第3章 电路分析的基本方法

10
3.2.1 KCL和KVL的独立方程数
对于图3.9所示的电路，可以查找出许多回路， 如支路(1,5,3)、(1,2,4,3)、(2,4,5)、(1,2,6)、 (3,4,6)等都构成回路。若对回路(1,2,4,3)、 (3,4,6)、(1,5,3)按顺时针方向列出KVL方程， 则有 u1 u2 u4 u3 0
对于由独立电流源和线性电阻构成的具有个网 孔的电路，其网孔方程的一般形式为
R11im1 R12 im2 … R1m imm uS11 R21im1 R22 im2 … R2 m imm uS22 Rm1im1 Rm 2 im2 … Rmm imm uSmm
3
3.1 网络拓扑的基本知识
图：保留电路图中的节点，用线段代替支路，这种只表示电路几何关系的 图形，称为电路图的拓扑图或线图，简称图，以表示。图的支路、节点分 属两个集合，支路必须落在节点上。当移去节点时，与该点相连的支路全 部移去；当移去支路时，节点予以保留。 有向图：标出各支路电压、电流关联参考方向的图，称为有向图。如图3.2 所示，在电路分析中所用的都是有向图。
25
3.4.3 节点电压法举例
26
3.5 回路分析法和割集分析法
3.5.1 回路分析法
回路分析法实际是回路电流分析法。 回路电流分析法方程列写的规律与网孔电流法相同。 以回路电流为未知量，根据KVL列出独立的回路电压方程， 然后联立求得回路电流，进而求出各支路电流、电压和功 率，这种分析电路的方法就是回路分析法(Loop Analysis Method)。 下面以图3.25所示为例对回路分析法作具体介绍。
7
3.1.4 割集与基本割集
割集是连通图G中一组支路的集合S，这个集合S需要 满足：若从连通图G中切割(移去)属于S的所有支路， 则图G恰好被分成两个互相分离的部分，但只要少移 去其中的一条支路，则图仍然是连通的，这样的支路 集合S称为割集。图3.8(a)所示电路的线图为图3.8(b)， 图3.8(b)中的支路集{1,4,5}、{5,2,6}、{4,3,2}、 {3,4,5,6}等都是图G的割集。
27
3.5.1 回路分析法
回路分析法的标准形式为
R11i11 R12il2 R13il3 uS11 R21i11 R22il2 R23il3 uS22 R31i11 R32il2 R33il3 uS33
回路分析法是建立在“树”的基础上的一种分析方法， 而树的选取方法有很多种，为了使解题方便、简单， 应选择一棵“合适的树”，选择时应尽可能依据以下 原则。
23
3.4.3 节点电压法举例
【例3.8】试用节点电压法，求如图3.20所示电 路中各电阻支路的电流。
【例3.9】试用节点电压法，求如图3.21所示电 路中的各支路电压。
参见教材P70
24
3.4.3 节点电压法举例
【例3.11】利用节点电压法，求如图3.23所示 电路中的节点电压。
参见教材P72
22
3.4.2 节点电压法方程
图3.19所示电路以3个节点电压为未知量的节点电压法 方程，简称节点方程，写成一般形式为
G11un1 G12 un 2 G13un3 iS11 G21un1 G22 un 2 G23un3 iS22 G31un1 G32 un 2 G33un3 iS33
子图：若图的每个节点和每条支路也是图的节点和支路，则称图为图的一 个子图。例如，图3.3(a)、图3.3(b)所示的图均为图3.2的子图。
4
3.1 网络拓扑的基本知识
连通图与非连通图：当图中任意两个节点之间至少存在一条由支路所构成 的路径时，该图称为连通图，如图3.1所示；否则称为非连通图，如图3.4所 示。一个非连通图至少由两个分离的连通图组成。
式(3-8)和式(3-9)就是以、和为未知量的支路电流方程。 由式(3-8)和式(3-9)可以归纳出
Rk ik uSk
k
i
0
14
3.2.3 支路电流法举例
参见教材P61
15
3.3 网孔电流法
