0,1z N .对给定的显著性水平0.05α=,求/2z α使{}/2P Z z α>,这里/20.0251.96z z α==计算统计量z 的观察值0 3.05z ==≈.判断,由于00.0253.05 1.96z z =>=,所以在显著性水平0.05α=下否定0H ,即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg ·cm -2. 2.2 δ未知时的t 检验对于问题Ⅰ,由于δ未知,x u =u 含未知参数δ而无法计算,需要对它修改,一个自然地想法就是将其中未知的δ替换成样本标准差s ,这就形成t 检验统计量)0x t sμ-=. 由定理5.4.1可知,在0μμ=时()1t t n - ,从而检验问题Ⅰ的拒绝域为(){}111W t t n α-=≥-.检验的p 值是类似的,对给定的样本观测值,可以计算出相应的检验统计量t 的值,记为()00x t sμ-=,这里的x ,s 是由样本观测值得到的,记t 是服从自由度为1n -的t 分布的随机变量,则()10p p t t =≥.例 3 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布,其均值设定为240cm,现从该厂抽取5件样品,测得其长度为(单位:cm)239.7 239.6 239 240 239.2,判断该厂此类铝材的长度是否满足规定要求.解 这是一个关于正态均值的观测假设检验问题,原假设0:240H μ=,备择假设是是1:240H μ≠,由于δ未知,故采用t 检验,其拒绝域为(){}1/21t t n α-≥-,若取0.05α=,则查表()0.9754 2.776t =.现由样本计算得到239.5,0.4x s ==,故239.5240/0.4 2.975t =-=.2.975 2.776>,故拒绝原假设,认为该厂生产的铝材长度不满足设定要求.下面用p 值再做一次检验,此外0 2.795t =,记t 是服从自由度为4的t 分布的随机变量,()()2.9752 2.975p P t P t =≥=≥,利用计算机软件可计算出具体p 值为0.0491,由于p 小于事先给定的显著性水平0.05,故拒绝原假设结论是相同的. 例4用某仪器间接测量温度,重复5次,所得的数据是1250°,1265°,1245°,1260°,1275°,而用别的精确办法测得温度为1277°(可看作温度的真值),试问此仪器间接测量有无系统偏差?这里假设测量值X 服从()2,N μδ分布. 解 问题是要检验0010:1277,:H H μμμμ==≠.由于2δ未知（即仪器的精度不知道）我们选取统计量x t =. 当0H 真时,()1t t n - ,t 的观察值为01835.399t -===>.对于给定的检验水平0.05α=,由(){}/21P t t n αα>-=,(){}/21/2P t t n αα>-=,00;H μμ= vs 10;H μμ>,(){}0.02540.025P t t >=.查t 分布表得双侧α分位点()()/20.02514 2.776t n t α-==.因为()00.02534 2.776t t >>=,故应拒绝0H 认为该仪器间接测量有系统偏差3 单个正态总体方差的检验设1,,n x x ,是来自()2,N μδ的样本,对方差亦可考虑如下的检验问题:Ⅰ 2200:H δδ≤ vs 2210:H δδ>. Ⅱ 2200:H δδ≥ vs 2210:H δδ<. Ⅲ 2200:H δδ= vs 2210:H δδ≠.其中20δ是已知常数,此处通常假定μ未知,她们采用的检验统计量是相同的,均为()22201/n s χδ=-,在220δδ=时, ()221n χχ- ,于是若取显著性水平为α,则对应三个检验问题的显著性水平为α的检验的拒绝域依次为(){}22111W n αχχ-=≥-,(){}2221W n αχχ=≤-,()(){}22222/21/211W n n ααχχχχ-=≤-≥-或.例 5 某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差25000δ=的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有所改变,现随机抽取26只电池,测得其寿命的样本方差25000s =.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化(取0.02α=) 解 本题要求在0.02α=下检验假设2201:5000,:5000H H δδ=≠.()()22/20.0112544.314n αχχ-==, ()()221/20.9912511.524n αχχ--==,205000δ=.拒绝域为()22144.314n s δ->,或()220111.524n s δ-<.由观察值29200s=得()22014644.314n s δ-=>,所以拒绝0H 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.参考文献[1]格涅坚科.概率论教程.丁寿田[M] .译.北京:高等出版社,1956. [2]陈希孺.概率论与数理统计[M].北京:北京科学出版社,2002. [3]郑明,陈子毅.数理统计讲义[M].上海:复旦大学出版社,2006. [4]杨振明.概率论[M].兰州:兰州大学出版社,1999. [5]比克尔.数理统计[M].北京:北京大学出版社,1994. [6]张荣恒.应用数理统计[M].北京:科学出版社,2002.学年论文成绩评定表。