利用支路电流法分析电路，需要列出 的方程数与支路数目相同，如果支路 过多，列出的方程仍然很多，势必加 大计算量，为此需要寻找新的方法来 进一步减少方程的数量。本节介绍网 孔电流法。在引入网孔电流后，可以 省去个节点方程，从而减少了分析电 路的计算量。
12
3.2.Fra Baidu bibliotek 支路电流法方程
如图3.10所示的电路，各电压源的电压和各电 阻均为已知，求各支路电流。把电压源与电阻 的串联组合看做一条支路，则此电路有两个节 点，三条支路。各支路电流的参考方向如图 3.10所示。
13
3.2.2 支路电流法方程
取节点A，应用KCL建立独立的节点方程为
i1 i2 i3 0
参见教材P66
20
3.4 节点电压法
网孔电流法以网孔电流为未知量，只需列 出个KVL方程就可以求解电路。本节学习 的节点电压法将把节点电压作为未知量， 只需列出个KCL方程，就可得到全部节点 电压，然后借助节点电压可求出各支路电 压，根据VCR方程可求得各支路电流。节 点电压法和网孔电流法都是分析电路的基 本方法。
平面图与非平面图：如果图画在一个平面上时，除节点外任何两条边均不 发生交叉，这种图称为平面图；否则称为非平面图。图3.2和图3.3都是平面 图，图3.5(a)可以画成平面图，图3.5(b)只能画成非平面图。 能够画在一个平面上而没有支路交叉的电路称为平面电路；否则称为非平 面电路。图3.5(a)是平面电路，图3.5(b)是非平面电路。
(1) 把电压源支路选为树支。 (2) 把受控源的电压控制量选为树支。 (3) 把电流源选为连支。 (4) 把受控源的电流控制量选为连支。
28
3.5.2 割集分析法
割集分析法与回路分析法一样，是建立在“树”的基础上的一 种分析方法。割集分析法是将树支电压作为一组独立的求解变 量，根据基本割集建立KCL方程，求解电流、电压和功率的电 路分析方法。割集分析法(Cut-set Analysis Method)又称为割 集电压分析法。割集分析法的选树原则与回路分析法相同，即 尽可能将电压源及电压控制量选为树支，电流源及电流控制量 选为连支。
回路(1,5,3)： 回路(2,4,5)： 回路(3,4,6)：
u1 u5 u3 0
u2 u4 u5 0 u3 u4 u6 0
这是一组独立方程。平面电路的全部网孔是一组独立回路，因 此回路的独立KVL方程数与网孔数相同。 通过这个例子可以得出结论：对于具有个节点、条支路的电路， 有个网孔，其独立的KCL方程数为，独立的KVL方程数为，总 共有个独立方程。
16
3.3.1 网孔电流
17
3.3.2 网孔电流法方程
网孔电流方程的一般形式为
R11 R 21 R31 R12 R22 R32 R13 im1 uS11 i u R23 m2 S22 R33 im3 uS33
8
3.2 支路电流法
电路由电路元件连接而成，电路中各支路电流 受到KCL约束，各支路电压受到KVL约束，同 时，电路的电压和电流还要受到元件特性(如欧 姆定律)的约束。电路的电压和电流都必须同时 满足这两类约束关系。根据电路的结构和参数， 列出反映这两类约束关系的并且独立的KCL、 KVL和VCR方程(称为电路方程)，然后求解， 就能得到各电压和电流。为此，本章首先要讨 论一下KCL和KVL的独立方程的个数。
21
3.4.1 节点电压
在具有个节点的连通电路(模型)中，可以选其中一个 节点作为基准节点(称为参考节点)，其余个节点相对 基准节点的电压，称为节点电压(Node Voltage)。
例如，在图3.19所示电路
以节点电压为未知量，将各支路电流用节点电压表示， 列出个KCL方程，求出各节点电压，进而求得各支路 电压、电流和功率，这种分析电路的方法称为节点电 压法(Node Voltage Method)。
2
第3章 电路分析的基本方法
【教学目标】
本章内容以基尔霍夫定律为基础，逐一介绍电路分 析的基本方法：支路电流法、网孔电流法、节点电 压法、回路分析法和割集分析法，并在此基础上讨 论非线性电路和含有理想运算放大器电路的分析方 法。 通过本章的学习，掌握支路电流法、网孔电流法、 节点电压法、回路分析法和割集分析法，并能够熟 练应用这些方法对线性电路进行分析；了解非线性 电路及其分析方法，能够分析一些简单的非线性电 路；掌握理想运算放大器电路模型，并能够对含有 理想运算放大器的电路进行分析。
9
3.2.1 KCL和KVL的独立方程数
如图3.9所示电路，有A、B、C、D 共4个节点， 1、2、3、4、5、6共6条支路，各支路的电流 参考方向已标出，各支路的电压和电流取关联 参考方向。
根据基尔霍夫定律，对节点A、B、C、D分别 列出KCL方程，为
i1 i3 i6 0 i1 i2 i5 0 i2 i4 i6 0 i3 i4 i5 0
18
3.3.3 网孔电流法举例
【例3.4】试用网孔电流法，求如图3.15所示电 路中的各支路电流。
【例3.5】电路如图3.16所示，列出网孔方程。
参见教材P65
19
3.3.3 网孔电流法举例
【例3.6】列出如图3.17所示电路的网孔方程。
【例3.7】电路如图3.18(a)所示，求4电阻上的 电流。
5
3.1.2 树的概念
包含连通图中所有的节点，但不形成回路的连通子图，称为图 的树。在图3.6中，图3.6(b)、(c)、(d)都是图3.6(a)的树。可见， 同一个图有许多种树。由树的定义可知，树有3个特点：树是 连通图；树包含了图的全部节点；树不能含有回路。
组成树的支路称为树支，不属于树的支路称为连支。例如，图 3.6(b)选支路4、6、3为树支，则支路1、2、5为连支；图3.6(c) 选支路2、4、6为树支，则支路1、3、5为连支；图3.6(d)选支 路4、5、6为树支，则支路1、2、3为连支。
6
3.1.3 回路与基本回路
连通图的树连通所有节点，但不构成回 路，也就是说，只有树支是不构成回路 的。对连通图选定树后，每接上一条连 支就可以形成一个闭合回路，这一回路 由一条连支与其他有关的树支组成，那 么这种只含一条连支其余均为树支的回 路，称为基本回路。 基本回路在图中用表示。 基本回路中只有一条连支，连支电流在 基本回路中流动，基本回路的参考方向 与连支的方向一致。
取网孔1、2，选取绕行方向如图3.10所示，应用KVL 和支路的电压与电流关系建立以支路电流为未知量的 R1i1 uS1 uS2 R2i2 0 独立回路方程为
uS2 R3i3 R2i2 0
将已知电压移至方程右边并整理，有
R1i1 R2 i2 uS1 uS2 R2 i2 R3i3 uS2
u3 u4 u6 0 u1 u5 u3 0
若再取这3个回路之外的任何一个回路，比如回 路(1,2,6)，按顺时针方向列出KVL方程为
u1 u2 u6 0
11
3.2.1 KCL和KVL的独立方程数
在平面电路中，把内部不存在任何支路和节点的回路称为网孔 回路，简称网孔(Mesh)。如图3.9所示电路中的回路(1,5,3)、 (2,4,5)和(3,4,6)都是网孔，而(1,2,4,3)、(1,2,6)等不是网孔。对 于3个网孔，按顺时针方向可以列出KVL方程，即
由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其系 数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出节点 方程。 由独立电流源和线性电阻构成的具有个节点的连通电 路，其节点方程的一般形式为
G21un1 G22 un 2 … G2( n 1) un ( n 1) iS22 G( n 1)1un1 G( n 1)2 un 2 …+G( n 1)( n 1) un ( n 1) iS( n 1)( n 1) G11un1 G12 un 2 … G1( n 1) un ( n 1) iS11